6.4. Системы случайных величин

Лекция 4.29. Системы случайных величин. Функция распределения системы двух случайных величин (СДСВ). Свойства функции
распределения. Плотность распределения и ее свойства. Теорема умножения законов распределения. Числовые характеристики
СДСВ. Начальный, центральный и корреляционный моменты.
6.4. Системы случайных величин
В практике часто встречаются задачи, которые описываются не одной случайной
величиной, а двумя или более случайными величинами, образующими систему или
комплекс.
Функция распределения системы двух случайных величин
Функцией распределения системы двух случайных величин (X,Y) называется вероятность
совместного выполнения двух неравенств X<x и Y<y:
F ( x, y ) = P(( X < x), (Y < y )).
(6.47)
Геометрически функция распределения есть вероятность попадания случайной
величины (X,Y) в бесконечный квадрат с вершиной в точке (x,y), лежащей левее и ниже ее
(рис. 6.17).
y
(x,y)
x
0
Рис. 6.17.
Свойства функции распределения
1. Функция распределения F(x,y) – неубывающая функция обоих своих аргументов,
при x 2 > x1 , ⇒ F ( x 2 , y ) ≥ F ( x1 , y );
при y 2 > y1 , ⇒ F ( x, y 2 ) ≥ F ( x, y1 ).
В этом легко убедится, пользуясь геометрической интерпретацией: увеличивая x или y,
т. е. соответственно смещая правую или верхнюю границу квадрата, мы увеличиваем и
вероятность попадания в этот квадрат.
2. Повсюду на - ∞ функция распределения равна нулю:
F ( x,−∞) = F (−∞, y ) = F (−∞, ∞) = 0.
Действительно, отодвигая влево x → −∞ или вниз y → −∞ или одновременно правую и
верхнюю границу замечаем, что квадрат “уходит на нет”, т. е. вероятность попадания в этот
квадрат стремится к нулю.
3. При одном из аргументов равном + ∞ , функция распределения системы
превращается в функцию распределения случайной величины, соответствующей другому
аргументу: F ( x,+∞) = F1 ( x); F (+∞, y ) = F2 ( y ), где F1 и F2 - соответственно функции
распределения случайной величины X и Y.
В этом можно наглядно убедится, сдвигая ту или другую границу на + ∞ ; при этом
квадрант в пределе превращается в полуплоскость, вероятность попадания в которую есть
функция распределения одной из величины, входящих в систему, т. к. вероятность
попадания точки в полуплоскость равносильно вероятности попадания в полуось,
проходящую через данную точку (рис. 6.18 a, б).
y
y
y
F2 (y) = P(Y < y)
0
F1(x) = P(X < x)
x
0
x
x
б)
a)
Рис. 6.18.
136
Лекция 4.29. Системы случайных величин. Функция распределения системы двух случайных величин (СДСВ). Свойства функции
распределения. Плотность распределения и ее свойства. Теорема умножения законов распределения. Числовые характеристики
СДСВ. Начальный, центральный и корреляционный моменты.
4. Если оба аргумента равны + ∞ , то функция распределения системы равна единице.
Действительно, при x → +∞ и y → +∞ , квадрат превращается во всю плоскость,
попадание в которую есть достоверное событие.
Рассмотрим вероятность попадания случайной величины (X,Y) в область D на
плоскости x0y.
Условимся, событие, состоящее в попадании случайной точки (X,Y) в область D,
обозначать (X,Y) ⊂ D.
Выразим через функцию распределения системы вероятность попадания случайной
точки (X,Y), для наглядности, в прямоугольник R, ограниченный абсциссами α и β и
ординатами γ и δ (рис. 6.19).
y
α ,δ
δ
β ,δ
R
γ
α,γ
β ,γ
α
0
x
β
Рис. 6.19.
