1 Домашнее задание (обязательное)

1
Домашнее задание (обязательное)
Задание 1.1. На заводе по производству лампочек наладчик настраивает станок на
глаз. В результате 𝜆 — характеристика станка, влияющая на время безотказной работы лампочки, оказывается распределена случайно и имеет Гамма-распределение (плот1
ность 𝑓𝜆 (𝑥) = 𝜃𝑘 Γ(𝑘)
𝑥𝑘−1 𝑒−𝑥/𝜃 , Γ — гамма-функция Эйлера) с параметрами 𝑘 = 9, 𝜃 = 1.
Считаем, что при фиксированной 𝜆 время работы лампы в минутах — случайная величина с экспоненциальным распределением с параметром 𝜆.
Первую выпущенную лампочку проверяют на ОТК. Она сгорает ровно через минуту.
Найти распределение, моду и матожидание величины 𝜆. Выводить матожидание и
моду для Гамма-распределения не надо, можно посмотреть в таблице
Задание 1.2. Бросаются два кубика. Чему равно математическое ожидание суммы
выпавших очков? Произведения выпавших очков? Чему равна дисперсия суммы выпавших очков?
Задание 1.3. Найти корреляцию между числом выпадения единиц и шестерок при 𝑛
бросаниях кости.
Задание 1.4. Привести примеры дискретного распределения, не имеющего дисперсии,
но имеющего матожидание и распределения, не имеющего даже матожидания.
Задание 1.5. Найти матожидание и дисперсию для негативно-биномиального распределения 𝑁 𝐵(𝑟, 𝑝), т.е. распределение числа успехов до 𝑟-й неудачи в испытаниях Бернулли с вероятностью успеха 𝑝.
Задание 1.6. Найти дисперсию для распределения Пуассона с параметром 𝜆 и для
нормального распределения с параметрами 𝜇, 𝜎 2 .
Задание 1.7. Привести примеры непрерывного распределения, не имеющего дисперсии, но имеющего матожидание и распределения, не имеющего даже матожидания.
Задание 1.8. Пусть случайная величина 𝜉 имеет симметричное распределение (т.е.
ℒ𝜉 ≡ ℒ − 𝜉). Найти cor(𝜉, |𝜉|).
Задание 1.9. Пусть 𝜉, 𝜂, 𝜁 — независимые случайные величины с ненулевой дисперсией.
Могут ли быть независимы 𝜉 + 𝜂 и 𝜉 + 𝜁?
Задание 1.10. Какое наименьшее и набольшее значение может принимать дисперсия
суммы двух случайных величин с дисперсиями 𝑠1 , 𝑠2 ?
Задание 1.11. Картонный круг радиуса 𝑟 бросают случайно на клетчатый лист бумаги
(размер клетки 1 × 1). Найти математическое ожидание числа узлов клеток, накрытых
кругом.
Задание 1.12. Пусть 𝜉¯ = (𝜉1 , . . . , 𝜉𝑑 )T — случайный вектор. Пусть все компоненты
имеют ненулевую дисперсию. Матрицей корреляций для него будем называть матрицу
C ∈ R𝑑×𝑑 : ((C)𝑖,𝑗 = 𝜌(𝜉𝑖 , 𝜉𝑗 )). Покажите, что если матрица корреляций вырождена (т.е.
rank C < 𝑑), то компоненты линейно зависимы, т.е. существует способ выразить одну
случайную величину как линейную комбинацию остальных (почти наверное). Обращу
внимание. Линейная зависимость и линейная независимость для случайных величин
не исчерпывают всех возможных вариантов. Линейная зависимость в случае двух
величин означает корреляцию 1 или −1. Линейная независимость (некоррелированность) — корреляцию 0. Другие корреляции означают, что величины зависимы, но не
строго линейно
1
Задание 1.13. На разлинованную с шагом 1 плоскость бросают монету радиуса 𝑟. Описать распределение числе пересеченных монетой линий. Чему равно его матожидание
и дисперсия? Подумайте, как ответ согласуется с задачей про бросание спицы
Задание 1.14. В лотерее имеется 𝑚1 выигрышных билетов на сумму 𝑠1 , . . . , 𝑚𝑘 билетов на сумму 𝑠𝑘 . Какую цену билета надо установить, чтобы матожидание выигрыша
равнялось половине его стоимости?
