mODALXNAQ LOGIKA pONQTIE O MODALXNOJ LOGIKE

lEKCIQ 1
mODALXNAQ LOGIKA
pONQTIE O MODALXNOJ LOGIKE
1.1
mODALXNYE FORMULY
1.2
mODALXNAQ LOGIKA QWLQETSQ OSNOWOJ DLQ POSTROENIQ w MODALXNOJ LOGIKE SUVDENIQ FORMALIZU@TSQ W WIDE
LOGI^ESKIH SISTEM PREDNAZNA^ENNYH DLQ FORMALIZA MODALXNYH FORMUL KOTORYE MY BUDEM NAZYWATX W
CII UVDENIJ W KOTORYH PRISUTSTWU@T KOLI^ESTWEN DANNOJ GLAWE PROSTO FORMULAMI
oSNOWNYMI STRUKTURNYMI \LEMENTAMI W FORMULAH
NYE ILI KA^ESTWENNYE PARAMETRY WYRAVA@]IE NEKO
TORU@ OCENKU SUVDENIJ w KA^ESTWE TAKIH OCENOK MO QWLQ@TSQ UTWERVDENIQ KOTORYE IME@T TOT VE SMYSL
,
c
,
-
,
.
-
,
-
.
,
-
GUT WYSTUPATX NAPRIMER
MERA PRAWDOPODOBIQ SUVDENIQ
WEROQTNOSTX TOGO ^TO SUVDENIE ISTINNO
STOIMOSTX OBOSNOWANIQ DANNOGO SUVDENIQ
OTNOENIE GOWORQ]EGO K SUVDENI@ NAPRIMER ME
RA EGO UWERENNOSTI W ISTINNOSTI SUVDENIQ
MERA POLEZNOSTI FAKTA WYRAVAEMOGO SUVDENIEM
DLQ DOSTIVENIQ ZADANNOJ CELI
MERA U]ERBA MOGU]EGO WOZNIKNUTX IZ ZA TOGO ^TO
DANNOE SUVDENIE NE BUDET WSEGDA ISTINNYM
MERA DOWERIQ K FAKTU WYRAVAEMOMU SUVDENIEM
ILI K LICU WYSKAZAWEMU SUVDENIE
KONTEKST ILI SITUACIQ W KOTOROM WYSKAZANO SU
VDENIE
mY RASSMOTRIM PROSTEJIJ WID SUVDENIJ TAKOGO
WIDA W KOTORYH MOGUT BYTX ISPOLXZOWANY ODNOARGU
MENTNYE OPERATORY 2 I 3 NAZYWAEMYE MODALXNYMI OPERATORAMI |TI OPERATORY MOGUT BYTX INTER
PRETIROWANY KAK SAMYE RAZNOOBRAZNYE HARAKTERISTI
KI UTWERVDENIJ PERED KOTORYMI ONI STOQT NAPRIMER
DOKAZUEMO NEOBHODIMO WOZMOVNO OB]EPRINQ
TO VELATELXNO SKOREE WSEGO TREBUETSQ DO
LVNO BYTX MALOWEROQTNO PRAWDOPODOBNO SO
MNITELXNO PREDPOLOVITELXNO INTERESNO AK
TUALXNO IZWESTNO CELESOOBRAZNO I T D
mODALXNYE OPERATORY MOGUT BYTX SNABVENY INDEK
SAMI T E IMETX WID 2a I 3a GDE a NEKOTORYJ KO
LI^ESTWENNYJ ILI KA^ESTWENNYJ PARAMETR WYRAVA@
]IJ NAPRIMER SILU MODALXNOGO OPERATORA NO W DAN
NOJ GLAWE MY RASSMATRIWAEM TOLXKO MODALXNYE OPERA
TORY BEZ INDEKSOW
,
.
4.
.
(1.1)
,
),
.
-
,
.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
GDE
-
,
,
-
,
-
,
-
,
. .
,
,
,
-
),
-
p1 := '1 : : : pk := 'k ]
= (1.2)
p1 : : : pk { SPISOK RAZLI^NYH UTWERVDENIJ IZ P ,
'1 : : : 'k { SPISOK MODALXNYH FORMUL.
kAK I W lw PODSTANOWKA
DEJSTWUET NA KAVDU@
FORMULU ' PUT<M ZAMENY DLQ KAVDOGO i 2 f : : : kg
KAVDOGO WHOVDENIQ UTWERVDENIQ pi W ' NA FORMULU 'i
fORMULA KOTORAQ POLU^AETSQ POSLE TAKOJ ZAMENY OBO
ZNA^AETSQ ZNAKOSO^ETANIEM '
-
{
I
. .
-
(
-
.
:
,
-
,
-
,
-
.
-
,
-
.
,
-
,
,
-
,
.
,
.
,
(
{
(1.1)
,
,
.
3.
,
-
.
2.
)
,
.
1.
-
,
-
.
