Методы вычисления определённых интегралов

Занятие 7
Методы вычисления
определённых интегралов
Понятие определенного интеграла
b
f (x) dx функции y = f (x),
a
определенной на отрезке [ a; b ], является одним из центральных
в математическом анализе. Конструкция определенного интеграла включает в себя следующие три момента. 1. Разбиваем
отрезок [ a; b ] точками xi на части:
a = x0 < x1 < . . . < xi−1 < xi < . . . < xn = b.
Обозначим ∆xi отрезки [ xi−1 ; xi ], а также их длины ∆xi =
xi − xi−1 . Выберем точки ci ∈ [ xi−1 ; xi ]. Получим отмеченное
разбиение. 2. По отмеченному разбиению составляем интегральную сумму:
f (c1 )∆x1 + f (c2 )∆x2 + . . . + f (cn )∆xn = Σni=1 f (ci )∆xi .
Геометрически интегральная сумма представляет из себя площадь ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников, в
основании которых лежат отрезки ∆x i , а высоты равны f (ci ),
если f (x) ≥ 0.
50
"Мелкость"разбиения измеряется диаметром разбиения d =
maxi ∆xi , т.е. длиной наибольшего отрезка разбиения. 3. Наконец, переходим к пределу при d → 0.
Определённым интегралом от функции f (x) по отрезку [a; b],
или в пределах от a до b, называется предел интегральных сумм
при стремлении диаметра разбиения к нулю:
b
f (x) dx = lim Σni=0 f (ci )∆xi .
d→0
a
Если указанный предел существует независимо от выбора отмеченноых разбиений лишь бы d → 0, то функция называется
интегрируемой (по Риману). Если функция ограничена на отрезке [a; b] и непрерывна на нем, кроме, быть может, конечного
числа точек разрыва, то она интегрируема.
Геометрический смысл определённого интеграла заключается
b
в том, что f (x) dx равен площади криволинейной трапеции,
a
лежащей над отрезком [a; b] и ограниченной сверху (если f (x) ≥
0) графиком функции y = f (x).
7.1
Формула Ньютона–Лейбница
Конструкция определенного интеграла является довольно сложной. Однако его вычисление сводится к нахождению первообраз-
ной:
если функция f (x) непрерывна на [a; b] и F (x)— её первообразная, то
b
b
f (x) dx = F (x) = F (b) − F (a) .
a
a
Это есть формула Ньютона–Лейбница. Она является следствием основной теоремы дифференциального и интегрального исчисления (теоремы Барроу о дифференцировании определенного интеграла по переменному верхнему пределу):
Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то функция
x
S(x) = f (t) dt имеет прозводную и S (x) = f (x), т.е. функция
a
S(x) является первообразной для f (x).
Задача 7.1. Вычислить интеграл:
a)
π
π
sin x dx ;
b)
π
6
0
√
e)
3 arctg x
1+x2
0
♥ a)
π
0
dx ; f )
7.2
2 sin2
x
2
dx ; c)
0
1
2
0
1
x2
x2 +1
dx ; d)
π
arcsin
x
√
1−x2
dx ;
g)
4
π
6
−
0
√
3
2
5
1
x
x2 +1
dx ;
π
tg x dx ;
h)
0
+ 12 ; c) 1 − π4 ; d)
3
0
π
sin x dx = − cos x = − cos π + cos 0 = 2.
Ответ: a) 2; b)
1
3
72 ; g) 2 ln 2; h) 2 .
π2
3
1
2
tg x
cos2 x
dx .
♠
ln 13; e)
π2
12 ;
f)
Замена переменной в определённом интеграле
Пусть функция f (x) непрерывна на [a; b], а функция x = ϕ(t)
непрерывно дифференцируема на отрезке [α; β], причем ϕ(α) =
52
a, ϕ(β) = b и значения функции ϕ(t) не выходят за пределы
отрезка [a; b], когда t ∈ [α; β]. Тогда
b
f (x) dx =
β
f (ϕ(t))ϕ (t) dt .
α
a
Отметим, что при вычислении определенного интеграла методом замены переменной (методом подстановки) делать обратную замену переменной не требуется, а нужно только сделать
пересчет пределов интегрирования, который мы будем оформx a b
.
лять в виде таблички
t α β
Задача 7.2. Вычислить интеграл:
)
9
