Лекция 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ

143
Лекция 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
И СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
План
1. Спектры апериодических функций и преобразование Фурье.
2. Некоторые свойства преобразования Фурье.
3. Спектральный метод анализа электрических цепей.
4. Выводы.
1. Спектры апериодических функций и преобразование Фурье
Спектр периодической во времени бесконечной функции является
дискретным, то есть он равен сумме гармоник, частоты которых отличаются
на частоту первой гармоники w1 = 2 p / T . Рассмотрим, каким будет спектр
апериодической функции f (t ) , имеющей конечную длительность Τ1 .
Для этого периодически продолжим f (t ) с периодом Τ > Τ1 (рис. 15.1).
Рис. 15.1
Спектр такой периодически продолженной функции f п (t ) будет дискретным. Комплексные коэффициенты ряда Фурье можно определить с помощью формулы (15.1). Разложение в ряд Фурье функции f п (t ) сходится к
исходной апериодической функции f (t ) только в пределах первого периода.
При увеличении периода амплитуды гармоник, определяемые формулой
2 Τ/2
An =
f п (t )e - jnw1t dt ,
ò
T -Τ / 2
(15.1)
144
будут уменьшаться. Уменьшится и основная частота ω1 , следовательно, гармоники будут располагаться гуще. При Τ ® ¥ гармоники сольются, образуя
сплошной спектр, а их амплитуды будут бесконечно малы.
Таким образом, функция конечной длительности имеет сплошной
спектр. Поскольку при увеличении периода амплитуды гармоник уменьшаются и в пределе обращаются в нуль, для описания сплошного спектра удобнее рассматривать интеграл в формуле (15.1):
Τ /2
T
F ( jnw1t ) = An = ò f (t )e - jnw1t dt .
2
-Τ / 2
(15.2)
При Τ ® ¥ пределы интегрирования в формуле (15.2) становятся бесконечными, а дискретная частота nw1 – непрерывной:
F ( jw) =
¥
ò f (t )e
- j wt
dt .
(15.3)
-¥
Функцию F ( jω) называют спектральной функцией или спектральной
плотностью. Формула (15.3) определяет прямое преобразование Фурье.
С помощью прямого преобразования Фурье мы преобразуем функцию времени f (t ) в комплексную функцию частоты F ( jω) .
Прямое преобразование Фурье существует в том случае, если функция
¥
f (t ) абсолютно интегрируема в бесконечных пределах, т. е.
ò
f (t ) dt < ¥ .
¥
Выразим теперь f (t ) через спектральную функцию F ( jω) . Поскольку
комплексная амплитуда ряда Фурье
2
A& n = F ( jnw1 t ) ,
T
из (15.7) следует, что периодическая функция времени
f п (t ) =
1 ¥
F ( jnw 1)e inw t .
å
T n= -¥
1
Учитывая, что T = 2p / w 1 , получим
f п (t ) =
1
2p
¥
å F ( jnw ) e w w
-¥
jn
1
1t
1
.
(15.4)
145
В пределе при Τ ® ¥ дискретная частота nw 1 становится непрерывной, а частоту первой гармоники ω1 можно рассматривать как дифференциал: w1 ® dw . При этом сумма в формуле (15.4) превратится в интеграл, который называют обратным преобразованием Фурье или интегралом Фурье:
f (t ) =
1 ¥
F ( jw)e jw t dw .
ò
2 p -¥
(15.5)
Произведение F ( jω) dω представляет «вклад» гармоники с частотой ω
в функцию f (t ) . По этой причине F ( jω) называют спектральной функцией
или спектральной плотностью.
Спектральные функции являются комплексными функциями частоты
w. Их составляющие (амплитуды и фазы или вещественные и мнимые части)
изображают в виде графиков. Графическое изображение спектров придает
большую наглядность анализу цепей с помощью преобразования Фурье.
2. Некоторые свойства преобразования Фурье
Рассмотрим некоторые свойства функций времени и соответствующих
спектральных функций. Эти свойства могут быть получены из соотношений
(15.4) и (15.5).
1. Преобразование Фурье обладает свойством линейности:
n
n
k =1
k =1
å ak f k (t ) Þ å ak Fk ( jw) .
Здесь Þ – знак соответствия.
2. Дифференцированию функции времени соответствует умножение
спектральной плотности на jω , а интегрированию – деление на jω :
df (t )
Þ jwF ( jw ),
dt
ò
f (t )dt Þ
1
F ( jw ) .
jw
3. Умножению спектральных функций соответствует свертка функций
времени:
F1 ( jw)F2 ( jw) Þ
¥
ò f1 (t) f 2 (t - t)dt .
-¥
146
Формулы (15.4) и (15.5) указывают на определенное сходство между
прямым и обратным преобразованиями Фурье. Поскольку F ( jω) – комплексная функция, представим ее в алгебраической форме:
F ( jw) =
¥
ò f (t )e
-¥
=
- jw t
dt =P + jQ =
¥
ò f (t )(cos wt -
¥
-¥
¥
-¥
-¥
j sin w t )dt =
ò f (t )cos w tdt - j ò f (t )sin wtdt .