,
(
,
^TO I BULEWY PEREMENNYE W LOGIKE WYSKAZYWANIJ mNO
VESTWO WSEH UTWERVDENIJ OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM P
sOWOKUPNOSTX WSEH FORMUL OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM
I OPREDELQETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM
kAVDOE UTWERVDENIE p 2 P QWLQETSQ FORMULOJ
sIMWOLY 1 I 0 QWLQ@TSQ FORMULAMI
eSLI ' I FORMULY TO ZNAKOSO^ETANIQ
:' ' ^ ' _ ' ! ' $ TOVE QWLQ@TSQ FORMULAMI
dLQ KAVDOJ FORMULY ' ZNAKOSO^ETANIQ 2' I 3'
QWLQ@TSQ FORMULAMI
fORMULY
NAZYWA@TSQ BULEWYMI KOMBINACIQMI FORMUL ' I sWQZKI 2 I 3 NAZYWA@TSQ MODALXNYMI OPERATORAMI oPERATOR 2 ^ITAETSQ KAK NEOBHODIMO A OPE
RATOR 3 KAK WOZMOVNO eSLI FORMULA NE SODERVIT
MODALXNYH OPERATOROW TO ONA PREDSTAWLQET SOBOJ FOR
MULU lw ILI IMEET WID 1 ILI 0 fORMULA BEZ MODALX
NYH OPERATOROW NAZYWAETSQ TAWTOLOGIEJ ESLI ONA QW
LQETSQ TAWTOLOGIEJ KAK FORMULA lw ILI IMEET WID 1
pODSTANOWKOJ NAZYWAETSQ ZNAKOSO^ETANIE WIDA
,
,
(1.2)
1
.
-
,
.
,
(
1
).
-
mODALXNYE LOGIKI
1.3
mODALXNOJ ALGEBROJ NAZYWAETSQ BULEWA ALGEBRA A
pRI PROWEDENII RASSUVDENIJ O MODALXNYH FORMULAH
INOGDA RASSMATRIWA@TSQ NE WSEWOZMOVNYE FORMULY A
TOLXKO FORMULY IZ NEKOTOROGO OGRANI^ENNOGO KLASSA
kLASSY MODALXNYH FORMUL PRINQTO NAZYWATX MODALXNYMI LOGIKAMI ILI PROSTO LOGIKAMI T E SLOWO
SO^ETANIE MODALXNAQ LOGIKA IMEET DWA ZNA^ENIQ W
PERWOM ZNA^ENII \TO ODNA IZ OBLASTEJ MATEMATI^ES
KOJ LOGIKI A WO WTOROM NEKOTORYJ KLASS MODALXNYH
FORMUL
kAVDAQ MODALXNAQ LOGIKA L DOLVNA UDOWLETWORQTX
SLEDU@]IM USLOWIQM
L SODERVIT WSE TAWTOLOGII
L SODERVIT FORMULU 2 p ^ q $ 2p ^ 2q GDE
p q 2 P
L SODERVIT FORMULU 21
eSLI ' 2 L I ' ! 2 L TO 2 L
eSLI ' 2 L I PODSTANOWKA TO ' 2 L
eSLI L SODERVIT FORMULU ' $ TO L TAKVE
SODERVIT FORMULU 2' $ 2
iZ DANNOGO OPREDELENIQ SLEDUET ^TO KAVDAQ MO
DALXNAQ LOGIKA L OBLADAET SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI
L SODERVIT FORMULU '1 ^ : : : ^ 'n TOGDA I TOLXKO
TOGDA KOGDA L SODERVIT WSE FORMULY '1 : : : 'n
ESLI L SODERVIT FORMULU ' TO DLQ L@BOJ FOR
MULY L SODERVIT ' _ I ! '
fORMULA ' NAZYWAETSQ ^ASTNYM SLU^AEM TAWTOLOGII ESLI ONA IMEET WID GDE TAWTOLOGIQ I
NEKOTORAQ PODSTANOWKA nETRUDNO DOKAZATX ^TO ES
LI ' $ ^ASTNYJ SLU^AJ TAWTOLOGII TO DLQ L@BOJ
LOGIKI L ' 2 L , 2 L
kAVDAQ MODALXNAQ LOGIKA L POROVDAET OTNOENIE
\KWIWALENTNOSTI L NA KOTOROE SOSTOIT IZ WSEH PAR
' OBLADA@]IH SWOJSTWOM ' $ 2 L oBOZNA^IM
SIMWOLOM =L SOWOKUPNOSTX KLASSOW RAZBIENIQ MNOVES
TWA KOTOROE SOOTWETSTWUET OTNOENI@ \KWIWALENT
NOSTI L
nA MNOVESTWE =L MOVNO OPREDELITX OTNOENIE ^AS
TI^NOGO PORQDKA ' ESLI ' ! 2 L nETRUDNO
DOKAZATX ^TO =L QWLQETSQ BULEWOJ ALGEBROJ OTNOSI
TELXNO \TOGO ^ASTI^NOGO PORQDKA I DLQ L@BYH FORMUL
' WERNY RAWENSTWA
1
0 ' '
GDE L@BOJ IZ SIMWOLOW ^ _ ! $
kROME TOGO IMEET MESTO IMPLIKACIQ
' L ) 2' L 2
PO\TOMU NA =L MOVNO OPREDELITX ODNOARGUMENTNU@
OPERACI@ 2 SOPOSTAWLQ@]U@ KLASSU ' KLASS 2' iZ
SLEDUET ^TO \TA OPERACIQ OPREDELENA KORREKTNO
T E ESLI ' TO 2' 2
,
NA KOTOROJ ZADANA ODNOARGUMENTNAQ OPERACIQ 2 UDOW
LETWORQ@]AQ USLOWIQM
DLQ WSEH a b 2 A 2 a ^ b 2 a ^ 2 b I
2
nETRUDNO DOKAZATX ^TO DLQ KAVDOJ LOGIKI L MNOVES
TWO =L QWLQETSQ MODALXNOJ ALGEBROJ
oCENKOJ W MODALXNOJ ALGEBRE A NAZYWAETSQ PROIZ
WOLXNAQ FUNKCIQ IZ P W A dLQ KAVDOJ OCENKI W A
I KAVDOJ FORMULY ' 2 ZNA^ENIE ' FORMULY '
NA OCENKE OPREDELQETSQ REKURSIWNO
ESLI ' p 2 P TO ' UVE ZADANO
,
,
.
