Тема: Формула Бернулли

Математика
(БкПл-100)
М.П. Харламов
2011/2012 учебный год, 1-й семестр
Лекция 5. Тема: Комбинаторика,
введение в теорию вероятностей
1
Тема: Комбинаторика
Комбинаторика – это раздел математики,
изучающий комбинации и перестановки объектов
различного рода.
Основные понятия – перестановки, размещения,
сочетания.
Далее будем считать заданным некоторое
множество из n объектов (цифр, букв, людей,
предметов и т.п.).
2
Задачи комбинаторики
С помощью комбинаторики можно ответить на следующие вопросы:
1. Сколько существует вариантов расположения заданных объектов в
различном порядке? (Перестановки)
Пример. Назначение трех специалистов на руководство тремя
равнозначными участками работы.
2. Сколько существует вариантов расположения в разном порядке
заданного числа объектов из совокупности всех имеющихся объектов?
(Размещения)
Пример. Сколько вариантов надо перебрать в худшем случае для
подбора четырехзначного кода из различных цифр?
3. Сколько слов заданной длины можно составить из символов
имеющегося алфавита? (Размещения с повторениями)
Пример. Сколько символов можно закодировать последовательностью
из 8 нулей и единиц?
4. Сколько вариантов выбора заданного числа объектов из
совокупности всех имеющихся объектов? (Сочетания)
Пример: Выбор в первом туре двух кандидатов из пяти претендентов.
3
1. Перестановки
Опр. Перестановками называются
всевозможные последовательности из всех n
объектов, которые различаются только
положением элементов в последовательности.
Общее число перестановок:
Pn  n !  1  2  3  ...  n.
Запись n! читается «эн-факториал».
Свойства факториала:
1) 1!=1;
2) (n+1)!=n!(n+1);
3) 0!=1.
4
Примеры применения перестановок
1. Сколько вариантов расположить три
объекта по трем участкам (дача; гараж;
сарай)?
123 231 312
Р3=3!=1*2*3=6
132 213 321
2. Сколько вариантов назначить 10 человек
на 10 должностей (в кабинете министров)?
Р10=10!=1*2*3*4*…*10=3 628 800.
5
3. Сколько вариантов расположения (в
театре) 4-х человек на 4 свободных места?
1234 2134 3214 4231
1243 2143 3241 4213
1324 2314 3124 4321
1342 2341 3142 4312
1423 2413 3421 4123
1432 2431 3412 4132
Р4=4!=1*2*3*4=24.
6
2. Размещения
Опр. Размещениями называются упорядоченные
комбинации k различных объектов из n (n >k).
Общее число размещений:
n!
 n  ( n  1)  ...  ( n  k  1).
A 
( n  k )!
k
n
Пример: 1. Сколько вариантов кода из 2-х (4-х)
различных цифр?
10!
10!
2
Решение: A10 

 10  9  90;
(10  2)! 8!
10!
10!
4
A10 

 10  9  8  7  5040 .
(10  4)! 6!
7
Опр. Размещениями с повторениями называются
упорядоченные комбинации k элементов (любых) из
n. Общее число размещений с повторениями:
k
k
n
A n .
Примеры:
1. Сколько вариантов кода из 2-х (4-х) любых цифр?
Решение:
2
10
2
4
10
4
A  10  100;
A  10  10000 .
8
3. Сочетания
Опр. Сочетаниями называются комбинации (без
упорядочения) k объектов из n (n >k).
Общее число сочетаний:
C nk
n!
.

k!( n  k )!
Примеры:
1. Найти кол-во вариантов выбора 2-х человек из
3-х (A, Б, В) для назначения премии.
Решение:
АБ
3!
1 2  3
2
C3 

 3.
АВ

2
!
(
3
2
)!
1

2

1
ВБ
9
2. Найти кол-во выбора 6 чисел из 36 (в лотерее):
Решение:
36!


