обоснование метода фурье для краевых задач с инволютивным
advertisement
60
wESTNIK sAMgu.
1999. N-2(12)
obosnowanie
metoda furxe dlq kraewyh zada~
s inwol`tiwnym otkloneniem
a.w. lINXKOW 1
w RABOTE RASSMATRIWA@TSQ WOPROSY OBOSNOWANIQ METODA fURXE DLQ KRAEWYH
ZADA^ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI, W KOTORYH DIFFERENCIALXNYJ OPERATOR SODERVIT INWOL@TIWNOE OTKLONENIE W ^ASTNOJ PROIZWODNOJ. pOLU^EN RQD REZULXTATOW, GARANTIRU@]IJ KORREKTNOSTX PRIMENIMOSTI METODA fURXE.
wWEDENIE
iZWESTNO, ^TO W 50{60 GG. PROIZOEL "ISSLEDOWATELXSKIJ WZRYW" W TEORII OBYKNOWENNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ S OTKLONQ@]IMSQ ARGUMENTOM. w \TOT PERIOD WYLI MONOGRAFII AWTOROW: l.|. |LXSGOLXCA, n.m. kRASOWSKOGO, s.b. nORKINA,
a.d. mYKISA, |. pINNI, r. bELLMANA, k. kUKA, a. hALANAQ I n. oG@ZTORELI. oDNAKO WOPROSAM REENIQ KRAEWYH ZADA^ DLQ URAWNENIJ W ^ASTNYH PROIZWODNYH S OTKLONQ@]IMSQ ARGUMENTOM POSWQ]ENO NEBOLXOE KOLI^ESTWO RABOT, I PO\TOMU TEORIQ
KRAEWYH ZADA^ DLQ DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ W ^ASTNYH PROIZWODNYH S OTKLONQ@]IMSQ ARGUMENTOM OSTAETSQ WESXMA DALEKOJ OT ZAWERENIQ.
oPREDELENNYJ INTERES PREDSTAWLQET IZU^ENIE KRAEWYH ZADA^ DLQ URAWNENIJ WIDA
(1)-(3).
@ 2 u(x t) + @ 2 u(x t) = " @ 2 u(;x t)
(1)
@x2
@t2
@x2
@ 2 u(x t) ; @ 2 u(x t) = " @ 2 u(;x t)
(2)
@x2
@t2
@x2
@ 2 u(x t) ; @ u(x t) = " @ 2 u(;x t)
(3)
@x2
@t
@x2
hARAKTERISTI^ESKIE ZADA^I DLQ (2) RASSMATRIWALISX W RABOTE 2]. w 1] PRIWEDENY POSTANOWKI KLASSI^ESKIH KRAEWYH ZADA^ (dIRIHLE, nEJMANA I DR.) DLQ (1) PRI
(j"j 6= 1).
oTMETIM, ^TO PRI " 6= 0 URAWNENIQ (1)-(3) NE PODDA@TSQ IZWESTNOJ KLASSIFIKACII. pRI " = 0 \TI URAWNENIQ SWODQTSQ K KLASSI^ESKIM URAWNENIQM MATEMATI^ESKOJ
FIZIKI { lAPLASA, WOLNOWOMU, TEPLOPROWODNOSTI.
1 aLEKSEJ wLADIMIROWI^ lINXKOW, KAFEDRA URAWNENIJ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI, sAMARSKIJ GOSUDARSTWENNYJ UNIWERSITET
oBOSNOWANIE METODA fURXE DLQ KRAEWYH ZADA^ S INWOL@TIWNYM OTKLONENIEM
61
iSSLEDOWANIE SMEANNYH KRAEWYH ZADA^ W PRQMOUGOLXNIKE f(x t) : x 2 ;l l] t 2
0 T ]g ILI POLUPOLOSE f(x t) : x 2 ;l l] t 2 0 1)g S NULEWYMI KRAEWYMI USLOWIQMI
DLQ URAWNENIJ W ^ASTNYH PROIZWODNYH S INWOL@TIWNYM OTKLONENIEM WIDA (1)-(3)
BYLO PROWEDENO METODOM fURXE. pOSLE RAZDELENIQ PEREMENNYH W DANNYH URAWNENIQH
DLQ PROSTRANSTWENNOJ PEREMENNOJ REALASX ZADA^A {TURMA-lIUWILLQ
X (x) ; "X (;x) = X (x)
(4)
X (;l) = X (l) = 0:
dLQ KAVDOGO URAWNENIQ BYLI POLU^ENY REENIQ KLASSI^ESKIH ZADA^ W UKAZANNYH
OBLASTQH I ISSLEDOWAN WOPROS OB IH KORREKTNOSTI W ZAWISIMOSTI OT ":
oSNOWNAQ CELX DANNOJ STATXI ZAKL@^AETSQ W OBOSNOWANII METODA fURXE DLQ KRAEWYH ZADA^, SWQZANNYH S URAWNENIQMI (1){(3). w PERWU@ O^EREDX, REENIE \TOJ PROBLEMY ZAWISIT OT DOKAZATELXSTWA POLNOTY SISTEMY FUNKCIJ { REENIJ ZADA^I (4).
