Уточнённая программа курса “Аддитивная комбинаторика

Уточнённая программа курса “Аддитивная комбинаторика”.
Лектор А.А. Глибичук
Список необходимых знаний.
Çà íåçíàíèå любого èç ýòèõ âîïðîñîâ ñòàâèòñÿ "íåóä.(2)"
çà çà÷¼ò. Çíàíèå âñåõ âîïðîñîâ îöåíêó óäîâë.(3) íå
ãàðàíòèðóþò. Ññûëêè íà èñòî÷íèêè, ïî êîòîðûì ìîæíî ó÷èòü ñîîòâåòñòâóþùèå âîïðîñû, óêàçàíû â ïîëíîì
ñïèñêå.
1. Ïîíÿòèå ñóììû è ïðîèçâåäåíèÿ ìíîæåñòâ. Ýëåìåíòàðíûå îöåíêè íà ìîùíîñòü ñóììû è ðàçíîñòü äâóõ
ìíîæåñòâ. Íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà Ðóæè.
2. Ôîðìóëèðîâêà òåîðåìû Ïëþííåêå-Ðóæè.
3. Ïîíÿòèå ãðàôà Ïëþííåêå. Îïðåäåëåíèå êîýôôèöèåíòà ðîñòà (magnication ratio) â ãðàôå. Ôîðìóëèðîâêà ìóëüòèïëèêàòèâíîñòè êîýôôèöèåíòà ðîñòà.
4. Îïðåäåëåíèå àääèòèâíîé ýíåðãèè.
5. Ôîðìóëèðîâêè òåîðåìû Êîøè-Äàâåíïîðòà è Êíåçåðà.
6. Îïðåäåëåíèå ÷àñòè÷íîé ñóììû ìíîæåñòâ.
7. Ôîðìóëèðîâêà òåîðåìû Áàëîãà-Ñåìåðäè-Ãàóýðñà.
8. Ôîðìóëèðîâêà òåîðåìû Áåðåíäà.
9. Îïðåäåëåíèå 𝑈2 íîðìû Ãàóýðñà.
10. Íà÷àëà àíàëèçà Ôóðüå. Ïîíÿòèå ñâ¼ðòêè è ïîâåäåíèå ñâ¼ðòêè ïî îòíîøåíèþ ê âçÿòèþ êîýôôèöèåíòà
Ôóðüå. Òîæäåñòâî Ïàðñåâàëÿ.
11. Ôîðìóëèðîâêà òåîðåìû Ïëþííåêå.
12. Îïðåäåëåíèå ìíîãîìåðíîé àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè. Ôîðìóëèðîâêà òåîðåìû Ôðåéìàíà-Ðóæè. Îïðåäåëåíèå èçîìîðôèçìà Ôðåéìàíà.
13. Îïðåäåëåíèå ìíîæåñòâà Áîðà. Ôîðìóëèðîâêà ëåììû Áîãîëþáîâà.
14. Ãèïîòåçà Ýðä¼øà-Ñåìåðåäè. Ôîðìóëèðîâêà òåîðåìû Ýëåêåøà è Øîëóìîøè.
15. Ôîðìóëèðîêà òåîðåìû Ñåìåðåäè-Òðîòòåðà.
16. Ôîðìóëèðîâêà òåîðåìû Êàöà-Øåíÿ.
Список вопросов к устному опросу по курсу на "тройку".
Ñòóäåíò, îòâåòèâøèé âåðíî è ïîëíîñòüþ íà õîòÿ áû òðè èç ýòèõ âîïðîñîâ ïîëó÷àåò îöåíêó "óäîâë.(3)"çà
çà÷¼ò. Çà íåâåðíûå èëè íåïîëíûå îòâåòû íà äâà âîïðîñà èç ñïèñêà ñòóäåíò ïîëó÷àåò îöåíêó "íåóä.(2)".
Ññûëêè íà èñòî÷íèêè, ïî êîòîðûì ìîæíî ó÷èòü ñîîòâåòñòâóþùèå âîïðîñû, óêàçàíû â ïîëíîì ñïèñêå.
1. Ïîíÿòèå ñóììû è ïðîèçâåäåíèÿ ìíîæåñòâ. Ýëåìåíòàðíûå îöåíêè íà ìîùíîñòü ñóììû è ðàçíîñòü äâóõ
ìíîæåñòâ. Íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà Ðóæè.