2
Задачи, разобранные в классе
Задание 2.1. Установить следующие факты:
1. E(𝑐𝜉) = 𝑐E𝜉
2. 𝜉 ≥ 0 ⇒ E𝜉 ≥ 0
3. E(𝜉1 + 𝜉2 ) = E𝜉1 + E𝜉2
4. E(𝜉1 𝜉2 ) = E𝜉1 · E𝜉2 , если 𝜉1 , 𝜉2 независимы
5. D(𝑐𝜉) = 𝑐2 D𝜉
6. D𝜉 = 0 ⇒ 𝜉 ≡ 𝑐
7. D𝜉 = E(𝜉 2 ) − (E𝜉)2
8. D(𝜉1 ± 𝜉2 ) = D𝜉1 + D𝜉2 , если 𝜉1 , 𝜉2 независимы
Можно ли ослабить условия независимости в утверждениях?
Задание 2.2. Привести пример зависимых случайных величин, имеющих, тем не менее, нулевую корреляцию.
Задание 2.3. Найти матожидание и дисперсию следующих распределений:
1. Бернулли 𝐵(𝑝)(𝑝, 𝑝𝑞)
2. Биномиальное 𝐵𝑖𝑛(𝑛, 𝑝)(𝑛𝑝, 𝑛𝑝𝑞)
3. Геометрическое 𝐺(𝑝)(1/𝑝, 𝑞/𝑝2 )
4. Пуассона 𝑃 𝑜𝑖𝑠(𝜆)(𝜆, *)
5. Экспоненциальное 𝐸𝑥𝑝(𝜆)(1/𝜆, 1/𝜆2 )
6. Нормальное 𝒩 (𝜇, 𝜎 2 )(𝜇, *)
7. Равномерное 𝑈 [𝑎, 𝑏]((𝑎 + 𝑏)/2, (𝑎 − 𝑏)2 /12)
Задание 2.4. По монете ударяют молотком, в результате орел начинает выпадать с
вероятностью 𝑝 ∼ 𝑈 [0, 1]. Монету подбрасывают пять раз, орел выпал трижды. Какое
значение 𝑝 наиболее вероятно? Какой вид имеет распределение 𝑝 и чему равны его
матожидание и мода (наиболее вероятное значение)?
2
Задание 2.5. По монете ударяют молотком, в результате орел начинает выпадать с вероятностью 𝑝 ∼ 𝑈 [0, 1]. Монету подбрасывают 𝑛 раз, орел выпал 𝑘 раз. Какое значение
𝑝 наиболее вероятно? Какой вид имеет распределение 𝑝 и чему равны его матожидание
и мода?
Задание 2.6. На заводе по заточке булавок был нарушен техпроцесс, в результате
была выпущена партия булавок с потенциально высоким процентом брака. Известно,
что доля бракованных булавок 𝑝 имеет распределение с плотностью 𝑓𝑝 (𝑥) = 3(1 − 𝑥)2 .
На складе хранится 1000 булавок из этой партии и их решают проверить, для чего
из них случайно проверяют 100 и все оказываются заточенными неправильно. Какой
процент брака наиболее вероятен? Да, 1000 в этой задаче — для отвода глаз
Задание 2.7. Пусть вероятность купить в магазине просроченную кильку составляет 2%. Сколько в среднем банок кильки надо купить, чтобы отравиться? Считаем,
разумеется, что события результата разных покупок независимы.
√
Задание 2.8. Показать, что | cov(𝜉, 𝜂)| ≤ D𝜉D𝜂.
Задание 2.9. Пусть 𝜉¯ = (𝜉1 , . . . , 𝜉𝑑 )T — случайный вектор с матрицей ковариаций Σ.
¯ для некоторого вектора 𝑐¯ ∈ R𝑑 .
Найти дисперсию ⟨¯
𝑐, 𝜉⟩
Задание 2.10. Пусть 𝜉¯ = (𝜉1 , . . . , 𝜉𝑑 )T — случайный вектор с матрицей ковариаций Σ.
Найти матрицу ковариаций вектора A𝜉¯ для некоторой матрицы A ∈ R𝑘×𝑑 .
