Аксиоматическое построение теории вероятностей начинается

x2. wEROQTNOSTNOE PROSTRANSTWO
aKSIOMATI^ESKOE POSTROENIE TEORII WEROQTNOSTEJ NA^INAETSQ S
FORMALIZACII (OPISANIQ) PROSTRANSTWA \LEMENTARNYH ISHODOW !
NEKOTOROGO STATISTI^ESKOGO \KSPERIMENTA. oPREDELENNYE (SM.NIVE)
PODMNOVESTWA PROSTRANSTWA NAZYWA@TSQ SOBYTIQMI; GOWORQT, ^TO
PROIZO[LO SOBYTIE A( ), ESLI STATISTI^ESKIJ \KSPERIMENT ZAKON^ILSQ \LEMENTARNYM ISHODOM ! 2 A. nAD SOBYTIQMI A, KAK PODMNOVESTWAMI PROSTRANSTWA , WWODQTSQ TEORETIKO-MNOVESTWENNYE oPERACII, WEROQTNOSTNAQ TRAKTOWKA KOTORYH PRIWODITSQ W SLEDU@]EJ
TABLICE.
tEORETIKOMNOVESTWENNYE
OB_EKTY I OPERACII
wEROQTNOSTNAQ
TRAKTOWKA
{ MNOVESTWO
PROSTRANSTWO \LEMENTARNYH ISHODOW, DOSTOWERNOE SOBYTIE
! { \LEMENT A { PODMNOVESTWO MNOVESTWA
\LEMENTARNYJ
ISHOD \KSPERIMENTA, \LEMENTARNOE SOBYTIE
SOBYTIE
; { PUSTOE MNOVESTWO
NEWOZMOVNOE SOBYTIE
A B { PODMNOVESTWO
A ESTX ^ASTX (PRINADLEVIT) B
SOBYTIE
BYTIE B
1
A
WLE^ET SO-
gEOMETRI^ESKAQ
INTERPRETACIQ
!
A { DOPOLNENIE PODMNOVESTWA A DO c
A [ B { OB_EDINENIE PODMNOVESTW A I B
A \ B { PERESE^ENIE PODMNOVESTW A I B
AnB { RAZNOSTX: IZ PODMNOVESTWA A WY^ITAETSQ
PODMNOVESTWO B
A \ B = ; { MNOVESTWA
A I B NE IME@T OB]IH
TO^EK (NE PERESEKA@TSQ)
SOBYTIE
PROIZO[LO
A
NE
pROIZO[LO PO KRAJNEJ
MERE ODNO IZ SOBYTIJ
A ILI B
pROIZO[LI ODNOWREMENNO
OBA
SOBYTIQ
AIB
pROIZO[LO SOBYTIE A,
W TO WREMQ KAK SOBYTIE B NE PROIZO[LO
SOBYTIQ
A
NESOWMESTNY
B
I
eSLI RASSMATRIWATX WWEDENNYE OPERACII NAD MNOVESTWAMI KAK ALGEBRAI^ESKIE, TO WYSTUPAET W ROLI , ,EDINICY" ALGEBRY, A { W ROLI
EE , ,NULQ", ^TO WIDNO IZ SLEDU@]IH RAWENSTW:
A ; = ;
= ;
(A ) = A;
A [ = A; A [ A = A; A [ = ; A [ A = ;
A \ = ; A \ A = A; A \ = A; A \ A = :
c
c
c c
c
c
oPERACII OB_EDINENIQ I PERESE^ENIQ RASPROSTRANQ@TSQ NA L@BOE,
WOZMOVNO NES^ETNOE SEMEJSTWO fAi ; i 2 I g SOBYTIJ:
S
2 Ai
{
T
2 Ai
{
i I
i I
PROIZO[LO PO KRAJNEJ MERE ODNO IZ SOBYTIJ SEMEJSTWA fAi ; i 2 I g,
PROIZO[LI ODNOWREMENNO WSE SOBYTIQ SEMEJSTWA
fA ; i 2 I g.
