Учебное пособие по вероятностному алгоритму проверки чисел

wEROQTNOSTNYJ ALGORITM PROWERKI ^ISEL NA PROSTOTU
a m mIRONOW
.
.
nEOBHODIMYE SWEDENIQ IZ TE- 1.2 sMEVNYE KLASSY
ORII GRUPP
pUSTX ZADANY NEKOTORAQ GRUPPA G NEKOTORAQ E< POD
GRUPPA H
1.1 oPREDELENIE GRUPPY
CMEVNYM KLASSOM PO PODGRUPPE H NAZYWAETSQ
PODMNOVESTWO
GRUPPY G SOSTOQ]EE IZ PROIZWEDENIJ
gRUPPOJ NAZYWAETSQ MNOVESTWO G NA KOTOROM ZADANA
WIDA
gh
GDE
g
NEKOTORYJ FIKSIROWANNYJ \LEMENT
BINARNAQ OPERACIQ T E PRAWILO SOPOSTAWLQ@]EE KAV GRUPPY G I h PROIZWOLXNYJ
PODGRUPPY H
DOJ PARE a b \LEMENTOW G NEKOTORYJ \LEMENT ab 2 G dANNOE MNOVESTWO OBOZNA^AETSQ\LEMENT
SIMWOLOM
gH
NAZYWAEMYJ PROIZWEDENIEM \LEMENTOW a I b PRI^<M
o^EWIDNO
^TO
g
2
gH
POSKOLXKU
e
2
H
WYPOLNENY SLEDU@]IE USLOWIQ
eSLI PODGRUPPA H SOSTOIT IZ KONE^NOGO ^ISLA \LE
MENTOW
I SPISOK WSEH RAZLI^NYH \LEMENTOW H IMEET
OPERACIQ ASSOCIATIWNA T E DLQ WSEH a b c 2 G
WID h1 : : : hk TO WSE \LEMENTY SMEVNOGO KLASSA gH
a bc ab c
SODERVATSQ W SPISKE
1
-
.
,
,
,
. .
,
,
-
{
,
,
.
.
,
,
:
1.
{
.
-
,
,
. .
,
(
) = (
)
gh1 : : : ghk
SU]ESTWUET \LEMENT e 2 G NAZYWAEMYJ NEJTRAWSEH a 2 G wSE \LEMENTY SPISKA RAZLI^NY T K IZ gh gh PO
i
j
ZAKONU SOKRA]ENIQ SLEDUET ^TO hi hj
ae ea a
sLEDOWATELXNO
;
1
DLQ KAVDOGO a 2 G SU]ESTWUET \LEMENT a 2 G
jgH j jH j
NAZYWAEMYJ OBRATNYM K a TAKOJ ^TO
pUSTX g1 I g2 PROIZWOLXNYE \LEMENTY GRUPPY G
aa;1 a;1 a e
dOKAVEM ^TO SMEVNYE KLASSY g1H I g2 H OBLADA@T
SLEDU@]IM SWOJSTWOM LIBO
gRUPPA G NAZYWAETSQ KOMMUTATIWNOJ ILI ABELEWOJ ESLI DLQ WSEH a b 2 G ab ba
g1 H \ g2H w GRUPPAH IME@T MESTO ZAKONY SOKRA]ENIQ
LIBO
ESLI ab ac TO b c I
g1 H g2 H
ESLI ba ca TO b c
eSLI NEWERNO TO SU]ESTWUET \LEMENT a PRINAD
LEVA]IJ
OBOIM KLASSAM T E
dEJSTWITELXNO ESLI ab ac TO UMNOVAQ OBE ^ASTI
DANNOGO RAWENSTWA SLEWA NA a;1 POLU^AEM
a 2 g1H T E a g1 h1 DLQ NEKOTOROGO h1 2 H I
a 2 g2H T E a g2 h2 DLQ NEKOTOROGO h2 2 H
a;1 ab a;1 ac
tAKIM OBRAZOM a g1h1 g2 h2 uMNOVAQ RAWENST
^TO PO SWOJSTWU ASSOCIATIWNOSTI RAWNOSILXNO RAWEN
STWU a;1a b a;1 a c ILI eb ec ILI b c aNALO WO g1h1 g2 h2 SPRAWA NA h;1 1 POLU^AEM
GI^NO DOKAZYWAETSQ DRUGOJ ZAKON SOKRA]ENIQ
g1 g2h2 h;1 1
pODGRUPPOJ GRUPPY G NAZYWAETSQ PROIZWOLXNOE
NEPUSTOE PODMNOVESTWO H G UDOWLETWORQ@]EE SLE
pROIZWOLXNYJ \LEMENT KLASSA g1H IMEET WID g1 h
DU@]IM USLOWIQM
DLQ NEKOTOROGO h 2 H sOGLASNO \LEMENT g1 h RAWEN
PROIZWEDENI@
DLQ WSEH a b 2 H ab 2 H
g2h2 h;1 1h
;
1
DLQ KAVDOGO a 2 H a 2 H
T E \LEMENT g1 h PRINADLEVIT g2 H
mY DOKAZALI WKL@^ENIE g1 H g2H aNALOGI^NO
w ^ASTNOSTI e 2 H T K BERQ PROIZWOLXNYJ \LE
MENT a 2 H NA OSNOWANII PRIWED<NNYH WYE USLOWIJ DOKAZYWAETSQ OBRATNOE WKL@^ENIE tAKIM OBRAZOM MY
DOKAZALI ^TO ESLI NEWERNO TO IMEET MESTO
POLU^AEM aa;1 e 2 H
2.
(1)
(
LXNYM \LEMENTOM), TAKOJ, ^TO DLQ
=
(1)
. .
,
=
=
=
.
,
3.
,
,
=
=
,
(2)
{
=
.
,
:
(
)
=
.
=
(3)
:
=
,
=
,
=
,
=
.
,
=
=
(3),
,
,
:
(
)
=
,
) =
)
= (
) ,
=
.
. .
=
,
,
. .
=
.
=
=
=
-
-
. .
,
,
-
(
,
,
,
(
(4)
.
,
-
:
.
=
,
(5)
-
:
.
(5),
1.
(6)
2.
.
.
. .
,
,
. .,
.
-
.
,
:
=
,
.
1
(3),
,
(4).
tEOREMA lAGRANVA
1.3
GDE
pUSTX GRUPPA G SOSTOIT IZ KONE^NOGO ^ISLA \LEMENTOW
I SPISOK WSEH E< \LEMENTOW IMEET WID
g0 def e
g1 def g
g2 def gg
:::
gk def gg
:::g
| {z }
=
,
g1 : : : gn
=
(7)
pUSTX H PROIZWOLXNAQ PODGRUPPA GRUPPY G
rASSMOTRIM SPISOK WSEH SMEVNYH KLASSOW PO H
{
=
.
:
g1 H : : : gn H
=
MNOVITELEJ
pOSKOLXKU W GRUPPE G ^ISLO \LEMENTOW KONE^NO TO
o^EWIDNO ^TO OB_EDINENIE WSEH MNOVESTW IZ SPISKA SPISOK
NE MOVET BYTX BESKONE^NYM I SLEDOWA
SOWPADAET S G T K KAVDYJ \LEMENT gi IZ SPISKA
TELXNO
NEKOTORYE
EGO \LEMENTY SOWPADA@T T E SU]EST
PRINADLEVIT SMEVNOMU KLASSU giH
WU@T
RAZLI^NYE
^ISLA
i j TAKIE ^TO
wOZMOVNO ^TO NEKOTORYE SMEVNYE KLASSY IZ SPIS
KA SOWPADA@T w \TOM SLU^AE MY UDALIM IZ SPISKA
gi gj
LINIE KOPII SMEVNYH KLASSOW T E ESLI
pUSTX NAPRIMER i < j
giH gj H
iZ
SLEDUET ^TO
PRI i 6 j TO ODIN IZ DANNYH SMEVNYH KLASSOW MY UDA
g j ;i e
LQEM I POSTUPAEM TAK DO TEH POR POKA WSE IZ OSTAWIH
SQ SMEVNYH KLASSOW NE STANUT RAZLI^NYMI T E SREDI pUSTX k NAIMENXEE POLOVITELXNOE CELOE ^ISLO UDOW
LETWORQ@]EE USLOWI@
NIH NE BUDET DWUH SOWPADA@]IH
pUSTX SPISOK OSTAWIHSQ SMEVNYH KLASSOW IMEET
gk e
WID
gi1 H : : : gim H
o^EWIDNO ^TO SOWOKUPNOSTX \LEMENTOW
o^EWIDNO ^TO
e g g2 : : : gk;1
OB_EDINENIE SMEVNYH KLASSOW IZ SPISKA
PO
QWLQETSQ PODGRUPPOJ GRUPPY G
PREVNEMU SOWPADAET S G I
pODGRUPPA
OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM hgi I NAZY
KAK BYLO USTANOWLENO WYE WSE SMEVNYE KLASSY WAETSQ CIKLI^ESKOJ PODGRUPPOJ POROVD<NNOJ \LE
IZ SPISKA POPARNO NE PERESEKA@TSQ
MENTOM g
pOSKOLXKU ^ISLO \LEMENTOW W
RAWNO k TO PO
sLEDOWATELXNO
TEOREME lAGRANVA
k
(8)
,
,
(8)
,
. .
