Условия диссипативности некоторых моделей динамики

Соколов С.В.
Санкт-Петербургский государственный университет
Условия диссипативности некоторых моделей
динамики популяций1
Рекомендовано к публикации профессором Александровым А.Ю.
Рассмотрим обобщенную систему Лотки-Вольтерра вида [1]


mi
(n)
(1)
X
α
α
µ
ij
ij
aij x1 · · · xn  , i = 1, . . . , n. (1)
ẋi = xi bi − ci xi i +
j=1
Здесь xi (t) – численность (или масса) i-ой популяции в момент времени t, bi > 0 – коэффициенты естественного прироста популяций,
постоянные ci > 0, µi > 0, i = 1, . . . , n, характеризуют самолимиPn
(k)
(k)
тирование популяций, величины aij ≥ 0 и αij ≥ 0, k=1 αij > 0,
определяют взаимное влияние популяций (в данном случае коэффициенты aij неотрицательны, что характерно для симбиоза и нейтрализма [2]).
В силу биологического смысла рассматриваем только те решения, которые принадлежат неотрицательному ортанту K + =
{x| xi ≥ 0, i = 1, . . . , n}. Рассмотрим функцию Ляпунова
V =
n
X
λi xγi i −µi +1 ,
λi > 0,
i = 1, . . . , n.
i=1
Здесь γi > µi , i = 1, . . . , n. В работе [3] доказано, что справедлива
следующая теорема.
Теорема 1. Для того, чтобы функция V удовлетворяла условиям теоремы Йосидзавы [4] о равномерной диссипативности в ортанте K + достаточно, чтобы для любого ∆ > 0 существовали
числа θ1 , . . . , θn , удовлетворяющие системе неравенств
−ci θiµi +
mi
X
(1)
α
(2)
α
α
(n)
aij θ1 ij θ2 ij · · · θn ij < 0,
i = 1, . . . , n,
j=1
такие, что θi > ∆.
1 Работа
поддержана РФФИ, грант № 08-08-92208ГФЕН_a.
(2)
Однако, данный критерий в общем случае не дает явного вида
для условий равномерной диссипативности рассматриваемой системы. Для некоторых классов систем условия теоремы можно разрешить в явном виде.
1. Рассмотрим систему с мультипликативными связями центрального типа

i
 ẋi = xi (bi − ci xµi i + ai xα
i = 1, . . . , n − 1,
n ),
n−1
 ẋn = xn bn − cn xµnn + an xβ1 1 xβ2 2 · · · xβn−1
.
Здесь ai > 0, αi > 0, µi > 0, βi ≥ 0, причем β1 + · · · + βn−1 > 0.
Условие (2) равносильно
n−1
X
i=1
αi βi
< µn .
µi
(3)
Пусть неравенство (3) обращается в равенство. Нетрудно доказать,
что для существования постоянных λ1 , . . . , λn , таких, что функция
V удовлетворяет условиям теоремы Йосидзавы о равномерной диссипативности в ортанте K + достаточно, чтобы выполнялось соотношение
n−1
Y ai βi /µi
an
< cn .
ci
i=1
2. Пусть система имеет мультипликативные связи циклического
типа

1
ẋ1 = x1 (b1 − c1 xµ1 1 + a1 xα

n ),


i
ẋi = xi bi − ci xµi i + ai xα
i = 2, . . . , n − 1,
i−1 ,


β
β
 ẋ = x b − c xµn + a x 1 x 2 · · · xβn−1 .
n
n
n
n n
n 1
2
n−1
Постоянные ai , bi , ci , µi , αi , βi обладают указанными выше свойствами. Условие (2) равносильно
n−1
X
i=1
βi
α1 · · · αi
< µn .
µ1 · · · µi
(4)
Пусть неравенство (4) обращается в равенство, тогда для равномерной диссипативности в K + достаточно, чтобы выполнялось неравенство
n−1
Y ai ζi
an
< cn .
ci
i=1
Здесь ζn−1 = βn−1 /µn−1 ,
ζi = βi /µi + ζi+1 αi+1 /µi+1 .
3. Рассмотрим систему с аддитивными связями центрального
типа

i
ẋi = xi (bi − ci xµi i + ai xα
i = 1, . . . , n − 1,
n ),





n−1
X
β
µn


anj xj j  .