i
fA ; i 2 I g NAZYWAETSQ
SEMEJSTWOM NESOWMESTNYH SOBYTIJ, ESLI A \ A = PRI L@BYH i 6=
j; i; j 2 I:
oPREDELENIE 2.1. sEMEJSTWO SOBYTIJ
i
i
2
j
eSLI Ai ; i 2 I , NESOWMESTNY, TO WMESTO ZNAKA
\PRQMOJ SUMMY" P (ILI +):
[
2
i I
A = XA ;
i
2
i I
A [ B = A + B:
i
iMEET MESTO PRAWILO DWOJSTWENNOSTI:
[
\
I
I
S ISPOLXZUETSQ ZNAK
( Ai )c = Aci;
\
[
I
I
( Ai)c = Aci:
nAPOMNIM, ^TO OPERACII OB_EDINENIQ I PERESE^ENIQ OBLADA@T
SWOJSTWAMI KOMMUTATIWNOSTI A [\ B = B [\ A, ASSOCIATIWNOSTI
(A [\ B ) [\ C = A [\ (B [\ C ) I DISTRIBUTIWNOSTI B \ ([I Ai) = [I (Ai \ B ).
oTNO[ENIE PRINADLEVNOSTI A B POROVDAET ^ASTI^NYJ PORQDOK NA
PODMNOVESTWAH PROSTRANSTWA , TAK ^TO OTNO[ENIE \KWIWALENTNOSTI
(RAWENSTWA) A = B DWUH SOBYTIJ OZNA^AET, ^TO ODNOWREMENNO A B
I B A. wWEDENNYE WY[E OPERACII NAD MNOVESTWAMI OPREDELQ@T
STRUKTURU BULEWOJ ALGEBRY: IMEET MESTO
oPREDELENIE 2.2. bULEWOJ ALGEBROJ NAZYWAETSQ TAKOJ KLASS A
, ^TO
(A1) 2 A,
(A2) A 2 A =) Ac 2 A,
(A3) A; B 2 A =) A [ B 2 A.
PODMNOVESTW
lEKCIQ 3
pREDLOVENIE 2.1. eSLI A { BULEWA ALGEBRA, TO
(1) 2 A;
(2) A1; : : : ; An 2 A =) Sn1 Ai 2 A; Tn1 Ai 2 A;
(3) A; B 2 A =) A n B 2 A:
d O K A Z A T E L X S T W O. (1) tAK KAK = c ; TO W SILU (A1) I (A2) 2 A:
(2) iSPOLXZUQ METOD INDUKCII, LEGKO POKAZATX, ^TO
DLQ L@BOGO
S
n
n = 1; 2; : : : WKL@^ENIE fAi ; i = 1; : : : ; ng A WLE^ET 1 Ai 2 A (n ; 1
RAZ ISPOLXZUETSQ AKSIOMA (A3) BULEWOJ ALGEBRY). s DRUGOJ STORONY,
IZ PRAWILA DWOJSTWENNOSTI WYTEKAET, ^TO fA ; i = 1; ng A =)
Tn A 2 A, IBO fAc; i = 1; ng A =) Sn Ac = (Tni A )c 2 A =) Tn A =
1T i
i
1 i
1 i
1 i
n
c c
[( 1 Ai) ] 2 A:
(3) |TO SWOJSTWO NEMEDLENNO SLEDUET IZ O^EWIDNOGO RAWENSTWA
A n B = A \ B c (RAZNOSTX MNOVESTW OZNA^AET, ^TO ! ODNOWREMENNO
PRINADLEVIT DOPOLNENI@ MNOVESTWA B I MNOVESTWU A).
3
tAKIM OBRAZOM, BULEWA ALGEBRA SODERVIT \EDINICU" ; \NOLX" I
ZAMKNUTA OTNOSITELXNO KONE^NOGO ^ISLA OPERACIJ OB_EDINENIQ, PERESE^ENIQ I WY^ITANIQ (WZQTIQ DOPOLNENIQ).
p R I M E R Y B U L E W Y H A L G E B R. 1. sAMAQ \TONKAQ" BULEWA ALGEBRA: MNOVESTWO P (
) WSEWOZMOVNYH PODMNOVESTW PROSTRANSTWA ,
WKL@^AQ PUSTOE MNOVESTWO , KAK PODMNOVESTWO L@BOGO A 2 : 2.
sAMAQ \GRUBAQ" BULEWA ALGEBRA A = f; g. 3. bULEWA ALGEBRA, POROVDENNAQ SOBYTIEM A : A = f; ; A; Acg.