00
00
1. pOLNOTA TRIGONOMETRI^ESKIH SISTEM
bEZ POTERI OB]NOSTI DALEE BUDEM S^ITATX, ^TO l = T.E. x 2 ; ]: nETRUDNO
SDELATX WYWOD, PRIMENQQ STANDARTNYE WYKLADKI, ^TO ZADA^A {TURMA-lIUWILLQ (4)
IMEET PRI PROIZWOLXNOM WE]ESTWENNOM " SLEDU@]IE SOBSTWENNYE FUNKCII
(5)
sin nx cos(k + 0 5)x n = 1 1 k = 0 1:
lEMMA 1. sISTEMA FUNKCIJ (5) ORTOGONALXNA I POLNA W L2; ].
dOKAZATELXSTWO. nEPOSREDSTWENNYMI WY^ISLENIQMI PROWERQETSQ ORTOGONALXNOSTX POLU^ENNOJ SISTEMY TRIGONOMETRI^ESKIH FUNKCIJ.
dLQ DOKAZATELXSTWA POLNOTY DANNOJ SISTEMY WOSPOLXZUEMSQ HOROO IZWESTNYM
KLASSI^ESKIM REZULXTATOM, ^TO SISTEMA FUNKCIJ
sin nx cos kx n = 1 1 k = 0 1
(6)
QWLQETSQ ORTOGONALXNOJ I POLNOJ W L2; ]: iZ SOPOSTAWLENIQ SISTEM (5) I (6)
SLEDUET, ^TO SISTEMA (5) BUDET POLNOJ, ESLI W L2; ] SPRAWEDLIWO RAZLOVENIE
kX
=
cos nx =
ak cos(k + 0 5)x n = 0 1:
(7)
1
k=0
o^EWIDNO, SOOTNOENIE (7) BUDET WYPOLNENO, ESLI I TOLXKO ESLI BUDET IMETX
MESTO RAWENSTWO pARSEWALQ
kX
=
(8)
kcos nxk2L2 = ak 2 kcos(k + 0 5)xk2L2 n = 0 1
k=0
R
GDE kf k2L2 = (f g)L2 (f g)L2 = f (x)g(x) dx:
rASSMOTRIM PODROBNEE RQD (8). pOSKOLXKU SPRAWEDLIWY O^EWIDNYE RAWENSTWA
k1k2L2 = 2 kcos nxk2L2 = kcos(k + 0 5)xk2L2 = n = 1 1 k = 0 1 (9)
TO, NAHODQ KO\FFICIENTY RAZLOVENIQ
R
cos nx cos(k + 0 5)x dx
4(;1)n+k (2k + 1)
=
ak =
(2k + 1 ; 2n)(2k + 1 ; 2n) n = 0 1 (10)
kcos(k + 0 5)xk2L2
1
;
;
62
a.w. lINXKOW
RQD (8) MOVNO ZAPISATX SLEDU@]IM OBRAZOM
kX
=
4(;1)n+k (2k + 1) n = 0 1:
kcos nxk2L2 =
k=0 (2k + 1 ; 2n)(2k + 1 ; 2n)
1
(11)
pOSLEDNEE SOOTNOENIE PRI n = 0 PRINIMAET WID
X
2 = (2k16+ 1)2
k=0
I PO\TOMU WYPOLNQETSQ W SILU TOVDESTWA Pk=0 1=(2k + 1)2 = 2 =8 IZ 3].
