О случайных множествах равномерной сходимости

МатеАлатические
т о м 54
заметки
ВЫПУСК 1
июль
1
993
о СЛУЧАЙНЫХ МНОЖЕСТВАХ
РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ
Б. С. Кашин. Л. А. Цафрири
П.Л. Ульянов поставил в [1] вопрос о характеризации множеств сг С Z,
для которых функции {е^'^*^^}пб<т образуют базис в порожденном ими
подпространстве пространства С(0,1). Другими словами, требуется вы­
яснить для каких множеств а конечна величина
и ((т) = sup
оо
Пб<7"П[—5,5]
5,{а„}
оо
где верхняя грань берется относительно всех s Е N и всех финитных по­
следовательностей {ап}п^а фО.
Множество (т, для которого величина U{<т) конечна, мы будем называть
множеством равномерной сходимости (U.C. множеством).
Статья [1] содержит два основных вопроса: один из них - выяснить яв­
ляется ли (7 = {Р}ке^ множеством равномерной сходимости, второй, бо­
лее общего характера, - определить насколько плотными могут быть U.C.
множества.
Первая задача полностью решена К.И. Осколковым [2] (см. также [3]),
который показал, что для любого многочлена Р{х) с целыми коэффициен­
тами (7 = {Р{п)}пе^ не является U.C, множеством.
Задача о возможной плотности множеств равномерной сходимости ос­
тается открытой. Она может быть сведена к вопросу о нахождении для
данного N подмножества а С {-N,... ,N} с максимально возможным
числом элементов, для которого U{(т) ограничена константой, не завися­
щей от N. Эта задача может быть рассмотрена и для других ортонорми­
рованный систем. В частности, для системы Уолша {И^г}^^! •
Простейшими примерами множеств равномерной сходимости являют­
ся множества Сидона, при этом известно, что их плотность весьма мала.
Более точно, для множества Сидона сг G Z, |<т П [—N, N]\ < С log TV, где
(с)
17
B . C .
КАШИН,
л.
А.
ЦАФРИРИ
1993
18
B.C. КАШИН, Л.A. ЦАФРИРИ
С < ОО- некоторая постоянная, N = 1,2,...; множества большей плот­
ности порядка {\ogNy были построены в [4], порядка (logTV)^, к
в [5]. До настоящего времени не известны примеры U.C. множеств боль­
шей плотности.
Цель настоящей заметки - рассмотреть случайные подмножест­
ва <т С {-А^, . . . , А ^ } тригонометрической системы {е^'^*^^}^__д^ или
c r c { l , . . . , i V } - B случае системы Уолша {Wi}'fj^^.
В обоих случаях
оценки констант Лебега (т.е. норм операторов частных CJ^MM) гаранти­
руют, что и{(т) < ClogN для всех сг, N и некоторой постоянной С.
В [6] было показано (см. также [7, с. 283]), что для любой равномерно
ограниченной ортонормированной системы {(pn}n=i случайное множес­
тво а С { 1 , . • •, N} с числом элементов |сг| < (1/6) logN есть множест­
во Сидона с константой Сидона, не зависящей от N. Следовательно, для
случайного множества а с числом элементов \а\ < (1/6) logN мы имеем
и (сг) < С с константой С , не зависящей от А^.
Основной результат этой работы состоит в том, что для случайного
подмножества а Е { 1 , . . . , N} с числом элементов ^ log N U(сг) —> оо
при N
ООН, более того, если число элементов случайного множества
сг удовлетворяет условию |сг| > N^ для некоторого е > О, то с большой
вероятностью U(а) имеет максимально возможный порядок, т.е. log N.
Сначала мы рассмотрим случай системы Уолша. Для натуральных q и
N таких, что I < q < N, обозначим через 5д^ семейство всех множеств
сг С { 1 , . . . , А^} с \а\ = q и через и нормированную считающую меру на
S^J^. Пусть для а С Sj^
и (сг)
-;
= sup
l<s<N,
supp({a^}) Со-,
ТЕОРЕМА 1. Существует абсолютная постоянная с > О такая,
что если N = 2^ для некоторого натурального г и 1 < q < N/2, то
.{.e5-W<clog(2+^)}<i,.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В случае, когда q не очень велико по сравнению с
log А^, можно найти такую постоянную с > О, что
clog
2-f -
V
bgA^y
< 1,
о СЛУЧАЙНЫХ МНОЖЕСТВАХ РАВНОМЕРНОЙ СХОЛИМОСТИ
19
И следовательно, рассматриваемая в теореме мера равна нулю, так как
^ 1 -ДЛЯ любого множества с. Поэтому ниже мы предполагаем, что
достаточно велико nq > 20 log А/^.
