РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С. Л. Соболева

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С. Л. Соболева
На правах рукописи
УДК 519.21
Хрущев Сергей Евгеньевич
Построение кратных стохастических интегралов
с помощью рядов ортогональных случайных
величин
01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика
Диссертация на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Научный руководитель
д. ф.-м. н., профессор
И. С. Борисов
Новосибирск — 2015
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
ГЛАВА 1. Достаточные условия существования кратного стохастического интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
§ 1. Достаточные условия существования . . . . . . . . . . . . . .
28
§ 2. Представление кратного стохастического интеграла в виде
кратного ряда со случайными коэффициентами . . . . . .
32
§ 3. Доказательство основных результатов . . . . . . . . . . . . . .
33
3.1. Доказательство теоремы 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.2. Доказательство теоремы 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.3. Доказательство теоремы 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.4. Доказательство теоремы 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
3.5. Доказательство теоремы 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
ГЛАВА 2. Задание кратного стохастического интеграла в виде
кратного ряда со случайными коэффициентами . . . . . .
55
§ 1. Определение кратного стохастического интеграла . . . . . . .
55
§ 2. Экспоненциальное неравенство . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
§ 3. Доказательство теоремы 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
ГЛАВА 3. Задание кратного стохастического интеграла в виде
одномерного ряда со случайными коэффициентами
2
. . .
65
3
§ 1. Определение кратного стохастического интеграла . . . . . . .
65
§ 2. Сравнение различных конструкций кратных стохастических
интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
§ 3. Обобщенная конструкция стохастического интеграла . . . . .
73
§ 4. Разложение многопараметрического процесса с ковариационной функцией специального вида . . . . . . . . . . . . . . .
74
§ 5. Условия существования кратного винеровского стохастического интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
§ 6. Сравнение кратных стохастических интегралов, построенных относительно различных разложений одного и того
же процесса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
§ 7. Экспоненциальное неравенство . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
§ 8. Доказательство основных результатов . . . . . . . . . . . . . .
89
8.1. Доказательство теоремы 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
8.2. Доказательство теоремы 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
8.3. Доказательство теоремы 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
8.4. Доказательство теоремы 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
8.5. Доказательство теоремы 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.6. Доказательство теоремы 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.7. Доказательство теоремы 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
ЗАКЛЮЧЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. В математической статистике и некоторых других
приложениях стохастического анализа важную роль играют кратные интегралы вида
Z
f (x1 , . . . , xd )dξ(x1 ) . . . dξ(xd )
[a,b]d
от неслучайной измеримой функции f (x1 , . . . , xd ), заданной на [a, b]d , где a < b
конечны, d — фиксированное натуральное число, а ξ(x) — случайный процесс,
заданный на [a, b]. Реализации процесса ξ(x), вообще говоря, являются функциями неограниченной вариации, и интегралы указанного вида без каких-либо
условий регулярности на ядра (скажем, лишь при условии их интегрируемости в смысле Лебега) нельзя понимать как интегралы Римана–Стилтьеса или
Лебега–Стилтьеса, существующие для почти всех реализаций ξ(x).
Впервые стохастический интеграл от неслучайной функции по независимым приращениям винеровского процесса рассмотрел в 1923 году Н. Винер
[37]. Кратные стохастические интегралы по приращениям винеровского процесса рассматривали Н. Винер [38] и К. Ито [26], [27] (классический кратный
интеграл Винера-Ито).
Классические кратные стохастические интегралы Винера – Ито кратности
d (далее их будем обозначать символом Jd (f )) (см. [38], [26], [27], [30]) определены для функций f ∈ L2 на множестве интегрирования [a, b]d , при этом на
конструкцию не влияет поведение функции f на так называемых диагональных подмножествах вида {(x1 , . . . , xd ) ∈ [a, b]d , xi = xj } для некоторых i 6= j.
По этой причине работать с таким интегралом достаточно удобно. Однако для
такой конструкции, вообще говоря,
Jd (f1 (x1 ) . . . fd (xd )) 6= J1 (f1 (x1 )) . . . J1 (fd (xd )).