dALEE, PUSTX n { PROIZWOLXNOE NATURALXNOE ^ISLO. tOGDA RAWENSTWO pARSEWALQ
(11) W SILU (9) MOVNO ZAPISATX SLEDU@]IM OBRAZOM:
kX
=
1=
a2k :
(12)
1
1
1
k=0
iSPOLXZUQ PREDSTAWLENIE POLIGAMMA FUNKCII IZ 4],
m
(m+1)
(m z ) dzd m (z ) (z ) dzd (m+1) ln ;(z )
I WID KO\FFICIENTOW ak (10), UBEVDAEMSQ W SPRAWEDLIWOSTI RAWENSTWA
kX
=
1
(
n
+
0
5)
;
(0
5
;
n
)
2
+ (1 0 5 + n) + (1 0 5 ; n) :
ak = 2
n
1
k=0
iZ FORMUL SIMMETRII W 4, S.86] SLEDU@T SOOTNOENIQ
(1 ; z ) ; (z ) = ctgz
(13)
(1 1 ; z ) + (1 z ) = ; dzd ctgz:
iSPOLXZUQ ANALITI^NOSTX WHODQ]IH W (13) PRI z = n + 0 5 POLIGAMMA FUNKCIJ,
POLU^AEM, ^TO (n + 0 5) ; (0 5 ; n) = 0 A (1 0 5 + n) + (1 0 5 ; n) = 2 :
tEM SAMYM DOKAZANO RAWENSTWO RAWENSTWO (12), A ZNA^IT OBOSNOWANO SOOTNOENIE
pARSEWALQ (8) DLQ PROIZWOLXNOGO n. sLEDOWATELXNO, SPRAWEDLIWO RAZLOVENIE (7), I
SISTEMA FUNKCIJ (5) POLNA W L2; ]. lEMMA DOKAZANA.
aNALOGI^NO OBOSNOWYWAETSQ SLEDU@]AQ LEMMA.
lEMMA 2. sISTEMY FUNKCIJ
sin(n + 0 5)x cos nx n = 0 1
sin(n + 0 5)x cos(n + 0 5)x n = 0 1
ORTOGONALXNY I POLNY W L2; ].
(14)
(15)
2. sHODIMOSTX TRIGONOMETRI^ESKIH RQDOW
pRI POSTANOWKE SMEANNYH KRAEWYH ZADA^ W MATEMATI^ESKOJ FIZIKE SU]ESTWENNU@ ROLX IGRAET WOPROS OB USLOWIQH, PRI WYPOLNENII KOTORYH OBOB]ENNYJ RQD
fURXE FUNKCII f (x) SHODITSQ (K \TOJ FUNKCII) NA KOMPAKTE. hOROO IZWESTNO, ^TO
oBOSNOWANIE METODA fURXE DLQ KRAEWYH ZADA^ S INWOL@TIWNYM OTKLONENIEM
63
ODNA NEPRERYWNOSTX FUNKCII f (x) NA KOMPAKTE NE OBESPE^IWAET NE TOLXKO RAWNOMERNOJ SHODIMOSTI RQDA fURXE, NO DAVE SHODIMOSTI \TOGO RQDA W NAPERED ZADANNOJ
TO^KE UKAZANNOGO SEGMENTA. w PREDYDU]EM RAZDELE BYLA DOKAZANA SHODIMOSTX RQDOW fURXE PO SISTEMAM FUNKCIJ (5) (ILI (14), ILI (15)) W L2; ]. dOSTATO^NYE
USLOWIQ SHODIMOSTI \TIH RQDOW K NEPRERYWNOJ FUNKCII DAET SLEDU@]AQ LEMMA.
lEMMA 3. eSLI FUNKCIQ f (x) NEPRERYWNA NA OTREZKE ; ] f (;) = f () = 0
EE PROIZWODNAQ f (x) SU]ESTWUET I NEPRERYWNA WS@DU NA ; ] ZA ISKL@^ENIEM
0
KONE^NOGO ^ISLA TO^EK, W KAVDOJ IZ KOTORYH SU]ESTWU@T KONE^NYE LEWAQ I PRAWAQ PROIZWODNYE, TO TRIGONOMETRI^ESKIJ RQD PO SISTEMAM FUNKCIJ (5), (14), (15)
FUNKCII f (x) SHODITSQ ABSOL@TNO NA ; ] W RAWNOMERNOJ METRIKE.
