j`(t)j

x12. hARAKTERISTI^ESKIE FUNKCII.
tEOREMY EDINSTWENNOSTI I SLOVENIQ
lEKCIQ
18
mY WWEDEM SEJ^AS ODNU IZ INTERESNEJ[IH FUNKCIONALXNYH HARAKTERISTIK SLU^AJNOJ WELI^INY X; KOTORAQ EDINSTWENNYM OBRAZOM OPREDELQET RASPREDELENIE X: s EE POMO]X@ MOVNO NAJTI WSE
MOMENTY X BEZ WY^ISLENIQ INTEGRALOW, WY^ISLQQ PROIZWODNYE OT
\TOJ HARAKTERISTIKI. nAKONEC, ONA PREDSTAWLQET UNIWERSALXNYJ INSTRUMENT DLQ WYWODA RASPREDELENIJ SUMM NEZAWISIMYH SLU^AJNYH
WELI^IN, PO\TOMU S EE POMO]X@ MOVNO PROSTO I BEZ GROMOZDKIH WYKLADOK DOKAZYWATX PREDELXNYE TEOREMY TIPA TEH, ^TO MY NAZYWALI
INTEGRALXNOJ PREDELXNOJ TEOREMOJ mUAWRA{lAPLASA.
oPREDELENIE 12.1. hARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCIEJ '(t) SLU^AJNOJ WELI^INY X S FUNKCIEJ PLOTNOSTI f (x) PO MERE NAZYWAETSQ
PREOBRAZOWANIE fURXE{lEBEGA f (x) :
'(t) = E
e tX
i
Z
= e txf (x)d(x):
i
R
nAPOMNIM, ^TO W PREOBRAZOWANIQH fURXE i { MNIMAQ EDINICA, TAK
^TO e tx = cos(tx)+ i sin(tx); I INTEGRAL, OPREDELQ@]IJ '(t) PREDSTAWLQET SOBOJ INTEGRAL OT FUNKCII KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO (KRIWOLINEJNYJ INTEGRAL WTOROGO RODA) PO DEJSTWITELXNOJ OSI R=(;1; +1):
hARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ SU]ESTWUET PRI L@BOM RASPREDELENII X; POSKOLXKU j e tx j = 1; OTKUDA
j '(t) j j e tx jf (x)d(x) = f (x)d(x) = 1:
eSLI d(x) = dx { MERA lEBEGA, TO '(t) ESTX OBY^NOE PREOBRAZOWANIE fURXE
1
i
i
Z
Z
i
R
R
'(t) =
Z
e txf (x)dx;
i
;1
ESLI VE { S^ITA@]AQ MERA, TO '(t) PREDSTAWLQET DISKRETNYJ ANALOG
PREOBRAZOWANIQ fURXE
'(t) =
X
x
1
e txf (x):
i
rASSMOTRIM NESKOLXKO PRIMEROW PO WY^ISLENI@ HARAKTERISTI^ESKIH FUNKCIJ IZWESTNYH NAM RASPREDELENIJ.
p R I M E R 12.1 (BINOMIALXNOE RASPREDELENIE B(n, p)). hARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ WY^ISLQETSQ PROSTYM SUMMIROWANIEM BINOMIALXNOGO RQDA:
n
tX
'(t) = Ee = e txCnxpx(1 ; p)n;x =
X
i
i
x=0
Cnx eitp x (1 ; p)n;x
n
X
x=0
= pe t + (1 ; p) n :
i
p R I M E R 12.2 (RASPREDELENIE pUASSONA P()). iSPOLXZUEM IZWESTNOE RAZLOVENIE mAKLORENA DLQ POKAZATELXNOJ FUNKCII:
'(t) =
x e;
1 e t x
tx
;
t;1 :
E x! = e
=
exp
e
x!
