является ли лагранжева теория свободного электромагнитного

tEORETI^ESKAQ FIZIKA, 2, 2001 G.
137
qwlqetsq li lagranvewa teoriq swobodnogo
|lektromagnitnogo polq osobennoj teoriej?
a.s. tARNOWSKIJ 1
sTANDARTNAQ LAGRANVEWA TEORIQ \LEKTROMAGNITNOGO POLQ QWLQETSQ \OSOBENNOJ" TEORIEJ. dLQ OSOBENNYH TEORIJ ZADA^A kOI NE IMEET EDINSTWENNOGO REENIQ, ^TO HARAKTERNO DLQ NEPOLNYH TEORIJ. oDNAKO POLU^A@]AQSQ W REZULXTATE LAGRANVEWA PODHODA MAKSWELLOWA TEORIQ OKAZYWAETSQ POLNOJ, I URAWNENIQ
mAKSWELLA IME@T EDINSTWENNOE REENIE. |TO OZNA^AET, ^TO DOLVEN SU]ESTWOWATX ALXTERNATIWNYJ LAGRANVEW PODHOD K TEORII \LEKTROMAGNITNOGO POLQ.
pOKAZANO, ^TO LAGRANVIAN WIDA = 21 A A I LORENCEWA KALIBROWKA DLQ
4-POTENCIALA A POZWOLQ@T POLU^ITX URAWNENIQ mAKSWELLA DLQ POLQ S ISTO^NIKAMI, PRI^<M LAGRANVEWA TEORIQ POLQ OKAZYWAETSQ NEOSOBENNOJ.
iZWESTNO, ^TO WSE LAGRANVEWY TEORII MOVNO RAZDELITX NA DWA KLASSA 1]. rASSMOTRIM MATRICU, SOSTAWLENNU@ IZ PROIZWODNYH LAGRANVIANA PO SKOROSTQM
M = @ 2 L=@ q_ @ q_ :
(1)
eSLI OPREDELITELX \TOJ MATRICY, NAZYWAEMYJ GESSIANOM, OTLI^EN OT NULQ (MATRICA M NEOSOBENNAQ), SOOTWETSTWU@]U@ TEORI@ NAZYWA@T NEOSOBENNOJ. w PROTIWNOM
SLU^AE TEORI@ NAZYWA@T OSOBENNOJ. eSLI TEORIQ NEOSOBENNAQ, TO MATRICA M IMEET
OBRATNU@ MATRICU, I URAWNENIQ lAGRANVA RAZREIMY OTNOSITELXNO STARIH PROIZWODNYH q. tOGDA PRI IZWESTNYH TEHNI^ESKIH OGRANI^ENIQH NA PRAWYE ^ASTI IMEET
MESTO TEOREMA SU]ESTWOWANIQ I EDINSTWENNOSTI REENIJ SISTEMY DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ, RAZRE<NNYH OTNOSITELXNO STARIH PROIZWODNYH. |TO OZNA^AET,
^TO W NEOSOBENNYH TEORIQH DLQ LAGRANVEWYH URAWNENIJ DWIVENIQ ZADA^A kOI
WSEGDA IMEET EDINSTWENNOE REENIE PRI PROIZWOLXNYH NA^ALXNYH DANNYH, ZADANNYH W WIDE NABORA WSEH KOORDINAT I SKOROSTEJ. oKAZYWAETSQ, ^TO \TO ZAWEDOMO NE
TAK DLQ OSOBENNYH TEORIJ 1, c. 13]. dLQ OSOBENNYH LAGRANVEWYH TEORIJ NEWOZMOVEN
STANDARTNYJ PEREHOD K GAMILXTONOWYM TEORIQM. w SWQZI S \TIM NESTANDARTNYM OKAZYWAETSQ I IH KANONI^ESKOE KWANTOWANIE. pRAWDA, SU]ESTWU@T SPECIALXNYE METODY
\GAMILXTONIZACII" OSOBENNYH TEORIJ, POZWOLQ@]IE, W PRINCIPE, REITX ZADA^U IH
KANONI^ESKOGO KWANTOWANIQ 1, c. 18].
