6 ÊÂÀÍT 1999/¹3 Äâà ýòþäà î ðàññòîÿíèÿõ Å.ØÈÊÈÍ Â ÎÑÍÎÂÓ ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈß ÐÀÑ- ñòîÿíèÿ ïîëîæåíû òðè ñâîéñòâà ïîëîæèòåëüíàÿ îïðåäåëåííîñòü, ñèììåòðè÷íîñòü è íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà, êîòîðûå ñ æèòåéñêîé òî÷êè çðåíèÿ âûãëÿäÿò ñîâåðøåííî åñòåñòâåííûìè.  ñàìîì äåëå, ðàçâå âîçíèêàþò ñîìíåíèÿ â òîì, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ ðàçëè÷íûìè ïóíêòàìè äîëæíî õàðàêòåðèçîâàòüñÿ ïîëîæèòåëüíûì ÷èñëîì, íå çàâèñÿùèì îò òîãî, èç êàêîãî èç ýòèõ ïóíêòîâ âåäåòñÿ îòñ÷åò è êàê ÷àñòî, ñðåçàÿ óãëû, ìû ïîëüçóåìñÿ òðîïèíêàìè («íàðîäíûìè òðîïàìè»), ïðîòîïòàííûìè ðàíåå äðóãèìè íåòåðïåëèâûìè ïåøåõîäàìè (ðèñ.1)? ) * Ðèñ.1 Ñàìî ïîíÿòèå ðàññòîÿíèÿ ââîäèòñÿ â äâà ýòàïà. Ñíà÷àëà ôîðìóëèðóåòñÿ ïðàâèëî. Ãîâîðÿò, ÷òî íà ìíîæåñòâå χ ââåäåíî ðàññòîÿíèå, åñëè óêàçàí çàêîí, ñîãëàñíî êîòîðîìó ëþáûì äâóì ýëåìåíòàì À è  ýòîãî ìíîæåñòâà ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå ÷èñëî (áóäåì îáîçíà÷àòü åãî dist(A, B)), è âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: 1) ïîëîæèòåëüíàÿ îïðåäåëåííîñòü: dist(A, B) ≥ 0 , ïðè÷åì ðàâåíñòâî dist(A, B) = 0 èìååò ìåñòî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ýëåìåíòû À è  ñîâïàäàþò; 2) ñèììåòðè÷íîñòü: dist(A, B) = dist(Â, À) äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ À è Â; 3) íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà: dist(A, Ñ) ≤ dist(A, B) + dist(Â, Ñ) äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ À,  è Ñ ðàññìàòðèâàåìîãî ìíîæåñòâà. ×èñëî dist(A, B) íàçûâàåòñÿ ðàññòîÿíèåì ìåæäó ýëåìåíòàìè À è Â. Îáû÷íî ìû âñòðå÷àåìñÿ ñ ñèòóàöèåé, êîãäà ñïîñîá âû÷èñëåíèÿ ðàññòîÿíèé çàäàí (óæå êåì-òî ïðèäóìàí). Íî êàê ïîñòóïàòü â ñëó÷àå, êîãäà ïîäîáíîãî ïðàâèëà åùå íåò?  ïðèíöèïå ñóùåñòâóåò óíèâåðñàëüíûé ñïîñîá ââåäåíèÿ ðàññòîÿíèÿ íà ëþáîì ìíîæåñòâå, âíå çàâèñèìîñòè îò ïðèðîäû åãî ýëåìåíòîâ. Äîñòàòî÷íî ïîëîæèòü ðàññòîÿíèå ìåæäó ðàçíûìè ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà ðàâíûì åäèíèöå: dist(A, B) = 1 ïðè A ≠ B , Ýòþä ïåðâûé: âíóòðåííÿÿ ãåîìåòðèÿ áóìàæíîãî ëèñòà Îáû÷íûé ëèñò áóìàãè èìååò ôîðìó ïðÿìîóãîëüíèêà (ðèñ.2). Ïóñòü À è  ïðîòèâîïîëîæíûå âåðøèíû. Êàê * ) Ðèñ. 2 âû÷èñëÿåòñÿ ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè? Äà î÷åíü ïðîñòî òî÷êè À è  ñîåäèíÿþòñÿ îòðåçêîì è èçìåðÿåòñÿ åãî äëèíà (ðèñ.3). Ýòî è áóäåò èñêîìûì ðàññòîÿíèåì. * à ìåæäó ñîâïàäàþùèìè íóëþ: dist(A, B) = 0 ïðè À = Â. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî âñå òðè óñëîâèÿ îïðåäåëåíèÿ âûïîëíåíû, ïðè÷åì íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà âñåãäà áóäåò ñòðîãèì (çà èñêëþ÷åíèåì òðèâèàëüíîãî ñëó÷àÿ, êîãäà ñðåäè ýëåìåíòîâ À,  è Ñ åñòü ñîâïàäàþùèå). Âìåñòå ñ òåì, ïðåäëîæåííîå ïðàâèëî ëèøåíî ïðèâû÷íîãî íàì ñâîéñòâà, êîòîðîå ïîçâîëÿëî áû ñðàâíèâàòü ðàññòîÿíèÿ, ïîëüçóÿñü ñëîâàìè áîëüøå è ìåíüøå, ðàññòîÿíèå ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ ðàçëè÷íûìè ýëåìåíòàìè îêàçûâàåòñÿ âñåãäà îäíèì è òåì æå. Ñóùåñòâóþò, ðàçóìååòñÿ, è äðóãèå ïðàâèëà èñ÷èñëåíèÿ ðàññòîÿíèé. Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûå îïèðàþòñÿ íà èñïîëüçîâàíèå åäèíèöû èçìåðåíèÿ, èëè ýòàëîíà äëèíû. Îäíàêî è çäåñü ÷àñòî ïðèõîäèòñÿ ñòàëêèâàòüñÿ ñ ðàññòîÿíèÿìè, íàäåëåííûìè è èíûìè, èíîãäà äîâîëüíî íåîæèäàííûìè ñâîéñòâàìè. Ïðîèëëþñòðèðóåì ñêàçàííîå. ) Ðèñ. 3 Òåïåðü íåìíîãî èçîãíåì ëèñò. Íàïðèìåð, òàê, êàê ýòî ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 4. È âíîâü ïîñòàâèì òîò æå * ) Ðèñ. 4 âîïðîñ: êàê âû÷èñëèòü ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè À è Â? Êàæåòñÿ, òîæå * ) Ðèñ. 5