x
1
X
i
x=0
i
X
n
i
o
=0
p R I M E R 12.3 (RAWNOMERNOE RASPREDELENIE U(a, b)). hARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ PREDSTAWLQET SOBOJ KRIWOLINEJNYJ INTEGRAL PO
OTREZKU [a; b] DEJSTWITELXNOJ PRQMOJ:
b
1
'(t) = b ; a e txdx = b ;1 a e tz dz:
a
ab
Z
Z
i
i
[ ; ]
pOSKOLXKU e tz ESTX ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ, TO INTEGRAL RAWEN RAZNOSTI ZNA^ENIJ PERWOOBRAZNOJ \TOJ FUNKCII W KONE^NYH TO^KAH OTREZKA INTEGRIROWANIQ:
tb ; e ta
e
'(t) = it(b ; a) :
i
i
i
p R I M E R 12.4 (POKAZATELXNOE RASPREDELENIE E()). hARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ SNOWA PREDSTAWLQETSQ KRIWOLINEJNYM INTEGRALOM
OT ANALITI^ESKOJ FUNKCII, NO NA SEJ RAZ PO BESKONE^NOMU PROMEVUTKU [0; 1) DEJSTWITELXNOJ PRQMOJ:
1
1
'(t) = exp itx ; x; dx = 1 Alim
!1
Z
n
1
o
0
2
Z
A
[0; ]
exp z (it ; ; ) dz =
n
1
o
; )g
1
;
exp
f
A
(
i
t
;
:
lim
A!1
1 ; it
1
oDNAKO
expfA(it ; ; )g = expf;A; g j expfiAtg j = expf;A; g;
I TAK KAK > 0; TO
; )g = 0:
lim
exp
f
A
(
i
t
;
A!1
1
1
1
1
tAKIM OBRAZOM,
'(t) = 1 ;1it :
mOVNO, KONE^NO, OBOJTISX I BEZ \TOJ KOMPLEKSNOJ ZAUMI, A PROSTO
WOSPOLXZOWATXSQ FORMULOJ |JLERA e z = cos z + i sin z I KAKIM-NIBUDX
SPRAWO^NIKOM PO INTEGRALAM (NAPRIMER, RODNYM , ,dEMIDOWI^EM", A
LU^[E WSEGO SPRAWO^NIKOM PO INTEGRALXNYM PREOBRAZOWANIQM).
p R I M E R 12.5 (RASPREDELENIE kO[I C(0, 1)). iSPOLXZUQ FORMULU
|JLERA, NAJDEM HARAKTERISTI^ESKU@ FUNKCI@ STANDARTNOGO (PARAMETR SDWIGA a = 0, PARAMETR MAS[TABA b = 1) RASPREDELENIQ kO[I:
i
1
'(t) = 1 ;1 cos tx1 ++ xi sin tx dx:
iNTEGRAL OT SINUSA (TAK NAZYWAEMOE SINUS-PREOBRAZOWANIE fURXE)
RAWEN NUL@, KAK INTEGRAL OT NE^ETNOJ FUNKCII PO SIMMETRI^NOMU OTNOSITELXNO NA^ALA KOORDINAT PROMEVUTKU, A DLQ NAHOVDENIQ KOSINUS-PREOBRAZOWANIQ fURXE WOSPOLXZUEMSQ ^ETNOSTX@ FUNKCII cos x I OTWETOM K PRIMERU N 3825 ZADA^NIKA dEMIDOWI^A:
1
tx dx = e;j t j:
'(t) = 2 1cos
+x
Z
2
Z
2
0
p R I M E R 12.6 (STANDARTNOE NORMALXNOE RASPREDELENIE N(0, 1)).