Пусть S =
отметим, что О < 5 < ^. Далее, пусть
- на­
бор независимых случайных величин, определенных на некотором вероят­
ностном пространстве (Q, Е, /i), принимающих значения О или 1 со сред­
ним значением S. Для о; G ^ положим
<r(u;) = {г; l<i<N,
^
= 1}.
Ниже мы покажем, что для некоторой постоянной с > О
е П; и{а{и)) < clog (2 + ф
)
} < А.
(.)
Тем самым мы докажем теорему 1, поскольку
fi{ujen]
\a{u)\ = q =
В
SN}>-^
для некоторой постоянной 5 > О, не зависящей от Я и ( - ^ ) ^ ( : ^ ) <
для достаточно больших N.
При доказательстве оценки (*) нам потребуются вспомогательные лем­
мы.
ЛЕММА 1. Т/^/сть 6 = (61,62,... ,62^) - такая
что
для S = 1, 2 , . . . , г — 1 и некоторого
^s =
/Зо > О
последовательность,
множество
{k;^<\b.\<^}
имеет мощность \As \ > /Зо2^. Тогда для любой последовательности
а = («1, «2, • • •, о,2г) с \\a\\i < X, при некотором 1 < А < (г - 2)/?о/8
справедливо неравенство
\\а-Ь\\2>2-'^/^о^,
20
B.C. КАШИН. Л.A. иАФРИРИ
ЛОКАЗАТЕЛЬСТВО. Зафиксируем а = ( o i , а г , . . . , аг'-) с ||a||i < Л и
для каждого s положим
= Ylke^s l ^ ^ l *
(8Л/у9о)+1
А>
"
^
8А
А5 > —
"
min
А5,
1<5<(8Л//Зо)+1
МЫ можем найти натуральное 1 < «о ^ ^ + 1 такое, что Ад^ <
Поло­
жим
и отметим, что
т.е.
2 •
8
Следовательно,
Y:
На - Ь\\1 > j:\a,-b,\^>
-
/?о2^о
00
00
22»о+5
2*0+5
32
-
^ '^g^of/"'
1
2*0'
и мы получаем
|a-fr||2>'^32-2wi>—2lI7^2. Предположим, что {(pi}^i - набор элементов гильбер­
това пространства Н такой, что для некоторого О < е <1 и любого
вектора с = ( c i , Сг . . . , Ст) справедливо неравенство
ЛЕММА
т
(1-е)||с||2<
Y'^m
1=
< ( 1 + е)||с||2.
1
Тогда
ТП
(1
-
^ n i e l l i
<
m
Е |(E^'V'.-,^*)r < ( 1 + £ ) ' | | с | |
Аг=1 1=1
для того же е > О и каждого с El^^.
о СЛУЧАЙНЫХ МНОЖЕСТВАХ РАВНОМЕРНОЙ СХОЛИМОСТИ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
21
Нашепредположею1евлечет
т
{ l - e ) V <
CiCj{ipi,^j)<{l-^ey\\c\\l
для любогос G /2", т.е. матрицаС = { ( ^ i ,
положительно опре­
делена и ее собственные значения ( A i , . . . , Am) удовлетворяют неравенст­
вам.
( 1 - £ ) 2 < А . < ( 1 + £)2;
1<г<т.
Следовательно, собственные значения матришл GG* = G^ лежат между
(1 - б:)"* и (1 -f е:)^. В частности,
{1-еПс\\1<{с,СС*с)<{1
ДЛЯ любого с G
т
+
еШ1
. Это завершает доказательство, поскольку
т
J 1
к=1 ' ^=1
'
1
-I
1
к=1
»,i=i
ЛЕММА 3. В предположениях леммы 2 для элемента f = YlTLi ^i^i
справедливо неравенство
гп
т
t=i
1=1
1/2
если е достаточно мало.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу леммы 2
о<||/-Е(/-^.-ь1 =ii/iP + ||D/'^'V«|| - 2 E i ( / . v . ) i '
1=1
1=1
т
< \ т ' - а - е ) Ж
+ {'^е +
1=1
е')'£\{Ш\'
1=1
< [(1 +
- (1 - е Г + (2£ + е'){1 +
е)']\\с\\1
Поэтому, если с достаточно мало, мы получаем
0<||/-$](/,^.-)^i||
<S-be\\c\\l<9e'£U^i)\'-
1=1
1=1
B.C. КАШИН, Л.A. иАФРИРИ
22
Существует такое SQ > О, что как только задан набор
{v?i}i=i элементов гильбертова пространства Н, удовлетворяющий
условию
ЛЕММА 4 .