(11)
(7)
,
.
,
(8)
,
,
,
,
-
.
-
. .
-
,
=
(8)
,
(12)
. .
.
=
=
(12)
,
,
-
,
,
=
-
{
( . .
,
-
).
=
(9)
,
,
(13)
(9)
,
.
,
(13)
-
,
,
(9)
.
.
(13)
,
jGj = jgi1 H j
iZ
(10)
I
(2)
+
:::
+
jgim H j
DLQ NEKOTOROGO CELOGO ^ISLA m
pOSKOLXKU gk e TO
.
,
m
+
,
jGj = km
(10)
SLEDUET ^TO
jGj = j|H j
=
:{z: :
+
jH}j = mjH j
,
{
= (
)
=
=
tAKIM OBRAZOM MY DOKAZALI ^TO
DLQ L@BOGO \LEMENTA g KONE^NOJ GRUPPY G
IMEET MESTO SOOTNOENIE gjGj e
,
-
,
,
gk m em e
=
SLAGAEMYH
{
,
gjGj gkm
mY DOKAZALI TEOREMU lAGRANVA KOTORAQ UTWERV
DAET ^TO
ESLI G KONE^NAQ GRUPPA I H E< PODGRUPPA
TO jGj DELITSQ NA jH j
,
=
,
cIKLI^ESKIE PODGRUPPY
1.4
-
(14)
gOMOMORFIZMY GRUPP
1.5
ZADANA PARA GRUPP G1 G2
pUSTX G KONE^NAQ GRUPPA I g \LEMENT G OTLI^NYJ pUSTX
gOMOMORFIZM IZ G1 W G2 \TO PROIZWOLXNOE OTO
OT e
rASSMOTRIM SPISOK \LEMENTOW G SLEDU@]EGO WIDA BRAVENIE f WIDA
{
,
{
.
,
{
.
:
g0 g1 g2 g3 g4 : : :
f
G1
(11)
- G2
TAKOE ^TO DLQ WSEH a b 2 G1
,
f ab
(
2
) =
fafb
( ) ( )
-
(15)
pUSTX e1 I e2 NEJTRALXNYE \LEMENTY GRUPP G1 I nO LEWAQ ^ASTX W CEPO^NE RAWENSTW
RAWNA \LEMENTU
G2 SOOTWETSTWENNO
f e1
dOKAVEM ^TO
f e1 e2
KOTORYJ KAK BYLO USTANOWLENO WYE SOWPADAET S e2
{
(20)
.
(
,
(
) =
,
,
dEJSTWITELXNO W L@BOJ GRUPPE NEJTRALXNYJ \LEMENT tAKIM OBRAZOM
\TO EDINSTWENNYJ \LEMENT a OBLADA@]IJ SWOJSTWOM
TE
a aa
,
,
-
f gi;1 gj
,
,
TE
e1 e1e1
. .
=
TO
,
,
) =
(
)
(
(
,
Ker f
(
fa 2 G1 j f (a) = e2 g
) =
gi;1 gj h 2 Ker f
=
(
)
gj gi h GDE h 2 Ker f
( )
I gi Ker f
IME@T NEPUSTOE PERESE^ENIE I SLEDOWATELXNO SOWPA
DA@T ^TO NEWOZMOVNO T E WSE SMEVNYE KLASSY W SPIS
KE
PO PREDPOLOVENI@ RAZLI^NY
tAKIM OBRAZOM
gj Ker f
(
-
)
(
,
)
,
:
def
e2
. .
.
{
.
T E SMEVNYE KLASSY
)
)
(
) =
=
f e1 f e1 f e1
I SLEDOWATELXNO f e1 QWLQETSQ NEJTRALXNYM \LEMEN
TOM G2
qDRO GOMOMORFIZMA f \TO PODMNOVESTWO Ker f
GRUPPY G1 OPREDELQEMOE SLEDU@]IM OBRAZOM
(
(
. .
=
I POSKOLXKU
)
,
,
,
. .
-
-
(17)
(16)
)
.
jIm f j
m
nETRUDNO DOKAZATX ^TO Ker f QWLQETSQ PODGRUP
POJ G1
GDE m ESTX KOLI^ESTWO RAZLI^NYH SMEVNYH KLASSOW PO
oBRAZ GOMOMORFIZMA f \TO PODMNOVESTWO Im f Ker f
GRUPPY G2 OPREDELQEMOE SLEDU@]IM OBRAZOM
iZ
I IZ TEOREMY lAGRANVA SLEDUET ^TO
def
Im f
fb 2 G2 j b f a DLQ NEKOTOROGO a 2 G1 g
jG1j jKer f j jIm f j
nETRUDNO DOKAZATX ^TO Im f QWLQETSQ PODGRUPPOJ
w ^ASTNOSTI IMEET MESTO IMPLIKACIQ KOTORAQ BU
G2
DET ISPOLXZOWATXSQ NIVE
pUSTX GRUPPA G1 KONE^NA I SPISOK WSEH RAZLI^NYH
SMEVNYH KLASSOW GRUPPY G1 PO PODGRUPPE Ker f IME
jIm f j >
) jKer f j jG1j
ET WID
gOMOMORFIZM
NAZYWAETSQ \PIMORFIZMOM ES
g1Ker f g2Ker f : : : gm Ker f
LI OTOBRAVENIE f QWLQETSQ S@R_EKTIWNYM T E ESLI
GDE g1 : : : gm NEKOTORYE \LEMENTY GRUPPY G1
Im f G2
zAMETIM ^TO DLQ KAVDOGO i 2 f : : : mg WSE \LE
MENTY SMEVNOGO KLASSA
iZ
SLEDUET ^TO ESLI f \PIMORFIZM TO
,
( )
( )
-
=
(21)
.
{
(
,
(
)
(
:
) =
=
).
(21)
,
( )
=
,
(
)
(
)
(
)
(22)
,
(
.
-
)
,
(
(
)
(
)
(
)
)
{
-
(
)
1
(
1
(23)
2
(15)
(17)
,
,
.
,
1
)
(
-
(22)
-
. .
) =
,
{
,
giKer f
jG1j jKer f j jG2j
PEREHODQT PRI OTOBRAVENII f W ODIN I TOT VE \LEMENT
gOMOMORFIZM
NAZYWAETSQ IZOMORFIZMOM ES
GRUPPY G2 T K PROIZWOLXNYJ \LEMENT SMEVNOGO KLAS LI OTOBRAVENIE f QWLQETSQ WZAIMNO ODNOZNA^NYM
SA
IMEET WID gi h DLQ NEKOTOROGO h 2 Ker f I
eSLI PARA GRUPP G1 G2 TAKOWA ^TO SU]ESTWUET IZO
SLEDOWATELXNO
MORFIZM IZ G1 W G2 TO MY BUDEM S^ITATX GRUPPY G1
I G2 RAWNYMI
f gi h f gi f h f gi e2 f gi
nAE VELANIE S^ITATX IZOMORFNYE GRUPPY RAWNY
MI
OBOSNOWYWAETSQ TEM ^TO PRI ANALIZE ALGEBRAI^ES
w ^ASTNOSTI POSKOLXKU KAVDYJ \LEMENT IZ G1 POPA
(
)
(18)
=
(
)
(24)
(15)
,
(18)
(
),
-
,
-
.
,
,
(
,
-
. .
-
,
) =
(
)
(
) =
(
)
=
(
.
)
-
,
-
TO WSE \LEMENTY KIH SWOJSTW GRUPPY PRIRODA E< \LEMENTOW NE IMEET NI
KAKOGO ZNA^ENIQ WAVNO LIX TO KAK NA \TIH \LEMEN
TAH DEJSTWUET OPERACIQ PROIZWEDENIQ pOSKOLXKU MEV
DU IZOMORFNYMI GRUPPAMI G1 I G2 MOVNO USTANOWITX
f g1 f g2 : : : f gm
WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE PRI KOTOROM PRO
zAMETIM ^TO WSE \LEMENTY W SPISKE
RAZLI^NY PO IZWEDENI@ PROIZWOLXNOJ PARY a b \LEMENTOW G1 BUDET
SKOLXKU ESLI
SOOTWETSTWOWATX PROIZWEDENIE TEH \LEMENTOW G2 KOTO
f gi f gj
RYE SOOTWETSTWU@T a I b TO \TO OZNA^AET ^TO OPERACIQ
PROIZWEDENIQ NA G1 I G2 DEJSTWUET ODINAKOWO I U NAS
DLQ NEKOTOROJ PARY RAZLI^NYH INDEKSOW i j TO
NET NIKAKIH PRI^IN S^ITATX G1 I G2 RAZNYMI S TO^KI
f gi;1 gi f gi;1 f gi f gi;1 f gj f gi;1 gj
ZRENIQ IH ALGEBRAI^ESKIH SWOJSTW
,
DAET W ODIN IZ KLASSOW W SPISKE
Im f SODERVATSQ W SPISKE
(
-
-
(17),
{
)
(
)
(
,
-
.
