Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà 3

Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà 3
Ïîñòðîåíèå è àíàëèç ïðîèçâîäñòâåííîé ôóíêöèè
 ýêîíîìåòðè÷åñêîì àíàëèçå ìîäåëü âèäà
Y = α + βX + U
ïðèâåäåííóþ ê ëèíåéíîé ôîðìå ïóòåì ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðåìåííûõ,
íàçûâàþò ëèíåéíîé ðåãðåññèîííîé ìîäåëüþ. Ïåðåìåííàÿ âåëè÷èíà X íàçûâàåòñÿ îáúÿñíÿþùåé (íåçàâèñèìîé) ïåðåìåííîé èëè ðåãðåññîðîì; ïåðåìåííàÿ Y îáúÿñíÿåìîé
(çàâèñèìîé) ïåðåìåííîé èëè ðåãðåñàíäîì; U îñòàòêîì (îøèáêîé), ðàâíûì ðàçíèöå ìåæäó íàáëþäàåìûìè çíà÷åíèÿìè è òåîðåòè÷åñêèìè, ìîäåëüíûìè. Ðåãðåññèîííûì
àíàëèçîì íàçûâàþò ñèñòåìó ìåòîäîâ îöåíêè ïàðàìåòðîâ êîýôôèöèåíòîâ ìîäåëè íà
îñíîâå èìåþùèõñÿ íàáëþäàåìûõ çíà÷åíèé (X, Y ). Ìîäåëü ëèíåéíîé ðåãðåññèè, îïèñûâàþùàÿ çàâèñèìîñòü ìåæäó íàáëþäàåìûìè çíà÷åíèÿìè (Xi , Yi ), i = 1, . . . , p â âûáîðêå,
ñîñòîÿùåé èç p íàáëþäåíèé, ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå
Yi = α + βXi + Ui ,
i = 1, . . . , p.
Ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ íàçûâàþò ïðîöåäóðó ïîèñêà òàêèõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ α è β , êîòîðûå ïðè ïîäñòàíîâêå ìèíèìèçèðóþò ñóììó êâàäðàòîâ îñòàòêîâ
Ui :
p
p
X
X
2
S=
Ui =
(Yi − α − βXi )2 .
i=1
i=1
Äèôôåðåíöèðóÿ S ñîîòâåòñòâåííî ïî α è β , è ïîëîæèâ çíà÷åíèÿ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ðàâíûìè íóëþ (÷òîáû íàéòè òî÷êè, ïîäîçðèòåëüíûå íà ýêñòðåìóì), ìû ïîëó÷èì
ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé äëÿ α è β :
p
X
∂S
= −2
(Yi − α − βXi ) = 0
∂α
i=1
p
X
∂S
= −2
(Yi − α − βXi ) Xi = 0
∂β
i=1
Ñèñòåìó óðàâíåíèé ýòîãî âèäà íàçûâàþò èíîãäà ñèñòåìîé íîðìàëüíûõ óðàâíåíèé.
Ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû, ò. å. êîýôôèöèåíòû α è β , îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
p
P
β=
Xi − X̄
Yi − Ȳ
i=1
p
P
,
Xi − X̄
2
i=1
α = Ȳ − β X̄.
ãäå X̄, Ȳ ñðåäíèå àðèôìåòè÷åñêèå çíà÷åíèå ïåðåìåííûõ.