2. Õàðàêòåðèñòèêà ñëó÷àåâ, êîãäà ñóììà ìíîæåñòâ ìèíèìàëüíà è ìàêñèìàëüíà.
3. Ýëåìåíòàðíîå äîêàçàòåëüñòâî ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ òåîðåìû Ïëþííåêå-Ðóæè äëÿ îäèíàêîâûõ ïîäìíîæåñòâ.
4. Ïîíÿòèå ãðàôà Ïëþííåêå. Îïðåäåëåíèå êîýôôèöèåíòà ðîñòà (magnication ratio) â ãðàôå. Ïðèìåðû
ãðàôîâ Ïëþííåêå.
5. Ìóëüòèïëèêàòèâíîñòü êîýôôèöèåíòà ðîñòà â ïðîèçâîëüíîì ℎ-óðîâíåâîì ãðàôå. Äîêàçàòåëüñòâî â ïðîñòóþ ñòîðîíó.
6. Îöåíêè íà âõîäÿùèå/èñõîäÿùèå ñòåïåíè âåðøèí â ãðàôå Ïëþííåêå.
7. Ôîðìóëèðîâêà òåîðåìû Ïëþííåêå. Òåîðåìà Ïëþííåêå-Ðóæè äëÿ êðàòíîé ñóììû/ðàçíîñòè ìíîæåñòâà.
Âûâîä óêàçàííûõ òåîðåì èç òåîðåìû Ïëþííåêå.
8. 𝑒-ïðåîáðàçîâàíèÿ ìíîæåñòâ. Òåîðåìà Êîøè-Äàâåíïîðòà.
9. Àääèòèâíàÿ ýíåðãèÿ. Íåðàâåíñòâà íà àääèòèâíóþ ýíåðãèþ. Äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî ìíîæåñòâà ñ ìàëåíüêîé ñóììîé èìåþò áîëüøóþ àääèòèâíóþ ýíåðãèþ.
10. Ïîíÿòèå ÷àñòè÷íîé ñóììû ìíîæåñòâ. Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû î òîì, ÷òî ó ìíîæåñòâ ñ áîëüøîé àääèòèâíîé ýíåðãèåé áóäåò ìàëà ÷àñòè÷íàÿ ñóììà ïî ãóñòîé ñåòêå. Ôîðìóëèðîâêà òåîðåìû Áàëîãà-ÑåìåðåäèÃàóýðñà.
11. Ôîðìóëèðîâêà òåîðåìû Ðîòà. Ôîðìóëèðîâêà òåîðåìû îá ðîñòå ïëîòíîñòè â àðèôìåòè÷åñêîé ïîäïðîãðåññèè ïðè ìàëîì êîëè÷åñòâå ïðîãðåññèé äëèíû 3. Âûâîä òåîðåìû Ðîòà èç òåîðåìû î ðîñòå ïëîòíîñòè.
12. Òåîðåìà Áåðåíäà - ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî.
13. Íà÷àëà àíàëèçà Ôóðüå. Ïîíÿòèå ñâ¼ðòêè è ïîâåäåíèå ñâ¼ðòêè ïî îòíîøåíèþ ê âçÿòèþ êîýôôèöèåíòà
Ôóðüå. Òîæäåñòâî Ïàðñåâàëÿ.
14. Âûðàæåíèå çíà÷åíèÿ 𝑈2 íîðìû Ãàóýðñà ôóíêöèè ÷åðåç çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå ýòîé ôóíêöèè.
15. Òåîðåìà Ðóæè - àíàëîã òåîðåìû Ôðåéìàíà-Ðóæè äëÿ ãðóïïû F∞
2 .
16. Îïðåäåëåíèå ìíîãîìåðíîé àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè. Ôîðìóëèðîâêà òåîðåìû Ôðåéìàíà-Ðóæè. Îïðåäåëåíèå èçîìîðôèçìà Ôðåéìàíà.
17. Ãèïîòåçà Ýðä¼øà-Ñåìåðåäè. Ôîðìóëèðîâêà òåîðåìû Ýëåêåøà è Øîëóìîøè. Îïðåäåëåíèå ÷èñëà ñêðåùèâàíèé ãðàôà. Íèæíÿÿ îöåíêà íà ÷èñëî ñêðåùèâàíèé.
18. Òåîðåìà Ñåìåðåäè-Òðîòòåðà.
19. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ýëåêåøà.
Полный список вопросов к устному опросу по курсу.
1. Ïîíÿòèå ñóììû è ïðîèçâåäåíèÿ ìíîæåñòâ. Ýëåìåíòàðíûå îöåíêè íà ìîùíîñòü ñóììû è ðàçíîñòü äâóõ
ìíîæåñòâ. Íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà Ðóæè. (Ÿ2.1 êíèãè [3])
2. Õàðàêòåðèñòèêà ñëó÷àåâ, êîãäà ñóììà ìíîæåñòâ ìèíèìàëüíà è ìàêñèìàëüíà. (Ÿ2.1 êíèãè [3]).
3. Ýëåìåíòàðíîå äîêàçàòåëüñòâî ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ òåîðåìû Ïëþííåêå-Ðóæè äëÿ îäèíàêîâûõ ïîäìíîæåñòâ
(ñòàòüÿ Ïåòðèäèñà, [2]).
4. Ïîíÿòèå ãðàôà Ïëþííåêå. Îïðåäåëåíèå êîýôôèöèåíòà ðîñòà (magnication ratio) â ãðàôå. Ïðèìåðû
ãðàôîâ Ïëþííåêå. (ŸŸ7.1-7.2 êíèãè [1]).
5. Ìóëüòèïëèêàòèâíîñòü êîýôôèöèåíòà ðîñòà â ïðîèçâîëüíîì ℎ-óðîâíåâîì ãðàôå. (Ÿ7.3 êíèãè [1]).
6. Òåîðåìà Ìåíãåðà (á/ä). Îöåíêè íà âõîäÿùèå/èñõîäÿùèå ñòåïåíè âåðøèí â ãðàôå Ïëþííåêå. Óòâåðæäåíèå î ÷èñëå ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïóòåé â ℎ-óðîâíåâîì ãðàôå Ïëþííåêå ñ 𝐷ℎ > 1. Äîêàçàòåëüñòâî
òîãî, ÷òî 𝐷𝑖 > 1 äëÿ ëþáîãî 𝑖 = 1, 2, . . . , ℎ, åñëè â ℎ-óðîâíåâîì ãðàôå Ïëþííåêå 𝐷ℎ > 1. (Ÿ7.4, à òàêæå
ëåììû 7.1,7.2,7.3 Ÿ7.5 êíèãè [1]).
7. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ïëþííåêå áåç âñïîìîãàòåëüíûõ óòâåðæäåíèé. Ñëåäñòâèÿ èç òåîðåìû Ïëþííåêå. Òåîðåìà Ïëþííåêå-Ðóæè äëÿ êðàòíîé ñóììû/ðàçíîñòè ìíîæåñòâà. (Òåîðåìà 7.4 Ÿ7.5, à òàêæå
Ÿ7.6 êíèãè [1]).
8. Âûâîä òåîðåìû Ïëþííåêå-Ðóæè â íàèáîëåå îáùåé ïîñòàíîâêå. (Ìîè çàìåòêè, òåîðåìû 2 è 3).
9. 𝑒-ïðåîáðàçîâàíèÿ ìíîæåñòâ. Òåîðåìà Êîøè-Äàâåíïîðòà. Òåîðåìà Êíåçåðà. (Ÿ5.1 èç êíèãè [3]).
10. Àääèòèâíàÿ ýíåðãèÿ. Íåðàâåíñòâà íà àääèòèâíóþ ýíåðãèþ. Äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî ìíîæåñòâà ñ ìàëåíüêîé ñóììîé èìåþò áîëüøóþ àääèòèâíóþ ýíåðãèþ. (Ÿ2.5 èç êíèãè [3]).
11. Ïðèìåð, ïîêàçûâàþùèé, ÷òî áîëüøàÿ àääèòèâíàÿ ýíåðãèÿ íå îáÿçàòåëüíî îçíà÷àåò, ÷òî ñóììà ìíîæåñòâ ìàëà.(ñì. çàäà÷ó 3 äîìàøíåãî çàäàíèÿ 2).
12. Ïîíÿòèå ÷àñòè÷íîé ñóììû ìíîæåñòâ. Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû î òîì, ÷òî ó ìíîæåñòâ ñ áîëüøîé àääèòèâíîé ýíåðãèåé áóäåò ìàëà ÷àñòè÷íàÿ ñóììà ïî ãóñòîé ñåòêå. Ôîðìóëèðîâêà òåîðåìû Áàëîãà-ÑåìåðåäèÃàóýðñà. (Ÿ2.5 èç êíèãè [3]).