)
(
)
-
,
-
(19)
(19)
,
,
-
-
,
(
) =
(
)
,
,
,
,
(
) =
(
)
(
) =
(
) (
) =
(
)
(20)
.
3
-
1.6
pROOBRAZY \LEMENTOW OTNOSITELXNO
GOMOMORFIZMOW
pUSTX ZADANY
PARA GRUPP G1 G2 I
GOMOMORFIZM f IZ G1 W G2
dLQ KAVDOGO g 2 G2 SIMWOL f ;1 g OBOZNA^AET MNOVES
TWO
def
2
mNOVESTWO CELYH ^ISEL Z S OPERACIEJ SLOVENIQ QW
LQETSQ GRUPPOJ nEJTRALXNYM \LEMENTOM \TOJ GRUPPY
QWLQETSQ ^ISLO I DLQ KAVDOGO a 2 Z OBRATNYM K a
QWLQETSQ ^ISLO ;a
nETRUDNO DOKAZATX ^TO DLQ KAVDOGO CELOGO ^ISLA
n > MNOVESTWO
-
.
f ;1 (g)
fa 2 G1 j f (a) = gg
=
gRUPPA CELYH ^ISEL I E< PODGRUPPY
2.1
,
( )
gRUPPY, SWQZANNYE S CELYMI
^ISLAMI
.
0,
-
.
,
(25)
0
iZ DANNOGO OPREDELENIQ SLEDUET ^TO MNOVESTWO
nZ def fni j i 2 Zg
LIBO QWLQETSQ PUSTYM
LIBO QWLQETSQ NEKOTORYM SMEVNYM KLASSOM PO QWLQETSQ PODGRUPPOJ GRUPPY Z
dOKAVEM ^TO L@BAQ PODGRUPPA GRUPPY Z IMEET WID
PODGRUPPE Ker f
nIVE MY BUDEM TAKVE ISPOLXZOWATX SLEDU@]EE OBO
dLQ \TOGO SNA^ALA DOKAVEM TEOREMU O DELENII S
ZNA^ENIE DLQ KAVDOGO g 2 Im f SIMWOL
OSTATKOM KOTORAQ UTWERVDAET ^TO DLQ PROIZWOLXNOJ
PARY
f ;1 g
,
(25)
=
,
(30)
.
,
( ).
(30).
-
:
(
)
,
,
an
( )
OBOZNA^AET MNOVESTWO OPREDELQEMOE SLEDU@]IM OBRA CELYH ^ISEL GDE n > SU]ESTWU@T EDINSTWENNAQ PARA
ZOM
^ISEL
;1 def
,
:
1.7
f
g
-
fa 2 G1 j f (a) 6= gg
( ) =
,
0,
qr
(26)
UDOWLETWORQ@]IH SLEDU@]IM USLOWIQM
dEKARTOWO PROIZWEDENIE GRUPP
pUSTX ZADAN KONE^NYJ SPISOK GRUPP WIDA
a nq r
(31)
r<n
(32)
=
G1 : : : Gn
0
(27)
GRUPP IZ SPISKA
NAZYWAETSQ GRUPPA OBOZNA^AEMAQ SIMWOLOM
dEKARTOWYM PROIZWEDENIEM
+
~ISLA IZ MNOVESTWA
RAZBIWA@T MNOVESTWO
NA OTREZKI DLINY n KAVDYJ OTREZOK IMEET WID
(30)
(27)
Z
:
,
G1 : : : Gn
:
ni n i
(28)
( + 1)]
(
i2Z
)
(33)
dLQ PROIZWOLXNOGO ^ISLA a SU]ESTWU@T DWE WOZMOV
NOSTI LIBO
g1 : : : gn
a QWLQETSQ KONCOM ODNOGO IZ OTREZKOW WIDA
GDE g1 2 G1 : : : gn 2 Gn
LIBO
oPERACIQ PROIZWEDENIQ NA
OPREDELQETSQ POKOM
a QWLQETSQ WNUTRENNEJ TO^KOJ ODNOGO IZ OTREZKOW
PONENTNO
WIDA
g1 : : : gn g10 : : : gn0 def g1 g10 : : : gngn0
w PERWOM SLU^AE
T E DLQ KAVDOGO i 2 f : : : ng KOMPONENTY S INDEK
a nq
SOM i PEREMNOVA@TSQ SOGLASNO OPERACII PROIZWEDENIQ
W GRUPPE Gi
nEJTRALXNYM \LEMENTOM GRUPPY
QWLQETSQ SPI DLQ NEKOTOROGO q 2 Z I MY POLAGAEM r RAWNYM A WO
WTOROM
SOK
\LEMENTAMI KOTOROJ QWLQ@TSQ SPISKI WIDA
-
:
(
)
(29)
1.
(33),
.
-
(28)
2.
:
(33).
(
)(
) = (
. .
)
1
-
=
(34)
.
(28)
,
-
0,
{
nq < a < n q
e1 : : : en
GDE DLQ KAVDOGO i 2 f : : : ng \LEMENT ei QWLQETSQ NEJ DLQ NEKOTOROGO q 2 Z I MY POLAGAEM r RAWNYM RAZNOS
TI
TRALXNYM \LEMENTOM GRUPPY Gi
a ; nq
oBRATNYM \LEMENTOM K PROIZWOLXNOMU \LEMENTU
GRUPPY
QWLQETSQ SPISOK WIDA
pOLU^AEM ^TO W OBOIH SLU^AQH r UDOWLETWORQET RAWEN
STWU
I NERAWENSTWU
;
1
;
1
g1 : : : gn
eSLI q0 r0 DRUGAQ PARA ^ISEL UDOWLETWORQ@]IH
GDE DLQ KAVDOGO i 2 f : : : ng \LEMENT gi;1 QWLQETSQ SOOTNOENIQM
a nq0 r0
OBRATNYM K gi W GRUPPE Gi
(
(
)
1
+ 1)
,
-
(35)
-
.
(29)
(28)
,
(
-
(31)
)
(32).
,
{
1
=
.
4
+
(36)
0
TO IZ
I
(31)
r0 < n
2.2
(38)
pUSTX a b NEKOTORAQ PARA CELYH ^ISEL OTLI^NYH OT
NULQ
rASSMOTRIM MNOVESTWO
SLEDUET ^TO
(36)
,
n q0 ; q
(
) =
r ; r0
pREDSTAWLENIE NAIBOLXEGO OB]EGO
DELITELQ
(37)
{
,
.
pO\TOMU
aZ bZ def fai bj j i j 2 Zg
ESLI q0 q TO r0 r I
ESLI q0 6 q TO PUSTX NAPRIMER q0 > q TOGDA LEWAQ nETRUDNO PROWERITX ^TO DANNOE MNOVESTWO QWLQETSQ
^ASTX
UDOWLETWORQET SOOTNOENI@
PODGRUPPOJ W Z
sLEDOWATELXNO PO DOKAZANNOMU W PREDYDU]EJ SEK
n q0 ; q n
CII SU]ESTWUET CELOE POLOVITELXNOE ^ISLO d TAKOE
^TO PODGRUPPA
IMEET WID
A PRAWAQ
=
,
=
,
=
+
,
=
,
+
(42)
,
(38)
.
,
(
)
r ; r0 < n
0
1],
(42),
-
(43),
.
,
=
,
(32),
.
,
=
0 ,
= 0
. .
(
)
0
(
)
nZ H
-
. .
=
.
=
(44)
(43),
,
.
,
-
,
-
,
-
{
-
0,
.
.
.
,
,
=
,
.
0 ,
-
. .
. .
-
(30).
=
(43)
pOSKOLXKU ^ISLA a I b PRINADLEVAT
TO SLEDOWA
TELXNO ONI PRINADLEVAT I
TE
a d a1 I b d b1
T E d QWLQETSQ DELITELEM ^ISEL a I b
dOKAVEM ^TO d QWLQETSQ NAIBOLXIM OB]IM DELI
TELEM ^ISEL a I b
pUSTX d0 KAKIJ LIBO OB]IJ POLOVITELXNYJ DELI
TELX ^ISEL a I b T E
a d0 a01 I b d0 b01
pOSKOLXKU d PRINADLEVIT MNOVESTWU
TO SLE
DOWATELXNO d PRINADLEVIT MNOVESTWU
T E d IME
ET WID
,
. .
2.
,
dZ
T K r ; r0 ESTX RASSTOQNIE MEVDU TO^KAMI r I r0
KOTORYE OBE LEVAT W OTREZKE n ; I MY POLU
^ILI PROTIWORE^IE
tAKIM OBRAZOM PARA ^ISEL q r UDOWLETWORQ@]IH
USLOWIQM
I
OPREDELENA ODNOZNA^NO
tEPERX MOVNO DOKAZATX ^TO PROIZWOLXNAQ PODGRUP
PA H GRUPPY Z IMEET WID
eSLI H f g TO H Z
eSLI H 6 f g TO H SODERVIT NENULEWOE ^ISLO a
sLEDOWATELXNO H SODERVIT POLOVITELXNOE ^IS
LO T K ESLI a < TO ;a > I ;a 2 H
oPREDELIM n KAK NAIMENXEE POLOVITELXNOE ^IS
LO PRINADLEVA]EE H
o^EWIDNO ^TO
1.
