Лекция 2. ” Понятие функции“ План лекции. 2.1 Функция

Лекция 2. Понятие функции“
”
План лекции.
2.1 Функция: определение функции, область определения, множество
значений, аргумент, образ, прообраз, график числовой функции,
способы задания функции, последовательности. (п. 2.1 [1])
2.2 Сюръекция, инъекция, биекция: определения, примеры, в терминах прообразов. Множество действительных чисел: аксиоматика
множества R (аксиомы поля, аксиомы порядка, аксиома полноты),
реализация R в виде числовой прямой, действительные числа как
бесконечные десятичные дроби. (п. 2.2 [1])
2.3 Композиция функций, обратная функция (п. 2.3 – 2.4 [1])
2.4 Элементарные функции: основные элементарные функции, графики основных элементарных функций, определение элементарной
функции, рациональные функции, примеры неэлементарных функций. (п. 3.5 – 3.6 [1]; гл. 1, п.8 [3])
Дополнительное чтение.
Мощность множеств: п. 1.11 [5]; гл. II, п.4 [6]. Задачи из списка А.
1. Найти f ◦ f и f ◦ f ◦ f , где f (x) =
√ x
;
1+x2
f (x) =
1
.
1−x
2. На каких подмножествах R у функции Дирихле существует обратная функция?
3. На какое множество f (x) отображает X, где
(a) f (x) =
x
,
2x−1
X = [0, 1)
(b) f (x) = sin πx,
)
X = [0, 3π
4
(c) f (x) = log3 x,
X = 1( 3, 27]
4. Пусть f (x) периодична. Верно ли, что f 2 тоже периодична? Верно
ли, что у f 2 тот же период?
5. Сколько существует биекций из N -элементного множества в N элементное множество?
1
6. Доказать тождества для функций f, g, h:
f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h,
(f ◦ g)−1 = g −1 ◦ f −1 .
7. Какие из основных элементарных функций можно выкинуть, чтобы класс элементарных функций не изменился?
8. Является ли arccosec x элементарной функцией?
Задачи из списка B.
1. Пусть f : R → R. Когда f ◦ f – тождественная функция?
2. Пусть X, Y – множества состоящие из m и n элементов соотв. Найти
числа отображений из X в Y , в том числе сюръекций, инъекций,
биекций.
3. Пусть X бесконечное множество. Доказать, что существует Y ⊂
X (Y 6= X), что между X и Y существует биекция.
4. Пусть f : X → Y . Доказать, что f – сюръекция тогда и только
тогда, когда f (f −1 (B)) = B ∀B ⊂ Y .
5. Пусть f : X → Y . Доказать, что следующие условия эквивалентны:
(a) f – инъекция;
(b) f −1 (f (A)) = A ∀A ⊂ X;
(c) f (A) ∩ f (B) = f (A ∩ B) ∀A, B ⊂ X;
(d) f (A) ∩ f (B) = ∅ ⇔ A ∩ B = ∅;
] → [−1, 1], действующую по
6. Найти обратную функцию к f : [ π2 , 3π
2
правилу f (x) = sin x.
7. Доказать, что все рациональные функции имеют вид
ние: используйте индукцию).
P (x)
.
Q(x)
(Указа-
8. (Задача на мощность множеств). Доказать, что N ∼ Z, N ∼ Q,
N R, [a, b] ∼ (a, b), (a, b] ∼ (a, +∞), (a, b) ∼ R.
2
Список литературы
[1] Морозова В.Д. Введение в анализ. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. - 408 с.
[2] Иванова Е.Е. Дифференциальное исчисление функций одного аргумента. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. - 408 с.
[3] Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для
втузов. Т. 1. - М.: Интеграл-Пресс, 2006. - 416 с.
[4] Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. В 3-х т. Т. 1. - М.:
Высшая школа, 1988. - 718 с.
[5] Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное
исчисление. - М.: Наука, 1988. - 431 с.
[6] Зорич В.А. Математический анализ.
3