rASSUVDAQ TAK VE, KAK I W SLU^AE RASPREDELENIQ kO[I, I ISPOLXZUQ
OTWET K PRIMERU N 3809, POLU^AEM
'(t) = p2
2
1
Z
0
cos tx exp ; x2 dx = exp ; t2 :
3
8
<
2=
9
8
<
2=
9
:
;
:
;
hARAKTERISTI^ESKIE FUNKCII RASPREDELENIJ kO[I I NORMALXNOGO PRI PROIZWOLXNYH ZNA^ENIQH PARAMETROW MOVNO POLU^ITX PROSTO
LINEJNOJ ZAMENOJ PEREMENNOJ INTEGRIROWANIQ, NO LEGKO WIDETX, ^TO
SPRAWEDLIWA OB]AQ FORMULA DLQ SEMEJSTW RASPREDELENIJ, ZAWISQ]IH
OT PARAMETROW SDWIGA I MAS[TABA.
pREDLOVENIE
12.1. hARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ 'X (t) SLU^AJ
X OBLADAET SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI
1 : '(0) = 1; j'(t) 1:
2 : 'bX a = e ta'X (bt):
3 : eSLI X ; : : : ; Xn NEZAWISIMY W SOWOKUPNOSTI TO
NOJ WELI^INY
-
.
0
0
0
i
+
,
1
'
W ^ASTNOSTI, ESLI
TO
Pn
1
Xk (t) =
n
Y
1
'Xk (t);
X ; : : :; Xn NEZAWISIMY I ODINAKOWO RASPREDELENY
,
1
'
Pn
1
n
Xk (t) = 'X1 (t):
4 : hARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ '(t) RAWNOMERNO NEPRERYWNA NA
WSEJ DEJSTWITELXNOJ OSI R:
5 : eSLI SLU^AJNAQ WELI^INA X OBLADAET MOMENTAMI k = EX k; k
= 1; : : :; n; TO
k = i;k' k (0)
0
0
( )
I DLQ HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCII SPRAWEDLIWO RAZLOVENIE tEJLORA
'(t) = 1 +
n
X
k=1
(it)k + o(tn); t ! 0:
k! k
d O K AZ A TE L X ST WO. 1 : |TO SWOJSTWO, PO SU]ESTWU, BYLO USTANOWLENO SRAZU VE POSLE OPREDELENIQ HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCII, KOGDA
MY RASSUVDALI O EE SU]ESTWOWANII.
2 : pO OPREDELENI@ HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCII
0
0
'bX a (t) = Ee t bX
+
i (
a
+ )
= e taEe btX = e ta'X (bt):
i
4
i
i
3 : oPQTX RABOTAEM S OPREDELENIEM HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCII:
0
8
<
9
=
n
n
n
(t) = E exp it Xk = E e tXk =
1 Xk
'
Pn
X
:
Y
;
1
Y
i
1
1
n
Ee tX = 'X (t):
i
k
Y
1
k
eSTESTWENNO, ESLI X ; : : :; Xn ODINAKOWO RASPREDELENY, TO PROIZWEDENIE W PRAWOJ ^ASTI POSLEDNEGO RAWENSTWA SOSTOIT IZ ODINAKOWYH
SOMNOVITELEJ I MY POLU^AEM 'nX (t):
4 : tREBUETSQ DOKAZATX, ^TO supt2 j '(t + h) ; '(t) j ! 0; KOGDA
h ! 0: oCENIM PRIRA]ENIE HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCII:
j '(t + h) ; '(t) j =
1
1
0
R
1
Z
;1
1r
Z
;1
e
t h x ; eitx
i( + )
f (x)d(x) 1
Z
;1
j e tx jj e hx ; 1 jf (x)d(x) =
(cos hx ; 1) + sin hxf (x)d(x) =
2
2
i
i
1q
Z
;1
2(1 ; cos hx)f (x)d(x):
tAK KAK 0 1 ; cos hx 1; TO POSLEDNIJ INTEGRAL SHODITSQ RAWNOMERNO (PRIZNAK wEJER[TRASSA) I MOVNO PEREHODITX K PREDELU PRI h ! 0
POD ZNAKOM INTEGRALA. nO
lim (1 ; cos hx) = 0;
h!