,
(42)
{
(31)
-
,
(42),
,
. .
-
d ai bj
DLQ NEKOTORYH CELYH ^ISEL i j
=
(39)
+
(45)
.
pODSTAWIM W
WMESTO ^ISEL a I b IH PREDSTAWLE
NIQ IZ
POLU^IM
eSLI
(45)
nZ 6 H
TO SU]ESTWUET ^ISLO a 2 H TAKOE ^TO
=
,
. .
(40)
d d0 a01 i d0 b01 j d0 k
=
,
+
=
(46)
GDE k def a01 i b01 j
pOSKOLXKU ^ISLA d I d0 POLOVITELXNYE TO ^ISLO k
TOVE POLOVITELXNOE
sLEDOWATELXNO
=
+
.
,
(31)
.
r6
= 0
tK
-
(44),
a 62 nZ
T E W RAZLOVENII
-
,
(41)
d d0 k d0
=
. .
r a ; nq a n ;q
=
TO
=
+
(
T E d NAIBOLXIJ OB]IJ DELITELX ^ISEL a I b
w ^ASTNOSTI ESLI a I b WZAIMNO PROSTYE ^ISLA
TO SU]ESTWU@T TAKIE CELYE ^ISLA u I v ^TO
)
. .
{
.
,
r2H
{
,
,
au bv
nO IZ
I IZ
SLEDUET ^TO r POLOVI
TELXNOE ^ISLO PRINADLEVA]EE H KOTOROE MENX
o^EWIDNO ^TO WERNO I OBRATNOE ESLI ^ISLA a I b
E ^EM n
TAKOWY ^TO SU]ESTWU@T CELYE ^ISLA u I v UDOWLETWO
|TO PROTIWORE^IT OPREDELENI@ n
RQ@]IE USLOWI@
TO ^ISLA a I b WZAIMNO PROSTY
OIBO^NO I
tAKIM OBRAZOM PREDPOLOVENIE
IZ
SLEDUET ^TO
(32)
(41)
,
,
{
+
-
,
,
.
.
(40)
,
(47)
-
,
(39)
= 1
-
,
(47),
,
,
H nZ
=
5
-
.
gRUPPA WY^ETOW PO MODUL@ n
2.3
NA MNOVESTWE Zn SLEDU@]IM OBRAZOM DLQ WSEH a b IZ
MNOVESTWA Zn
:
pUSTX n NEKOTOROE POLOVITELXNOE CELOE ^ISLO
oBOZNA^IM SIMWOLOM Zn MNOVESTWO
{
.
f0
a n b def rn a b
+
::: n; g
1
:
:
I
)
(31)
(32),
a nq rn a
DLQ NEKOTOROGO CELOGO ^ISLA q
dOKAVEM ^TO DLQ WSEH a b 2 Z
rn a b rn rn a rn b
+
I
+
( )+
( )+
(
rn a n rn b
(63)
,
(48)
( )
( ))
( )
(50)
=
+
( )
(51)
=
+
(
+
(
)
( )+
=
+
(
( ) =
+
(
( ))
)
( )
( ))
(50), (51), (53),
. .
-
=
TO
+
+
+
(
( ) +
rn b
( ))
-
=
(52)
=
(53)
=
(54)
=
(55)
=
=
=
(56)
anb nc
) = (
+
)+
b rn b
( )
=
c rn c
( )
=
( )
an bnc
rn a n rn b n rn c
rn a n rn b c
rn a b c
rn a b c
rn a b n rn c
rn a n rn b n rn c
anb nc
+(
-
a b n q1 n q2 n q4 rn rn a
\+"
+
a rn a
,
=
,
,
an bnc
sLOVIW
I SOKRATIW ODINAKOWYE SLA
GAEMYE W OBOIH ^ASTQH POLU^ENNOJ SUMMY POLU^AEM
RAWENSTWO
+
(63)
. .
tK
(49)
+
+
( )
,
( ))
( )
( )
\+".
=
( ) =
-
) =
( )
\ "
rn rn a rn b
iZ OPREDELENIQ FUNKCII rn SLEDU@T RAWENSTWA
a n q1 rn a
b n q2 rn b
a b n q3 rn a b
rn a rn b n q4 rn rn a rn b
a b n q5 rn a b
rn a rn b n q6 rn rn a rn b
) =
WYGLQ
rn a b
+(
(
(49)
(61)
( )
(
rn a b
I
(48)
(62)
( )+
(62)
,
) =
)
iZ SOOTNOENIJ
I
NETRUDNO WYWESTI ^TO
OPERACII
ASSOCIATIWNY I KOMMUTATIWNY I
OPERACIQ n DISTRIBUTIWNA OTNOSITELXNO OPERA
CII n
dOKAVEM NAPRIMER ^TO OPERACIQ n ASSOCIATIW
NA T E DLQ WSEH a b c IZ MNOVESTWA Zn IMEET MESTO
RAWENSTWO
. .
.
+
(
rn a n rn b
+
(
,
(
=
) =
( )
=
a n b def rn a b
)
rn a b
(
SLEDU@]IM OBRAZOM DLQ KAVDOGO a 2 Z \LEMENT rn a
PO OPREDELENI@ RAWEN TOMU EDINSTWENNOMU r KOTORYJ
SOWMESTNO S q UDOWLETWORQET USLOWIQM
I
TE
DLQ KAVDOGO a 2 Z
(
+
:
! Zn
Z
(
w NOWYH OBOZNA^ENIQH SOOTNOENIQ
DQT SLEDU@]IM OBRAZOM
1
oPREDELIM OTOBRAVENIE
rn
=
+
) =
( ) +(
( )+
( )+
(
((
(
(
(
(
+(
+
+
)+
+
)+
( )+
+
+
( )) =
) =
)) =
) =
( ) =
( )) +
( ) =
)+
dRUGIE UPOMQNUTYE WYE SWOJSTWA OPERACIJ
DOKAZYWA@TSQ
ANALOGI^NO
a b n q7 rn rn a rn b
nIVE MY BUDEM NAZYWATX OPERACII
SOOTWET
STWENNO
SLOVENIEM
I
UMNOVENIEM
PO
MODUL@
n ILI
iZ
I
SLEDUET
PROSTO
SLOVENIEM
I
UMNOVENIEM
I
DLQ
KAVDOJ
PARY
dALEE IZ
I
SLEDUET ^TO
a b 2 Zn MY BUDEM OBOZNA^ATX \LEMENTY
a ; n q1 b ; n q2 rn a rn b
a n b I a n b
TE
ZNAKOSO^ETANIQMI
a b n q8 rn a rn b
a b I ab
sLOVIW
I SOKRATIW ODINAKOWOE SLAGAEMOE W
OBOIH ^ASTQH POLU^ENNOJ SUMMY POLU^AEM RAWENSTWO SOOTWETSTWENNO
kROME TOGO DLQ PROIZWOLXNYH CELYH ^ISEL a b ZNA
a b n q9 rn rn a rn b
KOSO^ETANIE
anb
iZ
I
SLEDUET
OZNA^AET ^TO
oPREDELIM OPERACII
TE
(61)
. .
+
(57)
=
+
(52)
,
(
( ))
( ) +
.
(57)
(
(48).
(50)
(
(51)
,
(
) =
)
-
(61)
),
( )
( )
(58)
+
. .
=
+
( )
( )
(59)
+
(59) c (55),
,
.
,
=
(60)
(54)
+
(
( )
( ))
-
(60)
=
(49).
,
+
n
I
n
rn a
( ) =
rn b
( )
iZ WYESKAZANNOGO WYTEKAET ^TO
(61)
,
6
DLQ KAVDOJ PARY a b \LEMENTOW Zn IH PROIZWEDE-
OPERACIQ SLOVENIQ NA MNOVESTWE Zn QWLQETSQ AS-
NIE
SOCIATIWNOJ
^ISLO QWLQETSQ NEJTRALXNYM \LEMENTOM OTNO
SITELXNO OPERACII SLOVENIQ I
DLQ KAVDOGO a 2 Zn ^ISLO
0
,
8
<
rn ;a
(
) =
n ; a ESLI a >
ESLI a
:
0
ab
TOVE PRINADLEVIT Zn
-
OPERACIQ UMNOVENIQ NA MNOVESTWE Zn ASSOCIA-
TIWNA
^ISLO PRINADLEVIT Zn I QWLQETSQ NEJTRALXNYM
\LEMENTOM OTNOSITELXNO OPERACII UMNOVENIQ
DLQ KAVDOGO \LEMENTA a 2 Zn SU]ESTWUET \LEMENT
a;1 2 Zn TAKOJ ^TO
0
1
= 0
QWLQETSQ OBRATNYM K a OTNOSITELXNO OPERACII
SLOVENIQ
aa;1 a;1 a
tAKIM OBRAZOM MNOVESTWO Zn QWLQETSQ GRUPPOJ OTNO
SITELXNO OPERACII SLOVENIQ
dANNAQ GRUPPA NAZYWAETSQ GRUPPOJ WY^ETOW PO T E Zn QWLQETSQ GRUPPOJ OTNOSITELXNO OPERACII UMNO
VENIQ
MODUL@ n
|TA GRUPPA NAZYWAETSQ MULXTIPLIKATIWNOJ GRUP,
.