гп
(i-«2<||E^'^'iL^(i+^)iHb'
«=1
для некоторого О < е < Со и любого с = ( c i , . . . , C m ) Е / 3 ^ , то для
любого Z Е Н и любого вектора с = ( c i , . . . , Ст)
.1/2
^ - Е '^^^ II ^ (1 - ^) [ Е ((^' ^ 0 1=1
- зл/?(
^0^]
1=1
1=
1
Е к^' ^ о р )
ЛОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть R - ортогональная проекция из Я на L =
Ы1^1-Тогда
m
2
m
=1
1
=1
VL{Rz,(pi) = {Zy(pi)] 1 < i < m, т.е. достаточно установить искомое не­
равенство для Rz вместо z. Другими словами, мы можем предполагать,
что Z е L. Тогда в силу нашего предположения и леммы 3 мы находим:
z-Y^Ci<fi
>
i= l
Y2[{z,ipi)-Ci](pi
2
=1
-
z
-J2{z,(pi)(pi
1
1
=1
=1
1=1
Для того, чтобы оценить U(сг), нам потребуется
5. Пусть {Wj}^^^''
- первые N функций Уолша, опреде­
ленные на [0,1], и пусть сг С { 1 , 2 , . . . , N]. Тогда
ЛЕММА
и{а)=
max
\{vp,z)\,
1<P<N
p
раз
где t;p = ( M r X l , 0 , . . . , 0 ) и
N
Z{a) = { z = ( z i , . . . , z;v) G M ^ , supp(^) С ^, || E
г= 1
^^'^^ | L ^
о СЛУЧАЙНЫХ МНОЖЕСТВАХ РАВНОМЕРНОЙ СХОЛИМОСТИ
23
Z((T). Тогда ДЛЯ
Зафиксируем l<p<NHze
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
любого О < г < ^
= \J2'j\
i=i
= \fl'J^Лг)\
< II Е
i=i
;=i
ZJ Wj L
< U{a).
Для того, чтобы доказать обратное неравенство зафиксируем функцию
/ = EfcLi fi^Wk такую,что8ирр{/(А:)} С <т, ||/||оо = 1 и для некоторых
1 ^ Р ^ ^ и О < г о < 1 имеет место равенство
UH
=
J2f{k)Wk{To).
к=1
Положим
9{^) = Е
fik)Wk{To)Wk{x),
X е [0,1],
к=1
TQ обозначает
и отметрш, что д{х) = X^^Li
То), где а:
сложение х и го по модулю 2 (см. [7, с. 135]). Поэтому
д{х) = f(x^d
хо)
и, значит, Ц^'Цоо < 1- Следовательно, г° = {К^)^к{то)}^_^
значит,
UicT) = {v,,z')<
max |(^p,z)|.
l<p<iV
G
Z(a)H,
ЛЕММА 6. Ллл^ N = 2'^ рассмотрим дискретную систему Уолша
Wi = (tt'zjOj^i; 1 ^
^>
набор векторов, нормированных в
1^, т.е. таких, что \wij\ = 1 для всех 1 <
< N. Пусть при
этом {W^^^}jLi - столбцы матрицы Уолша. Тогда для любого а С
{1,2,...,^}
N
f/(a) = i n f | A ; V l < p < y V , RaVp = YXjRaW^^^
N
с
E'^il^^}'
p раз
где г;р =r ( 1 , . . . , 1, 0 , . . . , 0) и i^^j - оператор ортогонального проекти­
рования на [ei]i^o- {{^i}iLi обозначает канонический базис в М ^ ) .
24
B.C. КАШИН. Л.A. ЦАФРИРИ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем сначала, что для любого 1 < р < А'^ и
(ТС(1,2,...,АГ}
RaVp е cony{±U{(T)R^W^^^] l<j<
N}.
В самом деле, если бы это включение нарушалось при некотором 1 < р <
то стандартное рассуждение, основанное на свойстве отделимости вы­
пуклых множеств, влекло бы существование вектора 6 = ( 6 i б д г ) та­
кого, что (b.R^Vp) > 1, но \{b,U{<T)RaW^^^)\ < 1 для всех I < j < N.