Из последнего выражения следует, что вещественная часть спектральной функции четна, а мнимая – нечетна:
P( jω) = P(- jω) ; Q( jω) = -Q (- jω) .
Учитывая, что F ( jω) = P( jω) + jQ ( jω) , запишем формулу обратного
преобразования Фурье:
1 ¥
f (t ) =
(P + jQ )(cos w t + j sin wt )dw =
2p -ò¥
¥
ù
1 é¥
=
(P cos wt - Q sin wt )dw + j ò (Q cos wt + P sin wt )dwú .
ò
ê
2 p ë -¥
-¥
û
(15.6)
Мнимая часть последнего выражения
1 ¥
(Q cos wt + P sin wt )dw = 0 ,
2p -ò¥
поскольку она является интегралом от нечетных функций. Вещественная часть
в правой части формулы (15.6) является четной, поэтому мы можем записать:
1¥
f (t ) = ò (P cos w t - Q sin w t )dw .
p0
Полученные выражения показывают, что вещественная и мнимая части
спектральной функции F ( jω) , так же как амплитудный и фазовый спектры,
связаны между собой. Если функция времени f (t ) четная, т. е. f (t ) = f (- t ) ,
то мнимая часть спектральной функции равна нулю:
¥
Q(w) = - ò f (t )sin wtdt = 0 .
-¥
147
Спектральная функция четной функции времени является вещественной:
¥
F ( jw) = P(w) =
ò f (t )cos wtdt .
-¥
При этом функция времени
1 ¥
f (t ) =
P (w)cos w tdw .
2p -ò¥
Рассмотрим возможность вычисления энергии апериодических сигналов по их спектральным функциям. Интеграл квадрата функции времени
¥
ò
f 2 (t )dt =
-¥
é¥
ù
1 ¥
f
(
t
)
F ( j w)e jwt dwú dt .
ò
ò
ê
2 p -¥
ë -¥
û
(15.7)
Поскольку переменные t и ω независимы, изменим порядок интегрирования в правой части (15.7):
¥
¥
ù
é¥
ù
é¥
j wt
jwt
f
t
F
j
e
d
dt
F
j
w
w
=
w
(
)
(
)
(
)
ò
ò
ú
êò
ê ò f (t )e dt ú dw .
-¥
-¥
û
ë-¥
û
ë -¥
Внутренний интеграл представляет сопряженную спектральную функцию:
F (- jw) =
¥
ò f (t ) e
jwt
dt .
-¥
Поскольку F ( jw)F (- jw) = F ( jw) , формула (15.7) примет вид
2
¥
2
1 ¥
ò f (t )dt = 2p ò F ( jw) dw .
-¥
-¥
2
Учитывая, что квадрат модуля F ( jw)
запишем последнее равенство в виде
¥
2
есть четная функция частоты,
2
1¥
ò f (t )dt = p ò F ( jw) dw .
-¥
0
2
(15.8)
148
Формулу (15.8) называют формулой или теоремой Рейли (Релея).
Предположим, что в резисторе сопротивлением 1 Ом ток изменяется по закону f (t ) . Значение интеграла в левой части (15.16) пропорционально суммарной энергии, выделенной в резисторе за время действия тока. В соответствии
с (15.8) эта энергия может быть вычислена путем интегрирования f (t ) во
временной области либо путем интегрирования F ( jw) в частотной области.
2
Функция F ( jw) характеризует плотность распределения энергии по частоте. Ее называют спектральной плотностью энергии сигнала, изменяющегося
2
по закону f (t ) . Интегрируя F ( jw) в заданном диапазоне частот, мы можем
определить долю энергии сигнала, сосредоточенную в этом диапазоне.
2
3. Спектральный метод анализа электрических цепей
При спектральном анализе рассматриваются не изменения токов и напряжений, а изменения их спектров. Как известно, реакция линейной цепи на
воздействие синусоидального сигнала заключается в изменении амплитуды и
начальной фазы этого сигнала. Поскольку параметры цепи зависят от частоты, эти изменения также являются функциями частоты. Поэтому об изменении спектра сигнала удобно судить по частотным характеристикам цепи.
Рассмотрим двухполюсник, имеющий комплексное сопротивление
Z ( jω) . К входным зажимам двухполюсника приложено несинусоидальное
напряжение u (t ) , спектральная плотность которого равна U ( jω) . В соответствии с законом Ома спектральная плотность тока
I ( jω) =
U ( jω)
.
Z ( jω )
Далее ток как функцию времени мы можем найти с помощью обратного преобразования Фурье:
1 ¥
i (t ) =
I ( jw)e j wt dw .
ò
2p - ¥
Как известно, передающие свойства четырехполюсников характеризуют передаточными функциями. Комплексной передаточной функцией называют отношение комплексной амплитуды реакции к комплексной амплитуде
входного воздействия. Спектральная функция выходного напряжения
U 2 ( jw) = H ( jw)U 1 ( jw) .