Задание 2.11. Пусть 𝜉¯ = (𝜉1 , . . . , 𝜉𝑑 )T — случайный вектор. Пусть все компоненты
имеют ненулевую дисперсию. Матрицей ковариаций для него будем называть матрицу Σ ∈ R𝑑 : (Σ𝑖,𝑗 = 𝜌(𝜉𝑖 , 𝜉𝑗 )). Покажите, что если матрица ковариаций вырождена (т.е.
rank Σ < 𝑑), то компоненты линейно зависимы, т.е. существует способ выразить одну
случайную величину как линейную комбинацию остальных (почти наверное). Обращу
внимание. Линейная зависимость и линейная независимость для случайных величин
не исчерпывают всех возможных вариантов. Линейная зависимость в случае двух
величин означает корреляцию 1 или −1. Линейная независимость (некоррелированность) — корреляцию 0. Другие корреляции означают, что величины зависимы, но не
строго линейно
Задание 2.12. Пусть 𝜉¯ = (𝜉1 , . . . , 𝜉𝑑 )T — случайный вектор с матрицей ковариаций Σ.
Пусть Σ невырождена. Найти такую невырожденную матрицу O ∈ R𝑑×𝑑 , что компоненты вектора O𝜉¯ линейно независимы.
Задание 2.13. С.к.о. для каждой из 𝑛 независимых случайных величин равно 𝜎. Найти
с.к.о. для суммы и среднего арифметического этих случайных величин. Почему существенна независимость с.в? Достаточно ли попарной независимости в этом случае
или задача станет неопределенной? Можно ли как-то ослабить условие независимости?
Задание 2.14. Показать, что для любых случайных величин 𝜉, 𝜂: | cor(𝜉, 𝜂)| ≤ 1.
Задание 2.15. Произведено четыре выстрела по мишени с вероятностями попадания
0.6, 0.4, 0.5 и 0.7 соответственно. Найти матожидание и дисперсию общего количества
попаданий.
Задание 2.16. Спицу длины 𝑙 бросают случайно на случайно повернутую разлинованную с шагом 1 плоскость. Найти математическое ожидание числа пересечений спицой
линий.
3
Задание 2.17. Аналогично предыдущей задаче, но бросают согнутую в виде ломаной
спицу длины 𝑙. Изменится ли ответ, если в местах сгибов спица будет свободно (случайно) сгибаться-разгибаться?
3
Дополнительные задачи
Задание 3.1. Пусть (𝜉, 𝜂)T — случайный вектор, распределение которого сосредоточено на некоторой прямой. Найти корреляцию cor(𝜉, 𝜂).
Задание 3.2. Стрелок бьет по мишени радиуса 1. Найти дисперсию и матожидание
расстояния до центра мишени.
Задание 3.3. Стрелок бьет по мишени радиуса 1. Известно, что расстояние до центра мишени лежит в интервале [𝑎, 𝑏]. Найти распределение, диспресию и матожидание
расстояния до центра мишени.
Задание 3.4. На заводе по производству лампочек наладчик настраивает станок на
глаз. В результате 𝜆 — характеристика станка, влияющая на время безотказной работы лампочки, оказывается распределена случайно и имеет Гамма-распределение (плот1
𝑥𝑘−1 𝑒−𝑥/𝜃 , Γ — гамма-функция Эйлера) с некоторыми параметрами
ность 𝑓𝜆 (𝑥) = 𝜃𝑘 Γ(𝑘)
𝑘, 𝜃. Считаем, что при фиксированной 𝜆 время работы лампы в минутах — случайная
величина с экспоненциальным распределением с параметром 𝜆.
Первые выпущенные 𝑛 лампочек проверяют на ОТК. Они сгорают через 𝑡1 , 𝑡2 , . . . , 𝑡𝑛
минут соответственно. Найти распределение, моду и матожидание величины 𝜆. Выводить матожидание и моду для Гамма-распределения не надо, можно посмотреть в
таблице
Задание 3.5. Фигуру некоторой формы площади 𝑆, вырезанную из картона, бросают случайно на клетчатый лист бумаги (размер клетки 1 × 1). Найти математическое
ожидание числа узлов клеток, накрытых фигурой.
Задание 3.6. Какое наименьшее и наибольшее значение может принимать дисперсия
случайной величины, сосредоточенной на интервале [𝑎, 𝑏]? Рассуждение было начато
на паре, нужно провести его до конца
Задание 3.7. Вам предложили сыграть в игру: берется колода на 36 карт, перетасовывается. Затем карты по очереди открываются, и вам нужно угадывать цвет открываемой карты. Если угадали, то вам платят 100 рублей. Если не угадали, то вы
платите в первый раз одну копейку, во второй раз две, затем четыре и так далее (в геометрической прогрессии). Согласитесь ли вы играть? При какой плате за правильно
названную карту игра станет справедливой (т.е. матожидание выигрыша равно нулю)?
Для решения этой задачи может оказаться полезно что-то запрограммировать
4