,
=
-
,
= 1
.
. .
.
mULXTIPLIKATIWNAQ GRUPPA W Zn
2.4
-
.
POJ W Zn .
kAK BYLO OTME^ENO WYE OPERACIQ UMNOVENIQ NA MNO
VESTWE Zn TOVE QWLQETSQ ASSOCIATIWNOJ I NETRUDNO
DOKAZATX ^TO ^ISLO QWLQETSQ NEJTRALXNYM \LEMEN
TOM OTNOSITELXNO OPERACII UMNOVENIQ
oDNAKO MNOVESTWO Zn NE QWLQETSQ GRUPPOJ OTNOSI
TELXNO OPERACII UMNOVENIQ T K NE DLQ KAVDOGO \LE
MENTA a 2 Zn SU]ESTWUET OBRATNYJ \LEMENT OTNOSI
TELXNO OPERACII UMNOVENIQ NAPRIMER DLQ ^ISLA NE
SU]ESTWET OBRATNOGO OTNOSITELXNO UMNOVENIQ
tEM NE MENEE W Zn SU]ESTWUET PODMNOVESTWO KO
TOROE QWLQETSQ GRUPPOJ OTNOSITELXNO OPERACII UMNO
VENIQ
dANNOE PODMNOVESTWO OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM
,
2.5
-
,
,
1
mALAQ TEOREMA fERMA
pUSTX ^ISLO n QWLQETSQ PROSTYM
w \TOM SLU^AE
.
-
.
-
,
. .
Zn
-
w ^ASTNOSTI
-
(
,
,
0
,
f1 : : : n ; 1g
(66)
jZn j = n ; 1
(67)
iZ
SLEDUET ^TO DLQ L@BOGO a IZ MNOVESTWA
IMEET MESTO SOOTNOENIE
).
,
=
(14)
-
-
,
an;1 n
.
=1
(67)
(68)
dANNOE UTWERVDENIE NAZYWAETSQ MALOJ TEOREMOJ
Zn
fERMA.
mNOVESTWO Zn SOSTOIT IZ WSEH \LEMENTOW Zn KOTO
RYE WZAIMNO PROSTY S n
2.6 rAZLOVENIE GRUPPY Zn W DEKARTOWO
iZ RASSUVDENIJ W KONCE W PUNKTA WYTEKAET ^TO
PROIZWEDENIE
^ISLO a 2 Zn QWLQETSQ WZAIMNO PROSTYM S n TOGDA I
TOLXKO TOGDA KOGDA SU]ESTWU@T CELYE ^ISLA u I v pUSTX ^ISLO n QWLQETQ PROIZWEDENIEM WIDA
TAKIE ^TO
,
-
.
2.2
,
,
,
,
au nv
+
pRIMENQQ rn K OBEIM ^ASTQM
rn a
( ) =
a rn n
(
= 1
(64),
) = 0
n uv
=
(64)
I U^ITYWAQ ^TO
GDE ^ISLA u I v WZAIMNO PROSTY
dOKAVEM ^TO W \TOM SLU^AE IMEET MESTO RAWENSTWO
,
rn
.
,
(1) = 1
Zn
POLU^AEM ^TO W Zn IMEET MESTO RAWENSTWO
,
a rn u
(
(69)
) = 1
=
Zu
Zv
oPREDELIM OTOBRAVENIE
(65)
- Zu Zv
Zn
T E ESLI \LEMENT a PRINADLEVIT PODMNOVESTWU Zn TO
K NEMU SU]ESTWUET OBRATNYJ \LEMENT OTNOSITELXNO OPE
SLEDU@]IM OBRAZOM DLQ KAVDOGO a 2 Zn
RACII UMNOVENIQ
nETRUDNO DOKAZATX ^TO WERNO I OBRATNOE ESLI K
f a def ru a rv a
\LEMENTU a 2 Zn SU]ESTWUET OBRATNYJ OTNOSITELXNO
OPERACII UMNOVENIQ TO a QWLQETSQ WZAIMNO PROSTYM dOKAVEM ^TO
QWLQETSQ IZOMORFIZMOM T E
Sn
tAKIM OBRAZOM
QWLQETSQ WZAIMNO ODNOZNA^NYM I
. .
f
,
-
:
.
,
:
( ) = (
,
,
.
,
(70)
7
( )
( ))
(70)
,
,
. .
(70)
tEPERX DOKAVEM ^TO
SOHRANQET OPERACI@ SLO
SOHRANQET OPERACI@ SLOVENIQ
VENIQ T E DLQ WSEH a b 2 Zn
iZ
SLEDUET ^TO KOLI^ESTWO \LEMENTOW W MNO
VESTWE Zn RAWNO KOLI^ESTWU \LEMENTOW W MNOVESTWE
fa b fa fb
(70)
,
.
,
(69)
Zu
,
(70)
-
(
Zv .
+
,
-
(70),
,
(
a b
TE
+
)
(
+
)) = (
(
+
)
(
+
)) = (
TE
( )
I
(73)
rv b
( )) + (
ru b rv b
( )
( ))
ru a u ru b rv a v rv b
+
) =
rv a n b
(
rv a
( )
ru a n b
(
ru b
ru a rv a
(
. .
( ) =
I
(72)
. .
ru a
( )
. .
(71)
=
(71),
(
. .
( )
( ) =
( ) +
. .
,
(70)
,
) =
n
pO\TOMU DLQ TOGO ^TOBY DOKAZATX WZAIMNU@ ODNO T E
ZNA^NOSTX OTOBRAVENIQ
DOSTATO^NO DOKAZATX ^TO
ru a n b rv a n b
OTOBRAVENIE
QWLQETSQ IN_EKTIWNYM T E DLQ WSEH
a b 2 Zn IZ
TE
fa fb
SLEDUET ^TO
ru a n b rv a n b
pUSTX WERNO
+
) =
( )+
( )
( )+
( ))
ru a u ru b
(84)
rv a v rv b
(85)
( )+
( )
( )+
( )
ANA
dOKAZATELXSTWA ISTINNOSTI RAWENSTW
I
\KWIWALENTNO TOMU ^TO SU]ESTWUET ^ISLO q1 TA LOGI^NY PO\TOMU MY OBOSNUEM LIX RAWENSTWO
iZ
SLEDUET ^TO PRAWAQ ^ASTX
RAWNA
KOE ^TO
( ) =
(73)
( )
(74)
,
,
,
(84)
=
,
,
=
iZ
(75)
I
(76)
,
(
ru a n b
(
,
u q1 v q2
=
+
I
,
iZ
(78)
(79)
ru a b
(
+
)
(86)
=
anb
(87)
anb
+
) =
+ (
+
+
(
+
)
(88)
.
,
=
(69)
(79)
a b u v q1 q2
SLEDUET ^TO
+
,
v q2 i v j q1 q1
+
)
u q2 ru a n b
{
,
I
) =
GDE q1 I q2 NEKOTORYE CELYE ^ISLA
sKLADYWAQ DANNYE RAWENSTWA PO^LENNO I U^ITYWAQ
POLU^AEM RAWENSTWO
SLEDUET ^TO
+
(77)
(
(78)
u i q1 v j q1 q1
iZ
+
a b n q1
,
= 1
)
iME@T MESTO RAWENSTWA
(77)
pOSKOLXKU u I v WZAIMNO PROSTY TO SU]ESTWU@T
TAKIE CELYE ^ISLA i I j ^TO
+
+
\KWIWALENTNO RAWENSTWU
(76)
SLEDUET ^TO
ui vj
(84)
ru a b
-
. . (84)
a ; b v q2
-
(84).
(75)
I
\KWIWALENTNO TOMU ^TO SU]ESTWUET ^ISLO q2 TA
KOE ^TO
TE
(74)
(85)
,
-
(62)
a ; b u q1
,
-
. .
=
iZ
=
(
+
)+
ru a n b
(
+
)
(89)
WYTEKAET VELAEMOE RAWENSTWO
zAMETIM ^TO ANALOGI^NYM OBRAZOM MOVNO DOKAZATX
^TO
SOHRANQET TAKVE I OPERACI@ UMNOVENIQ GDE
UMNOVENIE NA Zu Zv OPREDELQETSQ POKOMPONENTNO
(80)
TE
(89)
(86).
,
. .
v q3 q1
DLQ NEKOTOROGO CELOGO q3
=
iZ
(75)
I
(81)
,
:
a b a0 b0
.