Положим тогда z = U{a)Rab и отметим, что для рассматриваемого р
|(г,г;р)| > U{a). С другой стороны, [(г, VT^-'))! < 1 для всех I < j < N^
т.е. Z е Z(cr), что в силу леммы 5 влечет |(г,т;р)| < [/(<т), и мы приходим к
противоречрпо.
Как немедленное следствие, мы имеем
N
RaVp
= YfijU{a)R^W^^\
j=i
для
с YljLi
Iwl
^ 1- Следовательно,
inf любого
{ А ; V 1 I<<р
Р <<
ЛГ,NR„Vp
=
>^jR<rW^^^
с ^
|А^| < А } <
U{a).
N
с другой стороны, если для
некоторого
I < р < N мы имеем, что
/га1^р
= Х^А^я<,1^(»
7=1
N
\{v,,z)\
= \iR„v„z)\
= X;A,(Z,W^O)) < А ^ т ^ ^ | ( г , ж О ) ) | < А,
т.е. и{а) < А.
Для полноты изложения приведем также следующий известный веро­
ятностный результат.
о СЛУЧАЙНЫХ МНОЖЕСТВАХ РАВНОМЕРНОЙ СХОЛИМОСТИ
25
ЛЕММА 7. Пусть О < S < ^ и пусть {^k]^^i
- набор независи­
мых случайных величин, определенных на некотором вероятност­
ном пространстве (Q,E,/i), принимающих значения О или 1 со сред­
ним значением S. Тогда для любых \ак\ < 1 , ^
к < N, и О < у < 5N
мы имеем
к=1
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Зафиксируем! < к < N и положим Xk{uj) =
^к (о;) - (5, отметим, что для О < / < !
/ е^^^(-) dfi{u) = /
fl Ч- tXkioj)
+ V ^-irXiiu)] dpi(u)
f
^
1
= l+<2<J(l-i)(e-2)<e*'*(i-"').
в частности,
при условии, что о <t < 1. Следовательно, по теореме 15 из [8, с. 52] мы
получаем,что
А;=1
при условии, что о < 7 < 25(1 - 5)N и, в частности, если О < 7 < SN.
Лемма 7 доказана.
Прежде чем доказывать теорему 1 отметим, что для I < j < N
(i)
для каждого 1 < р < JV и
если р = [N/3] и bj = ^""'"^
>,
l<j<N,
(ii)
26
B.C. КАШИН, Л.A. ЦАФРИРИ
ТО МОЩНОСТЬ множества
удовлетворяет неравенству l ^ ^ l > ^ для всех О < 5 < log2 N.
Лля ( 7 C { 1 , 2 , . . . , 7 V } M P = : [N/S] ИЗ леммы б следует, что
N
;=1
Лля фиксированных SnN
таких,что 5N > 20logN, пусть
/
\3/8
т = UoiogTvJ
отметим при этом, что
i=i
i=i
< и{а-)
max
max
mKhKN
l<j<m
m<h<N
Чтобы оценить сверху правую часть последнего неравенства, мы сначала
применим лемму 7 при фиксированном
h,m<h<N,HO<j<SNH
получим
р
1=
1
где
, как обычно, (0,1)-значные независимые случайные велргчины
со средним 5 для некоторого О < <J < 1, определенные на некотором веро­
ятностном пространстве (Q, Е, /i). Следовательно,
Juj
^
е
max
m</i<iV
-
-7V(45iV)
y]ti;i,^(^i(u;) - (J) > 7} < 2Ne-^'
7-^
t=l
J
о СЛУЧАЙНЫХ МНОЖЕСТВАХ РАВНОМЕРНОЙ СХОЛИМОСТИ
а потому с вероятностью > 1 — 2Ne~'^
/(45N)
^^^^
27
имеем
max
rn<h<N
В силу сделанного выше замечания (г)
с вероятностью > 1 - 2Ne~^^/^^^^У
Положим 7 = y/205NlogN и отметим, что имеет место неравенство
/
.
о < 7 < SN, Тогда для 5 = ( 201
Ч-1/16
iv )
справедливо равенство
SN
m =
у 20 log TV
используя которое, мы без труда выводим, что
^m^x^\{RaVp,W^^^<
( l + ^)v20(5iVlog7V< ^^/20(J7Vlog
•с вероятностью > 1 .