Ïîäñòàâèâ íàéäåííûå çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ðåãðåññèîííîé ìîäåëè, ïîëó÷àåì
íàáîð ðàñ÷åòíûõ (òåîðåòè÷åñêèõ) çíà÷åíèé ïåðåìåííîé Y , êîòîðûå òàêæå íàçûâàþò
îöåíêàìè:
Ŷi = α + βXi .
Ðàçíîñòü ôàêòè÷åñêîãî è ðàñ÷åòíîãî çíà÷åíèÿ
Ui = Yi − Ŷi ,
i = 1, . . . , p
è åñòü îñòàòîê (íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ). Îñòàòîê ÿâëÿåòñÿ íå ÷åì èíûì, êàê ðàñ÷åòíûì
çíà÷åíèåì ñëó÷àéíîé îøèáêè, íå ïîäàþùåéñÿ íàáëþäåíèþ.
 êà÷åñòâå ìåðû àäåêâàòíîñòè ðåãðåññèîííîé ìîäåëè ÷àñòî èñïîëüçóþò êîýôôèöèåíò äåòåðìèíàöèè. Ïîñëåäíèé çàäà¼òñÿ ôîðìóëîé
p P
R2 =
i=1
p
P
Ŷi − Ȳ
Yi − Ȳ
2
2 ,
0 6 R2 6 1.
i=1
×åì áîëüøå çíà÷åíèå R2 , òåì âûøå ñòåïåíü àäåêâàòíîñòè óðàâíåíèÿ ðåãðåññèè, ïîñêîëüêó ýòó âåëè÷èíó ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê äîëþ äèñïåðñèè íàáëþäàåìûõ äàííûõ,
îáúÿñíåííûõ ïîñòðîåííîé ðåãðåññèîííîé ìîäåëüþ.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé ñ íåñêîëüêèìè îáúÿñíÿþùèìè ïåðåìåííûìè. Ïóñòü (X1i , X2i , . . . , Xmi ),
i = 1, . . . , p âåêòîð íàáëþäàåìûõ çíà÷åíèé m ïåðåìåííûõ X1 , X2 , . . . , Xm ; (Y1 , Y2 , . . . , Yp )
âåêòîð íàáëþäàåìûõ çíà÷åíèé îáúÿñíÿåìîé ïåðåìåííîé Y . Òîãäà ìíîãîìåðíàÿ (ìíîæåñòâåííàÿ) ëèíåéíàÿ ðåãðåñèîííàÿ ìîäåëü ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â ñòàíäàðòíîì
âèäå òàê:
Yi = β1 X1i + β2 X2i + · · · + βm Xmi + Ui , i = 1, . . . , p.
×òîáû â ýòîé ìîäåëè âûäåëèòü ñâîáîäíûé ÷ëåí (ïî àíàëîãèè ñ α èç ïðåäûäóùåé ìîäåëè), äîñòàòî÷íî äîáàâèòü íîâûé ðåãðåññîð, âñå çíà÷åíèÿ êîòîðîãî ðàâíû åäèíèöå.
Íàïðèìåð, ïóñòü ýòî áóäåò X1 , ò.å. X1i = 1, i = 1, . . . , p è β1 ñâîáîäíûé ÷ëåí.
Îöåíêîé íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ÿâëÿåòñÿ òàêîé âåêòîð ïàðàìåòðîâ (β1 , . . . , βm ), êîòîðûé ìèíèìèçèðóåò ñóììó êâàäðàòîâ ðåãðåññèîííûõ îñòàòêîâ
S=
p
X
(Yi − β1 X1i − · · · − βm Xmi )2
i=1
Ìîäåëü ðåãðåññèè çàïèñûâàåòñÿ áîëåå êîìïàêòíî â âåêòîðíî-ìàòðè÷íîé
îïðåäåëèì âåêòîðû Y , β , U è ìàòðèöó X ñëåäóþùèì îáðàçîì:
 