6!(36  6)!
1  2  ...  30  31  32  33  34  35  36

1  2  3  4  5  6  1  2  ...  30
 1 947 792 .
6
C36
10
Функции в Excel
Название
Перестановки
Формула
n!
Функция
ФАКТР(n)
Размещения (без n* (n-1) *… (n-m+1)
повторения)
ПЕРЕСТ(n;m)
Размещения (с
повторениями)
nk
n^k
Сочетания
n!/(m!*(n-m)!)
ЧИСЛКОМБ(n;m)
11
Задачи на использование формул комбинаторики
Имеется группа студентов, в которой 10 человек изучают английский язык
и 12 человек - французский.
1) Сколькими способами можно составить группу из 5 человек,
изучающих один и тот же язык? (ИЛИ - варианты складывать!)
2) Сколькими способами можно составить группу из 5 человек, в которой
три изучают английский и два - французский? (И - варианты
перемножать!)
В этих примерах неважен порядок фамилий - использовать сочетания!
12
Тема: Основные понятия ТВ
1. Предмет ТВ
Теория вероятностей (ТВ) – раздел математики,
изучающий закономерности, присущие массовым
случайным явлениям. При этом изучаемые явления
рассматриваются в абстрактной форме, независимо
от их конкретной природы.
Предмет ТВ – математические модели
случайных явлений (случайных событий).
Цель ТВ – осуществление прогноза в области
случайных явлений, контроль их, ограничение
сферы действия случайности.
13
Опр. Событие – результат наблюдения или опыта.
Опр. Случайное событие – событие, наступление
которого мы не можем в точности предвидеть из-за
незнания причин, вызывающих его, или
невозможности считаться со всеми причинами.
Примеры (случайных событий):
1. Длительность произвольного разговора по телефону.
2. Кол-во присутствующих на лекции.
3. Результат бросания игральной кости.
4. Точное кол-во голосов «за» некоторого кандидата на
выборах.
14
Можно ли изучать случайные события?
Если рассматривать случайные события в
совокупности, при их массовом повторении,
то можно наблюдать определенную
закономерность.
Примеры (классические):
1. Подбрасывание монеты.
2. Извлечение шара из ящика с одинаковым
количеством черных и белых шаров.
15
Относительная частота имеет конечный
предел:
mn
lim hn  lim
 p.
n
Это число р - вероятность события А.
n
n
Опр. Вероятность события –
количественная оценка степени объективной
возможности этого события, теоретическая
частота осуществления события.
Примеры:
1. Р(выпадение герба)=1/2.
2. Р(извлечение белого шара)=1/2.
16
2. Операции над событиями
Сумма
Опр. Суммой двух событий A+B называется событие,
состоящее в том, что произошло хотя бы одно из
двух событий A или B.
Произведение
Опр. Произведением двух событий AB называется
событие, состоящее в том, что произошли оба
события A и B.
Обозначения:  – событие, которое происходит
заведомо (то есть всё, что возможно) –
называется достоверным.
 – событие, которое не происходит никогда –
называется невозможным.
17
3. Классификация событий
Опр. События называются несовместными, если наступление
одного из них исключает наступление любого другого
(АВ=). В противном случае события называются
совместными (АВ).
Опр. Два несовместных события, из которых одно должно
обязательно произойти, называются
противоположными: A  A   и A A  .
Опр. Несколько событий называются единственно
возможными, если в результате испытания обязательно
должно произойти хотя бы одно из них: А+В+С=.
Опр. Несколько событий образуют полную группу, если они
являются единственно возможными и несовместными
исходами: А+В+С= и АВС=.
18
Опр. Элементарные события – все мыслимые
взаимоисключающие исходы опыта.
В результате опыта обязательно происходит одно
и только одно из элементарных событий.
Примеры:
1. Бросание кубика:
Еi={выпадение i-очков}.
2. Бросание монеты:
Е1={выпадение герба} и Е2={выпадение решки} .
19
Опр. Составные события – события, которые
появляются при наступлении хотя бы одного из
нескольких определенных для него элементарных
событий.
Пример:
A={выпало четное число очков}
A={Е2 , Е4 , Е6}.
Опр. Равновозможные события , если появление
какого-либо события из них не более возможно, чем
появление любого другого из них.
Обычно принято выбирать элементарные события
так, чтобы они были равновозможными!
20
4. Классическое определение вероятности
Опр. Если общее число элементарных событий в
данном опыте конечно и все они равновозможны, то
вероятность события А вычисляется по формуле:
m
P( A)  ,
n
где n – число всех исходов опыта,
m - число всех тех элементарных исходов опыта,
при которых наступает событие А (т.е. число
благоприятствующих исходов).
21
Свойства вероятности:
1. 0  P( A)  1 A;
2. P()  1;
3. P()  0.
22
5. Основные теоремы
Теорема (сложения вероятностей).
1. Вероятность суммы несовместных событий