 ẋn = xn bn − cn xn +
j=1
при условиях на коэффициенты и показатели степеней, указанных
выше. Условие (2) равносильно αi βi < µi µn , i = 1, . . . , n − 1. Пусть
теперь при i ∈ {i1 , . . . , ip } справедливы равенства αi βi = µi µn , а
при i 6= {i1 , . . . , ip } – неравенства. Тогда нетрудно показать, что для
равномерной диссипативности в K + достаточно, чтобы выполнялось
неравенство
βi /µi
X
ai
ani
< cn .
ci
i=i ,...,i
1
p
4. . Рассмотрим систему c аддитивными связями циклического
типа

µ1
α1

 ẋ1 = x1 (b1 − c1 x1 + a1 xn ) ,


µ
αi

, i = 2, . . . , n − 1,
 ẋi = xi bi − ci xi i + ai xi−1


n−1

X

β
 ẋ = x b − c xµn +

anj xj j 
n
n
n n

 n
j=1
при ограничениях на коэффициенты и показатели степеней, указанных в предыдущем случае. Условие (2) равносильно
α1 · · · αi βi < µ1 · · · µi µn ,
i = 1, . . . , n − 1.
(5)
Если же при этом в (5) неравенства при i ∈ {i1 , . . . , ip } обращаются
в равенства, то для равномерной диссипативности в K + достаточно,
чтобы выполнялось неравенство
X
ani
i=i1 ,...,ip
ai
ci
α1 ···αi βi /(µ1 ···µi )
< cn .
Полученные в настоящей работе результаты можно использовать для построения управлений для обобщенных систем ЛоткиВольтерра вида


m
(1)
(n)
X
αij
αij
ẋi = xi bi + fi (xi ) + ui (xi ) +
aij x1 · · · xn  , i = 1, . . . , n.
j=1
Здесь приняты те же обозначения, что и в системе (1), кроме того,
функции fi (xi ) и управления ui (xi ) непрерывны при xi ≥ 0, i =
1, . . . , n. Предположим, что задачей управления является обеспечение диссипативности системы. Управление будем строить таким образом, чтобы выполнялись соотношения fi (xi ) + ui (xi ) = −ci xµi i ,
ci > 0, µi > 0. Тогда для поиска условий диссипативности к полученной системе можно применить теорему 1.
Пример 1. Рассмотрим систему

1
ẋ1 = x1 (b1 − c1 xµ1 1 + a1 xα

n ),


i
ẋi = xi bi − ci xµi i + ai xα
i = 2, . . . , n − 1,
i−1 ,
(6)


β
β
 ẋ = x b + u (x ) + a x 1 x 2 · · · xβn−1 .
n
n
n
n
n
n 1
2
n−1
Здесь xi (t) – численность (или масса) i-ой популяции в момент
времени t, постоянные ai > 0, αi > 0, µi > 0, βi ≥ 0, причем
β1 + · · · + βn−1 > 0.
Выбираем u(xn ) = −cxµnn , c > 0. Тогда если выполнено неравенство
n−1
X α1 · · · αi βi
< µn ,
µ1 · · · µi
i=1
то при построенном управлении система (6) диссипативна.
Литература
1. Пых Ю.А. Равновесие и устойчивость в моделях популяционной
динамики. М.: Наука, 1983. 184 с.
2. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Математическое моделирование
биологических сообществ. М.: Наука, 1978. 352 с.
3. Александров А.Ю., Платонов А.В. Об устойчивости и диссипативности некоторых классов сложных систем // Автоматика и
телемеханика. 2009. № 8. С. 3–18.
4. Yoshizawa T. Stability theory by Lyapunov’s second method. Tokyo.:
The Math. Soc. of Japan, 1966. 233 p.