ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОГРАММЫ С УЧЕТОМ НАДЕЖНОСТИ

УДК 514
ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОГРАММЫ С УЧЕТОМ НАДЕЖНОСТИ
В.Н. Бурков, А.И. Бородин, П.А. Колесников, В.Г. Тельных, Т.Я. Хулап
В статье рассматривается алгоритм решения задачи оптимизации программы реформирования промышленного предприятия с учетом ограничений на надежность
Ключевые слова: задача, надежность, проект, программа, решение
Имеются n проектов, из которых необходимо сформировать программу (например, программу реформирования промышленного предприятия)′. Каждый проект описывается тремя параметрами [1]: эффект ai, стоимость ci и надежность рi,
под которой понимается вероятность успешной
реализации проекта. Обозначим Q – множество
проектов, вошедших в программу. Тогда надежность программы можно оценить величиной
Р = ∏ pi
i∈Q
Пусть задан требуемый уровень надежности
программы Рm, то есть
Р = ∏ pi ≥ Pm .
i∈Q
Переходя к логарифмам, получим
ln P = ∑ ln pi ≥ ln Pm .
i∈Q
Обозначая
bi = − ln pi .
B = − ln Pm
получаем ограничение
∑ bi ≤ B
i∈Q
Обозначим xi = 1, если проект i входит в программу xi =0, в противном случае.
Задача 1. Определить {xi}, максимизирующие
n
при ограничениях
A(x ) = ∑ ai xi
(1)
∑b x
∑c x
i =1
i
i
≤B
(2)
i
i
≤С
(3)
i
i
где С – заданная величина финансирования программы. Поставленная задача является двумерной
задачей о ранце. Применим для ее решения метод
сетевого программирования. Для этого представим
коэффициенты ai в виде
ai = vi + ui , i = 1, n
и рассмотрим две задачами о ранце.
Бурков Владимир Николаевич – ИПУ РАН, д-р техн. наук, профессор, тел. (495) 334-79-00
Бородин Александр Иванович - ВГАСУ, аспирант, тел.
(4732) 76-40-07
Колесников Павел Анатольевич – ИПУ РАН, аспирант,
тел. (495) 334-79-00
Тельных Виталий Геннадьевич – ВГАСУ, аспирант, тел.
(4732) 76-40-07
Хулап Татьяна Яковлевна – МФТИ, студент, тел.
(495) 334-79-00
Задача 2. Максимизировать
V (x ) = ∑ vi xi
i
при ограничении (2).
Задача 3. Максимизировать
U (x ) = ∑ ui xi
i
при ограничении (3)
Обозначим F1(v) значение V(х) в оптимальном решении первой задачи, а F2(u) – значение U(х)
в оптимальном решении второй задачи. Сумма
F(v,u) = F1(v) + F2(u)
является оценкой сверху эффекта А(х) для исходной
задачи (1) – (3).
Сформулируем двойственную задачу.
Двойственная задача: определить {vi} и {ui},
минимизирующие F(v,u) при ограничениях
vi + ui = ai , i = 1, n
Обозначим Q1(v) – множество оптимальных
решений первой задачи, Q2(u) – множество оптимальных решений второй задачи.
Лемма 1. Если Q1 (v ) ∩ Q2 (u ) ≠ ∅ , то любое
решение x ∈ Q1 (v ) ∩ Q2 (u ) является оптимальным
решением исходной задачи.
Доказательство.
Любое
решение
x ∈ Q1 (v ) ∩ Q2 (u ) удовлетворяет обоим ограничениям (3.2) и (3.3) и поэтому является допустимым решением исходной задачи. Следовательно, оценка
сверху F(v,u) является достижимой, а соответствующие решения x ∈ Q1 (v ) ∩ Q2 (u ) являются оптимальными [2].
Пример 1. Рассмотрим следующую задачу
20х1 + 30х2 + 40х3+ 50х4 + 60х5 → max
х1 + 2х2 + 3х3+ 4х4 +5 х5≤ 8
2х1 + 6х2 + 3х3+ 5х4 + х5≤ 9
1 шаг. Возьмем
v1 = 10, v2 = 15, v3 = 20, v4 = 25, v5 = 30
u1 = 10, u2 = 15, u3 = 20, u4 = 25, u5 = 30
Задача 2.
10х1 + 15х2 + 20х3+ 25х4 + 30х5 → max
при ограничениях
х1 + 2х2 + 3х3+ 4х4 +5 х5 ≤ 8.