равна сумме вероятностей этих событий:
P(A+B)=P(A)+P(B).
2. Вероятность суммы произвольных
событий:
P(A+B)=P(A)+P(B)-Р(АВ).
23
Следствие 1. Сумма вероятностей событий,
образующих полную группу, равна единице:
Р(А)+Р(В)+Р(С)=Р()=1.
Следствие 2. Сумма вероятностей
противоположных событий равна единице:
P( A)  P( A)  P()  1.
Следствие 3. Вероятность противоположного
события вычисляется по формуле: P( A)  1 P( A).
Пример:
Вероятность не сдать зачет по предмету для
некоторого студента равна 0,8. Какова вероятность сдать
зачет?
P( A)  1 P( A)  1 0.8  0.2.
24
Формулы условных вероятностей:
Опр. Вероятность события В, найденная при условии, что
событие А произошло, называется условной вероятностью
события В: РА(В) или Р (В/А).
P ( AB )
P ( B / A) 
;
P ( A)
P ( AB )
P( A / B) 
( P ( A), P ( B )  0).
P(B)
Опр. Событие В называется независимым от события
А, если P(B/A)=P(В); событие В называется зависимым
от А, если P(B/A)P(В).
Опр. Два события называются независимыми, если
появление одного из них не меняет вероятности
наступления другого.
25
Теорема (правило умножения вероятностей).
Вероятность произведения двух событий равна
произведению вероятности одного из них на условную
вероятность другого, найденную в предположении, что
первое событие произошло:
P( AB)  P ( A)  P ( B / A)  P ( B)  P ( A / B ).
Правило умножения вероятностей для
независимых событий:
P( AB)  P ( A)  P ( B ).
26
6. Формула полной вероятности
Теорема (формула полной вероятности).
Если событие А может произойти только при
условии появления одного из событий (гипотез) H1,
H2,…,Hn, образующих полную группу, тогда
n
P( A)   P( H )  P( A / H ).
i
i
i 1
27
7. Схема Бернулли
На практике часто возникают задачи, которые
можно представить в виде многократно
повторяющихся испытаний при данном комплексе
условий, в которых представляет интерес
вероятность числа наступлений некоторого
события в этих испытаниях.
Примеры:
1. n раз подбрасывают монету; A={выпал герб};
P(B={3 раза выпал герб}).
2. 5 выстрелов; A={попадание в мишень} ;
P(B={4 попадания из 5 выстрелов}).
28
Определение схемы Бернулли
Пусть в результате некоторого опыта
(испытания) может появиться событие A c
вероятностью p .
Этот опыт повторяется в одинаковых условиях
n раз.
Вероятности наступления события А в каждом
из этих испытаний одни и те же, и исход любого
испытания не зависит от результатов других
испытаний.
Такую
последовательность
независимых
испытаний с двумя исходами (появление А,
непоявление А) называют схемой Бернулли.
29
Обозначим через Рn(k) – вероятность того, что в
n испытаниях событие А произойдет ровно k раз.
Теорема (формула Бернулли). Вероятность
Рn(k) в схеме Бернулли определяется по
формуле:
k k nk
Pn (k )  Cn  p  q ,
где q  1  p.
30
8. Наивероятнейшее число
Опр. Наивероятнейшим числом в схеме
Бернулли называется число k0 наступлений
события А в n испытаниях, если
Рn(k0)  Рn(k) (k=0, 1,…, n).
(вероятность этого события больше либо
равна вероятностей всех остальных
событий).
31
Теорема. Наивероятнейшее число k0
определяется из неравенства:
np-q  k0  np+p,
причем если np+p – нецелое, то
существует одно наивероятнейшее число k0;
если np+p –целое, то существует два
наивероятнейших числа
k0= np+p и k0-1= np -q.
32
Задание.
Вероятность опоздания на лекцию
одного студента равна 0,3. Найти
наивероятнейшее число опоздавших из 10
человек и вычислить вероятность этого
числа.
33
Ответ:
3
3
10

3
P (3)  C  0.3  0.7

10
10
 120*0.027*0.082  0.27
34
Контрольные вопросы
Комбинаторика
1. Определение и формула перестановок.
2. Определение и формула размещений.
3. Определение и формула размещений с повторениями.
4. Определение и формула сочетаний.
Введение в ТВ
1. Что называется случайным событием?
2. Общее понятие вероятности события.
3. Дать определение суммы и произведения двух событий.
4. Достоверное и невозможное событие, их обозначения.
5. Классификация событий (совместные/несовместные,
противоположные, единственно возможные, полная группа).
6. Элементарные и составные события, равновозможные
события.
35
Контрольные вопросы (продолжение)
7. Классическое определение вероятности.
8. Три основных свойства вероятности.
9. Теорема сложения вероятностей.
10. Чему равна сумма вероятностей противоположных
событий? полной группы событий?
11. Определение условной вероятности; события зависимые и
независимые.
12. Теорема – правило умножения вероятностей.
13. Формула полной вероятности.
14. Определение схемы Бернулли.
15. Теорема – формула Бернулли.
16. Определение и формула наивероятнейшего числа.
36