Аналогичный подсчет, использующий лемму 7 и ортогональность мат­
рицы Уолша, показывает, что
N
г=1
ДЛЯ любых о < 7 < SN, m<h<NHl<j<m.
тью > 1 —
М
Ы имеем:
max
|(И^(^), RcrW^^^)\ <
Поэтому с вероятнос­
^/20SNlogN.
l<j<m
7n<h<N
В итоге получаем, что
< (4-
+
U(a)Juia)^205N\ogN
28
B.C. КАШИН. Л.A. ЦАФРИРИ
С вероятностью > 1 — .
Чтобы оценить снизу левую часть последнего неравенства, положим
-;
1 < i < m,
и отметим, что, рассуждая как вьппе, мы полу^шм
N
1=1
для любых 1 < i, / < т . Это влечет, что с вероятностью > 1 —
место неравенство
\{RcrW^^\R^W^^^)^5{W^^\W^^^)\
< у/205N log iW,
имеет
1< j , / < m .
Следовательно, с той же вероятностью > I —
201ogiV
,
1 < J, / < m.
Поэтому для каждого вектора с = (cj)JLi
-IWIi
< E l c , l | c , l | f e , . , ) - ( ^ , ^ ) |
^
,\2 /201ogiV ^
,, ,2 /201ogAr ^ 2„ „2
т.е.
(i-e)iNi2<ix:'^i^i||<(i+«2.
Следовательно, пользуясь леммой 4, примененной в случае, когда z =
и Cj
1
< m,
получим, что
= IJ'(<T), < J
М
Ы
m
-3v?(i:|(я<,1;р
2^1/2
)\У
д^^^(•'•)^
29
о СЛУЧАЙНЫХ МНОЖЕСТВАХ РАВНОМЕРНОЙ СХОЛИМОСТИ
Т.е.
2\ 1/2
2\ 1/2
Выше мы ввели п р е д п о л о ж е г о 1 е , что ^(log N)~^ — 5N{\og N)~^ настолько
велико (или, что эквивалентно, е настолько мало), что мы можем исполь­
зовать лемму 4. Повторяя вычисления, сделанные ранее, мы заключаем,
что
\(vp,R^W^^^) - S{vp,W^^^)\ < y/205N\ogN,
с вероятностью > 1 —
1 < j < m,
• Это влечет, что
3=1
2\ 1/2
M.-c)v«(i:|(^,^)-»r)
1/2
VSN
2\ 1/2
1/2
;=1
- (1 - ф(20(5ЛГ logiV)!/* - 3e^/2(20(J^logAr)i/4
,a-.,.«(|:|(i^)-.jHy1/2
-V77(EK^p.^^'^)l')'''-4^(20'5iVbgiV)i/^
30
Б.с. КАШИН, л.А. ЦАФРИРИ
В силу сделанного выше замечания (ii) и леммы 1 справедливо неравенство
р. , 2x1/2
Vp
(
У^,ф-Ж)-''П<^Ч
1
^16
1
1
21бС7(сг)
ДГ1/3
при условии и{(т) <
что позволяет использовать лемму 1. Если же
и{(т) >
то последнее неравенство очевидно вьшолняется, так как
правая часть становится отррщательной. Кроме того, в силу неравенства
Бесселя
тп
.
Следовательно, с вероятностью >1 —
( | - + C/(<r))(20.JiVlog7V)i/*
> (4 +
C/(tT))
(SN)
'^V(<T)1/2 {20SN
log ЛГ)!/"
1/2
^1/2
Чтобы завершить доказательство оценки (*) и, следовательно, теоремы 1
достаточно проверить, что неравенства, приведенные вьппе, влекут
для некоторой абсолютной положительной постоянной с. В самом деле,
-™
< 10.V2,,o30.2-^^(^) >
i ( ^ ) ^ ^ " , T . e .
Iog30+16t/Hlog2>llog(^)-logl0.
Следовательно,
где с > О - абсолютная постоянная. С другой стороны, если ^^^iluia)
Юб:^/^, то, так как
2
^/
SN
\1/8
,
^
о СЛУЧАЙНЫХ МНОЖЕСТВАХ РАВНОМЕРНОЙ СХОЛИМОСТИ
31
МЫ получаем, что
ИЛИ
Т.е. снова
log.
Рассмотрим теперь случай тригонометрической системы. Для величи­
ны и(<т), определенной в начале статьи, имеет место аналогичная теореме
1 оценка.
