ЛЕКЦИЯ 23 Функция распределения вероятностей случайной величины. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной

ЛЕКЦИЯ 23
Функция распределения вероятностей случайной величины.
Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной
величины. Нормальное распределение.
Цель: Изучение функции распределения вероятностей и плотности распределения вероятностей, законов распределения непрерывных случайных величин.
Задачи:
1. Дать определение функции распределения, рассмотреть ее свойства и график.
2. Дать определение плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины, рассмотреть ее свойства.
3. Рассмотреть равномерный закон распределения.
4. Привести формулы для вычисления числовых характеристик непрерывных
случайных величин.
5. Рассмотреть нормальный закон распределения.
Желаемый результат: Студенты должны знать функции распределения вероятностей и плотности распределения вероятностей, законов распределения
непрерывных случайных величин.
Учебные вопросы:
1. Функция распределения случайных величин, ее свойства, график.
2. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины, ее
свойства.
3. Равномерный закон распределения.
4. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
5. Нормальный закон распределения.
Определение функции распределения.
Известно, что дискретная случайная величина может быть задана перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей. Но такой способ з адания не является общим: он неприменим, например, для непрерывных слу-
1
чайных величин. С этой целью вводят функцию распределения вероятностей
случайной величины.
Пусть X - действительное число. Вероятность события, состоящего в
том, что X примет значение меньшее х, т.е. вероятность события Х<х
обозначим через F(x). Если х изменяется, то изменяется и F(x), т.е. F(x) функция от х.
Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую
вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет
значение, меньшее х, т.е.
F(x)=Р(Х<х).
Геометрически это можно истолковать так: F(x) есть вероятность
того, что случайная величина примет значение, которое изображается на
числовой оси точкой, лежащей левее точки х.
Иногда вместо термина «функция распределения» используют термин
"интегральная функция". Теперь можно дать более точное определение непрерывной случайной величины: случайную величину называют непрерывной,
если
её
функция
распределения
есть
непрерывная,
кусочно-
дифференцируемая функция с непрерывной производной.
Свойства функции распределения.
Свойство 1.
Значения функции распределения принадлежат отрезку
0≤ F(x)≤1.
(0,1)
Док-во: Свойство вытекает из определения функции распределения, как
вероятности: вероятность всегда есть неотрицательное число, не превышающее единицы, что и требовалось доказать.
Свойство 2. F(x) неубывающая функция, т.е.F(x 2 )≥ F(x 1 ), если х 2 >x 1 .
Доказательство. Пусть X2>X1 - событие, состоящее в том, что Х 1 примет значение меньшее X2, можно подразделить на следующие два несовместных события:
1) Х примет значение меньшее х1, с вероятностью Р(Х<x1)
2
2) X примет значение, удовлетворяющее неравенству x1≤X≤x2 с вероятностью
Р(x1≤X≤x2).
По теореме сложения имеем:
P(X<x2)=P(X<x1)+P(x1<X<x2)
Отсюда
Р(X<x2)-P(X<x1)=P(x1<X<x2)
или F(x2)-F(x1)=P/x1≤X≤x2
Так как любая вероятность есть число неотрицательное, то F(x2)-F(x1)≥0 или
F(x2)≥F(x1). Что и требовалось доказать.
Следствие I. Вероятность того, что случайная величина, примет значение, заключенное в интервале (a,b), равна приращению функции распределения на этом
интервале:
P(a≤X≤b)=F(b)-F(a).
(1)
Это следствие вытекает из свойства (2), если положить x2=b x1=a.
Следствие 2. Вероятность, того что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение, равна нулю.
Действительно, положив в формуле (1) а=х, b=x 1 +∆x имеем:
Р(x1≤X≤x1+∆х)=F(x 1 +∆x)-F(x 1 ).
Устремим ∆х→0. Так как X непрерывная случайная величина, то функция
F(x) непрерывна. В силу непрерывности F(x) в точке X 1 разность
F(x 1 +∆x)-F(x 1 )
также стремится к нулю, следовательно, Р(Х=х 1)=0.
Заметим, что было бы неправильным думать, что равенство нулю вероятности Р(Х=х1) означает, что событие Х=х1 невозможно. Действительно, в результате испытания случайная величина примет одно из возможных значений, а это
может быть и х1.
Свойство 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b), то:
I) F(x)=0 при х≤а
2)F(x)=1 при х≥b
Доказательство. I. Пусть х1≤а. Тогда событие Х<х1 невозможно (так как
значений меньших х1 величина X по условию не принимает и, следовательно, вероятность его равна нулю).
3
2) Пусть x = b . Тогда событие X<x 2 достоверно так как все возможные
значения X меньше x 2 и, следовательно, вероятность его ровна единице.
Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины
расположены на всей оси х, то справедливы следующие предельные соотношения:
lim F ( x)
0,
x
lim F ( x) 1
x
График функции распределения.
Доказанные свойства позволяют представить как выглядит график функции
распределения непрерывкой случайной величины. График расположен в полосе,
ограниченной прямыми: у=0, у=1(первое свойство).
При возрастании х в интервале (a,b), в котором заключены все возможные
значения случайной величины, график ''подымается вверх" (второе свойство).
При x ≤ а ординаты графика равны нулю; при у ≥b ординаты графика
равны единице (третье свойство).
Тогда график функции распределения непрерывной случайной величина
изобразится следующим образoм:
F(x)
a
b
x
Замечание. График функции распределения дискретной случайной
величины имеет ступенчатый вид.
4
Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины.
Способ задания случайной величины в виде функции распределения не
является единственным. Можно задать непрерывную случайную величину, используя другую функцию, которую называют плотностью распределения или
плотностью вероятности (иногда её называют дифференциальной функцией).
Определение. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной
величины Х называют функцию f(х) - первую производную от функции распределения F(х):
f(x)=F′(x),
где
F ( x)
F (x
lim
x 0
x) F ( x)
x
Из определения следует, что функция распределения является первообразной
для плотности распределения. Отметим, что плотность распределения неприменима для описания распределения дискретной величины. Смысл плотности распределения f(x) состоит в том, что она указывает на то, как часто появляется
случайная величина Х в некоторой окрестности точки х при повторении опытов.
Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет
значение принадлежащее интервалу (a,b), равна определенному интегралу от
плотности распределения в пределах от а до b
b
P(a
X
f ( x)dx .
b)
(2)
a
Геометрически смысл теоремы: вероятность того, что непрерывная случайная величина, примет значение, принадлежащее интервалу (a,b) равна площади
криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, кривой распределения f(x) и
прямыми x=a, x=b.
Зная плотность распределения f(x), можно найти функцию распределения
F(x) по формуле:
x
F ( x)
f ( x)dx .
(3)
5
Свойства плотности распределения.
Свойство I. Плотность распределения - неотрицательная функция:
f(x)≥0.
Доказательство. Функция распределения - неубывающая функция, следовательно, её производная F′(x)=f(x) - функция неотрицательная. Геометрически это свойство означает, что точки, принадлежащие графику плотности распределения, расположены либо над осью Ох, либо на этой оси.
F(x)
1
0
a
b
x
График плотности распределения называют кривой распределения.
Свойство 2. Функция распределения случайной величины равна интегралу от плотности в интервале от -∞ до х, т.е.
x
F ( x)
f ( x)dx .
Свойство 3. Вероятность попадания непрерывной случайной величины Х
на участок (α,β) равна интегралу от плотности распределения , взятому
по этому участку:
P(
X
)
f ( x)dx .
Свойство 4. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от -∞ до +∞ равен единице:
f ( x)dx 1 .
Доказательство. Несобственный интеграл
f ( x)dx выражает вероят-
ность события состоящего в том, что случайная величина примет значение
6
принадлежащее интервалу (-∞, ∞). Очевидно, такое событие достоверно,
следовательно, вероятность его равна единице. Геометрически это означает, что вся площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью 0х и
кривой распределения, равна единице. В частности, если все возможные
значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b), то:
b
f ( x ) dx
1.
a
Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
Распространим определения числовых характеристик дискретных величин на величины непрерывные. Начнем с математического ожидания. Пусть
непрерывная величина Х задана плотностью распределения f(x).
Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку (a,b), называют определенный интеграл вида:
b
(4)
M ( x) xf ( x)dx
a
Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, то
M ( x)
xf ( x)dx .
Предположения, что несобственный интервал сходится абсолютно, т.е. существует:
x f ( x)dx .
По аналогии с дисперсией дискретной величины определяется и дисперсия непрерывной величины.
Определение.
Дисперсией непрерывной случайной величины называют ма-
тематическое ожидание квадрата её отклонения.
Если возможные значения X принадлежат отрезку (a,b) то:
b
2
x M ( X ) f ( x)dx .
D( x)
(5)
a
Если возможные значения принадлежат оси х, то
7
2
x M ( X ) f ( x)dx .
D( x)
(5/)
Определение. Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется равенством:
(X )
D( X ) .
(6)
Замечание 1. Можно доказать, что свойства математического ожидания и
дисперсии дискретных величин сохраняются и для непрерывной величины.
Замечание2. Легко получить для вычисления дисперсии более удобные
формулы.
в
Д(Х )
х 2 f ( x)dx
М (Х )
2
(7)
х 2 f ( x)dx
М (Х )
2
(7′)
а
Д(Х )
Равномерный закон распределения.