KAKOWO BY NI BYLO x ! R: sLEDOWATELXNO,
0
lim
OTKUDA
1q
Z
h!0;1
2(1 ; cos hx)f (x)d(x) = 0;
lim sup j '(t + h) ; '(t) j ! 0:
h!0 t2R
5 : fORMALXNOE DIFFERENCIROWANIE k RAZ POD ZNAKOM INTEGRALA
W FORMULE, OPREDELQ@]EJ HARAKTERISTI^ESKU@ FUNKCI@, PRIWODIT
0
NAS K SOOTNO[ENI@
'k
( )
(t) = i
k
1
Z
;1
xk e txf (x)d(x):
i
5
eSLI k-YJ MOMENT k SU]ESTWUET, TO (NAPOMNIM, j e txj = 1)
i
1
Z
;1
xk eitxf (x)d(x)
1
Z
;1
j x jkf (x)d(x) < 1;
POSKOLXKU SU]ESTWOWANIE INTEGRALA lEBEGA OT FUNKCII WLE^ET EGO
SU]ESTWOWANIE OT MODULQ \TOJ FUNKCII. tAKIM OBRAZOM, W SILU
PRIZNAKA wEJER[TRASSA, INTEGRAL SHODITSQ RAWNOMERNO, FORMALXNOE
DIFFERENCIROWANIE POD ZNAKOM INTEGRALA OPRAWDANO, I MY POLU^AEM
ISKOMU@ FORMULU DLQ WY^ISLENIQ MOMENTOW SLU^AJNOJ WELI^INY X;
POLAGAQ t = 0 : ' k (0) = ikk :
iTAK, SU]ESTWOWANIE MOMENTA k-GO PORQDKA WLE^ET SU]ESTWOWANIE
k-OJ PROIZWODNOJ W TO^KE t = 0 FUNKCII '(t): eSLI SU]ESTWUET n
MOMENTOW, TO MOVNO WOSPOLXZOWATXSQ FORMULOJ tEJLORA I POLU^ITX
ASIMPTOTI^ESKOE (t ! 0) RAZLOVENIE HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCII:
( )
'(t) =
n
X
k=0
' k (0) tk + o(tk ) = 1 + n (it)k + o(tk ):
k!
k! k
k
( )
X
=1
iSPOLXZUQ SWOJSTWO 2 ; LEGKO NAHODIM HARAKTERISTI^ESKU@ FUNKCI@ RASPREDELENIJ C(a, b) I N(; ):
eSLI X C(0; 1); TO bX + a C(a; b); I HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ RASPREDELENIQ kO[I S PLOTNOSTX@
0
2
f (x) = b[1 + ((x1 ; a)=b) ]
2
RAWNA (SM. PRIMER 12.5) 'bX a (t) = expfiat ; bj t jg: aNALOGI^NO, ESLI
X N(0; 1); TO X + N(; ); I HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ
NORMALXNOGO RASPREDELENIQ S PLOTNOSTX@
f (x) = p1 exp ; (x ; )
+
2
9
8
<
2=
2
2
(t) = exp it ; t =2 :
2
:
RAWNA (SM. PRIMER 12.6) 'X
n
+
;
2 2
o
lEKCIQ
19
iZ WSEH SWOJSTW HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCII, USTANOWLENNYH W
PREDLOVENII 12.1, NAIBOLEE PRIWLEKATELXNYM KAVETSQ SWOJSTWO 3 ;
0
6
POZWOLQ@]EE NAHODITX HARAKTERISTI^ESKU@ FUNKCI@ SUMMY NEZAWISIMYH SLU^AJNYH WELI^IN PO HARAKTERISTI^ESKIM FUNKCIQM SLAGAEMYH { OTKRYWA@TSQ NOWYE WOZMOVNOSTI W POSTROENII WEROQTNOSTNYH
MODELEJ. nO PRI \TOM WOZNIKAET ESTESTWENNYJ WOPROS: SU]ESTWUET
LI WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MEVDU HARAKTERISTI^ESKIMI
FUNKCIQMI I FUNKCIQMI RASPREDELENIQ (ILI PLOTNOSTI). iZ KURSA
MATEMATI^ESKOGO ANALIZA MY ZNAEM, ^TO NA KAVDOE PREOBRAZOWANIE
fURXE
1
'(t) =
Z
e txf (x)dx
i
;1
SU]ESTWUET OBRATNOE PREOBRAZOWANIE
1
1
f (x) = 2 e; tx'(t)dt;
(1)
;1
HOTQ, NASKOLXKO MNE IZWESTNO, DOKAZATELXSTWA \TOJ FORMULY OBRA]ENIQ WAM NE DAWALOSX. tEM NE MENEE, INFORMACI@ O SPRAWEDLIWOSTI
TEOREMY EDINSTWENNOSTI WY POLU^ILI, I MY TEPERX WOSPOLNIM PROBEL W WA[EM OBRAZOWANII, DOKAZAW ANALOGI^NU@ TEOREMU DLQ BOLEE
OB]EGO PREOBRAZOWANIQ fURXE{lEBEGA.
