Элементы алгебры

ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ
с.н.с. З.А .Кузичева
1/2 года, 2 курс, философский факультет
1. Определение бинарной алгебраической операции. Свойства операций. Единственность единицы.
2. Понятие обратного элемента. Его единственность для каждого элемента, имеющего
обратный.
3. Определение полугруппы. Пример полугрупп.
4. Понятие группы. Примеры.
5. Понятие полугруппы данной группы. Доказать, что всякая подгруппа группы А содержит единицу группы А.
6. Пересечение любого множества подгрупп данной группы является подгруппой. Доказать.
7. Понятие левого (правого) смежного класса группы по данной подгруппе, примеры. Доказать: множество левых смежных классов группы А по подгруппе Н образуют
разбиение.
8. Нормальная подгруппа данной группы. Доказать: если H – нормальная подгруппа
группы A , то gH  Hg для любого g  A .
9. Произведение смежных классов по нормальной подгруппе. Понятие фактор-группы
группы А по нормальному делителю Н.
10. Определение кольца. Примеры колец. Доказать, что 0  a  a  0  0 для любого a из
кольца K ; a  ( b)  a  b ; (a  b)  c  a  c  b  c ; a  (b  c )  a  b  a  c .
11. Кольцо с делителями нуля. Примеры.
12. Понятие подкольца данного кольца. Идеал кольца. Примеры.
13. Понятие частично упорядоченного множества. Изоморфизм частичных порядков.
14. Единственность наибольшего (наименьшего) элемента частично упорядоченного
множества. Верхняя и нижняя грань подмножества частично упорядоченного множества.
15. Понятие решетки. Примеры решеток. Операции в решетке.
16. Модулярные и дистрибутивные решетки. Определение, примеры решеток, не являющихся дистрибутивными, модулярными.
17. Булевы решетки. Уметь доказать законы де Моргана.
18. Доказать: любое линейно упорядоченное множество является дистрибутивной решеткой.
19. Решетки с относительным дополнением. Импликативные решетки.
20. Понятие идеала решетки. Примеры.
21. Понятие фильтра. Представление дистрибутивных решеток.