ТЕОРЕМА 2 .
что при
Существует абсолютная постоянная 6 >
и 1 < q < N справедливо неравенство
О
такая,
А^ = 2 , 3 , . . .
е
; uiW
- iv - 1 } ) < 6iog (2 + j - ^ ) } <
.
Мы использовали выше обычное обозначение: множество
a - N - l
= {k-N-U
kecr}
- подмножество множества
{_7V,-Ar+l,...,-l,0,l,...,iV-l,7V}.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2 . Первый шаг в доказательстве теоре.мы 2 состоит в рассмотрении для данного N дискретной тригонометри­
ческой системы
Как и в предыдущем случае, мы обозначаем через ^^-^^ О ^ J S 2А^, столб­
цы матрицы {<Pk,j}k =
-N%0-
Повторяя доказательство теоремы 1 для системы {(pk}j^=^]\^ вместо
системы Уолша {VFjt}^_i и для р = [N/2] вместо р ~ [N/3], мы найдем,
что z^(^) > 1 — ]>7!j, где А - множество всех подмножеств а С S^jsf^i, лля
32
B.C. КАШИН, Л.A. ЦАФРИРИ
—
которых МОЖНО найти последовательность
(т — N — I такую, что
k = -N
(а^)^__^
с носителем в
к = -р
°
где с > О - абсолютная постоянная. Мы рассматриваем при этом, в отли­
чие от системы Уолша, симметричные векторы
N —p
vj, =
2р+1 раз
раз
N —p
раз
( ' o , o , . ^ , o : i , i , . ^ , i : o X ^ е ж2"+1,
которые, очевидно, удовлетворяют соотношению
(г;р,^(>)) = ^р(27г;7(2АГ4-1))
для всех О < j < 2N, где Dp обозначает обычное комплексное ядро Ди­
рихле.
Для того, чтобы вьгоести теорему 2 из дискретного случал, разобранноN
говьппе, ДЛЯ любого С
Г G Л рассмотрим многочлен ^^(х) =
а^^^^^^^
k = -N
И его средние Балле Пуссена:
2р-1
^
п=р
п
к = -п
Тогда, используя стандартные свойства ядра Балле Пуссена, мы без труда
получим, что ЦТ^Цоо < 10. С другой стороны.
ikx
к=-р
к=-р
к = -р
Следовательно, для любого а £ А
ЗАМЕЧАНИЕ . Подход, использованный в доказательстве теоремы 1, мо­
жет быть применен и для других ортогональных систем. Б частности, тот
же результат без изменения доказательства устанавливается для каждой
перестановки дискретной тригонометрической системы.
«
Математический институт им. В.А. СтекловаРАН,
МОСКВА, РОССИЯ;
I n s t i t u t of M a t h e m a t i c s , the H e b r e w
JERUSALEM, ISRAEL
Поступило
24.05.93
University,
о СЛУЧАЙНЫХ МНОЖЕСТВАХ РАВНОМЕРНОЙ СХОЛИМОСТИ
33
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] У л ь я н о в П . Л . Некоторые вопросы теории ортогональных и биортогональных
рядов / / Изв. А Н АзССР. Сер. Физ.-техн., матем. наук. 1965. №6. С. 11-13.
[2] О с к о л к о в К . И . О спектрах равномерной сходимости / / Д А Н СССР. 1986.
Т. 228. С. 54-58.
[3] А р х и п о в Г . И . , О с к о л к о в К . И . О специальных тригонометрических рядах
и их приложениях / / Матем. сб. 1987. Т. 134. К^2.
[4] F i g a - T a l a m a n c a А . An example in the theory of lacunary Fourier series / /
Boll. Un. Mat. Ital. 1970. V. 4. }('-3. P. 375-378.
[5] P e d e m o n t e L . Sets of uniform convergence / / CoUoq. Math. 1975. V. 33. P. 1 2 3 132.
[6] К а ш и н B . C . О некоторых свойствах пространства тригонометрических поли­
номов с равномерной н о р м о й / / Т р у д ы М И А Н . 1980. Т. 145. С. 111-116.
[7] K a s h i n B . S . , S a a k y a n А . А . Orthogonal Series, A M S translations of Math,
monographs, v. 75. Providence, 1989.
[8] P e t r o v V . V . Sums of Independent Random Variables. Berlin: Springer, 1975.
М а т е м а т и ч е с к и е з а м е т к и , т . 54, в. 1