w KA^ESTWE PRIMERA OSOBENNOJ TEORII POLQ OBY^NO PRIWODQT TEORI@ SWOBODNOGO
\LEKTROMAGNITNOGO POLQ A , OPISYWAEMU@ LAGRANVIANOM mAKSWELLA 1, c. 18]
L = ;1=4 F F GDE F = @ A ; @ A :
(2)
mOVNO UBEDITXSQ, ^TO MATRICA (1) ZDESX OSOBENNAQ. pRI^INA \TOGO ZAKL@^AETSQ W
TOM, ^TO SKOROSTX A_ 0 WOOB]E NE WHODIT W LAGRANVIAN, ^TO WIDNO IZ SLEDU@]EGO EGO
PREDSTAWLENIQ
L = 1=2 (A_ i + @i A0 )2 ; 1=4 Fik2 :
uRAWNENIQ, OPREDELQ@]IE W DANNOM SLU^AE KANONI^ESKIE IMPULXSY
p0 = @ L=@ A_ 0 = 0 pi = @ L=@ A_ i = A_ i + @iA0 (3)
1 tARNOWSKIJ aLEKSANDR sEM<NOWI^ { KAFEDRA TEORETI^ESKOJ FIZIKI sAMARSKOGO GOSUDARSTWENNOGO PEDAGOGI^ESKOGO UNIWERSITETA.
138
a.s. tARNOWSKIJ
NE POZWOLQ@T WYRAZITX SKOROSTX A_ 0 ^EREZ OSTALXNYE POLQ I IMPULXSY.
tEM NE MENEE, PODSTAWLQQ LAGRANVIAN (2) W URAWNENIE lAGRANVA
@=@x @ L=@ A = partialL=@ A (4)
MOVNO POLU^ITX URAWNENIQ mAKSWELLA DLQ SWOBODNOGO \LEKTROMAGNITNOGO POLQ.
eSLI W FUNKCI@ lAGRANVA L WKL@^ITX ^LEN, OPISYWA@]IJ WZAIMODEJSTWIE POLQ I
TOKA
Z
L = Ld + j A (5)
TO S POMO]X@ URAWNENIQ lAGRANVA I OPREDELQ@]EGO WYRAVENIQ DLQ TENZORA POLQ
(2) MOVNO POLU^ITX URAWNENIQ mAKSWELLA DLQ \LEKTROMAGNITNOGO POLQ S ISTO^NIKAMI 2]
F = j I F = 0
(6)
GDE F = 1=2 e F { TENZOR POLQ, DUALXNYJ TENZORU F . pODSTAWLQQ LAGRANVIAN (2) W URAWNENIE 2, c. 103]
T = L ; A @ L=@ A (7)
MOVNO POLU^ITX WYRAVENIE DLQ TENZORA \NERGII-IMPULXSA \LEKTROMAGNITNOGO POLQ
T = A F :
(8)
tENZOR (8) OKAZYWAETSQ NESIMMETRI^NYM PO INDEKSAM I , ^TO PRIWODIT K NARUENI@ ZAKONA SOHRANENIQ MOMENTA IMPULXSA \LEKTROMAGNITNOGO POLQ. pOSLE SIMMETRIZACII TENZORA (8) \RUKAMI" POLU^AETSQ SIMMETRI^NOE WYRAVENIE
T = F F ; 1=4 F2 (9)
SOOTWETSTWU@]EE ZAKONU SOHRANENIQ MOMENTA IMPULXSA POLQ 2].