Приведем оптимальные решения
х1 = (1,1,0,0,1)
х2 = (1,0,1,1,0)
F1(v) = 55
Задача 3
10х1 + 15х2 + 20х3+ 25х4 + 30х5 → max
при ограничении
2х1 + 6х2 + 3х3+ 5х4 + х5 ≤ 9.
Оптимальное решение
x3 = (0,0,1,1,1) F(u) = 75
Оценка сверху F(v,u) = 55 + 75 = 130.
2 шаг. Поскольку Q1 (v ) ∩ Q2 (u ) = ∅ , то попытаемся улучшить (уменьшить) оценку изменив
величины v и u. В данном примере сразу видно, что
если уменьшить v1, увеличив u1, то F1(v) уменьшится, а F2(u) – не изменится. Для удобства записи будем приводить только коэффициенты v, b, и u в виде таблиц.
В этом случае три оптимальных решения
Q1(v) = {(1,1,0,0,1), (1,0,1,1,0), (00101)},
F1(v) = 50
Задача 3
Оптимальное решение
Q2(u) = (0,0,1,1,1), F2(u) = 75
F(v,u) = 125, Q1 (v ) ∩ Q2 (u ) = ∅
3 шаг. Увеличим v4 и v5 на 10, уменьшив, соответственно u4 и u5 также на 10.
Задача 2
F2( и ) = 35, F( и ,v) = 110
Q(u , v ) = Q1 (v ) ∩ Q2 (u ) = (11001) = x 0
Так как Q1 (u , v ) ≠ ∅ , то общее решение х0 =
(11001) является оптимальным для исходной задачи.
В рассматриваемом примере изменение величин u и v производились интуитивно. Опишем
алгоритм определения изменений u и v на каждом
шаге.
Алгоритм решения двойственной задачи
Примем, что получены оптимальные решения задач 2 и 3, то есть множество Q1(v) и Q2(u).
Пусть множество Q1(v) содержит q1 решений, а
множество Q2(u) – q2 решений. Обозначим qij – координаты решения j ∈ Q1(v), sik - координаты решения k ∈ Q2(u), j = 1, q1 , k =1, q2 . Обозначим далее yi
– изменение vi (и соответственно (-yi) изменение ui),
i = 1, n . Тогда изменение величины F1(v) можно записать в виде
∑ qij yi ,
∆1 ( y ) = max
j
i
а изменение величины F2(u)
∑ sik yi
∆2 ( y ) = − min
k
i
60
Оптимальные решения
Q1(v) = {(11001), (00101), (10110)}, F1(v) =
Задача 3
Оптимальные решения
Q2( и ) = {(00111), (10101)} F2( и ) = 55
F( и , v) = 115, Q1 (v ) ∩ Q2 (u ) = ∅
4 шаг. Увеличим v1, v3 и v4 на 5, а v5 на 10,
соответственно, уменьшив u1, u3, u4 на 5, u5 на 10.
Задача 2
75
Оптимальные решения
Q1(v) = {(11001), (00101), (10110)} F1(v) =
Задача 3
Для того чтобы оценку F(u,v) можно было
уменьшить необходимо и достаточно выполнить
условия ∆1(y) + ∆1(y) < 0 или
max ∑ qij yi < min
∑ sik yi
k
j
i
i
Для этого, в свою очередь, необходимо и
достаточно, чтобы имела решение система линейных неравенств
∑ (qij − sik ) yi ≤ − ε , j =1, qik , k =1, q2 , (4)
i
где ε > 0. Решение этой системы можно получить
известными алгоритмами. Величина ε выбирается
из условия появления новых решений либо первой,
либо второй задачи.
Литература
1. Баркалов П.С., Буркова И.В., Глаголев
А.В., Колпачев В.Н. Задачи распределения ресурсов в
управлении проектами. – М.: 2002 (Научное издание /
Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова
РАН), 63 с.
2. Бурков В.Н., Буркова И.В. Задачи дихотомической оптимизации. – Материалы международной
научно-технической конференции «Системные проблемы
качества, математического моделирования, информационных и электронных технологий», Радио и связь, 2003.
С. 23-28.
Оптимальные решения
Q2( и ) = {(0,0,110,1), (1,0,1,0,1), (11001)}
Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН (г. Москва)
Воронежский государственный архитектурно-строительный университет
Московский физико-технический институт (государственный университет)
OPTIMIZATION OF THE PROGRAM IN VIEW OF RELIABILITY
V.N. Burkov, A.I. Borodin, P.A. Kolesnikov, V.G. Telnykh, T.Y. Khulap
In clause the algorithm of the decision of a problem of optimization of the program of reforming of the industrial enterprise in view of restrictions on reliability is considered
Key words: a problem, reliability, the project, the program, the decision