4
e)
√dx
x+1
,
7
b)
−1
π
dx
√
1+ 3 x+1
,
π
2
dx
3+2 cos x
0
, f)
2
0
dx
1+cos x+sin x
c)
1
0
3
x2
(x+1)3 dx ;
d)
√
, g) x2 9 − x2 dx ; h)
0
1
dx
4x2 +4x+5
0
6 √
3
x2 −9
x4 dx .
♥ a)
9
4
dx
√
=
x+1
3 =2
2
1
1−
t+1
√
x = t , x = t2 , x 4 9
dx = 2tdt ,
t 2 3
3
=
2
2tdt
=
t+1
3
dt = 2 (t − ln |t + 1|) = 2(3 − ln 4 − 2 + ln 3) =
2
= 2 − 2 ln 43 . ♠
Ответ: a) 2 − 2 ln 43 ; b) 3 ln 3; c) ln 2 − 58 ; d)
e)
√2
5
arctg √15 ; f )
π
8
+
√
7+ 3
64 ;
g)
81
16 π;
h)
√
3
72 .
Задача 7.3. Найти площадь, ограниченную:
2
2
a) эллипсом x4 + y9 = 1;
53
,
1
π
2 (arctg 3 − 4 );
b) гиперболой
x2
9
y2
4
= 1 и прямой x = 6.
√
√
Ответ: a) 6π; b) 6 3 + 92 ln |2 + 3|.
7.3
−
Интегрирование по частям
Если функции u = u(x) и v = v(x) непрерывно дифференцируемы на отрезке [a; b], то
b
b b
u dv = uv − v du .
a
a
a
Задача 7.4. Вычислить интеграл:
a)
d)
g)
π
0
1
0
1
0
x sin x dx ;
ln(x2
b)
+ 1) dx ;
e)
1
0
1
x2 e−2x dx ;
1
1
arctg x dx ;
0
h)
x sin x dx =
♥ a)
π
6
π
0
2
f)
2
arcsin x dx ;
0
π
x√arctg x
dx ;
1+x2
e
c) (x + 7) ln x dx ;
x
dx .
sin2 x
u=x
du = dx
dv = sin x dx v = − cos x
=
π
π π
= x(− cos x) − (− cos x) dx = π(− cos π) + sin x = π . ♠
0
π
4
0
0
e)
Ответ: a) π; b) √14 − 54 e−2 ; c)√ 14 (e2 + 29); d) ln 2 + π4 + 2;
√
√
3
π 2
3π
1
π
− 2 ln 2; f ) 12 + 2 − 1; g) 4 − ln (1 + 2); h) ln 2 + 6 .
54
Контрольные вопросы
1. Что такое определённый интеграл? Какой он имеет геометрический смысл?
2. Перечислите основные свойства определённого интеграла.
3. Сформулируйте свойство линейности определенного интеграла.
4. Сформулируйте свойство интеграла, связанное с отрезком
интегрирования (аддитивность интеграла относительно области
интегрирования).
5. Сформулируйте теорему о среднем для определенного интеграла. В чем состоит ее геометрический смысл? Что такое среднее значение функции на отрезке?
6. Сформулируйте основную теорему дифференциального и
интегрального исчисления (теорему Барроу о производной определённого интеграла по переменному верхнему пределу).
7. Как вычисляется определенный интеграл (формула НьютонаЛейбница)?
8. Вывести формулу Ньютона-Лейбница из теоремы Барроу.
9. Как происходит замена переменной в определенном интеграле?
10. Вывести формулу интегрирования по частям в определенном интеграле.
Дополнительные вопросы и задачи
D1. Доказать, что функция Дирихле
1 , если x рационально ,
D(x) =
0 , если x иррационально .
не интегрируема на отрезке [0; 1].
2
sign x dx, где
D2. Вычислить интеграл
−1

если x > 0 ,
 1,
sign x =
0,
если x = 0 ,

−1 , если x < 0 .
55
D3. Вычислить определенный интеграл
1
0
x2 dx по определе-
нию, рассматривая его как предел интегральных сумм (т.е. найти площадь под параболой так, как это делали древние греки).
D4. Откуда следует, что у всякой непрерывной функции существует первообразная? Как это связано с понятием неберущихся
2
интегралов? Существует ли первообразная у функции e x ?
a
D5. Доказать, что если функция y = f (x) четна, то f (x) dx =
2
a
0
f (x) dx, а если функция нечетна, то
a
−a
f (x) dx = 0.
−a
D6. Сформулировать (и доказать) теорему о производной
определённого интеграла по переменному нижнему пределу.
D7. Вычислить производные
d
a)
dx
x
−t3
e
1
dt ;
d
b)
dx
1
d
c)
dx
3
tg t dt ;
x
D8. Вычислить предел lim x→∞ arcsin
1
x4
x2
1
sin t
dt .
t
x3 √
·
2t2 + 4t + 15 dt.
0
D9. Можно ли использовать замену t = ctg x при вычислении
π
4
dx
интеграла
1+sin2 x dx ? Ответ обосновать и объяснить причину.
− π4
56