oPREDELENIE 2.3. wEROQTNOSTX@
P
NA BULEWOJ ALGEBRE A PODW OTREZOK [0; 1], OBLADA@]EE
MNOVESTW NAZYWAETSQ OTOBRAVENIE A
SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI:
(P 1) NORMIRUEMOSTX: P (
) = 1;
(P 2) KONE^NAQ ADDITIWNOSTX: ESLI SOBYTIQ
NY, TO
0
1
A1; : : :; A
n
NESOWMEST-
P @X A A = X P (A );
1
1
(P 3) NEPRERYWNOSTX: ESLI fA ; n 1g { MONOTONNO
UBYWA@]AQ PO
T1
WKL@^ENI@ POSLEDOWATELXNOSTX \LEMENTOW IZ A I 1 A = (W \TOM
SLU^AE PI[UT A # ; KOGDA n ! 1), TO
lim
!1 P (A ) = 0:
n
n
i
i
n
n
n
n
n
w SLEDU@]EM PREDLOVENII PREDPOLAGAETSQ, ^TO WSE SOBYTIQ PRINADLEVAT BULEWOJ ALGEBRE A:
pREDLOVENIE 2.2. wEROQTNOSTX P NA BULEWOJ ALGEBRE A OBLADAET
SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI:
(1) P () = 0;
(2) P (Ac) = 1 ; P (A);
(3) ESLI A B; TO P (A) P (B ) (SWOJSTWO MONOTONNOSTI) I
P (B n A) = P (B ) ; P (A);
(4) P (A [ B ) = P (A) + P (B ) ; P (A \ B ) (SWOJSTWO SILXNOJ ADDITIWNOSTI);
(5) P (Sn1 Ai) Pn1 P (Ai ) (SWOJSTWO POLUADDITIWNOSTI);
(6) ESLI An # A ILI An " A; TO SPRAWEDLIWO SWOJSTWO NEPRERYWNOSTI OTNOSITELXNO MONOTONNOJ SHODIMOSTI
lim
!1 P (An ) = P (A);
n
4
(7) ESLI fAn; n 1g { BESKONE^NAQ POSLEDOWATELXNOSTX NESOWMEST-
NYH SOBYTIJ, TO IMEET MESTO SWOJSTWO -ADDITIWNOSTI
01 1 1
P @X AnA = X P (An);
1
1
P1
(8) P (S1
1 An) 1 P (An ) (SWOJSTWO -POLUADDITIWNOSTI.)
d O K A Z A T E L X S T W O. (1) iSPOLXZUQ W NUVNOM MESTE AKSIOMY (P 2)
I (P 1); POLU^AEM 1 = P (
) = P (
+ ) = P (
) + P () = 1 + P (); OTKUDA
P () = 0:
(2) iSPOLXZUQ AKSIOMU ADDITIWNOSTI (P 2); IMEEM 1 = P (
) =
P (A + Ac) = P (A) + P (Ac ); OTKUDA P (Ac ) = 1 ; P (A):
(3) tAK KAK B = A + (B n A); TO, W SILU (P 2); P (B ) = P (A) +
P (B nA); OTKUDA P (B nA) = P (B );P (A): pOSKOLXKU P (B nA) 0; TO IZ
POSLEDNEGO RAWENSTWA WYTEKAET SWOJSTWO MONOTONNOSTI P (A) P (B ):
(4) lEGKO WIDETX, ^TO A [ B = A + (B n (A \ B )); I POSKOLXKU
A \ B B; TO W SILU AKSIOMY ADDITIWNOSTI I DOKAZANNOGO SWOJSTWA
(3) MONOTONNOSTI WEROQTNOSTI POLU^AEM P (A [ B ) = P (A) +
P (B n (A \ B )) = P (A) + P (B ) ; P (A \ B ):
(5) dOKAZATELXSTWO PROWEDEM PO INDUKCII. pRI n = 2 IZ DOKAZAN-
NOGO SWOJSTWA (4) SILXNOJ ADDITIWNOSTI I POLOVITELXNOSTI WEROQTNOSTI WYTEKAET, ^TO P (A1 [ A2 ) = P (A1 ) + P (A2 ) ; P (A1 \ A2 ) P (A1 )+ P (A2 ): tEPERX, POLAGAQ, ^TO DOKAZYWAEMOE NERAWENSTWO IMEET