Очевидно, вероятность попадания в прямоугольник R равна вероятности попадания в
квадрант с вершиной ( β , δ ) минус вероятность попадания в квадрант с вершиной ( β , γ ) и
учитывая, что квадрант с вершиной (α , γ ) уже был вычтен ранее, значит надо добавить
вероятность попадания в этот квадрант. Отсюда получим формулу, выражающую
вероятность попадания в прямоугольник, через функцию распределения системы:
P (( x, y ) ⊂ R) = F ( β , δ ) − F (α , δ ) − F ( β , γ ) + F (α , γ ).
(6.48)
В дальнейшем, когда будет введено понятие плотности распределения системы, мы
выведем формулу для вероятности попадания случайной точки в область произвольной
формы.
Плотность распределения системы двух случайных величин
Распределение системы непрерывных случайных величин обычно характеризуют не
функцией распределения, а плотностью распределения.
Рассмотрим элементарный прямоугольник (рис. 6.20).
y
( x, y + ∆y)
(x + ∆x, y + ∆y)
BD
( x, y)
0
(x+∆x,y)
x
Рис. 6.20.
Тогда, в соответствии с (6.48) имеем:
∆P = P(( X , Y ) ⊂ D) = F ( x + ∆x, y + ∆y ) − F ( x + ∆x, y ) − f ( x, y + ∆y ) + F ( x, y ) = ∆x ⋅ ∆y .
137
Лекция 4.29. Системы случайных величин. Функция распределения системы двух случайных величин (СДСВ). Свойства функции
распределения. Плотность распределения и ее свойства. Теорема умножения законов распределения. Числовые характеристики
СДСВ. Начальный, центральный и корреляционный моменты.
Отсюда
∆P
- называют средней плотностью, а величину
∆x∆y
∆p
lim
= f(x,y) ≥ 0
∆x →0 ∆x∆y
∆y →0
(6.49)
называют плотностью распределения системы.
Из последнего вытекает, что с точностью до бесконечно малых более высоких
порядков, вероятность попадания в элементарный прямоугольник равна:
∆P = f ( x, y )dxdy.
Тогда, для любой области D:
P (( X , Y ) ∈ D) = ∫∫ f ( x, y )dxdy,
(6.50)
D
и для области, ограниченной абсциссами α и β и ординатами γ и δ :
βδ
P (α ≤ x ≤ β , γ ≤ y ≤ δ ) = ∫ ∫ f ( x, y )dxdy.
(6.51)
α γ
y
y
x
0
x
Рис. 6.21.
Как видно из рис. 6.21 и предыдущего равенства, для функции распределения F(x,y)
следует: α = γ = −∞, β = x, δ = y . Тогда
x y
F ( x, y ) =
∫ ∫ f ( x, y)dxdy,
(6.52)
− ∞− ∞
∂2F
.
∂x∂y
Выражения (6.52) и (6.53) называются,
дифференциальным законами распределения.
f ( x, y ) =
(6.53)
соответственно,
интегральным
и
Свойства плотности распределения
∆P
≥ 0;
∆x , ∆y →0 ∆x∆y
1. f ( x, y ) = lim
∞ ∞
2.
∫ ∫ f ( x, y)dxdy = 1 .
− ∞− ∞
Учитывая, что F ( x,+∞) = P1 ( X ⊂ x) = F ( x) , то
x
+∞
f1 ( x) = Fx` ( x) = [ f ( x,+∞)]`x = [ ∫ ( ∫ f ( x, y )dy )dx]1` = f1 ( x) =
−∞ −∞
∞
∫ f ( x, y)dy.
−∞
∞
Аналогично f 2 =
∫ f ( x, y)dx.
−∞
138
Лекция 4.29. Системы случайных величин. Функция распределения системы двух случайных величин (СДСВ). Свойства функции
распределения. Плотность распределения и ее свойства. Теорема умножения законов распределения. Числовые характеристики
СДСВ. Начальный, центральный и корреляционный моменты.
Теорема умножения законов распределения
y
( y +α y)
y
0
I ∆D
II
x ( x + α x)
x
Рис. 6.22.
Попадание в область ∆D , есть произведение событий I – попадание в элементарную
полоску x + dx , с вероятностью f1 ( x)dx , и события II – попадания в полоску II, с условной
вероятностью f ( y / x)dy .
На основании теоремы о вероятности произведения событий, получим:
f ( x, y )dxdy = f 1 ( x)dx ⋅ f ( y / x)dy.
Отсюда
f ( x, y ) = f 1 ( x) f ( y / x), 
(6.54)