 
 

Y1
β1
U1
X11 X12 . . .
 Y2 
 β2 
 U2 
X21 X22 . . .

 
 

Y =
. . .  , β =  . . .  , U = . . .  , X =  . . . . . . . . .
Yp
βm
Up
Xp1 Xp2 . . .
ôîðìå. Èòàê,

X1m
X2m 

... 
Xpm
Òåïåðü ìîæíî çàïèñàòü ðåãðåññèîííóþ ìîäåëü òàê
Y = Xβ + U
à ñóììó êâàäðàòîâ îñòàòêîâ
S = U T U = (Y − Xβ)T (Y − Xβ) .
Èñõîäÿ èç óñëîâèé ìèíèìèçàöèè ñóììû êâàäðàòîâ ðåãðåññèîííûõ îñòàòêîâ
ïîëó÷àåì ñèñòåìó íîðìàëüíûõ óðàâíåíèé
∂S
= −2 X T Y − X T Xβ = 0
∂β
îòêóäà
X T Xβ = X T Y.
∂S
= 0,
∂βi
Ñëåäîâàòåëüíî, îöåíêà ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ åñòü
β = XT X
−1
X T Y.
Ôîðìóëà äëÿ êîýôôèöèåíòà äåòåðìèíàöèè îñòàåòñÿ ïðè ýòîì ïðåæíåé è åãî òî÷íî òàê
æå ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ îöåíêè àäåêâàòíîñòè ïîñòðîåííîå ìîäåëè.
Çàäàíèå
 òàáëèöàõ íèæå ïðèâåäåíû äàííûå çà 10 ëåò î âûïóñêå âàëîâîé ïðîäóêöèè (ÂÏ, òûñ.
ãðí.), ñòîèìîñòè îñíîâíûõ ïðîèçâîäñòâåííûõ ôîíäîâ (ÎÏÔ, òûñ. ãðí.) è çàòðàòàõ òðóäà (ÇÒ, òûñ. ÷åë-÷àñ) ïî îäíîé èç îòðàñëåé ïðîèçâîäñòâà (öèôðû ïî ïîñëåäíèì äâóì
ïîêàçàòåëÿì äàíû â 10 âàðèàíòàõ). Íà îñíîâå ýòîé èíôîðìàöèè íåîáõîäèìî:
1. Ïîñòðîèòü ïðîèçâîäñòâåííóþ ôóíêöèþ ÊîááàÄóãëàñà, èñïîëüçóÿ ðåãðåññèîííûé
àíàëèç.
2. Îöåíèòü ñòåïåíü àäåêâàòíîñòè ðåãðåññèîííîé ìîäåëè ñ ïîìîùüþ êîýôôèöèåíòà
äåòåðìèíàöèè R2 . Íà áàçå ïîñòðîåííîé ýêîíîìåòðè÷åñêîé ìîäåëè îïðåäåëèòü:
2.1. Ýëàñòè÷íîñòü âûïóñêà âàëîâîé ïðîäóêöèè ïî êàæäîìó ðåñóðñó.
2.2. Ñòåïåíü îäíîðîäíîñòè ïîëó÷åííîé ïðîèçâîäñòâåííîé ôóíêöèè.
2.3. Ìîäåëè ñðåäíåé è ïðåäåëüíîé ôîíäîîòäà÷è;
ñðåäíåé è ïðåäåëüíîé ïðîèçâîäèòåëüíîñòè òðóäà;
ïîòðåáíîñòè â êàæäîì ðåñóðñå ïðè çàäàííûõ âåëè÷èíàõ âòîðîãî ðåñóðñà è
âàëîâîé ïðîäóêöèè;
ôîíäîâîîðóæåííîñòè òðóäà;
ïðåäåëüíîé íîðìû çàìåùåíèÿ ðåñóðñîâ.
3. Ñäåëàòü òî÷å÷íûé è èíòåðâàëüíûé ïðîãíîçû âàëîâîé ïðîäóêöèè íà 11-é ãîä, ýêñòðàïîëèðóÿ ïî ëèíåéíîìó òðåíäó íà 11-é ãîä ðÿäû äèíàìèêè ÎÏÔ è ÇÒ.
Ïî êàæäîìó ïóíêòó ñäåëàòü ýêîíîìèêî-ñòàòèñòè÷åñêèå ïîÿñíåíèÿ è âûâîäû.
Íàïîìíèì, ÷òî ïðîèçâîäñòâåííîé ôóíêöèåé ÊîááàÄóãëàñà íàçûâàåòñÿ ñòåïåííàÿ
ôóíêöèÿ, ñâÿçûâàþùàÿ îáúåì âûïóñêà ñ çàòðàòàìè òðóäà è êàïèòàëüíûìè âëîæåíèÿìè:
Y = AK α Lβ
ãäå Y ïîêàçàòåëü âûïóñêà ïðîäóêöèè, K ñòîèìîñòü îñíîâíûõ ïðîèçâîäñòâåííûõ
ôîíäîâ (êàïèòàëà, êàïèòàëüíûõ âëîæåíèé), L çàòðàòû òðóäà â íàòóðàëüíîì âûðàæåíèè. Íåèçâåñòíûå ïàðàìåòðû A, α è β íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü, èñïîëüçóÿ ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ èëè ñòàíäàðòíûå ïðîãðàììû êîððåëÿöèîííî-ðåãðåññèîííîãî àíàëèçà. Ðåêîìåíäóåòñÿ èñïîëüçîâàòü òàáëè÷íûé ðåäàêòîð Excel. Ðàñ÷åòû ïàðàìåòðîâ ïðîâîäÿòñÿ â òàêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè:
1.
Ââîä â ýëåêòðîííûå òàáëèöû èñõîäíûõ äàííûõ.
 ñîîòâåòñòâóþùèé ëèñò îòêðûòîé êíèãè Excel ââîäÿòñÿ ïåðåìåííûå Y , K , L â
âèäå îòäåëüíûõ ñòîëáöîâ.
2.
3.
Ëîãàðèôìèðîâàíèå èñõîäíûõ ïåðåìåííûõ.