MESTO DLQ NEKOTOROGO CELOGO n; UBEVDAEMSQ, ^TO ONO SPRAWEDLIWO DLQ
n + 1; ISPOLXZUQ PREDSTAWLENIE
+1
[
n
1
0n 1
Ai = @[ AiA [ An+1:
1
eSLI An # A; TO An n A # ; I TREBUEMOE SWOJSTWO WYTEKAET
IZ PREDSTAWLENIQ An = A + (An n A) I AKSIOM ADDITIWNOSTI (P 2) I
NEPRERYWNOSTI (P 3) WEROQTNOSTI P: sLU^AJ An " A RASSMATRIWAETSQ
ANALOGI^NO I PRI \TOM ISPOLXZUETSQ PREDSTAWLENIE A = An +(A n An ):
(7) sWOJSTWO -ADDITIWNOSTI WYTEKAET IZ DOKAZANNOGO SWOJSTWA
(6) I SWOJSTWA (P 2) KONE^NOJ ADDITIWNOSTI:
(6)
01 1
0
X
P @ AkA = P @ lim
1
!1 "
n
n
X
1
5
1
0n 1
@X Ak A =
Ak A = nlim
P
!1
1
n
1
X
X
lim
P
(
A
)
=
P ( Ak ) :
k
n!1
1
1
(8) iSPOLXZUQ, KAK I W (7), SWOJSTWO (6), A TAKVE SWOJSTWO POLUADDITIWNOSTI (5), POLU^AEM
01 1
0
1
0n 1
n
[
[
A = lim P @[ Ak A P @ AnA = P @nlim
"
A
k
!1 1
n!1
1
1
n
1
X
X
lim
P
(
A
)
=
P (Ak ):
k
n!1
1
1
iZ DOKAZANNYH SWOJSTW WEROQTNOSTI SLEDUET OBRATITX OSOBOE WNIMANIE NA SWOJSTWO (6) -ADDITIWNOSTI. dELO W TOM, ^TO \TO SWOJSTWO
^ASTO KLADETSQ W OSNOWU OPREDELENIQ WEROQTNOSTI WMESTO AKSIOM (P 2)
I (P 3): iMEET MESTO
oPREDELENIE 2.4. wEROQTNOSTX@
P
NA BULEWOJ ALGEBRE A PODMNOVESTW NAZYWAETSQ TAKOE OTOBRAVENIE A W OTREZOK [0; 1], ^TO
(P 1) (NORMIRUEMOSTX) P (
) = 1;
(P 20 ) (-ADDITIWNOSTX) ESLI OB_EDINENIE P1
1 An S^ETNOGO SEMEJSTWA fAn ; n 1g NESOWMESTNYH SOBYTIJ PRINADLEVIT BULEWOJ ALGEBRE A; TO
0
1
1
1
1
1
P @X AnA = X P (An):
iMEET MESTO
pREDLOVENIE 2.3.oPREDELENIQ 2.3 I 2.4 WEROQTNOSTI
WOJ ALGEBRE
A \KWIWALENTNY.
P
NA BULE-
d O K A Z A T E L X S T W O. tO, ^TO (P 2) I (P 3) WLE^ET (P 20 ) BYLO USTANOWLENO W UTWERVDENII (7) PREDLOVENIQ 2.2. dOKAVEM OBRATNOE { ADDITIWNOSTX WLE^ET NEPRERYWNOSTX P:
pUSTX An # ; TREBUETSQ DOKAZATX, ^TO P (An ) ! 0; KOGDA n ! 1:
pREDSTAWIM An W WIDE OB_EDINENIQ POSLEDOWATELXNOSTI NESOWMESTNYH
SOBYTIJ:
1
A =
n
w SILU AKSIOMY
X
=
(Ak n Ak+1):
k n
-ADDITIWNOSTI
1
P (A ) = X P (A n A +1):
n
k
=
k n
6
k
pRAWAQ ^ASTX \TOGO RAWENSTWA PREDSTAWLQET OSTATO^NYJ ^LEN SHODQ]EGOSQ RQDA
1
X
S = P (A n A +1);
=1
POSKOLXKU IZ WKL@^ENIQ A +1 A (NAPOMNIM, POSLEDOWATELXNOSTX
fA ; n 1g MONOTONNO UBYWA@]AQ) SLEDUET
k
k
k
n
k
k
1
