Глава 7. Теория вероятностей и основы математической статистики

Глава 7. Теория вероятностей
и основы математической
статистики
§1. Вероятность события.
Опр. 1.1. Опыт, эксперимент – выполнение
определенных условий или действий для
выявления рассматриваемого события.
Опр. 1.2. Событие называется случайным, если в
результате опыта оно может либо произойти, либо
не произойти.
Опр. 1.3. Событие называется достоверным, если
оно обязательно появляется в результате опыта.
Опр. 1.4. Событие называется невозможным, если
оно не может появиться в результате опыта.
Дучко Андрей Николаевич,
[email protected] 2013
2
§1. Вероятность события.
Опр. 1.5. События называются несовместными,
если они вместе не могут наблюдаться в одном и
том же опыте.
Опр. 1.6. Сумма событий - событие, состоящее в
появлении хотя бы одного из этих событий.
Опр. 1.7. Произведение событий - событие,
состоящее в одновременном появлении всех этих
событий.
Опр. 1.8. Противоположными называются два
единственно возможных события, образующих
полную группу.
Дучко Андрей Николаевич,
[email protected] 2013
3
§1. Вероятность события.
Опр. 1.9. Элементарный исход - каждый из
равновозможных результатов опытов.
Опр. 1.10. Исход называется благоприятствующим
данному событию, если его появление влечет за
собой наступление этого события.
Опр. 1.11. (Классическое определение
вероятности). Вероятность события А равна
отношению числа благоприятствующих исходов к
общему числу возможных исходов:
P  A 
m
.
n
Дучко Андрей Николаевич,
[email protected] 2013
4
§1. Вероятность события.
Опр. 1.12. (Статистическое определение
вероятности). Относительная частота появления
события А вычисляется по формуле:
P *  A 
m1
.
n1
Дучко Андрей Николаевич,
[email protected] 2013
5
§2. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Теорема 2.1. Вероятность суммы конечного числа
несовместных событий 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 равна сумме
вероятностей этих событий:
 n  n
P   Ai    P( Ai ).
 i 1  i 1
Опр. 2.1. Вероятность события А, вычисленная
при условии, что имело место другое событие В,
называется условной вероятностью события А.
Дучко Андрей Николаевич,
[email protected] 2013
6
§2. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Теорема 2.2. Вероятность произведения двух
событий равна произведению вероятности одного
из них на условную вероятность другого,
вычисленную при условии, что первое имело
место:
P  AB   P  A  P  B / A   P  B  P  A / B  .
Опр. 2.2. Если при наступлении события А
вероятность события В не меняется, то события А
и В называются независимыми.
Дучко Андрей Николаевич,
[email protected] 2013
7
§2. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
В случае независимых событий вероятность их
произведения равна произведению вероятностей
этих событий:
P  AB   P  A  P  B  .
Теорема 2.3. Вероятность произведения конечного
числа событий равна произведению их условных
вероятностей относительно произведения
предшествующих событий, т. е.
P( ABC
LM )  P  A  P  B / A  P  C / AB  P  M / AB L  .
Дучко Андрей Николаевич,
[email protected] 2013
8
§2. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Опр. 2.3. Два события называются совместными,
если появление одного из них не исключает
появления другого в одном и том же опыте.
Теорема 2.4. Вероятность появления хотя бы
одного из двух совместных событий равна сумме
вероятностей этих событий без вероятности их
совместного появления:
P  A  B   P  A   P ( B )  P ( AB ).
Дучко Андрей Николаевич,
[email protected] 2013
9
§3. Основные формулы для вероятностей событий.
Формула полной вероятности:
n
P( B)   P( Ai ) P( B / Ai ).
i 1
Формула Байеса:
P ( Ai / B ) 
P ( Ai ) P ( B / A i )
n
 P( A ) P( B / A )
i
i 1
.
i
Формула Бернулли:
Pn (m)  C p q
m
n
m
C
где n 
m
nm
,
n!
.
( n  m)! m !
Дучко Андрей Николаевич,
[email protected] 2013
10
§3. Основные формулы для вероятностей событий.
Теорема 3.1. Если вероятность p наступления
события А в каждом испытании постоянна и мала,
а число независимых испытаний n достаточно
велико, то вероятность того, что событие А
наступит m раз, приближенно равна
Pn (m) 
где
  np.
m
m!
e ,
Дучко Андрей Николаевич,
[email protected] 2013
11