zNA^ENIE LAGRANVIANA (2) NE IZMENITSQ W REZULXTATE KALIBROWO^NOGO PREOBRAZOWANIQ POTENCIALOW
A0 = A + ' (x):
(10)
nEIZMENNYMI OSTANUTSQ TAKVE ZNA^ENIQ KOMPONENT TENZORA POLQ F (2) I WID URAWNENIJ POLQ (6). oDNAKO WYRAVENIE DLQ TENZORA \NERGII-IMPULXSA (7) OKAZYWAETSQ
KALIBROWO^NO NEINWARIANTNYM, I LIX POSLE SIMMETRIZACII WYRAVENIQ (8) UDA<TSQ POLU^ITX WYRAVENIE (9), KOTOROE OKAZYWAETSQ KALIBROWO^NO INWARIANTNYM.
zAMETIM, ^TO KRAEWAQ ZADA^A DLQ SISTEMY DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ OBY^NO
NE IMEET EDINSTWENNOGO REENIQ W TOM SLU^AE, KOGDA SISTEMA URAWNENIJ NE POLNA.
oDNAKO SISTEMA URAWNENIJ mAKSWELLA DLQ TENZORA POLQ F , KAK IZWESTNO, QWLQETSQ
POLNOJ, I URAWNENIQ mAKSWELLA IME@T EDINSTWENNOE REENIE 3, c. 428]. pOLU^AETSQ
PARADOKS: S POMO]X@ \OSOBENNOJ" LAGRANVEWOJ TEORII POLQ POLU^AETSQ NEOSOBENNAQ STANDARTNAQ TEORIQ \LEKTROMAGNITNOGO POLQ. |TO NAWODIT NA MYSLX, ^TO OB]EPRINQTYJ LAGRANVEW PODHOD K TEORII MAKSWELLOWA POLQ NE QWLQETSQ EDINSTWENNO
WOZMOVNYM.
cELX DANNOJ STATXI { POKAZATX, ^TO WOZMOVEN ALXTERNATIWNYJ WARIANT WYBORA
LAGRANVIANA DLQ \LEKTROMAGNITNOGO POLQ, PRIWODQ]IJ K NEOSOBENNOJ LAGRANVEWOJ
TEORII POLQ I POZWOLQ@]IJ S POMO]X@ NEKOTOROGO OGRANI^ENIQ KALIBROWO^NOGO
qWLQETSQ LI LAGRANVEWA TEORIQ SWOBODNOGO \LEKTROMAGNITNOGO POLQ OSOBENNOJ TEORIEJ?
139
PROIZWOLA (10) POLU^ITX PRAWILXNYE URAWNENIQ POLQ I WYRAVENIQ DLQ TENZORA EGO
\NERGII-IMPULXSA.
dEJSTWITELXNO, ZAPIEM LAGRANVIAN POLQ W WIDE
= 1=2 A A :
(11)
tOGDA FUNKCIQ lAGRANVA (5) BUDET IMETX WID
Z
L = 1=2 A A d + j A :
(12)
pODSTAWLQQ WYRAVENIE (12) W URAWNENIE lAGRANVA, POLU^IM
A = j (13)
TO ESTX URAWNENIE dALAMBERA DLQ KOMPONENT 4-POTENCIALA POLQ. nALOVIM NA POTENCIALY A USLOWIE KALIBROWKI lORENCA 2, c. 194]
A = 0:
(14)
wY^ITAQ IZ URAWNENIQ (13) RAWNYJ W SILU URAWNENIQ (14) NUL@ ^LEN A , POLU^IM
(A ; A ) = j (15)
OTKUDA S U^<TOM WYRAVENIQ DLQ TENZORA F (2) SLEDU@T OBA URAWNENIQ mAKSWELLA
(6). pODSTAWLQQ LAGRANVIAN (11) W URAWNENIE (9), POLU^IM WYRAVENIE DLQ TENZORA
\NERGII-IMPULXSA POLQ
T = A A ; A A (16)
KOTOROE QWLQETSQ SIMMETRI^NYM PO INDEKSAM I , NO KALIBROWO^NO NE INWARIANTNYM. oDNAKO S U^<TOM KALIBROWO^NOGO USLOWIQ (14) EGO MOVNO PREOBRAZOWATX K
STANDARTNOMU WIDU (10).