,
,
\
. .
"
(
:
-
.
(
.
4.
,
5.
,
=
),
,
(
6.
)
.
,
:
1.
,
2.
,
,
,
,
(
{
-
),
{
,
-
(
-
: -
,
]
],
.
{
0 = ]
:
]
] = (1.3)
. .
,
] = ] = ,
{
.
.
-
,
-
) = (
(
,
,
,
,
,
],
].
(
2
) = (
)] = (
(
,
].
,
],
,
,
)],
(
,
,
).
(1.3)
]
. .
] = ] = 1.
],
,
.
,
( ).
],
,
,
.
-
,
]
,
] = 1 = ,
-
1 = -
,
,
.
).
,
-
,
(
,
.
] = 1.
) {
,
,
-
,
,
),
dLQ \TOGO SNA^ALA DOKAVEM ^TO DLQ KAVDOJ FORMU
LY ' IMEET MESTO \KWIWALENCIQ ' 2 L , '
eSLI ' 2 L TO 1 ! ' 2 L POTOMU ^TO FORMULA
' ! 1 ! ' ^ASTNYJ SLU^AJ TAWTOLOGII
kROME TOGO FORMULA ' ! 1 ^ASTNYJ SLU^AJ
TAWTOLOGII I SLEDOWATELXNO PRINADLEVIT L
tAKIM OBRAZOM L SODERVIT 1 ! ' I ' ! 1 T E L
SODERVIT FORMULU 1 $ ' PO\TOMU ' 1
eSLI '
1 TO 1 $ ' 2 L PO\TOMU W
^ASTNOSTI 1 ! ' 2 L I SLEDOWATELXNO ' 2 L
pUSTX ' 2 L I OCENKA WIDA P ! =L dLQ KAVDO
GO p 2 P OBOZNA^IM SIMWOLOM 'p KAKU@ LIBO FORMULU
IZ KLASSA p nETRUDNO DOKAZATX ^TO DLQ L@BOJ FOR
MULY 2 IMEET MESTO RAWENSTWO GDE
PODSTANOWKA ZAMENQET KAVDOE UTWERVDENIE p W NA
FORMULU 'p \TO DOKAZYWAETSQ INDUKCIEJ PO STRUKTURE
FORMULY tAK KAK ' 2 L TO ' 2 L OTKUDA PO DO
KAZANNOMU WYE SLEDUET ^TO '
TE '
eSLI ' 62 L TO ' $ 1 62 L PO\TOMU ' 6 1
w \TOM SLU^AE DLQ OCENKI SOPOSTAWLQ@]EJ KAVDOMU
UTWERVDENI@ p 2 P KLASS p IMEET MESTO SOOTNOENIE
'
'
' 6
.
(
)
,
,
.
{
(
L(A) WSEH FORMUL ' 2 , TAKIH, ^TO DLQ KAVDOJ OCENKI
: P ! A IMEET MESTO RAWENSTWO (') = 1.
dOKAVEM, ^TO DLQ KAVDOJ LOGIKI L WERNO RAWENSTWO
L = L(=L )
T.E. DLQ KAVDOJ FORMULY ' 2 L USLOWIE ' 2 L \KWIWALENTNO TOMU, ^TO DLQ KAVDOJ OCENKI : P ! =L
IMEET MESTO RAWENSTWO (') = 1.
-
,
,
lOGIKOJ MODALXNOJ ALGEBRY A NAZYWAETSQ MNOVESTWO
.
,
)
(1) = 1 (0) = 0
(') = (')
(' ) = (') (), GDE { L@BOJ IZ SIMWOLOW
^ _ ! $
(2') = 2( ('))
.
-
(
:
.
3.
.
.
.
)
( ),
-
.
(
( )
,
{
2.
) =
(1) = 1.
-
1.
-
:
-
{
,
mODALXNYE ALGEBRY
1.4
] = 1.
)
,
,
)] = 1,
. .
(
-
) = 1.
] = ] = 1.
mODELI kRIPKE
1.5
dLQ KAVDOJ FORMULY ' 2 SIMWOL Q' OBOZNA^AET
MNOVESTWO fq 2 Q j q ' g
1.5.1 pONQTIE MODELI kRIPKE
pUSTX L NEKOTORAQ MODALXNAQ LOGIKA nETRUDNO
DOKAZATX
^TO SLEDU@]IE SOOTNOENIQ \KWIWALENTNY
mODELX kRIPKE (mk) \TO PARA S Q GDE
DLQ KAVDOJ FORMULY ' 2 L Q'
Q MNOVESTWO \LEMENTY KOTOROGO NAZYWA@TSQ
SOSTOQNIQMI I
DLQ L@BYH FORMUL ' 2 IZ ' L SLEDUET
^TO Q' Q
Q2 BINARNOE OTNOENIE NAZYWAEMOE OTNOENIEM PEREHODA
SU]ESTWUET FUNKCIQ POPOLNQ@]AQ DIAGRAMMU
]=L
PRI^<M KAVDOJ PARE q p 2 Q P SOPOSTAWLEN \LEMENT
q p 2 f g NAZYWAEMYJ OCENKOJ UTWERVDENIQ p W
@ev@ SOSTOQNII q
@R S?+
dLQ KAVDOGO q 2 Q ZNAKOSO^ETANIE q OBOZNA^AET
MNOVESTWO fq 2 Q j q q 2 g
dLQ KAVDOJ PARY q q 2 Q2 WYRAVENIE q q
GDE I ev FUNKCII SOPOSTAWLQ@]IE KAVDOJ FORMULE
IMEET ZNA^ENIE
' 2 KLASS \KWIWALENTNOSTI ' 2 =L I MNOVESTWO
ESLI q q 2 I
Q' 2 S + SOOTWETSTWENNO
W PROTIWNOM SLU^AE
1.5.2 mORFIZMY MODELEJ kRIPKE
dLQ KAVDOJ FORMULY ' I KAVDOGO SOSTOQNIQ q 2 Q
ZADANY DWE mk Si Qi i i ZNA^ENIE ' W SOSTOQNII q OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM q ' pUSTX
mORFIZMOM
f IZ S1 W S2 NAZYWAETSQ FUNKCIQ
I OPREDELQETSQ REKURSIWNO SLEDU@]IM OBRAZOM
f Q1 ! Q2
ESLI ' p 2 P TO q ' SOWPADAET S OCENKOJ p W q
TAKAQ ^TO DLQ KAVDOGO q 2 Q1
q1
q0
(
) = 1 .