(81)
SLEDUET ^TO
(
,
a ; b u v q3
(82)
a ; b n q3
(83)
=
TE
. .
pOSKOLXKU a I b QWLQ@TSQ \LEMENTAMI Zn TO SLEDOWA
TELXNO RAWENSTWO
WOZMOVNO TOLXKO W TOM SLU^AE
KOGDA
,
,
(83)
(
def
a u a0 b v b0
) = (
,
)
nETRUDNO DOKAZATX ^TO
PARA
QWLQETSQ NEJTRALXNYM \LEMENTOM OT
NOSITELXNO OPERACII UMNOVENIQ NA Zu Zv
K \LEMENTU a b 2 Zu Zv SU]ESTWUET OBRATNYJ
\LEMENT OTNOSITELXNO DANNOJ OPERACII UMNOVE
NIQ TOGDA I TOLXKO TOGDA KOGDA
a 2 Zu I b 2 Zv
,
-
-
(
,
)
-
,
q3
T E TOLXKO TOGDA KOGDA a I b SOWPADA@T
= 0
,
)
(1 1)
=
. .
,
(70)
.
DLQ KAVDOGO a 2 Zn
8
\LEMENT a OBLADAET OBRATNYM PO UMNOVENI@
W Zn TOGDA I TOLXKO TOGDA KOGDA
{ EGO OBRAZ f a OBLADAET OBRATNYM PO UMNO
VENI@ W Zu Zv
iZ SKAZANNOGO WYE SLEDUET ^TO SOWOKUPNOSTX \LE
MENTOW
{
(
)
3.
pREDSTAWIM ^ISLO n ; W WIDE
1
k l
,
( )
2
-
(
)
,
{
-
4.
ff (a) j a 2 Zn g
.
-
f1 : : : n ; 1g
SOWPADAET S SOWOKUPNOSTX@
5.
Z
Zu
GDE l NE^<TNOE ^ISLO
wYBEREM SLU^AJNYM OBRAZOM ^ISLO a IZ MNOVES
TWA
wY^ISLIM SLEDU@]IE ^ISLA
v
b0 def al
b1 def b20
b2 def b21
:::
bk def b2k;1
=
I SUVENIE OTOBRAVENIQ f NA PODMNOVESTWO Zn QWLQETSQ
IZOMORFIZMOM IZ GRUPPY Zn W GRUPPU Zu Zv (OTNO-
=
SITELXNO OPERACII UMNOVENIQ
tAKIM OBRAZOM W TOM SLU^AE KOGDA n QWLQETSQ PRO
IZWEDENIEM DWUH WZAIMNO PROSTYH ^ISEL u I v IME@T
MESTO RAWENSTWA
=
).
,
,
-
,
Zn
I
Zn
=
Zu
=
Zu
Zv
=
eSLI DLQ NEKOTOROGO
(90)
j 2 f ::: k ; g
Z
0
v
(91)
8
>
>
>
<
wEROQTNOSTNYJ ALGORITM PROWERKI ^ISLA NA PROSTOTU
oDNIM IZ PRILOVENIJ IZLOVENNYH WYE PONQTIJ I RE
ZULXTATOW QWLQETSQ POSTROENIE I ANALIZ WEROQTNOST
NYH ALGORITMOW
pUSTX ZADANO NEKOTOROE CELOE ^ISLO n tREBUETSQ OPREDELITX QWLQETSQ LI n PROSTYM ^IS
LOM
dLQ REENIQ \TOJ ZADA^I PREDLAGAETSQ NIVESLEDU
@]IJ ALGORITM
w DANNOM ALGORITME
WSE ^ISLA INTERPRETIRU@TSQ KAK SOOTWETSTWU@
]IE IM \LEMENTY Zn W ^ASTNOSTI SIMWOL ;
RASSMATRIWAEMYJ KAK \LEMENT Zn OBOZNA^AET ^IS
LO n ; I
WSE OPERACII PONIMA@TSQ KAK SOOTWETSTWU@]IE
OPERACII W Zn
>
>
>
:
-
{
.
2.
.
-
3.2
-
\
-
,
aNALIZ SLOVNOSTI ALGORITMA
nETRUDNO DOKAZATX ^TO SLOVNOSTX DANNOGO WLGORITMA
T E KOLI^ESTWO ISPOLNQEMYH DEJSTWIJ MOVNO OCENITX
SLEDU@]IM WYRAVENIEM
:
(93)
,
log2
ng
]
I DLQ KAVDOGO KONKRETNOGO ZNA^ENIQ POKAZATELQ i PO
SKOLXKU FUNKCIQ y xi MONOTONNA PRI POLOVITELXNOM
ZNA^ENII ARGUMENTA TO URAWNENIE
,
-
-
=
-
,
.
xi n
=
.
(94)
MOVNO REATX METODOM POLOWINNOGO DELENIQ ^TO TRE
BUET NE BOLEE 2 n PROWEROK DLQ WOZMOVNYH KANDI
DATOW NA REENIE DANNOGO URAWNENIQ
,
2
{
2
)) )
,
f2 : : :
,
,
2,
n
,
-
2.
((log2 (
2.
-
{
,
,
.
,
,
.
,
aLGORITM SOSTOIT IZ POSLEDOWATELXNOGO WYPOLNENIQ IZ
LAGAEMYH NIVE AGOW
eSLI NA KAKOM LIBO AGE ALGORITM OPREDELIL ^TO
n SOSTAWNOE TO POSLE \TOGO ON SRAZU ZAKAN^IWAET RA
BOTU W PROTIWNOM SLU^AE PROISHODIT PEREHOD K SLEDU
@]EMU AGU
eSLI n ^<TNOE TO n SOSTAWNOE
eSLI n IMEET WID mi DLQ NEKOTORYH CELYH m I i TO n SOSTAWNOE
{
.
mY PROANALIZIRUEM LIX SLOVNOSTX AGA
o^EWIDNO ^TO DLQ WYQSNENIQ TOGO PREDSTAWIMO LI
^ISLO n W WIDE mi DOSTATO^NO PEREBRATX ZNA^ENIQ DLQ
POKAZATELQ i W DIAPAZONE
oPISANIE ALGORITMA
1.
= 1
{
O
.
{
1
. .
1),
3.1
=
,
1",
,
= 1,
{
.
,
= 1
.
6.
-
(
bj 6
bj 6 ;
bj +1
TO n SOSTAWNOE
eSLI bk 6 TO n SOSTAWNOE
eSLI POSLE ESTOGO AGA ALGORITM NE USTANOWIL
^TO n SOSTAWNOE TO ON OB_QWLQET n PROSTYM
-
,
1
WYPOLNQ@TSQ USLOWIQ
3
,
(92)
log
.
]
-
.
9
-
sLOVNOSTX PROWERKI WOZMOVNOGO KANDIDATA x NA
REENIE URAWNENIQ
T E SLOVNOSTX WY^ISLENIQ xi
MOVNO OCENITX NAPRIMER KAK O 2 i
tAKU@ SLOVNOSTX IMEET NAPRIMER SLEDU@]IJ RE
KURSIWNYJ ALGORITM
8
ESLI i
< x
xi : x2 2i i;1 ESLI i ^<TNOE
x x2 2 ESLI i NE^<TNOE
(94) ( . .
2.
)
(log ( )).
:
)
,
{
)
tAKIM OBRAZOM AG TREBUET WYPOLNENIQ
STWIJ
,
2
(93)
DEJ
{
6.
(95)
2,
.
,
5
(95)
6,
.
(95)
5,
0
(97)
-
bj 6 ;
= 1
iZ
. .
1
bj 6
=
b2j
SLEDUET ^TO
1
bj ;
bj
(97)
:
=
(101)
1
bj +1 6
= 1
bk
3.4
(98)
,
(98)
,
(66)
,
. . (98)
.
,
5,
.
,
(95)
6.
bk a
=
(102)
oCENKA WEROQTNOSTI OIBKI
iZ
I
SLEDUET ^TO W TOM SLU^AE KOGDA ALGO
RITM WYDA<T OIBO^NYJ OTWET ^ISLO n DOLVNO OBLA
DATX SLEDU@]IM SWOJSTWOM
SU]ESTWU@T NEKOTORYE WZAIMNO PROSTYE
NE^<TNYE ^ISLA u v TAKIE ^TO n uv
(99)
(100)
,
,
-
,
,
(103)
=
nAZOW<M ^ISLO IZ MNOVESTWA
PLOHIM ESLI PRI
WYBORE \TOGO ^ISLA W KA^ESTWE ZNA^ENIQ a WYPOLNQ@TSQ
SOOTNOENIQ
I
o^EWIDNO ^TO WEROQTNOSTX WYDA^I OIBO^NOGO OT
WETA W RASSMATRIWAEMOM SLU^AE RAWNA DOLE PLOHIH a
SREDI WSEH ^ISEL IZ MNOVESTWA
zAMETIM ^TO
WSE PLOHIE a PRINADLEVAT MNOVESTWU Zn
T K ESLI a 62 Zn TO a I n IME@T OB]IJ DELITELX d >
(92)
(101)
,
(102).