5
Это значит, что кратные стохастические интегралы Винера – Ито ведут себя
несколько иначе, нежели неслучайные кратные интегралы, скажем, по лебеговой продакт–мере.
Ю. Хью и П. Мейер [25] ввели в рассмотрение новый кратный стохастический интеграл по приращениям винеровского процесса, называемый кратным
интегралом Стратоновича (далее будем его обозначать как JdS (f )), который был
определен на диагональных подпространствах и обладал обычными правилами
кратного интегрирования. Этот интеграл, вообще говоря, отличен от классического интеграла Винера–Ито. Но между ними есть связь, которая выражается
формулой Хью–Мейера: для симметричной функции f (x1 , . . . , xd ), обладающей
некоторыми свойствами регулярности (см. [25]), справедливо представление


Z
[d/2]
X
d!


JdS (f ) =
J
f
(·,
x
,
x
,
x
,
x
,
.
.
.
,
x
,
x
)dx
.
.
.
dx

.
d−2j
1
1
2
2
j
j
1
j
j
(d
−
2j)!j!2
j=0
[a,b]j
Напомним, что функция f (x1 , . . . , xd ) называется симметричной, если для любой перестановки π элементов множества {1, . . . d} выполняется
f (x1 , . . . , xd ) = f (xπ(1) , . . . , xπ(d) ).
Если функция f не является симметричной, то можно рассмотреть ее симметризацию:
1X
e
f (x1 , . . . , xd ) =
f (xπ(1) , . . . , xπ(d) ),
d! π
где сумма берется по всем перестановкам π элементов множества {1, . . . d}.
Кратный интеграл Стратоновича для симметричных функций определяется
через повторные интегралы, т. е.
Z xd−1
Z 1 Z x1
...
f (x1 , . . . , xd )dW (xd ) . . . d◦ W (x2 ) d◦ W (x1 ),
JdS (f ) := d!
0
0
0
6
где W (x) — стандартный винеровский процесс. Напомним, что интеграл
Z b
η(x)d◦ W (x)
a
понимается как среднеквадратический предел при |Π| → 0 последовательности
сумм
N
X
xi + xi+1
(W (xi+1 ) − W (xi )) ,
η
2
i=1
здесь η(x) — предсказуемый случайный процесс, т.е. для каждого x случайная
величина η(x) измерима относительно σ-алгебры, порожденной траекторией
W (t) до момента времени x; Π := {a = x1 < · · · < xN +1 = b} — разбиение
отрезка [a, b], |Π| := maxi≤N |xi+1 − xi | – диаметр разбиения.
Известны также и другие подходы при построении кратных винеровских
интегралов. О некоторых из них более подробно будет рассказано ниже.
Отметим наиболее важные результаты из области стохастического интегрирования, примыкающей к теме диссертации. Основанное на технике гильбертовых пространств построение интегралов от неслучайных функций по стохастическим мерам, порожденным случайными процессами с ортогональными
приращениями, независимо предложено А. Н. Колмогоровым [9] и Г. Крамером
[20]. Схема построения абстрактного стохастического интеграла от неслучайной
функции по ортогональным элементарным стохастическим мерам, заданным
на произвольных измеримых пространствах, подробно изложена в монографии
И. И. Гихмана и А. В. Скорохода [8].
Один из первых результатов, касающихся интегрирования по неортогональным мерам, содержится в известной монографии М. Лоэва [12], где предложена
конструкция стохастического интеграла Римана по приращениям произвольного гильбертова (т. е. с конечными вторыми моментами сечений) процесса на
отрезке прямой.
7
А. А. Филиппова [14], А. Дасгупта и Г. Каллианпур [21] определяли кратные стохастические интегралы для специальных гауссовых процессов, отличных от винеровских. С. Камбанисом и С. Т. Хуангом в [19] изучалась схема
построения кратного стохастического интеграла по приращениям произвольного гауссовского процесса. При этом использовался математический аппарат
тензорных произведений некоторых евклидовых ядерных пространств, построенных по исходному гауссовскому процессу. Однако при таком задании кратного стохастического интеграла остался невыясненным вопрос касательно его
стохастической непрерывности на пространстве ядер, снабженном удобной для
анализа топологией. Именно это свойство является ключевым при доказательстве предельных теорем для так называемых U –статистик и статистик Мизеса
(V –статистик).