При решении задач, которые выдвигает практика, приходится сталки ваться c различными распределениями непрерывных случайных величин.
Плотности распределений непрерывных случайных величин называют также
законами распределений. Часто встречаются законы равномерного, нормального и показательного распределений. Рассмотрим эти законы.
Определение. Распределение вероятностей называют равномерным, если
на интервале которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение:
f ( x)
0, при х a
c, при a x b
0, при х b
где с=const.
График плотности f(x) для равномерного распределения выглядит
следующим образом:
F(x)
8
C=1/(b-a)
0
a
b
x
Так как площадь, ограниченная кривой распределения равна 1, то
плотность равномерного распределения на интервале( a,b) как высота
прямоугольника с основанием (b-a) равна С=1/(b-a) и следовательно,
плотность распределения f(x) имеет вид:
f ( x)
0 при х a
1
при a x
b a
0 при х b
b
Найдем функцию распределения F(x) для равномерного распределения на
интервале (a,b). Согласно формуле имеем:
x
F ( x)
x
f ( x)dx
a
1
b a
dx
x
b
x
|
aa
x a
,
b a
при x<a F(x)=0, а при x>b F(x)=1.
Таким образом:
f ( x)
0 при х a
x a
при a
b a
1 при х b
x
b
Непрерывная случайная величина подчиняется закону равномерной
плотности (имеет равномерное распределение), если её возможные значения лежат в пределах некоторого определенного интервала, кроме т ого, в пределах этого интервала все значения случайной величины одинаково вероятны (обладают одной и той же плотностью вероятности).
Нормальное распределение.
Определение. Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью:
9
1
е
2
f ( x)
( х а)2
2
2
(8)
Из формулы (8) следует, что нормальное распределение определяется
двумя параметрами: a и σ. Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение:
а) По определению математического ожидания непрерывной случайной величины
M (Х )
х f ( x)dx
Введем новую переменную z=
( x a )2
1
хe
2
2
2
dx .
. Отсюда x=σz+a, dx=σdz.
Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым,
получим:
M (Х )
2
( z
a)e
z2
2 dz
1
z2
2 dz
ze
2
a
2
e
z2
2 dz .
Первое из слагаемых равно нулю (под знаком интеграла нечетная функция,
пределы интегрирования симметричны относительно начала координат).
Второе из слагаемых - «интеграл Пуассона»:
e
Тогда M ( X )
a 2
2
z2
2
dz
2
=√2π.
a , т.е. математическое ожидание нормального
распределения равно параметру а.
б) По определению дисперсии непрерывной случайной величины, учитывая, что
M(x)=a, имеем
D( X )
Введем новую переменную z=
1
2
( x a)2
2
( x a) e
2
2
dx
, отсюда (x-a)=σz, dx=σdz.
10
Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим:
2
D( X )
2
Интегрируя по частям, положив U=z du=z
z ze
z2
2 dz
dz, найдем D(x)=σ2.
Следовательно:
.
Итак среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру σ.
Нормальная кривая
График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса).
Исследуем функцию:
.
1. Функция определена по всей оси X.
2. При всех значениях X функция принимает положительные значения, т.е. нормальная кривая расположена над осью Ох.
f(x)
1
3. Предел функции при |x|→∞ (по абсолютной величине) равен нулю: lim y
0,
x
т.е. ось Ох является горизонтальной асимптотой графика.
11
4. Исследуем на экстремум, найдем первую производную, тогда, можно видеть,
что у′ =0 при х=а; у′> 0 при х< а, у′<0 при x>a. Следовательно, при х=а функция имеет loc max, равный
1
2
5. Так как (x-a) содержится в квадрате, то график функции симметричен относительно прямой x=a.
6. Функция имеет точки перегиба
a
,
1
e и a
2
,
1
e
2
На рис, изображена нормальная кривая при а=1 и σ=2.
7. Изменение математического ожидания (параметра а) приводит к смещению
кривой распределения вдоль оси OX: вправо, если а взрастает; влево, если а
убывает. При изменении среднего квадратического отклонения σ и а=const кривая распределения меняет свою форму: при возрастании σ максимальная ордината кривой убывает; а при убывании σ ордината кривой возрастает.
Отметим, что при а=0 и σ=1 нормальную кривую называют нормированной.
F(x)
Вопросы для самопроверки:
1. Что такое функция распределения случайных величин?
2. Каковы свойства и график функции распределения случайных величин?
3. Что такое плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины?
4. Каковы свойства плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины?
5. Рассказать о равномерном законе распределения непрерывной случайной величины..
6. Записать формулы вычисления числовых характеристик непрерывных случайных величин.
7. Рассказать о нормальном законе распределения.
12