,
-
\ "
(92).
,
\ "
. .
(104)
,
1:
a d a1
n d n1
=
n;1
= a
=
,
,
(68),
. .
= 1,
. .
.
=
,
= 1
6,
.
=
,
1.
(102)
b0 b1 : : : bn
QWLQ@TSQ STEPENQMI ^ISLA a
eSLI BY n BYLO PROSTYM TO SOGLASNO MALOJ TEOREME I W \TOM SLU^AE NE BUDET WYPOLNENO SOOTNOENIE
fERMA IMELO BY MESTO SOOTNOENIE
T E bk
T K ESLI
^TO PROTIWORE^IT NAEMU PREDPOLOVENI@
bk an;1
sLEDOWATELXNO ESLI OTWET BYL WYDAN NA AGE TO
TO
ON TOVE QWLQETSQ PRAWILXNYM
n1 an;1 n1 )
tAKIM OBRAZOM
) n1 d a1 n;1 n1 )
W TOM SLU^AE KOGDA n QWLQETSQ PROSTYM NA AL
GORITM NIKOGDA NE WYDAST OTWET
T E W SLU
) n1 dn;1 an1 ;1 n1 )
^AE PROSTOGO n OTWET ALGORITMA WSEGDA BUDET PRA
) n dn;2 an1 ;1 n1
WILXNYM
,
-
:
,
2kl
= 1
.
+ 1) = 0
.
,
1
(101)
PRI^<M IZ
SLEDUET ^TO OBA SOMNOVITELQ W
OTLI^NY OT NULQ
eSLI BY n BYLO PROSTYM TO IZ
SLEDUET ^TO
PROIZWEDENIE OTLI^NYH OT NULQ \LEMENTOW Zn NE MOVET
BYTX RAWNO NUL@ T E
BYLO BY NEWOZMOVNO
sLEDOWATELXNO ESLI OTWET BYL WYDAN NA AGE TO
ON QWLQETSQ PRAWILXNYM
tEPERX PREDPOLOVIM ^TO OTWET
BYL WYDAN NA
AGE
iZ OPREDELENIJ ^ISEL b0 : : : bk SLEDUET ^TO
(96)
(100)
,
= 1
1)(
2
iSTINNOSTX ILI LOVNOSTX SOOTNOENIJ
I
ZAWISIT TOLXKO OT WYBORA ^ISLA a POSKOLXKU WSE ^ISLA
IZ SPISKA
(96)
,
(
2
= 1
(95)
,
(99)
0
aLGORITM MOVET WYDATX OTWET
n SOSTAWNOE
TOLXKO NA AGAH
I
o^EWIDNO ^TO ESLI OTWET
BYL WYDAN NA AGAH
ILI TO n DEJSTWITELXNO QWLQETSQ SOSTAWNYM
dOKAVEM ^TO ESLI OTWET
BYL WYDAN NA AGAH
ILI TO n TOVE DEJSTWITELXNO QWLQETSQ SOSTAWNYM
pUSTX OTWET
BYL WYDAN NA AGE T E DLQ NE
KOTOROGO j 2 f : : : k ; g WYPOLNQ@TSQ USLOWIQ
1
:
,
-
oBOSNOWANIE KORREKTNOSTI ALGORITMA
1,2,5
(95),
{
.
3.3
6
. .
{
(
,
1,2,5
= 1
(
,
{
-
:=
W TOM SLU^AE KOGDA n QWLQETSQ SOSTAWNYM NA
ALGORITM INOGDA MOVET WYDATX OIBO^NYJ OTWET
n PROSTOE
I \TO PROIZOJD<T W TOM I TOLXKO W TOM SLU^AE
KOGDA NA AGAH
I NE BYL WYDAN OTWET
T E IME@T MESTO SLEDU@]IE SOOTNOENIQ
n NE^<TNOE ^ISLO
n NE IMEET WID mi GDE m I i 9
DLQ KAVDOGO j 2 f : : : k ; g >
>
>
WYPOLNENO ODNO IZ USLOWIJ >
=
bj
ILI
>
>
bj ; ILI
>
>
,
,
(95),
. .
-
-
(
)
=
=
-
=
10
(102),
NO T K n n TO
. .
SOOTNOENIE (102) MOVNO \KWIWALENTNYM OBRAZOM
= 0,
n dn;2 an1 ;1
SFORMULIROWATX TAK
:
fk a
= 0
( ) = 1
(107)
I MY POLU^ILI PROTIWORE^IE
w SWO@ O^EREDX
POZWOLQET PEREPISATX SOOTNOENIQ
I
W DRUGOJ FORME DLQ ^EGO MY WWED<M SLEDU@]IE OBOZNA
SOOTNOENIE
MOVNO \KWIWALENTNYM OBRAZOM
^ENIQ
SFORMULIROWATX TAK
pUSTX
DLQ KAVDOGO j 2 f : : : k ; g
A PROIZWOLXNAQ ABELEWA GRUPPA I
a 2 fj;1 fj;1 ; fj;+11
m NEKOTOROE POLOVITELXNOE CELOE ^ISLO
oBOZNA^IM SIMWOLOM Am SOWOKUPNOSTX \LEMENTOW A
SOOTNOENIE
MOVNO \KWIWALENTNYM OBRAZOM
WIDA
SFORMULIROWATX
TAK
m
.
(104)
(101)
,
(102)
,
-
(106)
.
:
{
0
,
1
(108)
{
(1)
.
(
(1)
1)
(107)
fg j g 2 Ag
:
o^EWIDNO ^TO Am QWLQETSQ PODGRUPPOJ W A
oBOZNA^IM SIMWOLOM ^m OTOBRAVENIE WIDA
,
- Am
^m : A
a 2 fk;1
.
(108)
(105)
a 2
KOTOROE SOPOSTAWLQET KAVDOMU g 2 A \LEMENT gm .
o^EWIDNO ^TO ^m QWLQETSQ \PIMORFIZMOM
rASSMOTRIM SLEDU@]U@ CEPO^KU \PIMORFIZMOW
,
G
- G0
^2
- G1
GDE
^2
- :::
^2
k\
;1
(
j =0
fj;1
(1)
(109)
:
fj;1 (;1) fj;+11 (1) )
(110)
iZ SKAZANNOGO WYE SLEDUET ^TO ESLI DLQ ^ISLA n
ALGORITM MOVET WYDATX OIBO^NYJ OTWET TO
IMEET MESTO
I
WEROQTNOSTX WYDA^I OIBO^NOGO OTWETA W RASSMAT
RIWAEMOM SLU^AE RAWNA OTNOENI@ ^ISLA \LEMEN
TOW W PERESE^ENII MNOVESTW
.
,
:
^l
MOVNO PEREPISATX TAK
(1)
,
- Gk
(103),
-
Z
n
G
G0 def Gl
k\
;1
fj;1 fj;1 ; fj;+11
G1 def G20
j =0
:::
I
Gk def G2k;1
fk;1
K ^ISLU \LEMENTOW MNOVESTWA
dLQ KAVDOGO j 2 f : : : kg OBOZNA^IM SIMWOLOM fj
SKWOZNOJ \PIMORFIZM IZ G W Gj W DANNOJ CEPO^KE T E
dLQ OCENKI WEROQTNOSTI WYDA^I OIBO^NOGO OTWETA
MY
OTDELXNO RASSMOTRIM SLU^AI KOGDA
j
fj ^ l
jGk j 6
o^EWIDNO ^TO
I
b0 f0 a
jGk j
b1 f1 a
pUSTX IMEET MESTO
:::
pOSKOLXKU fk QWLQETSQ \PIMORFIZMOM WIDA
bk fk a
fk G ! Gk
def
=
-
=
(
=
(1)
(
=
1)
(1)
,
=
(2
,
)
=
( )
=
( )
1.
=
= 1
(113)
= 1
(114)
(113).
( )
pO\TOMU
SOOTNOENIE
MOVNO \KWIWALENTNYM OBRAZOM
SFORMULIROWATX TAK
9
DLQ KAVDOGO j 2 f : : : k ; g >
>
>
WYPOLNENO ODNO IZ USLOWIJ >
=
fj a
ILI
>
>
fj a ; ILI
>
>
(101)
:
TO SOGLASNO
,
0
1
:
(106)
1
( ) = 1
(23),
IMEET MESTO NERAWENSTWO
jfk;1 (1)j = jKer(fk )j 21 jGj
:
( ) =
(112)
. .
,
fj +1 a 6
(111)
(92).