tEOREMA 12.1. (FORMULA OBRA]ENIQ lEWI). eSLI F (x) { FUNKCIQ
RASPREDELENIQ S.W. X , A '(t) { EE HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ, TO
DLQ L@BYH TO^EK NEPRERYWNOSTI x I y FUNKCII F (x) IMEET MESTO
Z
i
FORMULA OBRA]ENIQ
A e; tx ; e; ty
1
F (y) ; F (x) = 2 Alim
'(t)dt:
(2)
!1;A
it
d O K AZ A TE L X ST WO.. zAMETIM SNA^ALA, ^TO PRAWAQ ^ASTX FORMULY OBRA]ENIQ (2) PREDSTAWLQET SOBOJ NESOBSTWENNYJ INTEGRAL W
SMYSLE GLAWNOGO ZNA^ENIQ, TAK KAK '(t)=t MOVET OKAZATXSQ NEINTEGRIRUEMOJ FUNKCIEJ. eSLI SU]ESTWUET f (x) = dF (x)=dx I HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ '(t) INTEGRIRUEMA, TO (2) NETRUDNO POLU^ITX
IZ FORMULY OBRA]ENIQ PREOBRAZOWANIQ fURXE (1) PROINTEGRIROWAW
OBE ^ASTI (1) W PREDELAH OT x DO y.
oBRATIMSQ TEPERX NEPOSREDSTWENNO K DOKAZATELXSTWU FORMULY (2),
DLQ ^EGO RASSMOTRIM PRI y > x INTEGRAL
A e; tx ; e; ty
A
1 e t u;x ; e t u;y
1
1
JA = 2
'(t)dt = 2 dt
f (u)d(u);
it
it
;A
;A ;1
Z
Z
i
i
Z
7
i
Z
i
i (
)
i (
)
W KOTOROM '(t) ZAMENENA NA OPREDELQ@]IJ EE INTEGRAL. lEGKO WIDETX,
^TO PRI FIKSIROWANNYH x I y PODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ
e t u;x ; e t u;y
i (
)
i (
)
t
W OBLASTI j u j < 1; j t j < 1 NEPRERYWNA I OGRANI^ENA, PO\TOMU
MOVNO IZMENITX PORQDOK INTEGRIROWANIQ:
1 A e t u;x ; e t u;y
1
dt f (u)d(u):
J =
2
Z
A
2 ;1
6
4
Z
i (
)
i (
3
)
7
5
it
;A
pREOBRAZUEM WNUTRENNIJ INTEGRAL IA W PREDELAH OT ;A DO A, DLQ
^EGO PREDSTAWIM EGO W WIDE SUMMY INTEGRALOW PO OTREZKAM [ ;A; 0 ]
I [ 0; A ] I W INTEGRALE PO OTREZKU [ ;A; 0 ] SDELAEM ZAMENU t NA ;t. w
REZULXTATE POLU^IM
A e t u;x ; e; t u;x
t u;y ; e; t u;y
I =
;e
dt =
Z
A
2
i (
)
i (
)
i (
it
4
0
)
i (
it
A 2 sin(t(u ; x))
)
3
5
sin(t(u ; y)) dt;
2
;
t
t
POSKOLXKU (FORMULA |JLERA) (e z ; e; z )=2i = sinz .
