Равносильные формулы логики предикатов

Равносильные формулы логики предикатов.
§5. Понятие формулы логики предикатов.
В логике предикатов будем пользоваться следующей символикой :
1. Символы p, q, r, …- переменные высказывания, принимающие два значения: 1- истина ,
0 – ложь.
2. Предметные переменные – x, y, z, … , которые пробегают значения из некоторого
множества М;
x0, y0, z0 – предметные константы, т. е. значения предметных переменных.
3. P(·), Q(·), F(·), … - одноместные предикатные переменные;
Q(·,·,…,·), R(·,·, …,·) – n-местные предикатные переменные.
P0(·), Q0(·,·, …,·) – символы постоянных предикатов.
4. Символы логических операций: ,, , 
5. Символы кванторных операций: x, x.
6. Вспомогательные символы: скобки, запятые.
Определение формулы логики предикатов.
1. Каждое высказывание как переменное, так и постоянное, является формулой
(элементарной).
2. Если F(·,·, …,·) – n-местная предикатная переменная или постоянный предикат, а x 1,
x2,…, xn– предметные переменные или предметные постоянные (не обязательно все
различные), то F(x1, x2,…, xn) есть формула. Такая формула называется элементарной, в
ней предметные переменные являются свободными, не связанными кванторами.
3. Если А и В – формулы, причем, такие, что одна и та же предметная переменная не
является в одной из них связанной, а в другой – свободной, то слова A  B, A  B, A  B
есть формулы. В этих формулах те переменные, которые в исходных формулах были
свободны, являются свободными, а те, которые были связанными, являются связанными.
4. Если А – формула, то A – формула, и характер предметных переменных при переходе
от формулы А к формуле A не меняется.
5. Если А(х) – формула, в которую предметная переменная х входит свободно, то слова
xA(x) и xA(x) являются формулами, причем, предметная переменная входит в них
связанно.
6. Всякое слово, отличное от тех, которые названы формулами в пунктах 1 – 5, не является
формулой.
Например, если Р(х) и Q(x,y) – одноместный и двухместный предикаты, а q, r – переменные
высказывания, то формулами будут, например, слова (выражения):
q, P( x), P( x)  Q( x 0 , y), xP( x)  xQ( x, y), (Q( x, y)  q)  r .
Не является формулой, например, слово: xQ( x, y )  P( x) . Здесь нарушено условие п.3, так
как формулу xQ( x, y ) переменная х входит связанно, а в формулу Р(х) переменная х входит
свободно.
Из определения формулы логики предикатов ясно, что всякая формула алгебры
высказываний является формулой логики предикатов.
1
§6. Значение формулы логики предикатов.
О логическом значении формулы логики предикатов можно говорить лишь тогда, когда
задано множество M, на котором определены входящие в эту формулу предикаты. Логическое
значение формулы логики предикатов зависит от значений трех видов переменных: 1) значений
входящих в формулу переменных высказываний, 2) значений свободных предметных переменных
из множества М, 3) значений предикатных переменных.
При конкретных значениях каждого из трех видов переменных формула логики предикатов
становится высказыванием, имеющим истинное или ложное значение.
В качестве примера рассмотрим формулу yz ( P( x, y )  P( y, z )) , (1) в которой
двухместный предикат Р(x, y) определен на множестве MхM, где M={0,1,2,…,n,…}, т.е.
MхM=NхN.
В формулу (1) входит переменный предикат P(x,y), предметные переменные x,y,z, две из
которых y и z – связанные кванторами, а x – свободная.
Возьмем за конкретное значение предиката P(x,y) фиксированный предикат P0(x,y): “x<y”, а
свободной переменной х придадим значение x 0  5  M . Тогда при значениях y, меньших x0=5,
предикат P0(x0,y) принимает значение “ложь”, а импликация P( x, y )  P( y, z ) при всех z  M
принимает значение “истина”, т.е. высказывание yz ( P 0 ( x, y)  P 0 ( y, z )) имеет значение
“истина”.
§7. Равносильные формулы логики предикатов.
Определение 1. Две формулы логики предикатов А и В называются равносильными на области М,
если они принимают одинаковые логические значения при всех значениях входящих в них
переменных, отнесенных к области М.
Определение 2. Две формулы логики предикатов А и В называются равносильными, если они
равносильны на всякой области.
Ясно, что все равносильности алгебры высказываний будут верны, если в них вместо
переменных высказываний подставить формулы логики предикатов. Но, кроме того, имеют место
равносильности самой логики предикатов. Рассмотрим основные из этих равносильностей.
Пусть А(х) и В(х) – переменные предикаты, а С – переменное высказывание (или формула,
не содержащая х). Тогда имеют место равносильности:
1. xA( x)  x A( x).
2. xA( x)  x A( x).
3. xA( x)  x A( x).
4. xA( x)  x A( x).
5. xA( x)  xB( x)  x[ A( x)  B( x)]
6. C  xB( x)  x[C  B( x)] .
7. C  xB( x)  x[C  B( x)]
8. C  xB( x)  x[C  B( x)]
9. x[ B( x)  C ]  xB( x)  C.
10. x[ A( x)  B( x)]  xA( x)  xB( x).
11. x[C  B( x)]  C  xB( x).
2
12. x[C  B( x)]  C  xB( x).
13. xA( x)  yB( y )  xy[ A( x)  B( y )].
14. x[C  B( x)]  C  xB( x).
15. x[ B( x)  C ]  xB( x)  C.
Равносильность 1 означает тот простой факт, что, если не для всех х истинно А(х), то
существует х, при котором будет истиной A(x ) .
Равносильность 2 означает тот простой факт, что, если не существует х, при котором
истинно А(х), то для всех х будет истиной A(x ) .
Равносильности 3 и 4 получаются из равносильностей 1 и 2, соответственно, если от обеих
их частей взять отрицания и воспользоваться законом двойного отрицания.
ЗАКОНЫ ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ.
(общезначимые формулы логики предикатов)
16. xP ( x)  x P ( x) .
30. P( y )  xP( x)  x[ P( y )  P( x)] .
17. xP( x)  x P ( x) .
C  xP( x)  x[C  P( x)] .
18. xP( x)  x P( x) .
19. xP( x)  x P( x) .
20. x[ P( x)  Q( x)]  xP( x)  xQ( x) .
21. x[ P( x)  Q( x)]  xP( x)  xQ( x) .
22. xyP( x, y )  yxP( x, y ) .
23. xyP( x, y )  yxP( x, y ) .
24. xyP( x, y )  yxP( x, y ) .
25. xP( x)  xQ( x)  x[ P( x)  Q( x)] .
31. C  xP( x)  x[C  P( x)] .
32. C  xP( x)  x[C  P( x)] .
33. C  xP( x)  x[C  P( x)] .
34. x[C  P( x)]  C  xP( x) .
35. x[C  P( x)]  C  xP( x) .
36. xP( x)  yQ( y )  xy[ P( x)  Q( y )] .
37. x[ P( x)  C ]  xP( x)  C .
38.
xP( x)  xQ( x)  xP( x)  yQ( y ) 
 x[ P( x)  yQ( y )]  xy[ P( x)  Q( y )].
39.
xP( x)  xQ( x)  xP( x)  yQ( y ) 
 x[ P( x)  yQ( y )]  xy[ P( x)  Q( y )].
26. x[ P( x)  Q( x)]  xP( x)  xQ( x) .
27. x[ P( x)  Q( x)]  [xP( x)  xQ( x) .
28. xP( x)  xP( x) .
29. x[ P( x)  P( y )]  xP( x)  P( y ) .
x[ P( x)  C ]  xP( x)  C .
3