{
{
{
= (
.
,
),
:
1.
,
,
= 1
2.
-
,
=
,
3.
(
( )
)
0 1 ,
.
( )
0
0
(
)
.
0
(
)
0
(
)
]
{
,
1,
0
(
)
,
]
.
0 {
.
(
:
)
= (
)
(
= 1 2).
:
=
,
( ) = 1
(
(
:
)
,
) = 0
f (1 (q)) = 2 (f (q))
q(') = q(')
(1.4)
q(' ) = q(') q(), GDE { L@BOJ IZ SIMWOLOW I DLQ KAVDOGO p 2 P I KAVDOGO q 2 Q1
^ _ ! $
q(p) = f (q)(p)
V
q(2') = q Q (q q ) ! q (') , T.E.
nETRUDNO DOKAZATX, ^TO ESLI f - MORFIZM IZ S W S2 ,
q(2') = 1, ESLI DLQ KAVDOGO q 2 (q) q (') = 1 TO DLQ KAVDOJ FORMULY ' I KAVDOGO q 2 Q1 1
0
02
0
0
W
0
q(3') = q Q (q q ) ^ q (') , T.E.
q(3') = 1, ESLI SU]ESTWUET q 2 (q) : q (') = 1
0
0
0
q(') = f (q)(')
2
0
0
mORFIZMU f IZ S1 W S2 SOOTWETSTWUET FUNKCIQ
f 1 2Q2 ! 2Q1
KOTORAQ SOHRANQET WSE BULEWY OPERACII
iSTINNOSTX USLOWIQ
DLQ KAVDOGO q 2 Q1 \KWI
WALENTNA TOMU ^TO f 1 SOHRANQET TAKVE I OPERACI@
2 POTOMU ^TO DLQ KAVDOGO PODMNOVESTWA V Q2 SO
OTNOENIE
f 1 2V 2f 1 V
\KWIWALENTNO USLOWI@ DLQ KAVDOGO q 2 Q1
f q 2 2V , 1 q f 1 V
nETRUDNO DOKAZATX ^TO OPE ACIQ 2 NA MODALXNOJ AL
GEBRE S + SILXNO DIST IBUTIWNA OTNOSITELXNO OPE A KOTOROE MOVNO PEREPISATX W WIDE
CII ^ T E DLQ P OIZWOLXNOJ SOWOKUPNOSTI fVi j i 2 =g
2 f q V , f 1 q V
\LEMENTOW ALGEB Y S + IMEET MESTO SOOTNOENIE
^
^
iSTINNOSTX SOOTNOENIQ
DLQ KAVDOGO V Q2
2 Vi
2 Vi
\KWIWALENTNA
USLOWI@
i
i
kAVDOJ mk S SOOTWETSTWUET MODALXNAQ ALGEB A S +
S MNOVESTWOM \LEMENTOW 2Q NA KOTOROJ
BULEWSKIE OPERACII SOWPADA@T S SOOTWETSTWU@
]IMI TEORETIKO MNOVESTWENNYMI OPERACIQMI T E
^ \ _ Q
I
MODALXNAQ OPERACIQ 2 2Q ! 2Q SOPOSTAWLQET
KAVDOMU MNOVESTWU V Q MNOVESTWO
2 V fq 2 Q j q V g
p
;
,
:
.
-
-
=
=
,
1 =
0 =
(1.4)
. .
-
;
,
,
,
-
:
(
) =
,
p
. .
(
( )
-
;
) =
(
)
:
( )
p
,
;
( )
;
(
)
p -
p
(
p
(
) =
2=
(
( ))
(
(1.5)
)
(1.4).
2=
3
( ))
(1.5)
hARAKTERIZACIQ OTNO ENIJ
PEREHODA FORMULAMI
1.6
TAK KAK ESLI
NEWERNO TO q 32p
I q 23p
T E DLQ NEKOTOROGO q1 2 q
q1 2p
I NEKOTOROGO q2 2 q
q2 3p
wYBEREM PROIZWOLXNOE SOSTOQNIE q3 2 q1 \ q2 iZ
SLEDUET ^TO q3 p
A IZ
q3 p
^TO
NEWOZMOVNO
eSLI NEKONFL@ENTNO T E SU]ESTWU@T SOSTOQNIQ
q1 q2 2 q TAKIE ^TO q1 \ q2
TO
BU
DET NEWERNO PRI TAKOJ OCENKE PRI KOTOROJ p ISTINNO
TOLXKO W SOSTOQNIQH IZ q1
(1.8)
tRANZITIWNOSTX
1.6.1
)
,
(
(1.6)
,
0
. .