dOKAZATELXSTWO ANALOGI^NO KLASSI^ESKOMU OBOSNOWANI@ RAWNOMERNOJ SHODIMOS-
TI RQDA fURXE PO SISTEME (6) (SM., NAPRIMER, 5, S.321]). pRI \TOM DLQ KO\FFICIENTOW
fURXE
Z
Z
k = 1
f (x) cos(k + 0 5)x dx k = 1
f (x) sin(k + 0 5)x) dx k = 0 1
Z
Z
1
1
ck = f (x) cos(k + 0 5)x) dx dk = f (x) sin(k + 0 5)x) dx k = 0 1:
POLU^A@TSQ SLEDU@]IE SOOTNOENIQ
k = (k + 0 5)dk k = ;(k + 0 5)ck k = 0 1
!
!
jk j 1 2 + 1
j
j
1
1
k
2
k + 0 5 2 k (k + 0 5)2 k + 0 5 2 k + (k + 0 5)2 k = 0 1:
w KA^ESTWE SLEDSTWIQ IZ LEMMY 3 SPRAWEDLIWO SLEDU@]EE UTWERVDENIE.
lEMMA 4. eSLI FUNKCIQ f (x) NEPRERYWNA WMESTE SO SWOIMI PROIZWODNYMI DO
NEKOTOROGO PORQDKA m 2 N NA ; ] f (;) = f () = f (;) = f () = ::: =
f (m) (;) = f (m) () = 0 EE PROIZWODNAQ PORQDKA m + 1 SU]ESTWUET I NEPRERYWNA WS@DU NA ; ] ZA ISKL@^ENIEM KONE^NOGO ^ISLA TO^EK, W KAVDOJ IZ KOTORYH
SU]ESTWU@T KONE^NYE LEWAQ I PRAWAQ PROIZWODNYE PORQDKA m +1, TO TRIGONOMETRI^ESKIE RQDY PO SISTEMAM FUNKCIJ (5), (14), (15) ABSOL@TNO SHODQTSQ NA ; ]
0
;
;
0
;
;
0
0
W RAWNOMERNOJ METRIKE. pRI^EM \TI RQDY MOVNO m RAZ PO^LENNO DIFFERENCIROWATX NA ; ], POLU^AQ ABSOL@TNO SHODQ]IESQ NA ; ] W TOJ VE METRIKE RQDY.
dOKAZATELXSTWO ANALOGI^NO KLASSI^ESKOMU OBOSNOWANI@ SOOTWETSTWU@]EJ TE-
OREMY MATEMATI^ESKOGO ANALIZA S U^ETOM LEMMY 3.
3. rEENIE SMEANNOJ KRAEWOJ ZADA^I
dLQ OPREDELENNOSTI DALEE BUDEM RASSMATRIWATX ZADA^U: NAJTI FUNKCI@
u(x t) 2 C21 (Q) \ C(Q), UDOWLETWORQ@]U@ URAWNENI@ (3), KRAEWYM USLOWIQM
u(; t) = u( t) = 0 t 2 0 T ]
(16)
I NA^ALXNOMU USLOWI@
u(x 0) = '(x) x 2 ; ]
GDE Q = f(x t) : ; < x < 0 < t < T g A TAKVE USLOWIQM SOPRQVENIQ
'(;) = '() = 0:
(17)
(18)
64
a.w. lINXKOW
zDESX FUNKCIQ ' UDOWLETWORQET USLOWIQM LEMMY 4 S m = 2.