3
Z
4
5
0
i
i
wY^ISLQQ INTEGRAL dIRIHLE
1 sin(t)
Z
0
sgn ;
dt
=
t
2
POLU^AEM SLEDU@]EE WYRAVENIE DLQ PRAWOJ ^ASTI (2):
1 1 [ sgn(u ; x) ; sgn(u ; y) ]f (u)d(u):
2 ;1
Z
pREDSTAWIM POSLEDNIJ INTEGRAL W WIDE SUMMY TREH INTEGRALOW
PO OTREZKAM (;1; x ]; [ x; y ] I [ y; 1), NA KOTORYH, SOOTWETSTWENNO,
sgn(u;x) = sgn(u;y) = ;1, sgn(u;x) = ;sgn(u;y) = +1, sgn(u;x) =
sgn(u ; y) = 1. tOGDA \TOT INTEGRAL, A SLEDOWATELXNO, I PRAWAQ ^ASTX
(2), PRINIMAET OKON^ATELXNYJ WID
y
Z
x
f (u)d(u) = F (y) ; F (x);
8
USTANAWLIWA@]IJ SPRAWEDLIWOSTX FORMULY OBRA]ENIQ (2).
iTAK, TEPERX MOVNO NE SOMNEWATXSQ, ^TO, POLU^IW KAKIM-LIBO SPOSOBOM HARAKTERISTI^ESKU@ FUNKCI@ NABL@DAEMOJ SLU^AJNOJ WELI^INY X , MY, PO SUTI DELA, UVE POSTROILI WEROQTNOSTNU@ MODELX, I
OSTAETSQ TOLXKO, ISPOLXZUQ FORMULU (2), NAJTI FUNKCI@ RASPREDELENIQ X: pROILL@STRIRUEM \TOT METOD POSTROENIQ MODELI NA ODNOJ
IZ CENTRALXNYH ZADA^ TEORII WOSSTANOWLENIQ, IME@]EJ BOLX[IE
PRIMENENIQ W PRAKTIKE I TEORII NADEVNOSTI SISTEM, PODWERGAEMYH W
PROCESSE IH \KSPLUATACII REMONTU (WOSSTANOWLENI@), PROFILAKTIKE
I REZERWIROWANI@ KOMPONENT S WYSOKOJ ^ASTOTOJ OTKAZA.
gAMMA-RASPREDELENIE G(; ). rASSMATRIWAETSQ SISTEMA, DOLGOWE^NOSTX KOTOROJ OPREDELQETSQ MOMENTOM OTKAZA X EE OTDELXNOGO
\LEMENTA. pREDPOLOVIM, ^TO X E(); TO ESTX FUNKCIONIROWANIE
\LEMENTA PROTEKAET W RAMKAH POSTULATA , ,OTSUTSTWIE POSLEDEJSTWIQ".