149
Представим комплексную передаточную функцию в показательной
форме:
H ( jw ) = H (w)e jj (w ) .
Из последнего равенства следует, что на частоте ω модуль выходного
напряжения отличается от входного в H (ω) раз, а начальная фаза выходного
напряжения от фазы входного – на угол φ(ω) .
Расчет линейной цепи спектральным методом выполняется в следующем
порядке.
1. Определяется комплексная функция цепи.
2. Находится спектр входного воздействия.
3. Вычисляется спектр реакции.
4. Определяется обратное преобразование спектра.
Спектральный метод расчета применим и в том случае, если на входе
действует периодическая несинусоидальная функция. Спектр такой функции
является дискретным. Обозначим комплексные амплитуды гармоник входного напряжения U& k(1) . Комплексная амплитуда k-й гармоники на выходе
U& k(2 ) = H ( jk w1 ) U& k(1) .
Здесь H ( jkw1 ) – значение комплексной передаточной функции на частоте
k-й гармоники. Таким образом, выходное напряжение
n
U 0(1)
u 2 (t ) =
H (0 ) + åU k(1) H ( jkw1 ) sin (kw1t + j(kw1 )) .
2
k =1
Амплитуды гармоник периодической функции быстро убывают с ростом порядкового номера. Поэтому на практике ограничиваются частной суммой ряда, число гармоник которой зависит от скорости сходимости ряда и
требуемой точности.
Пример 15.1. Рассмотрим пример расчета частотным методом. Необходимо определить напряжение на выходе цепи, показанной на рис. 15.2. Элементы имеют следующие значения: R1= 14,14 кОм, R2= 4,71 кОм,
C1= 0,01мкФ, C 2= 0,015 мкФ . Коэффициент усиления усилителя K = 2.
Входной сигнал представляет последовательность прямоугольных импульсов с периодом T = 3.14 × 10 -3 с и единичной амплитудой (рис. 15.3).
150
Решение. Разложение в ряд Фурье периодической функции времени
U m 2U m æ
1
1
ö
+
ç sin w1t + sin 3w1t + sin 5w1t + K÷ =
p è
5
3
2
ø
1
1
æ
ö
= 0.5 + 0.637ç sin w1t + sin 3w1t + sin 5w1t + K÷.
3
5
è
ø
u1 (t ) =
Рис. 15.2
Рис. 15.3
Частота первой гармоники
w1 =
2p
= 0.2 × 10 4 рад/с .
T
Передаточная функция рассматриваемой цепи
K
R1 R2C1C 2
H ( jw) =
.
é
ù
1
1
1
1
(1 - K )ú +
- w2 + jwê
+
+
ë R1C1 R2C1 R2C 2
û R1 R2 C1C 2
Подставив значения элементов, получим
2 × 10 8
.
- w 2 + jw 1.414 × 10 4 + 10 8
График амплитудно-частотной характеристики показан на рис. 15.4, а на
рис. 15.5 дана фазочастотная характеристика (значения ФЧХ в радианах).
Амплитуды гармоник на выходе цепи:
A0 = 1.0, A1 = 1.274, A3 = 0.415, A5 = 0.182, A7 = 0.084, A9 = 0.042 .
H ( jw ) =
151
Начальные фазы гармоник (в радианах):
j1 = -0.284, j 3 = -0.92, j5 = -1.57,
Рис. 15.4
j 7 = -2.026, j 9 = -2.297 .
Рис. 15.5
Напряжение на выходе цепи
7
u вых (t ) = å An sin (nw1t + f n ) = 1 + 1.274 sin (wt - 0.284 ) + 0.415 sin (3wt - 0.92 ) +
n =0
+ 0.182 sin (5wt - 1.57 ) + 0.084 sin (7wt - 2.026 ) + 0.042 sin (9wt - 2.297 )
График uвых (t ) показан на рис. 15.6. Напряжение на выходе цепи имеет
пологий фронт, а также заметный выброс (перерегулирование).
Рис. 15.6
Рассмотренный пример показывает, что реакция линейной цепи на воздействие периодического сигнала заключается в изменении амплитуд и начальных фаз гармоник, составляющих сигнал. При этом спектральный состав
сигнала на выходе цепи не изменяется.
152
4. Выводы
1. Апериодическая функция времени имеет не дискретный, а сплошной
спектр.
2. Прямое преобразование Фурье определяется формулой:
F ( jw) =
¥
ò f (t )e
- j wt
dt .
-¥
Функцию F ( jω) называют спектральной функцией или спектральной
плотностью.
3. С помощью прямого преобразования Фурье мы преобразуем функцию времени f (t ) в комплексную функцию частоты F ( jω) .
4. Расчет линейной цепи спектральным методом выполняется в следующем порядке.
- определяется комплексная функция цепи;
- находится спектр входного воздействия;
- вычисляется спектр реакции;
- определяется обратное преобразование спектра реакции.