Занятие 5

Занятие 5
Язык пропозициональной модальной логики получается из языка ЛВ добавлением унарной связки (формула F читается “необходимо F ”), а также сокращения ♦ = ¬¬ (“возможно ”).
Модель Крипке для модальной логики состоит из шкалы (W, R) и
оценки переменных α : V ar → P(W ). Здесь
• W 6= ∅ — множество “миров”;
• оценка сопоставляет каждой переменной p множество α(p) ⊆ W
тех миров, в которых p считается истинной;
• R ⊆ W ×W — произвольное бинарное отношение (“достижимости”).
Подразумеваемый смысл отношения R таков. Жители мира w ∈ W
точно не знают, в каком мире они живут, и осознают неполноту своего знания. Они считают, что их мир — один из миров, принадлежащих некоторому известному им множеству возможных миров Rw ⊆ W .1
Отношение R задает связь между настоящими и возможными мирами:
hw, xi ∈ R ⇔ x ∈ Rw . Формула F означает “F верно во всех возможных
мирах”. Это понимание закрепляется определением истинности формулы
в мире (обозначение w |= F ):
• w |= p ⇔ w ∈ α(p) для p ∈ V ar.
• Для булевых комбинаций истинность в данном мире определяется
по стандартным таблицам истинности.
• w |= F ⇔ ∀x ∈ Rw (x |= F ).
Следствие: w |= ♦F ⇔ ∃x ∈ Rw (x |= F ).
1. Проверить выполнимость формул (т.е. существование модели Крипке M = (W, R, α) и мира w ∈ W , в котором формула истинна):
(a) p ∧ ¬p ;
(b) ¬p ∧ p ;
(c) p ∧ ¬p ∧ ♦p (Достаточно ли двух миров?).
1
На самом деле их мир может и не принадлежать Rw .
1
2. Построить модели Крипке, в которых истинны следующие формулы (во всех мирах): (a) ♦p ∧ ♦¬p ; (b) ⊥ .
3. Формула общезначима, если она истинна во всех моделях Крипке.
Общезначимы ли следующие формулы?
(a) (A → B) → (A → B) ;
(b) ♦(A → B) → (♦A → ♦B) ;
4. Истинность в шкале (W, R) (т.е. при всех оценках пропозициональных переменных, обозначение (W, R) |= F ). Доказать:
(a) Корректность правила подстановки:
если (W, R) |= A, то (W, R) |= A[B1 /p1 , . . . , Bn /pn ].
(b) (W, R) |= p → p ⇔ ∀w∈W wRw (т.е. шкала рефлексивна).
(c) (W, R) |= p → p ⇔ ∀u, v, w(uRv ∧ vRw ⇒ uRw) (т.е.
шкала транзитивна).
Аксиомы модальной логики K:
• все тавтологии логики высказываний, в которых подставлены формулы модального языка.
• (A → B) → (A → B),
Правила вывода модальной логики K:
A A→B
B
(M P )
A
A
(N ec)
Выводом называется конечная последовательность формул, каждая из
которых либо является аксиомой, либо получена из предыдущих по одному из правил вывода. Вывод формулы F — это вывод, заканчивающийся
формулой F . Обозначение ` F — “формула F выводима”.
Теорема. ` F ⇔ F общезначима (т.е. истинна во всех моделях Крипке).
2
5. Вывести в логике K:
(A ∧ B) → (A ∧ B).
A∧B →A
(A ∧ B → A)
(A ∧ B → A) → ((A ∧ B) → A)
(A ∧ B) → A
...
(A ∧ B) → B
((A ∧ B) → A) → (
((A ∧ B) → B) → (
(A ∧ B) → (A ∧ B)
))
(A ∧ B) → (A ∧ B)
тавт.
Nec.
акс. K
MP
аналогично
тавт.
MP два раза
Домашнее задание
6. Общезначимы ли следующие формулы?
(a) (A ∧ B) ↔ (A ∧ B) ;
(b) (A ∨ B) ↔ (A ∨ B) ;
(c) (A → B) → (♦A → ♦B) ;
7. Истинность в шкале. Доказать:
(a) (W, R) |= p → ♦p ⇔ ∀u, v(uRv ⇒ vRu) (т.е. шкала симметрична).
(b) (W, R) |= p → ♦p ⇔ ∀u∃v(uRv) (т.е. шкала сериальна).
8. Доказать допустимость правила подстановки для логики K:
если ` A, то ` A[B1 /p1 , . . . , Bn /pn ].
9. Вывести в логике K:
(a) A → (B → (A ∧ B)).
(b) A ∧ B → (A ∧ B).
(c) A → (A ∨ B).
3