13. Ëåììà î ÷èñëå ïóòåé äëèíû 2 â äâóäîëüíîì ãðàôå ñ áîëüøèì ÷èñëîì ð¼áåð. (ëåììà 2.5 ñòàòüè [4],
ëåììà 6.18 Ÿ6.4 èç êíèãè [3]).
14. Ëåììà î ÷èñëå ïóòåé äëèíû 3 â äâóäîëüíîì ãðàôå ñ áîëüøèì ÷èñëîì ð¼áåð. (Ÿ2.4 ñòàòüè [4], ñëåäñòâèå
6.19 Ÿ6.4 èç êíèãè [3]).
15. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Áàëîãà-Ñåìåðåäè-Ãàóýðñà. (Ÿ6.4 èç êíèãè [3]).
16. Ôîðìóëèðîâêà òåîðåìû Ðîòà. Ôîðìóëèðîâêà òåîðåìû îá ðîñòå ïëîòíîñòè â àðèôìåòè÷åñêîé ïîäïðîãðåññèè ïðè ìàëîì êîëè÷åñòâå ïðîãðåññèé äëèíû 3. Âûâîä òåîðåìû Ðîòà èç òåîðåìû î ðîñòå ïëîòíîñòè.(Çàìåòêè Òàìàð Öèãëåð, ïðåäëîæåíèå 2.2, òåîðåìà 2.1 è çàìå÷àíèå 2.3).
17. Òåîðåìà Áåðåíäà - ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî. (çàìåòêè Òàìàð Öèãëåð, òåîðåìà 2.14).
18. Íèæíÿÿ îöåíêà íà óñðåäí¼ííîå ÷èñëî àðèôìåòè÷åñêèõ ïðîãðåññèé, âûòåêàþùàÿ èç ïðåäïîëîæåíèÿ, ÷òî
3-÷ëåííûõ àðèôìåòè÷åñêèõ ïðîãðåññèé ìàëî.(Çàìåòêè Òàìàð Öèãëåð, ñëåäñòâèå 2.4 ñ äîêàçàòåëüñòâîì).
19. Îïðåäåëåíèå 𝑈2 íîðìû Ãàóýðñà. Îöåíêà îáîùåííîãî ñðåäíåãî ÷èñëà ïðîãðåññèé äëèíû 3 ñâåðõó ÷åðåç
𝑈2 íîðìó Ãàóýðñà. (Çàìåòêè Òàìàð Öèãëåð, ëåììà 2.7, ñëåäñòâèå 2.8).
20. Íà÷àëà àíàëèçà Ôóðüå. Ïîíÿòèå ñâ¼ðòêè è ïîâåäåíèå ñâ¼ðòêè ïî îòíîøåíèþ ê âçÿòèþ êîýôôèöèåíòà
Ôóðüå. Òîæäåñòâî Ïàðñåâàëÿ. (Çàìåòêè Òàìàð Öèãëåð, ëåììà 2.9).
21. Âûðàæåíèå çíà÷åíèÿ 𝑈2 íîðìû Ãàóýðñà ôóíêöèè ÷åðåç çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå ýòîé ôóíêöèè.(Çàìåòêè Òàìàð Öèãëåð, òåîðåìà 2.10, ñëåäñòâèå 2.11).
22. Âûâîä òåîðåìû îá óâåëè÷åíèè ïëîòíîñòè â àðèôìåòè÷åñêîé ïîäïðîãðåññèè ïðè ìàëîì êîëè÷åñòâå ïðîãðåññèé äëèíû 3 èç ðàíåå äîêàçàííîãî ôàêòà, ÷òî åñòü áîëüøîé êîýôôèöèåíò Ôóðüå ó ñáàëàíñèðîâàííîé õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè. (Çàìåòêè Òàìàð Öèãëåð, ñòð. 5-6, ëåììû 2.12 è 2.13).
23. Òåîðåìà Ðóæè - àíàëîã òåîðåìû Ôðåéìàíà-Ðóæè äëÿ ãðóïïû F∞
2 . (çàìåòêè Òàìàð Öèãëåð, òåîðåìà
4.1).