S = X [P (A ) ; P (A +1 )] = P (A1) 1:
k
=1
k
k
iTAK, RQD SHODITSQ I, SLEDOWATELXNO, EGO OSTATO^NYJ ^LEN P (An ) ! 0;
KOGDA n ! 1:
oPREDELENIE 2.4 POSTULIRUET, ^TO P ESTX NORMIROWANNAQ S^ETNO
ADDITIWNAQ MERA NA BULEWOJ ALGEBRE A PODMNOVESTW (SOBYTIJ) PROSTRANSTWA \LEMENTARNYH ISHODOW : pOSKOLXKU NAM PRIDETSQ DOWOLXNO ^ASTO WY^ISLQTX WEROQTNOSTI OB_EDINENIJ BESKONE^NOGO ^ISLA SOBYTIJ, A TAKIE OB_EDINENIQ NE OBQZATELXNO PRINADLEVAT A; TO ESTESTWENNO, KAK \TO PRINQTO W TEORII MERY, RAS[IRITX BULEWU ALGEBRU A;
WKL@^IW W NEE PREDELY MONOTONNYH POSLEDOWATELXNOSTEJ EE \LEMENTOW, POSLE ^EGO PRODOLVITX WEROQTNOSTX P NA RAS[IRENNYJ TAKIM
OBRAZOM KLASS PODMNOVESTW :
oPREDELENIE 2.5. sOWOKUPNOSTX A PODMNOVESTW PROSTRANSTWA NAZYWAETSQ BULEWOJ
ALGEBROJ, ESLI
-
(A1) 2 A;
(A2) A 2 A =) Ac 2 A; S
(A3)S fAn; n 1g A =) 1
1 An 2 A:
iSPOLXZUQ PRAWILO DWOJSTWENNOSTI PO ANALOGII S DOKAZATELXSTWOM
PREDLOVENIQ 2.1, LEGKO UBEDITXSQ, ^TO BULEWA -ALGEBRA ZAMKNUTA NE
TOLXKO OTNOSITELXNO OB_EDINENIQ S^ETNOGO ^ISLA SWOIH \LEMENTOW,
NO I OTNOSITELXNO IH PERESE^ENIQ.
wSEGDA SU]ESTWUET HOTQ BY ODNA -ALGEBRA PODMNOVESTW L@BOGO
PROSTRANSTWA ; NAPRIMER, TAKOWOJ QWLQETSQ SOWOKUPNOSTX P (
) WSEWOZMOVNYH PODMNOVESTW ; WKL@^AQ (SAMAQ \TONKAQ" BULEWA ALGEBRA
{ SM. PRIMER 1). wSPOMINAQ NA[I RASSUVDENIQ O POPOLNENII BULEWOJ
ALGEBRY PREDELAMI MONOTONNYH (PO WKL@^ENI@) POSLEDOWATELXNOSTEJ EE \LEMENTOW, WWEDEM
7
oPREDELENIE 2.6. nAIMENX[AQ -ALGEBRA B(A); SODERVA]AQ BULE-
WU ALGEBRU A; NAZYWAETSQ -ALGEBROJ, POROVDENNOJ BULEWOJ ALGEBROJ
A:
iZ KURSA ANALIZA WAM HORO[O IZWESTNA ZNAMENITAQ TEOREMA O PRODOLVENII MERY. w TERMINAH WEROQTNOSTNOJ MERY ONA FORMULIRUETSQ
SLEDU@]IM OBRAZOM
tEOREMA (O PRODOLVENII WEROQTNOSTI). l@BAQ WEROQTNOSTX
P; ZADANNAQ NA BULEWOJ ALGEBRE A; IMEET EDINSTWENNOE PRODOLVENIE
NA POROVDENNU@ A -ALGEBRU B(A):
oPREDELENIE 2.7. pARA (
; A); SOSTOQ]AQ IZ PROSTRANSTWA \LEMENTARNYH ISHODOW I BULEWOJ -ALGEBRY A EE PODMNOVESTW, NAZYWA-
ETSQ IZMERIMYM PROSTRANSTWOM. tOLXKO \LEMENTY A NAZYWA@TSQ SOBYTIQMI, OSTALXNYE PODMNOVESTWA ; NE PRINADLEVA]IE A; NAZYWA@TSQ NEIZMERIMYMI PODMNOVESTWAMI. nAKONEC, TRIPLET (
; A; P );
W KOTOROM P { WEROQTNOSTX NA -ALGEBRE A; NAZYWAETSQ WEROQTNOSTNYM PROSTRANSTWOM.
8