eSLI W KA^ESTWE q_ WZQTX A 0 , TO PRI PODSTANOWKE LAGRANVIANA (11) W URAWNENIE
(1) POLU^ITSQ WYRAVENIE DLQ MATRICY GESSIANA
M = :
(17)
mATRICA QWLQETSQ, RAZUMEETSQ, NEOSOBENNOJ. sLEDOWATELXNO, TEORIQ POLQ S LAGRANVIANOM (11) QWLQETSQ NEOSOBENNOJ. dLQ LAGRANVIANA (11) MOVNO ZAPISATX SOOTWETSTWU@]IE KANONI^ESKIE IMPULXSY W RELQTIWISTSKI INWARIANTNOJ FORME 4, c.
167]
= n @=@A = n A (18)
GDE EDINI^NYJ WEKTOR n IZOBRAVAET PROIZWOLXNOE WREMENI-PODOBNOE NAPRAWLENIE
W ^ETYR<HMERNOM PROSTRANSTWE-WREMENI.
w KNIGE 5, c. 393] LAGRANVIAN \LEKTROMAGNITNOGO POLQ ZAPISAN W WIDE
L = 1=4(A ; A )2 + 1=2 A2 + j A KOTORYJ TAKVE NEPOSREDSTWENNO PRIWODIT K URAWNENI@ dALAMBERA (13).
tAKIM OBRAZOM, LAGRANVEWA TEORIQ \LEKTROMAGNITNOGO POLQ OKAZYWAETSQ OSOBENNOJ ILI NEOSOBENNOJ W ZAWISIMOSTI OT WYBORA LAGRANVIANA SWOBODNOGO POLQ. tOT
FAKT, ^TO NEOSOBENNAQ LAGRANVEWA TEORIQ PRIWODIT K URAWNENI@ dALAMBERA DLQ
POTENCIALA, A NE NEPOSREDSTWENNO K URAWNENIQM mAKSWELLA DLQ TENZORA POLQ, NA
140
a.s. tARNOWSKIJ
NA WZGLQD, GOWORIT O TOM, ^TO I W KLASSI^ESKOJ \LEKTRODINAMIKE POTENCIALY POLQ IGRA@T BOLEE SU]ESTWENNU@ ROLX, ^EM PROSTO WSPOMOGATELXNYE WELI^INY DLQ
OTYSKANIQ TENZORA POLQ.
lITERATURA
1] gITMAN d. m., t@TIN i. w. kANONI^ESKOE KWANTOWANIE POLEJ SO SWQZQMI. - m.:
nAUKA. - 1986. - 216 S.
2] lANDAU l.d., lIFIC e.m. tEORIQ POLQ. m.: fIZMATGIZ, 1960.
3] tAMM i.e. oSNOWY TEORII \LEKTRI^ESTWA. m.: nAUKA, 1976.
4] lI^ dV. u. kLASSI^ESKAQ MEHANIKA. m.: iZD-WO LIT. NA INOSTR. QZ., 1961.
5] gOLDSTEJN g. kLASSI^ESKAQ MEHANIKA. m.: gOSTEHIZDAT, 1957.
IS THE LAGRANGE'S THEORY OF A SOURCE-FREE
ELECTROMAGNETIC FIELD AN2 ESPECIAL THEORY?
A. S. Tarnovskii
The standard Lagrangian theory of electromagnetic eld is the "especial" theory.
It is well known for theories of this kind, that the Cauchy problem have not a
unique solution, what take place for so called "non-complete" theories. However, the
Maxwell's theory, resulting from the Lagrangian approach, is complete one and the
Maxwell equations have an unique solution. It was shown that the Lagrangian =
1
and Lorentz gauge condition for 4-potential A allow one to obtain the
2 A A
Maxwell's equations with sources and the Lagrangian theory of the electromagnetic
eld appears non-especial one.
2 Tarnovskii Alexander Semeonovich. Dept. of Theoretical Physics, Samara State Teachers' Training
University