24. Îïðåäåëåíèå ìíîãîìåðíîé àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè. Ôîðìóëèðîâêà òåîðåìû Ôðåéìàíà-Ðóæè. Îïðåäåëåíèå èçîìîðôèçìà Ôðåéìàíà. (çàìåòêè Òàìàð Öèãëåð, ñòð. 11 12, Ÿ8.1 - íà÷àëî Ÿ8.2 êíèãè [1]).
25. Äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî äëÿ ëþáîãî ïîäìíîæåñòâà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ìîæíî íàéòè áîëüøîå ïîäìíîæåñòâî, 8-èçìîðîôíîå ïî Ôðåéìàíó ïîäìíîæåñòâó F𝑝 . (òåîðåìà 8.4 Ÿ8.4 êíèãè [1], çàìåòêè Òàìàð
Öèãëåð, òåîðåìà 4.5 è 4.6).
26. Îïðåäåëåíèå ìíîæåñòâà Áîðà. Ëåììà Áîãîëþáîâà. (òåîðåìà 8.6 Ÿ8.3 êíèãè [1], çàìåòêè Òàìàð Öèãëåð,
òåîðåìà 4.7).
27. Ñóùåñòâîâàíèå áîëüøèõ îáîáù¼ííûõ àðèôìåòè÷åñêèõ ïðîãðåññèé â íåêîòîðûõ ìíîæåñòâàõ Áîðà. (òåîðåìà 8.7 Ÿ8.3 êíèãè [1], çàìåòêè Òàìàð Öèãëåð, ñëåäñòâèå 4.11).
28. Çàâåðøåíèå äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Ôðåéìàíà-Ðóæè. (çàìåòêè Òàìàð Öèãëåð, ñòð. 19, òåîðåìà 8.10
Ÿ8.4 êíèãè [1]).
29. Ãèïîòåçà Ýðä¼øà-Ñåìåðåäè. Ôîðìóëèðîâêà òåîðåìû Ýëåêåøà è Øîëóìîøè. Îïðåäåëåíèå ÷èñëà ñêðåùèâàíèé ãðàôà. Íèæíÿÿ îöåíêà íà ÷èñëî ñêðåùèâàíèé. (Ãåîìåòðèÿ èíöèäåíöèé, Ÿ8.1).
30. Òåîðåìà Ñåìåðåäè-Òðîòòåðà. (Ãåîìåòðèÿ èíöèäåíöèé, òåîðåìà 8.3).
31. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ýëåêåøà. ([4], ñòð 54).
32. Ôîðìóëèðîâêà òåîðåìû Êàöà-Øåíÿ. Ìíîæåñòâî 𝑄[𝐴, 𝐵]. Ëåììà î ñóììå ìíîæåñòâà ñî ñâîèì ñäâèãîì.
(îïðåäåëåíèå 2.49 è ëåììà 2.50 Ÿ2.8 êíèãè [3], ëåììà 1.1 ñòàòüè [5]).
33. Âàðèàíò òåîðåìû Ïëþííåêå-Ðóæè, â êîòîðîé ñòðîèòñÿ ïîäìíîæåñòâî êîíòðîëèðóåìîé ìîùíîñòè. (ìîè
çàìåòêè, òåîðåìà 4, ñëåäñòâèå 1.5 ñòàòüè [5]).
34. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Êàöà-Øåíÿ. (ñòàòüÿ [5], ñòð. 4-6).
Список литературы
[1] M. Nathanson, Additive number theory. Inverse problems and Geometry of Sumsets, Springer, Graduate Texts
in Mathematics, Vol. 165, 1996.
[2] G. Petridis, New Proofs of
http://arxiv.org/abs/1101.3507, 2011.
Pl
unnecke-type
Estimates
for
Product
Sets
in
Groups,
[3] T. Tao, V.H. Vu, Additive combinatorics, Cambridge University Press, 2010.
[4] Ì.Ç. Ãàðàåâ, Ñóììû è ïðîèçâåäåíèÿ ìíîæåñòâ è îöåíêè ðàöèîíàëüíûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ñóìì â ïîëÿõ
ïðîñòîãî ïîðÿäêà, ÓÌÍ, 2010, òîì 65, âûïóñê 4(394), 566.
[5] N.H.
Katz,
C.-Y.
Shen,
A
slight
http://arxiv.org/abs/math/0703614, 2007.
improvement
to
Garaev's
sum-product
estimate,