pREDPOLOVIM, ^TO REENIE POSTAWLENNOJ ZADA^I SU]ESTWUET. sLEDOWATELXNO,
PRI PROIZWOLXNOM t PO LEMME 4 SPRAWEDLIWO PREDSTAWLENIE REENIQ W WIDE RAWNOMERNO SHODQ]EGOSQ NA ; ] RQDA
X
u(x t) = Tn (t)Xn (x)
(19)
n
PO ORTOGONALXNOJ SISTEME FUNKCIJ Xn WIDA (5). tOGDA
Tn (t) = (u Xn )L2 :
(20)
pOSKOLXKU PRI PODSTANOWKE u(x t) W (3) DANNOE URAWNENIE OBRA]AETSQ W TOVDESTWO, TO, UMNOVAQ EGO SKALQRNO NA Xn , POLU^AEM
(Lx" u Xn)L2 + ( @t@ u Xn )L2 = 0
(21)
d
dt Tn (t) + n Tn (t) = 0
(22)
POD Lx"u PONIMAEM OPERATOR Lx" : C2 ! C OPREDELQEMYJ FORMULOJ Lx" u(x t) =
@ 2u(x t)=@x2 ; "@ 2 u(;x t)=@x2 S OBLASTX@ OPREDELENIQ fu(x) 2 C2 ; ] : u(;) =
u() = 0g:
iNTEGRIROWANIEM PO ^ASTQM NETRUDNO PROWERITX USLOWIE SAMOSOPRQVENNOSTI
OPERATORA Lx", T.E. WYPOLNENIQ SOOTNOENIQ (Lx" u v)L2 = (u Lx"v)L2 : sLEDOWATELXNO,
(Lx" u Xn)L2 = (u Lx"Xn )L2 = (u nXn )L2 = n (u Xn)L2 GDE n { SOBSTWENNOE ^ISLO OPERATORA Lx" , SOOTWETSTWU@]EE SOBSTWENNOJ FUNKCII
Xn n = 0 1 2 :::
iSPOLXZUQ PRAWILO lEJBNICA DIFFERENCIROWANIQ PO PARAMETRU t POD ZNAKOM INTEGRALA I U^ITYWAQ SOGLASNO FORMULIROWKE ZADA^I DOSTATO^NU@ GLADKOSTX FUNKCII
@u=@t POLU^AEM (@u=@t Xn )L2 = @ (u Xn )L2 =@t:
pODSTAWLQQ POLU^ENNOE SOOTNOENIE W (21), IMEEM
PRI \TOM NA^ALXNYE USLOWIQ DLQ OPREDELENIQ FUNKCIJ Tn(t) POLU^AEM IZ (20) PRI
t = 0 S U^ETOM (17)
Tn (0) = (' Xn)L2 :
(23)
sLEDOWATELXNO, ISKOMYE KO\FFICIENTY Tn (t) ODNOZNA^NO OPREDELQ@TSQ REENIEM ZADA^I kOI (22)-(23).
tAKIM OBRAZOM, ESLI REENIE SMEANNOJ KRAEWOJ ZADA^I SU]ESTWUET, TO ONO ODNOZNA^NO PREDSTAWIMO W WIDE RQDA (19), A SLEDOWATELXNO, DOKAZANA EDINSTWENNOSTX
REENIQ ZADA^I (3), (16)-(18).
iSHODQ IZ PRIWEDENNYH RASSUVDENIJ SLEDUET, ^TO REENIE ZADA^I (3), (16) - (18),
ESLI ONO SU]ESTWUET, PREDSTAWIMO W WIDE RAWNOMERNO SHODQ]EGOSQ PO x NA ; ]
RQDA (19) PRI PROIZWOLXNOM t IZ 0 T ].
zAMETIM, ^TO SHODIMOSTX RQDA (19) ZAWISIT OT ", T.K. FORMALXNOE REENIE SMEANNOJ KRAEWOJ ZADA^I (3), (16) - (18) IMEET WID
X
X
u(x t) = ak e (1 ")(k+05)2 t cos(k + 0 5)x + bne (1+")n2 t sin nx (24)
1
1
;
k=0
;
;
n=1
oBOSNOWANIE METODA fURXE DLQ KRAEWYH ZADA^ S INWOL@TIWNYM OTKLONENIEM
65
Z
ak = 1
'(x) cos(k + 0 5)x dx k = 0 1
(25)
Z
'(x) sin nx dx n = n 1:
bn = 1
(26)
o^EWIDNO, ^TO RQD (24) PRI j"j 1 SHODITSQ RAWNOMERNO KAK PO x NA ; ], TAK
I PO t 2 0 +1). |TO SLEDUET IZ OCENOK
;
;
jak j k = 0 1 jbnje (1+")n2 t jbnj n = 1 1:
pRI " < ;1 (" > 1) RAWNOMERNOJ SHODIMOSTI PO x W Q FUNKCIONALXNOGO RQDA (24) NET, POSKOLXKU PRI PROIZWOLXNOM t > 0 WSEGDA NAJDETSQ TAKOJ NOMER n0
(k0), ^TO PRI WSEH n > n0 (k > k0) BUDET SLEDOWATX jbnj exp (;(1 + ")n2 t) > M
(jak j exp(;(1 ; ")(k + 0 5)2t) > M ,) GDE M { PROIZWOLXNO SKOLX UGODNO BOLXOE POLOVITELXNOE ^ISLO. zNA^IT NARUA@TSQ NEOBHODIMYE USLOWIQ SHODIMOSTI FUNKCIONALXNOGO RQDA (24). sLEDOWATELXNO, PRI j"j > 1 REENIE POSTAWLENNOJ ZADA^I MOVET
NE SU]ESTWOWATX.