sISTEMA IMEET REZERW, SOSTOQ]IJ IZ n ; 1 TAKIH VE \LEMENTOW, I PRI
OTKAZE RABOTA@]EGO \LEMENTA MGNOWENNO PODKL@^AETSQ ZAPASNOJ. tAKIM OBRAZOM, OB]AQ DOLGOWE^NOSTX SISTEMY OPREDELQETSQ REALIZACIEJ SLU^AJNOJ WELI^INY X = n Xi; W KOTOROJ SLAGAEMYE NEZAWISIMY
I ODINAKOWO RASPREDELENY PO POKAZATELXNOMU ZAKONU E() S HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCIEJ (SM. PRIMER 12.4) ' (t) = (1 ; it); :
w SILU PUNKTA 3 PREDLOVENIQ 12.1 HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ
X RAWNA '(t) = (1 ; it);n: pRIMENQQ OBRATNOE PREOBRAZOWANIE fURXE
K '(t) (SOWETU@ WOSPOLXZOWATXSQ SPRAWO^NIKOM { TAKIE INTEGRALY NA
NA[EM BOGOUGODNOM FAKULXTETE S^ITATX TEPERX NE U^AT), POLU^AEM
FUNKCI@ PLOTNOSTI RASPREDELENIQ DOLGOWE^NOSTI
1
1
P
1
1
1
0
f (x) = f (x j n; ) = (n ;11)!n xn; exp ; x ; x > 0;
(ESTESTWENNO, f (x) = 0 PRI x 0).
kAK BUDET WIDNO W DALXNEJ[EM, POLU^ENNOE RASPREDELENIE DOLGOWE^NOSTI S ZAMENOJ CELO^ISLENNOGO PARAMETRA n NA PROIZWOLXNYJ POLOVITELXNYJ PARAMETR OPISYWAET DOLGOWE^NOSTX NE TOLXKO REZERWIROWANNYH (ILI WOSSTANAWLIWAEMYH PRI OTKAZE) SISTEM, NO I DOLGOWE^NOSTX SISTEM, PODWERVENNYH IZNOSU, STARENI@, NAKOPLENI@ USTALOSTI, W OB]EM, WSEMU TOMU, ^TO POSTEPENNO NAKAPLIWAETSQ, A POTOM
PRIWODIT K , ,GIBELI". w SWQZI S \TIMI ZAME^ANIQMI MY OPREDELQEM
(
1
9
)
G(; ) POSREDSTWOM FUNKCII PLOTNOSTI
f (x j ; ) = ;(1) x; exp ; x ; x > 0; > 0; > 0;
GAMMA-RASPREDELENIE
(
)
1
GDE
1
Z
;() = x; e;xdx
{ GAMMA-FUNKCIQ |JLERA.
1
0
sEMEJSTWO DWUHPARAMETRI^ESKIH GAMMA-RASPREDELENIJ fG(; );
(; ) 2 R R g SODERVIT, KAK ^ASTNYJ SLU^AJ, POKAZATELXNOE RASPREDELENIE ( = 1). gAMMA-RASPREDELENIE UNIMODALXNO: ESLI 1;
TO modX = 0, A PRI > 1 MODA modX = ( ; 1):
+
+
u GAMMA-RASPREDELENIQ SU]ESTWU@T MOMENTY L@BOGO PORQDKA:
k = E
Xk
1
1
= ;() x
Z
k;1 exp
; x dx =
(
+
0
)
;( + k) k = ( ; 1) ( ; k + 1)k:
;()
w ^ASTNOSTI, EX = ; DX = :
tEPERX, ISPOLXZUQ APPARAT HARAKTERISTI^ESKIH FUNKCIJ, MY MOVEM SOSTAWITX KATALOG IZU^ENNYH NAMI RASPREDELENIJ, DLQ KOTORYH
SPRAWEDLIWA TEOREMA SLOVENIQ.
pREDLOVENIE 12.2. pUSTX X ; : : :; Xn NEZAWISIMY I Sn = n Xk :
+
2
P
tOGDA,
1
0
ESLI
1
Xk B( m ; p ); k = 1; : : :; n;
k
10
1
TO
Sn B(
Pn
1
m ; p );
k
Xk P( k ); k = 1; : : : ; n;
TO
Sn P( n k );
ESLI Xk C( a ; b ); k = 1; : : :; n; TO Sn C(
a ; b );
ESLI Xk N( k ; k ); k = 1; : : : ; n; TO Sn N( n k ; n k );
ESLI Xk G( ; ); k = 1; : : :; n; TO Sn G( ; ):
d O K AZ A TE L X ST WO. sLEDU@]AQ TABLICA HARAKTERISTI^ESKIH
FUNKCIJ OTDELXNYH SLAGAEMYH Xk I SUMMY Sn USTANAWLIWAET SPRAWEDLIWOSTX WSEH UTWERVDENIJ PREDLOVENIQ.