Ñ ïîìîùüþ êîìàíäû =LN(àäðåñ ÿ÷åéêè) îñóùåñòâëÿåòñÿ ðàñ÷åò ïåðâîãî ÷èñëà
èç ñîîòâåòñòâóþùåãî ñòîëáöà è ðåçóëüòàò çàíîñèòñÿ â íîâóþ òàáëèöó ëîãàðèôìèðîâàííûõ äàííûõ. Îñòàëüíûå çíà÷åíèÿ íàõîäÿòñÿ ïóòåì êîìàíä Êîïèðîâàòü Âñòàâèòü ïðàâîé ìûøüþ.
Ðåãðåññèîííûé àíàëèç ëîãàðèôìèðîâàííûõ ïåðåìåííûõ.
Ñíà÷àëà îñóùåñòâëÿåòñÿ ïîäãîòîâêà ê àíàëèçó ñ ïîìîùüþ êîìàíä Ñåðâèñ Íàäñòðîéêè Ïàêåò àíàëèçà. Çàòåì âûïîëíÿåòñÿ ñàì ðàñ÷åò ïóòåì èñïîëüçîâàíè êîìàíä Ñåðâèñ Àíàëèç äàííûõ Ðåãðåññèÿ. Ïðè ýòîì ñëåäóåò óêàçàòü
àäðåñ ÿ÷ååê âõîäíîãî èíòåðâàëà Y (ò.å. ñòîëáåö ñî çíà÷åíèÿìè LN (Y)) è âõîäíîãî èíòåðâàëà X (ñòîëáöû ñî çíà÷åíèÿìè LN(K), LN(L)). Âûâîä èòîãîâ àíàëèçà
îñóùåñòâëÿåòñÿ íà íîâûé ðàáî÷èé ëèñò. Ïðè ýòîì
α = êîýôôèöèåíò ïðè K,
β = êîýôôèöèåíò ïðè L,
LN (A) = êîýôôèöèåíò ïðè Y -ïåðåñå÷åíèè.
×òîáû íàéòè A, ñëåäóåò îñóùåñòâèòü ïîòåíöèðîâàíèå ñ ïîìîùüþ âñòðîåííîé ôóíêöèè EXP. Òî÷íîñòü ïîñòðîåííîé ýêîíîìåòðè÷åñêîé ìîäåëè îïðåäåëÿåòñÿ êîýôôèöèåíòîì äåòåðìèíàöèè R2 .
4.
Ðàñ÷åò õàðàêòåðèñòèê ïðîèçâîäñòâåííîé ôóíêöèè
Îñòàëüíûå õàðàêòåðèñòèêè, êîòîðûå íàäî ðàññ÷èòàòü, ìîæíî âû÷èñëèòü òàêæå â
Excel. Îäíàêî òåõíè÷åñêè ýòî ìîæíî ñäåëàòü è âðó÷íóþ, èñïîëüçîâàâ ïîëó÷åííûå
â Excel ïàðàìåòðû A, α, β , ïîäñòàâèâ èõ â ôîðìóëû.
Êàê è â ïðåäûäóùèõ ðàáîòàõ, i íîìåð ãðóïïû, j íîìåð ñòóäåíòà â ãðóïïå. Äëÿ
äàííîé ðàáîòû âàðèàíò îïðåäåëÿåòñÿ êàê j mod 10 + 1.
Âàëîâàÿ ïðîäóêöèÿ Y è îñíîâíûå ïðîèçâîäñòâåííûå ôîíäû K
Âàðèàíò
Ãîä
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Y
425
471
510
527
544
587
590
618
643
685
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
410
415
422
433
444
450
466
478
480
500
415
426
439
450
468
481
492
511
520
525
430
438
444
453
472
486
491
503
517
525
445
450
460
479
488
493
523
534
547
551
450
458
469
482
493
500
518
524
529
547
K
305
326
348
398
400
440
485
520
527
544
312
335
390
411
430
476
515
554
619
635
280
310
325
360
399
420
457
488
514
554
400
411
428
430
465
478
502
534
548
560
324
357
380
379
399
416
424
451
462
470
Çàòðàòû òðóäà L
Âàðèàíò
Ãîä
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
174
189
200
225
239
253
267
276
291
302
160
166
173
189
194
199
207
216
226
238
167
176
189
200
221
235
244
253
266
295
170
181
194
205
228
239
260
265
278
300
175
183
199
213
226
241
257
269
281
299
L
92
101
112
128
143
159
162
177
183
190
101
125
136
144
155
160
171
179
189
200
88
67
100
105
120
133
148
163
170
175
111
122
135
140
158
166
177
182
196
209
124
137
148
156
171
189
194
222
235
256
Ëèòåðàòóðà
1. Àëüñåâè÷ Â.Â. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ýêîíîìèêà. - Ì.: Äèçàéí ÏÐÎ, 1998.
2. Òåðåõîâ Ë.Ë. Ïðîèçâîäñòâåííûå ôóíêöèè. - Ì.: Ñòàòèñòèêà, 1974.
3. Êëåéíåð Ã.Á. Ïðîèçâîäñòâåííûå ôóíêöèè. - Ì.:Ôèíàíñû è ñòàòèñòèêà, 1986.
4. ÃðàíáåðãÀ.Ã. Äèíàìè÷åñêèå ìîäåëè íàðîäíîãî õîçÿéñòâà. - Ì.: Ýêîíîìèêà, 1985.