f ( x, y ) = f 2 ( y ) f ( x / y ).
Если случайные величины независимы, то f ( x / y ) = f1 ( x); f ( y / x) = f 2 ( y ) . Тогда
f ( x, y ) = f 1 ( x) ⋅ f 2 ( y ).
(4.55)
Из теоремы умножения следует:
f ( x, y )
f ( x, y ) 
1. f ( x / y ) =
;
= ∞
f1 ( y )
∫ f ( x, y)dx 
−∞
(6.56)

f ( x, y )

2. f ( y / x) = ∞
.

(
,
)
f
x
y
dy

∫
−∞

Теорема о взаимности условий зависимости и независимости
Пусть f ( x / y ) = f1 ( x) , т. е. X не зависит от Y. Доказать, что в этом случае Y не зависит
от X, т. е. f ( y / x) = f 2 ( y ) .
Доказательство. На основании (6.54) имеем
f ( x, y ) = f 2 ( y ) ⋅ f ( x / y ) = f1 ( x) ⋅ f ( y / x),
отсюда
f 2 ( y ) ⋅ f ( x / y ) = f1 ( x) ⋅ f ( y / x).
Тогда, при условии f1 ( x) ≠ 0 , получим f 2 ( y ) = f ( y / x), т. е. Y не зависит от X.
Числовые характеристики системы двух случайных величин
Начальным моментом α k ,s порядка k, s системы (X,Y) называется математическое
ожидание произведения X k на Y s :
α k , s = M [ X k , Y s ].
(6.57)
139
Лекция 4.29. Системы случайных величин. Функция распределения системы двух случайных величин (СДСВ). Свойства функции
распределения. Плотность распределения и ее свойства. Теорема умножения законов распределения. Числовые характеристики
СДСВ. Начальный, центральный и корреляционный моменты.
Для дискретной случайной величины:
α k , s = ∑∑ xik y sj pij ,
i
(6.58)
j
где pij = P(( X = xi ), (Y = y j )) вероятность того, что система (X,Y) примет значения
( xi , y j ) , а суммирование распространяется по всем возможным значениям случайных
величин X, Y.
Для непрерывной случайной величины:
∞ ∞
∫ ∫x
α k ,s =
k
y s f ( x, y )dxdy,
(6.59)
− ∞− ∞
где f(x,y) – плотность распределения.
Центральным моментом µ k , s порядка k, s системы (X,Y) называется величина
вычисляемая по формуле:
o
o
µ k , s = M [ X k , Y S ],
o
(6.60)
o
где X = X − m x , Y = Y − m y - центрированные величины.
Для дискретной случайной величины:
µ k , s = ∑∑ ( xi − m x ) k ( y j − m y ) s pij .
i
(6.61)
j
Для непрерывных
µ k ,s =
∞ ∞
∫ ∫ (x − m
x
) k ( y − m y ) s f ( x, y )dxdy.
(6.62)
− ∞− ∞
Из приведенных формул видно:
α 1.0 = M [ X 1 , Y 0 ] = M [ X ] = m x ;
(6.63)

α 1.1 = M [ X 0 , Y 1 ] = M [Y ] = m y . 
m x , m y - геометрически представляют собой координату средней точки вокруг которой
группируются все значения (x,y) системы (X,Y).
Рассмотрим вторые центральные моменты:
µ 2, 0 = M [ X 2 , Y 0 ] = M [ X 2 ] = D[ X ] = D x ;
(6.64)

µ 0, 2 = M [Y 2 ] = D[Y ] = D y .

D x , D y - характеризуют рассеивание системы случайной величины, соответственно
вдоль оси x и y.
Рассмотрим второй смешанный центральный момент:
0
0
µ1,1 = M [ X , Y ] = K x , y ,
(6.65)
который называется корреляционным моментом (или “моментом связи”) случайных
величин X и Y.
Для дискретной случайной величины:
K x , y = ∑∑ ( xi − m x )( y i − m y ) pij .
(6.66)
i
j
Для непрерывных:
∞
K x , y = ∫ ∫ ( x − m x )( y − m y ) f ( x, y )dxdy.
(6.67)
−∞
Докажем, что если случайные величины X и Y независимы, то K x , y = 0 .
140
Лекция 4.29. Системы случайных величин. Функция распределения системы двух случайных величин (СДСВ). Свойства функции
распределения. Плотность распределения и ее свойства. Теорема умножения законов распределения. Числовые характеристики
СДСВ. Начальный, центральный и корреляционный моменты.
Т. к. случайные величины независимы, то
f ( x, y ) = f 1 ( x) f 2 ( y ).
Тогда
K x, y =
∞ ∞
∞
∞
− ∞− ∞
−∞
−∞
∫
∫ ( x − m x )( y − m y ) f1 ( x) f1 ( y) = ∫ {[ ∫ ( x − m x ) f1 ( x)dx]( y − m y )}dy = 0.
Таким образом, если корреляционный момент двух случайных величин отличается от
нуля ( K x , y ≠ 0 ), то это есть признак наличия зависимости между ними.
Введем безразмерную характеристику:
τ x, y =
K x, y
σxσy
,
(6.68)
где σ x = D x , σ y = D y - средние квадратные отклонения.
σ x , y - называется коэффициентом корреляции. Для независимых случайных величин
τ xy = 0, т. к. K xy = 0 .
Случайные величины, для которых корреляционный момент K xy (а следовательно и
коэффициент корреляции τ xy ) равен нулю, называются некоррелированными.
Заметим, без доказательства, что из некоррелированности случайных величин не
следует их независимость.
Коэффициент корреляции характеризует не всякую зависимость, а только так
называемую линейную зависимость и характеризует степень «тесноты» линейной
зависимости между случайными величинами.
В общем случае, когда величины x и y связаны произвольной вероятностной
зависимостью, то коэффициент корреляции меняется в пределах − 1 < τ xy < 1 , (без
доказательства). Если случайные величины x и y связаны точкой линейной функциональной
зависимости Y=aX+b, то τ xy = ±1 , причем знак плюс или минус берется в зависимости от
того положителен или отрицателен коэффициент a.
141