rASSMOTRIM PRIMER, ILL@STRIRU@]IJ DANNU@ SITUACI@. pUSTX " = 2. w KA^ESTWE FUNKCII, ZADA@]EJ NA^ALXNOE USLOWIE DLQ ZADA^I (3), (16){(18), WOZXMEM
jak je
(1;")(k+05)2 t
;
;
'(x) = (2 ; x2)3:
o^EWIDNO, ^TO \TA FUNKCIQ OBRA]AETSQ W 0 WMESTE SO SWOIMI PROIZWODNYMI DO WTOROGO PORQDKA WKL@^ITELXNO W TO^KAH ; I . nESLOVNO PROWERITX, ^TO
X (;1)k (;10 + 2(2k + 1)2
cos(k + 0 5)x:
'(x) = ; 18432
k=0
(2k + 1)7
sOSTAWIM FORMALXNOE REENIE RASSMATRIWAEMOJ ZADA^I WIDA (24)
X (;1)k (;10 + 2 (2k + 1)2 (k+05)2 t
u(x t) = ; 18432
e
cos(k + 0 5)x: (27)
k=0
(2k + 1)7
nETRUDNO UBEDITXSQ, ^TO PRI PROIZWOLXNOM t > 0 RQD (27) RASHODITSQ.
pOLU^ENNYE REZULXTATY MOVNO SFORMULIROWATX W WIDE TEOREMY.
tEOREMA 1. rEENIE ZADA^I (3), (16) - (18) PRI j"j 1 SU]ESTWUET, EDINST1
1
WENNO, NEPRERYWNO ZAWISIT OT NA^ALXNYH DANNYH I PREDSTAWIMO W WIDE (24). pRI
j"j > 1 WSEGDA NAJDUTSQ TAKIE NA^ALXNYE DANNYE, ^TO REENIQ ZADA^I NE SU]ESTWUET.
66
a.w. lINXKOW
lITERATURA
1] aNDREEW a.a., {INDIN i.p. o KORREKTNOSTI GRANI^NYH ZADA^ DLQ ODNOGO URAWNENIQ W ^ASTNYH PROIZWODNYH S OTKLONQ@]IMSQ ARGUMENTOM. sB. aNALITI^ESKIE METODY W TEORII DIFFERENCIALXNYH I INTEGRALXNYH URAWNENIJ. kUJBYEW, 1987. s.3-6.
2] aNDREEW a.a., lINXKOW a.w. o KORREKTNYH ZADA^AH DLQ ODNOGO MODELXNOGO URAWNENIQ W ^ASTNYH PROIZWODNYH S OTKLONQ@]IMSQ ARGUMENTOM // sB. uRAWNENIQ
NEKLASSI^ESKOGO TIPA. nOWOSIBIRSK, 1997. ngu. s.3-11.
3] pRUDNIKOW a.p., bRY^KOW`.a., mARI^EW o.i. iNTEGRALY I RQDY. sPECIALXNYE
FUNKCII. m.: nAUKA, 1983. 752S.
4] sPRAWO^NIK PO SPECIALXNYM FUNKCIQM. pOD RED. m. aBRAMOWICA, i. sTIGAN. m.:
nAUKA. 1979. 832S.
5] kURS WYSEJ MATEMATIKI I MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. pOD RED. a.n. tIHONOWA,
w.i. iLXINA, a.g. sWENIKOWA. wYPUSK 2A, ~ASTX II. m.: nAUKA, 1980. 448S.
SUBSTANTIATION OF A METHOD THE FOURIER
FOR BOUNDARY VALUE PROBLEMS
WITH AN INVOLUTE DEVIATION
A. Linkov2
The problems of substantiation of a method the Fourier for boundary value
problems of mathematical physics, in which the dierential operator contains an
involute deviation in a partial derivative, are considered in this paper. The series
of outcomes guaranteeing a correctness of applicability of a method the Fourier is
obtained.
2
Alexei Linkov, departament of mathematics, Samara state university