0
(
) = 1
(
(
0
),
00
( ) = 0.
00
,
0
00
( )
0
(
1.6.4
( ) = 0.
. .
),
00
,
( ),
(
,
(
)
. .
(
) = 0,
) = 1
(
(
).
,
. .
(
)
(
) =
,
(1.8)
-
).
rEFLEKSIWNOSTX
)
,
-
) = 1,
. .
( ),
,
-
(
1.6.6
(
,
(
( ) = 0.
0),
0
(
0
(
),
(1.11)
0
-
).
)
,
( ) =
(
,
. .
-
. .
-
,
) = 1,
,
,
,
(
. .
( ),
sERIALXNOSTX
(
) = 0,
),
0
,
(1.11)
eSLI W mk Q OTNOENIE SERIALXNO T E DLQ L@
BOGO q 2 Q q 6 TO DLQ L@BOGO q 2 Q IMEET MESTO
RAWENSTWO q 31
A ESLI NESERIALXNO T E SU]EST
WUET SOSTOQNIE q TAKOE ^TO q TO q 31
BUDET
NEWERNO PRI L@BOJ OCENKE
) = 1,
( ) = 0
,
(
( ),
(
) = 1
,
. .
,
,
,
0
)) = 1
,
)) = 1
)
(
( ) = 0
) = 0,
sIMMETRI^NOSTX
(
(1.7)
( ) = 0.
(
(
( ) = 0,
eSLI W mk Q OTNOENIE SIMMETRI^NO TO DLQ
L@BOGO q 2 Q IMEET MESTO RAWENSTWO
q 32p ! p
eSLI NESIMMETRI^NO T E SU]ESTWU@T SOSTOQNIQ
BUDET NE
q q TAKIE ^TO q 2 q NO q 62 q TO
WERNO PRI TAKOJ OCENKE PRI KOTOROJ p ISTINNO TOLXKO
W SOSTOQNIQH IZ q
),
( )
,
)
(
) = 1
,
(
(
0)
0
(1.7)
)
(1.10) {
) = 1
1.6.5
)
(
(1.10)
( ).
. .
(
) = 0
,
,
(
eSLI W mk Q OTNOENIE TRANZITIWNO I N<TEROWO T E NE SU]ESTWUET POSLEDOWATELXNOSTI qn j n SOSTOQNIJ TAKOJ ^TO DLQ KAVDOGO n qn+1 2 qn
TO DLQ KAVDOGO q 2 Q
q 2 2p ! p ! 2p
TAK KAK ESLI
NEWERNO T E q 2 2p ! p
I
q 2p
TO DLQ NEKOTOROGO q1 2 q
q1 2p ! p
q1 p
OTKUDA SLEDUET ^TO q1 2p
T E DLQ NEKOTOROGO q2 2
q1 q2 p
tAK KAK TRANZITIWNO TO q2 2 q I
IZ q 2 2p ! p
SLEDUET ^TO q2 2p ! p
^TO
W SO^ETANII S q2 p
DA<T SOOTNOENIE q2 2p
IZ KOTOROGO SLEDUET ^TO SU]ESTWUET q3 2 q2 TAKOJ
^TO q3 p
pRODOLVAQ W TOM VE DUHE MY POSTROIM
POSLEDOWATELXNOSTX qn j n W KOTOROJ q0 q I
DLQ KAVDOGO n qn+1 2 qn ^TO PROTIWORE^IT
N<TEROWOSTI OTNOENIQ eSLI TRANZITIWNO NE N<TEROWO T E SU]ESTWUET PO
SLEDOWATELXNOSTX qn j n W KOTOROJ DLQ KAVDOGO
n qn+1 2 qn TO
BUDET NEWERNO PRI q q0 I
TAKOJ OCENKE PRI KOTOROJ p ISTINNO TOLXKO W SOSTOQ
NIQH IZ Q n fqn j n g
,
(
(
n<TEROWOSTX
(
(1.9)
( ) = 1,
(
,
,
) = 1
eSLI W mk Q OTNOENIE REFLEKSIWNO TO DLQ L@
BOGO q 2 Q IMEET MESTO RAWENSTWO q 2p ! p
A ESLI
NEREFLEKSIWNO T E SU]ESTWUET SOSTOQNIE q 62 q TO
q 2p ! p
BUDET NEWERNO PRI TAKOJ OCENKE PRI KO
TOROJ p ISTINNO TOLXKO W SOSTOQNIQH IZ q
(1.6)
( ).
1.6.2
(
(
) = 1
( ) = 1,
) = 0,
,
-
(
,
( ),
-
( ),
(
.
) = 0,
( )
,
00
) = 1
(
(1.9)
(1.6)
,
,
00
(
) = 0,
00
-
) = 1
(
( )
( )
eSLI W mk Q OTNOENIE TRANZITIWNO TO DLQ L@
BOGO q 2 Q IMEET MESTO RAWENSTWO
q 2p ! 22p
TAK KAK ESLI
NEWERNO TO q 2p
I q 22p
T E DLQ NEKOTOROGO q 2 q IMEET MESTO RAWENSTWO
q 2p
IZ KOTOROGO SLEDUET ^TO SU]ESTWUET SOSTO
QNIE q 2 q TAKOE ^TO q p
pOSKOLXKU TRAN
ZITIWNO TO q 2 q PO\TOMU IZ q 2p
SLEDUET
q p
^TO PROTIWORE^IT SOOTNOENI@ q p
eSLI NETRANZITIWNO T E SU]ESTWU@T SOSTOQNIQ
q 2 q I q 2 q TAKIE ^TO q 62 q TO
BUDET NEWERNO PRI TAKOJ OCENKE PRI KOTOROJ p ISTINNO
TOLXKO W SOSTOQNIQH IZ q
(
,
. .