2
3
4
5
0
P
ESLI
1
P
0
k
k
0
P
n
1
P
2
n
1
k
k
P
1
2
1
P
0
n
1
k
1 B(m; p) :
'Xk (t) = pe t + 1 ; p mk ; 'Sn (t) = pe t + 1 ; p
k
0
i
2 P() :
'Xk (t) = exp k (e t ; 1) ; 'Sn (t) = exp
0
n
o
i
1
mk
;
n (eit ; 1)o ;
k k
n
P
3 C(a; b) :
'Xk (t) = exp fitak ; j t jbkg ; 'Sn (t) = exp fit
0
4 N(; ) :
'Xk (t) = exp itk ; t2 k ; 'Sn (t) = exp it
0
Pn
i
n a ; j t j Pn b g ;
1 k
1 k
P
2
2
2
5 G(; ) :
'Xk (t) = (1 ; it);k ; 'Sn (t) = (1 ; it);
n k ; t2 Pn 2
1
1
k
2
P
;
0
Pn
1
k :
nESKOLXKO SLOW O HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCII MNOGOMERNOGO RASPREDELENIQ. eSLI X n = (X ; : : :; Xn) { SLU^AJNYJ WEKTOR S FUNKCIEJ PLOTNOSTI fn(x n ) = fn(x ; : : : ; xn) PO MERE dn (x n ) = d (x ) dn(xn); TO HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ OPREDELQETSQ KAK nMERNOE PREOBRAZOWANIE fURXE-lEBEGA
( )
1
( )
'n(t n ) = E exp i t n ; X n
( )
n
( )
1
( )
( )
o
=
Z
Rn
exp
8
<
n
9
=
1
1
i tkxk fn(x n )dn(x n ):
:
X
1
( )
( )
;
o^ENX PROSTO, PO PRQMOJ ANALOGII S BINOMIALXNYM RASPREDELENIEM, NAHODITSQ HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ MULXTINOMIALXNOGO RASPREDELENIQ, I STOLX VE PROSTO, ESLI WOSPOLXZOWATXSQ OTWETOM K ZADA^E N 4220 IZ dEMIDOWI^A, HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ n-MERNOGO
11
NORMALXNOGO RASPREDELENIQ N(; ) :
8
<
'n (t n ) = exp i
( )
:
n
X
1
k tk ; 21
X
j;kn
1
9
=
jk tj tk :
;
dLQ MNOGOMERNOJ HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCII TAKVE SPRAWEDLIWY TEOREMY EDINSTWENNOSTI I UTWERVDENIQ, ANALOGI^NYE PREDLOVENI@ 12.1. iSPOLXZUQ APPARAT MNOGOMERNYH HARAKTERISTI^ESKIH
FUNKCIJ, MOVNO POKAZATX, ^TO DLQ MULXTINOMIALXNOGO I MNOGOMERNOGO NORMALXNOGO RASPREDELENIJ SPRAWEDLIWY TEOREMY SLOVENIQ, I
DOKAZATX SLEDU@]EE UDIWITELXNOE SWOJSTWO MNOGOMERNOGO NORMALXNOGO RASPREDELENIQ: L@BOE LINEJNOE PREOBRAZOWANIE Y m = AX n (S
MATRICEJ A RAZMERNOSTI n m) SLU^AJNOGO WEKTORA X n N(; )
(
)
( )
( )
DAET SLU^AJNYJ WEKTOR, IME@]IJ m-MERNOE NORMALXNOE RASPREDELE0:
NIE SO SREDNIM I KOWARIACIONNOJ MATRICEJ
A
AA
12