0
( ) = 1
(1) )
sLEDOWATELXNO ^ISLO \LEMENTOW W PERESE^ENII
I
TAKVE NE PREWOSHODIT ^ISLA
,
1
2
11
(111)
(112)
jGj
(115)
pOSKOLXKU
NE PREWOSHODIT POLOWINY OT ^IS
LA \LEMENTOW MNOVESTWA
TO SLEDOWATELXNO W
SLU^AE
WEROQTNOSTX WYDA^I OIBO^NOGO OT
WETA NE PREWOSHODIT =
tEPERX RASSMOTRIM SLU^AJ
zAMETIM ^TO GRUPPA G NE QWLQETSQ ODNO\LEMENT
NYM MNOVESTWOM T K ONA SODERVIT PO MENXEJ
MERE DWA \LEMENTA
I ;
kROME TOGO GRUPPA G0 Gl TAKVE NE QWLQET
SQ ODNO\LEMENTNYM MNOVESTWOM POSKOLXKU WWI
DU TOGO ^TO ^ISLO l NE^<TNOE TO
(115)
w DANNYH OBOZNA^ENIQH RAWENSTWO
-
(92),
,
,
(113)
=
I DLQ KAVDOGO j 2 f : : : k ; g IMEET MESTO RA
WENSTWO
0
(114).
,
,
(=
-
,
,
.
(116)
)
{
,
(70),
G! U V
-
,
\LEMENTU ; GRUPPY G PRI DANNOM IZOMORFIZME
SOOTWETSTWUET W DEKARTOWOM PROIZWEDENII U V
PARA
;1)l = ;1
1
(
I SLEDOWATELXNO GRUPPA G0 TAKVE SODERVIT PO
MENXEJ MERE DWA \LEMENTA
tAKIM OBRAZOM SU]ESTWUET NOMER
,
POSKOLXKU WOZWEDENIE W STEPENX PAR IZ U V OSU
]ESTWLQETSQ POKOMPONENTNO
sOGLASNO OPREDELENI@ OTOBRAVENIQ
KOTOROE
INDUCIRUET IZOMORFIZM
-
-
1
,
(
(116).
(121)
(
(
j0 2 f : : : k ; g
0
;1 ;1)
LEWAQ KOMPONENTA KOTOROJ PONIMAETSQ KAK ru ;
A PRAWAQ KAK rv ;
zAMETIM ^TO W OBOIH GRUPPAH U I V \LEMENTY
; NE SOWPADA@T S \LEMENTAMI
rASSMOTRIM SLEDU@]IE SLU^AI
jUj0 j
ILI jVj0 j
w \TOM SLU^AE PARA
NE MOVET PRINAD
LEVATX DEKARTOWU PROIZWEDENI@
,
TAKOJ ^TO
-
=
. .
1
1
Gj Uj Vj
-
,
IMEET WID
G U V
-
1 2.
2.
(91)
-
1
(
1),
1)).
,
,
I
jGj0 j 6= 1
(117)
jGj0+1 j = 1
(118)
\
,
(a)
fj;0 1 (;1) fj;0 1+1 (1)
PO\TOMU \LEMENT ; GRUPPY G SOOTWET
STWU@]IJ DANNOJ PARE NE PRINADLEVIT GRUP
PE Gj0 T E
\
,
(115)
,
-
,
(114)
=
-
wWED<M SLEDU@]IE OBOZNA^ENIQ
U def Zu
U0 def U l
U1 def U02
:::
Uk def Uk2;1
=
=
=
=
1
2
jGj
.
-
1
2
-
jGj
(122)
nERAWENSTWO
SLEDUET IZ
POSKOLXKU
fj0 QWLQETSQ \PIMORFIZMOM WIDA
(122)
(115),
jfj;0 1 (;1)j ,
jfj;0 1 (1)j (119)
+
(120)
pO\TOMU DLQ DOKAZATELXSTWA TOGO ^TO ^ISLO \LE
MENTOW W MNOVESTWE
NE PREWOSHODIT ^ISLA
DOSTATO^NO DOKAZATX NERAWENSTWO
jfj;0 1 (1)j
-
,
,
1) =
(120)
,
(1)
fj;0 1 ;
,
1 2.
fj;0 1+1
(
I SLEDOWATELXNO WTOROE SLAGAEMOE W LEWOJ
^ASTI NERAWENSTWA
RAWNO NUL@
tAKIM OBRAZOM W DANNOM SLU^AE DLQ DOKAZA
TELXSTWA NERAWENSTWA
DOSTATO^NO DOKA
ZATX NERAWENSTWO
-
(118)
. .
(
-
(92),
,
1"
)
(111)
(115),
-
Uj0 Vj0
(115).
(112)
= 1.
(119)
NE PREWOSHODIT ^ISLA
w ^ASTNOSTI ^ISLO \LEMENTOW W PERESE^ENII
I
W \TOM SLU^AE TAKVE NE BUDET PREWOSHO
DITX ^ISLA
I POSKOLXKU
NE PREWOSHO
DIT POLOWINY OT ^ISLA \LEMENTOW MNOVESTWA
TO SLEDOWATELXNO W SLU^AE
WEROQTNOSTX WY
DA^I OIBO^NOGO OTWETA TAKVE NE BUDET PREWOS
HODITX =
iZ
SLEDUET ^TO
,
= 1
(121)
-
(1)
\1".
:
dOKAVEM ^TO DLQ DANNOGO NOMERA j0 ^ISLO \LE
MENTOW W MNOVESTWE
fj;0 1
1"
(23):
fj0 G ! Gj0
(120)
:
I jGj0 j > TO NA OSNOWANII
NERAWENSTWO
1,
:
V def Zv
V0 def V l
V1 def V02
:::
Vk def Vk2;1
=
(23)
IMEET MESTO
jfj;0 1 (1)j = jKer(fj0 )j 12 jGj
=
=
(b)
jUj0 j > 1 I jVj0 j > 1.
w \TOM SLU^AE
jIm(fj0 )j
=
12
=
jGj0 j 4
-
I SLEDOWATELXNO NA OSNOWANII
ZAKL@^ITX ^TO
,
,
(22)
MOVNO
,
jKer(fj0 )j 1 jGj
(123)
4
wWIDU TOGO ^TO
,
fj;0 1 (1) = Ker(fj0 ), I
MNOVESTWO f ;1 (;1) QWLQETSQ ODNIM IZ SMEVj0
NYH KLASSOW PO PODGRUPPE Ker fj0 T E
W ^ASTNOSTI
(
),
. .,
,
jfj;0 1 (;1)j = jKer(fj0 )j
TO
jfj;0 1 (1)j
jfj;0 1 (;1)j
+
2
jKer(fj0 )j
(124)
(120)
SLEDUET IZ
(124)
=
iSKOMOE NERAWENSTWO
I
(123).
3.5
uMENXENIE WEROQTNOSTI OIBKI
pREDLOVENNYJ ALGORITM MOVNO NEMNOGO MODICIFIRO
WATX TAK ^TOBY WEROQTNOSTX OIBO^NOGO OTWETA SU
]ESTWENNO UMENXILASX
dANNAQ MODIFIKACIQ ZAKL@^AETSQ W TOM ^TO WMESTO
ODNOKRATNOGO PRIMENENIQ DANNOGO ALGORITMA K ^ISLU
n MY PRIMENIM EGO K ^ISLU n NESKOLXKO RAZ
pUSTX SIMWOL d OBOZNA^AET KOLI^ESTWO PRIMENENIJ
DANNOGO ALGORITMA K ^ISLU n
w KA^ESTWE OKON^ATELXNOGO OTWETA MY WYDA<M
OTWET
n PROSTOE
ESLI PRI WSEH d PRIMENENIQH DANNOGO ALGORITMA
K ^ISLU n BYL POLU^EN OTWET
I
OTWET
n SOSTAWNOE
ESLI PRI HOTQ BY ODNOM IZ d PRIMENENIJ DANNOGO
ALGORITMA K ^ISLU n BYL POLU^EN OTWET
nETRUDNO WIDETX ^TO OKON^ATELXNYJ OTWET QWLQ
ETSQ OIBO^NYM TOLXKO TOGDA KOGDA PRI KAVDOM IZ d
PRIMENENIJ TO ^ISLO a KOTOROE WYBIRALOSX NA AGE
BYLO PLOHIM
tAKIM OBRAZOM WEROQTNOSTX OIBKI MOVNO OCENITX
KAK WEROQTNOSTX TOGO ^TO PRI d NEZAWISIMYH WYBORAH
^ISEL
-
,
-
.
,
.
.
{
(125)
(125),
{
(126)
(126).
,
-
,
\ ",
4,
.
,
,
a1 : : : ad
(127)
IZ MNOVESTWA WSE WYBRANNYE ^ISLA BUDUT PLOHIMI
oBOZNA^IM SIMWOLOM p WEROQTNOSTX TOGO ^TO PRI
ODNOKRATNOM WYBORE ^ISLA a IZ MNOVESTWA
DANNOE
^ISLO BUDET PLOHIM
kAK BYLO USTANOWLENO WYE p =
pOSKOLXKU WSE ^ISLA IZ SPISKA
POROVDA@TSQ
NEZAWISIMO DRUG OT DRUGA TO WEROQTNOSTX TOGO ^TO WSE
ONI ODNOWREMENNO BUDUT PLOHIMI RAWNA pd
tAKIM OBRAZOM WEROQTNOSTX OIBKI MODIFICIRO
WANNOGO ALGORITMA NE PREWOSHODIT ^ISLA ;d
(92)
.
,
(92)
.
,
1 2.
(127)
,
,
,
.
,
-
2
.
13