,
( ) =
(
) = 1
.
=
1.6.7
),
.
dETERMINIROWANNOSTX
eSLI W mk Q OTNOENIE DETERMINIROWANO T E
DLQ L@BOGO q 2 Q I L@BYH q1 q2 2 q
LIBO q1 q2 LIBO q2 2 q1 LIBO q1 2 q2
TO DLQ L@BOGO q 2 Q IMEET MESTO RAWENSTWO
q 2 2p ^ p ! q _ 2 2q ^ q ! p
1.6.3 kONFL@ENTNOSTX
NEDETERMINIROWANO T E SU]ESTWU@T SOSTO
eSLI W mk Q OTNOENIE KONFL@ENTNO T E DLQ QNIQeSLI
q q1 2 q I q2 2 q TAKIE ^TO
KAVDOGO q 2 Q I KAVDOJ PARY q1 q2 2 q IMEET MESTO
q1 6 q2 q2 62 q1 I q1 62 q2
SOOTNOENIE q1 \ q2 6 TO DLQ KAVDOGO q 2 Q
IMEET MESTO RAWENSTWO
TO
BUDET NEWERNO PRI TAKOJ OCENKE PRI KOTOROJ p
ISTINNO
TOLXKO
W SOSTOQNIQH IZ q1 fq1g I q ISTINNO
q 32p ! 23p
TOLXKO W SOSTOQNIQH IZ q2 fq2g
,
(
0
(
),
. .
-
(
)
,
0),
(1.7)
=
,
. .
( )
=
-
,
(
),
(
)
0 .
(
(
)
,
)
(
) =
(
)
,
. .
( )
( )
(
)
=
,
. .
( ),
,
(
)
(
) = 1
(1.8)
(
4
)
,
(
)
(1.12)
-
,
(1.12)
(
= 1
)
.
,
kANONI^ESKIE MODELI
1.7
1.7.1 L{NEPROTIWORE^IWYE
I L{POLNYE
MNOVESTWA
dLQ KAVDOGO L POLNOGO MNOVESTWA U I KAVDOJ FOR
MULY ' ZNAKOSO^ETANIE U ' OBOZNA^AET \LEMENT MNO
VESTWA f g KOTORYJ RAWEN ESLI ' 2 U I W
PROTIWNOM SLU^AE nETRUDNO DOKAZATX ^TO
-
(
. .
,
,
,
.
{
-
,
,
.
{
,
,
,
,
:
,
{
,
,
,
-
,
-
{
-
,
{
.
,
{
-
,
. .
-
-
-
,
,
,
,
(
. .
)
)
,
,
-
0
0
.
,
(
0
,
,
.
.
:
=
-
(
-
1
,
(
(
0
(
0
)
(
) = 0,
0
) = 0.
,
(
(1.13)
) = 1
(1.13)
{
.
-
,
-
-
-
-
-
,
(
-
) =
=
,
(
(
.
) = 1,
),
(
) = 1,
) = 1,
,
,
.
,
) = 1
)
(
-
-
(
)
=
,
=
0. (
).
-
(
(
) = 0,
,
0
,
).
0
(
)
.
,
-
0
(
.
,
{
)
.
,
-
(
.
(1.13),
1
,
)
),
,
-
0
)
0
)
,
{
,
) {
0
(
,
-
{
(
(
.
.
{
0
)
0
(
{
,
-
)
0
-
(
0
(
02
,
-
).
) =
02
(
-
-
) =
0
-
,
(
(
.
,
,
(
,
{
0
ZANNOGO DLQ \TOGO DOSTATO^NO DOKAZATX ^TO DLQ KAV
DOJ FORMULY ' IMEET MESTO RAWENSTWO U 2' 2U '
T E U 2' VU QL L U U ! U '
iSTINNOSTX NERAWENSTWA
U 2' L U U ! U '
DLQ KAVDOGO U 2 QL SLEDUET IZ OPREDELENIQ L
oBRATNOE NERAWENSTWO
V
U QL L U U ! U ' U 2'
SLEDUET IZ TOGO ^TO ESLI U 2'
TO SU]ESTWUET
MNOVESTWO U 2 QL TAKOE ^TO L U U ! U '
T E L U U
IU '
w KA^ESTWE U MOVNO
WZQTX L POLNOE MNOVESTWO SODERVA]EE MNOVESTWO
f 2 j U 2 g f'g
dOKAVEM ^TO MNOVESTWO
L NEPROTIWORE^IWO eS
LI ONO L PROTIWORE^IWO TO DLQ NEKOTOROGO PODMNO
VESTWA f1 : : : ng MNOVESTWA
IMEET MESTO SO
OTNOENIE 1 ^ : : : ^ n 2 L IZ KOTOROGO SLEDUET SO
OTNOENIE ' ^ 1 ^ : : : ^ n 2 L pUSTX WSE FORMULY
1 : : : n OTLI^NY OT ' oBOZNA^IM SIMWOLOM KON_
@NKCI@ 1 ^ : : : ^ n iZ SOOTNOENIQ ' ^ 2 L SLE
DUET ^TO ! ' 2 L OTKUDA SLEDUET 2 ! 2' 2 L
tAK KAK L SODERVIT FORMULU 2 $ 21 ^ : : : ^ 2n
I U 21 : : : U 2n
TO U 2
OTKU
DA SLEDUET ^TO U 2'
^TO PROTIWORE^IT PRED
ESLI MNOVESTWO
POLOVENI@ O TOM ^TO U 2'
f1 : : : ng PUSTO TO 1 I MY ISPOLXZUEM FAKT
21 2 L
eSLI ' 2 L TO DLQ L@BOGO U 2 QL U '
TK
L U A ESLI ' 62 L TO MNOVESTWO f'g L NEPROTIWO
RE^IWO I PO\TOMU DLQ NEKOTOROGO U 2 QL U '
-
,
,
0 -
2
,
,
V
0
.
