И.С.Богатый Вероятность неразорения в модели с дискретными

И. С. Б о г а т ы й (Москва, МГУ). Вероятность неразорения в модели
с дискретными временем и риском.
P
Рассматривается дискретная модель риска Ut (u) = u + ti=1 (b − Xi ), t = 0, 1, . . . ,
где u — стартовый капитал, b — поступление страховых премий за единицу времени, а X1 , X2 , . . . — размеры страховых выплат в моменты времени t = 1, 2, . . .
Предполагается, что X1 , X2 , . . . независимы, одинаково распределены и принимают
целочисленные значения a1 > a2 > · · · > am > 0 с вероятностями q1 , q2 , . . . , qm соответственно, q1 + q2 + · · · + qm = 1. В дальнейшем будем считать, что am = 0 (это
можно обеспечить выбором b).
Обозначим pu = P {mint>0 Ut (u) > 0} вероятность неразорения на бесконечном
P
u
интервале времени при начальном капитале u. Пусть f (x) = ∞
u=0 pu x есть производящая функция последовательности {pu }. Производящую функцию распределения
P
aj
b
случайных величин Xi обозначим Q(z) = m
j=1 qj z ; положим P (z) = −z + Q(z).
Теорема. Если b − a1 q1 − a2 q2 − · · · − am qm = b − M X1 > 0, то
f (z) =
(1 − z1 )µ1 (1 − z2 )µ2 · · · (1 − zs )µs
1
,
µ
µ
µ
s
1
2
(z − x1 ) (z − x2 ) · · · (z − xs )
1−z
где x1 , x2 , . . . , xs — все (комплексные) корни P (z), бо́льшие единицы по модулю, а
µ1 , µ2 , . . . , µs — их кратности.
Разлагая функцию f (z) в сумму простых дробей, можно получить явную формулу
для вероятностей неразорения в виде конечных сумм.
Данный результат получен как обобщение работы Неймана [1], в которой исследовалась аналогичная задача для m = 2, q1 = q2 = 1/2. Аналогичные результаты
несколько другими методами были получены в [2], [3].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Newman D. J. The distribution function for extreme luck. — Amer. Math. Monthly,
1960, v. 67, } 10, p. 992–994.
2. Liu S. X., Guo J. Y. Discrete risk model revisited. — Methodol. and Comput. Appl.
Probab., 2006, v. 8, } 2, p. 303–313.
3. Jensen G., Pommerenke C. On a function-theoretic ruin problem. — Ann. Acad.
Sci. Fennicae, 2007, v. 32, p. 523–543.