{
,
,
L (U U ) def
=
' U (2') ! U (') .
DLQ L@BYH U 2 QL I p 2 P OCENKA p W U SOWPADAET
S U (p).
dOKAVEM, ^TO DLQ L@BOGO U 2 QL I L@BOJ FORMULY '
ZNA^ENIE ' W U SOWPADAET S U ('). s U^<TOM WYESKA-
,
,
1,
U (1) = 1 U (0) = 0
U (') ^ U (' ! ) U ()
U (') = U (')
U (' ) = U (') U (), GDE { L@BOJ IZ SIMWOLOW
^ _ ! $
kANONI^ESKOJ MODELX@ NEPROTIWORE^IWOJ LOGIKI L
QWLQETSQ mk SL = (QL L ), GDE
QL SOSTOIT IZ WSEH L-POLNYH MNOVESTW,
-
,
-
.
= ).
{
)
0 1 ,
,
-
(
pUSTX L NEPROTIWORE^IWAQ LOGIKA T E L 6
mNOVESTWO FORMUL U NAZYWAETSQ
L{NEPROTIWORE^IWYM ESLI DLQ KAVDOGO EGO KO
NE^NOGO PODMNOVESTWA f'1 : : : 'ng IMEET MESTO
SOOTNOENIE '1 ^ : : : ^ 'n 62 L
L{POLNYM ESLI ONO L NEPROTIWORE^IWO I DLQ
KAVDOJ FORMULY ' LIBO ' 2 U LIBO ' 2 U
oTMETIM ^TO LOGIKA L QWLQETSQ L NEPROTIWORE^I
WYM MNOVESTWOM POTOMU ^TO ESLI '1 : : : 'n 2 L TO
'1 ^ : : : ^ 'n 2 L PO\TOMU '1 ^ : : : ^ 'n 62 L
eSLI MNOVESTWO U L POLNOE TO L U POTOMU ^TO
ESLI NEKOTORAQ FORMULA ' IZ L NE SODERVITSQ W U TO
' 2 U OTKUDA WWIDU L NEPROTIWORE^IWOSTI U POLU
^AEM ' 62 L I SLEDOWATELXNO ' 62 L ^TO PROTIWORE^IT
WYBORU ' KAK FORMULY IZ L
eSLI MNOVESTWO U L NEPROTIWORE^IWO TO DLQ L@
BOJ FORMULY ' LIBO U f'g LIBO U f'g L NEPROTI
WORE^IWO POTOMU ^TO ESLI OBA \TIH MNOVESTWA L PRO
TIWORE^IWY TO SU]ESTWU@T MNOVESTWA
f1 : : : ng U f'g f1 : : : mg U f'g
TAKIE ^TO 1 ^ : : : ^ n 2 L 1 ^ : : : ^ m 2 L pER
WOE IZ \TIH MNOVESTW SODERVIT ' A WTOROE ' TAK KAK
INA^E U BUDET L PROTIWORE^IWO oBOZNA^IM SIMWOLOM
KON_@NKCI@ MNOVESTWA TEH FORMUL IZ SOWOKUPNOS
TI f1 : : : ng KOTORYE NE SOWPADA@T S ' I SIMWO
LOM KON_@NKCI@ MNOVESTWA TEH FORMUL IZ SOWO
KUPNOSTI f1 : : : m g KOTORYE NE SOWPADA@T S ' ESLI
KAKOE LIBO IZ \TIH MNOVESTW PUSTO TO EGO KON_@NK
CIQ PO OPREDELENI@ RAWNA FORMULE 1 iZ SOOTNOE
NIJ ' ^ 2 L ' ^ 2 L ' ^ ! ' ^ ! ^ 2 L
POSLEDNQQ FORMULA PRINADLEVIT L POTOMU ^TO ONA
QWLQETSQ TAWTOLOGIEJ SLEDUET ^TO ^ 2 L ^TO PRO
TIWORE^IT L NEPROTIWORE^IWOSTI MNOVESTWA U
dLQ KAVDOGO L NEPROTIWORE^IWOGO MNOVESTWA U SU
]ESTWUET L POLNOE MNOVESTWO U TAKOE ^TO U U
mNOVESTWO U MOVNO POSTROITX NAPRIMER SLEDU@]IM
OBRAZOM pUSTX '1 '2 : : : SPISOK WSEH FORMUL oPRE
DELIM POSLEDOWATELXNOSTX U1 U2 : : : PODMNOVESTW MNO
VESTWA SLEDU@]IM OBRAZOM U1 def U I DLQ KAVDOGO
n Un+1 POLAGAEM RAWNYM MNOVESTWU
Un f'ng ESLI ONO L NEPROTIWORE^IWO I
Un f'ng W PROTIWNOM SLU^AE SOGLASNO DOKA
ZANNOMU WYE W \TOM SLU^AE MNOVESTWO Un f'ng
BUDET L NEPROTIWORE^IWO
iSKOMOE MNOVESTWO U IMEET WID S Un eSLI BY ONO
n 1
BYLO L PROTIWORE^IWO TO DLQ NEKOTOROGO n MNO
VESTWO Un BYLO BY L PROTIWORE^IWO ^TO PROTIWORE
^IT OPREDELENI@ POSLEDOWATELXNOSTI Un j n {
pONQTIE KANONI^ESKOJ MODELI
1.7.2
-
,
-
),
1).
,
5
(
,
) = 1 ( . .
-
-
(
) = 0.
fILXTRACII mk
1.8
1.9
dLQ KAVDOJ FORMULY ' ZNAKOSO^ETANIE h'i OBOZNA^AET
SOWOKUPNOSTX WSEH PODFORMUL FORMULY '
pUSTX Q NEKOTORAQ mk oPREDELIM OTNOENIE
\KWIWALENTNOSTI NA Q SLEDU@]IM OBRAZOM
q q , 8 2 h'i q q oTOBRAVENIE
q 7! q '1 : : : q 'n
GDE f'1 : : : 'ng h'i
SOPOSTAWLQET WSEM \LEMENTAM KAVDOGO KLASSA RAZBIE
NIQ PO OTNOENI@ ODIN I TOT VE WEKTOR IZ f gn
PO\TOMU KLASSOW RAZBIENIQ PO OTNOENI@ NE MOVET
BYTX BOLXE ^EM WEKTOROW IZ f gn KOLI^ESTWO KO
TORYH RAWNO n
fILXTpACIEJ mk Q PO MNOVESTWU h'i NAZY
WAETSQ mk Q= OTNOENIE PEREHODA W KOTOROJ SOSTOIT IZ WSEH
PAR q q 2 Q= 2 TAKIH ^TO q q
I
DLQ WSEH q 2 Q I p 2 h'i \ P q p q p
dLQ KAVDOJ FORMULY 2 h'i I KAVDOGO q 2 Q IME
ET MESTO RAWENSTWO
1.
.
(
){
( (
)
(
))
0
) =
(
=
0 1
,
,
2.
-
(
0
)
3.
-
),
0
])
(
) ,
,
0
(
]( ) =
) = 1,
( ).
-
q ) = q ( )
](
KOTOROE DOKAZYWAETSQ INDUKCIEJ PO STRUKTURE eSLI
2 P TO ONO WERNO PO OPREDELENI@ LU^AJ KOGDA QWLQETSQ BULEWOJ KOMBINACIEJ RAZBIRAETSQ BEZ OSOBOGO
TRUDA eSLI 2 TO
V
q q q ! q .
,
. C
,
,
.
](
=
)
,
0
=
q0 ]2Q=
V
q Q
=
( ] 0
])
0
]( )
(q] q ]) ! q ()
0
02
nAM NADO DOKAZATX ^TO
0
0
=
(1.14)
SOWPADAET S q 2 T E S
q q ! q ,
^
(1.14)
0
(
q 2Q
(
0
)
),
( )
. .
(1.15)
0
1.
DLQ KAVDOGO q 2 Q IZ NERAWENSTWA
q q q q
SLEDUET NERAWENSTWO
q q ! q q q ! q PO\TOMU : :
q 2 :
TAK KAK DLQ KAVDOGO q 2 Q IMEET
MESTO NERAWENSTWO
q 2 q q ! q POTOMU ^TO ESLI q 2
I q q
TO
DLQ NEKOTORYH q1 q I q1 q q1 q1
pOSKOLXKU q 2 q1 2
TO IZ q1 q1
SLEDUET ^TO q1 pOSKOLXKU q1 q TO q 0
0
(
0
( ] 0
(1 14)
2.
(
)
0
])
0
)
( )
0
])
0
(
0
)
0
(1 14),
0
)
,
( ] (
(
) =
0
0
(
( ) = 1.
0
])
0
) = 1
0
,
( )
(1 15).
(
0
( ] 0
( )
( ] 0
]) = 1,
0
(
) = 1,
) = 1.
(
0
( ) =
0
) = 1
0
)
,
(d)
,
(e)
,
-
(
),
( ),
( ) = 1.
6
.
,
(
)
.
.
,
.
,
(
Q3'
0
( ] (
(c)
2 .
(
.
.
-
,
-
(b)
)
0 1
,
(a)
)
(
,
:
:
(
dOKAZATX ^TO USLOWIQ KOTORYM DOLVNA UDOWLE
TWORQTX MODALXNAQ LOGIKA MOVNO \KWIWALENTNYM
OBRAZOM SFORMULIROWATX TAK
L SODERVIT WSE TAWTOLOGII
L SODERVIT FORMULU 2 p ! q ! 2p ! 2q
GDE p q 2 P
eSLI ' 2 L I ' ! 2 L TO 2 L
eSLI ' 2 L I PODSTANOWKA TO ' 2 L
eSLI ' 2 L TO 2' 2 L
dOKAZATX ^TO S + QWLQETSQ MODALXNOJ ALGEBROJ
dOKAZATX ^TO W KAVDOJ MODELI kRIPKE Q DLQ
KAVDOJ FORMULY ' IMEET MESTO RAWENSTWO
,
.
0
zADA^I
=
Q2 '
)