Классические кратные интегралы Винера–Ито используются, в частности,
для описания предельного распределения U –статистик и V –статистик от независимых наблюдений (см. [22]). Но конструкция кратных стохастических интегралов с интегрирующей стохастической винеровской продакт–мерой не подходит для указанных выше целей в случае слабо зависимых стационарно связанных наблюдений.
Последнее обстоятельство побудило И. С. Борисова и А. А. Быстрова (см.
[1], [2]) предложить конструкцию абстрактного стохастического интеграла от
неслучайной функции без классического требования ортогональности интегрирующей стохастической меры, включающую в себя конструкции как одномерных, так и кратных стохастических интегралов по приращениям гильбертовых
случайных процессов на прямой. Основное отличие этого подхода от методов
предшественников состоит в возможности определения кратных стохастических
интегралов в том числе и для негауссовых процессов ξ(x). Условия, обеспечива-
8
ющие корректное задание интеграла в [1], сводятся к проверке конечности некоторых детерминированных кратных интегралов по специальной мере. Структура этой меры может оказаться непростой, и проверка упомянутых выше условий
представляет собой отдельную проблему (см. [1]). Этот интеграл в дальнейшем
будем обозначать символом Id (f, ξ). В силу указанных выше обстоятельств в
настоящей работе конструкция интеграла Id (f, ξ) будет базовой.
Отметим, что предельное распределение статистик Мизеса можно описывать как в виде кратных стохастических интегралов, так и в виде бесконечных
полилинейных форм от последовательности центрированных гауссовских случайных величин с известной ковариационной матрицей (см. [22], [14], [36], [35]).
В связи с этим приведем результаты Р. Мизеса и А. А. Филипповой (см. [36],
[14]), соответствующие конструкциям стохастических интегралов второго порядка (конструкции интегралов произвольного порядка см. в [14], [35]).
Теорема A. (Р. Мизес, 1947) Пусть X, X1 , X2 , . . . — независимые одинаково распределенные случайные величины, принимающие значения в произвольном измеримом пространстве {X, A}, f (t, s) — измеримая симметричная
функция, заданная на X2 и удовлетворяющая условиям: Ef (X, t) = 0 для всех
t ∈ X, Ef 2 (X1 , X2 ) + |Ef (X, X)| < ∞. Тогда
−1
Vn := n
n
X
i,j=1
d
f (Xi , Xj ) →
∞
X
λk (τk2 − 1) + Ef (X, X),
k=1
где λk — собственные числа линейного интегрального оператора с ядром f (·)
и распределением X в качестве интегрирующей меры, τk — независимые случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение.
Теорема B. (А. А. Филиппова, 1962) Пусть X, X1 , X2 , . . . — независимые
случайные величины, имеющие равномерное распределение на отрезке [0, 1],
f (t, s) — измеримая симметричная функция на [0, 1]2 , удовлетворяющая усло-
9
виям: Ef (X, t) = 0 для всех t ∈ [0, 1], Ef 2 (X1 , X2 ) + |Ef (X, X)| < ∞. Тогда
Z
d
f (t, s)dW0 (t)dW0 (s),
Vn →
[0,1]2
где W0 (t) — броуновский мост, а кратный стохастический интеграл определен по схеме [14].
Из этих результатов следует, что кратные стохастические интегралы, заданные по классической схеме в виде среднеквадратических пределов кратных
интегральных сумм, допускают представление в виде рядов случайных величин. Значит, указанные кратные стохастические интегралы можно определять
посредством таких рядов. Это наблюдение и стало побудительным мотивом
настоящего исследования. При этом оказалось, что достаточные условия для
существования таких рядов нередко проверять проще, чем для исходных классических конструкций кратных стохастических интегралов.
Цель работы:
1. Получение достаточных условий для существования стохастического интеграла Id (f, ξ) в случае, когда интегрирующий случайный процесс допускает
представление в виде ряда ортогональных случайных величин.
2. Создание для случайных процессов, допускающих представление в виде
рядов ортогональных случайных величин, иной конструкции кратного стохастического интеграла, в некотором смысле обобщающей конструкцию интеграла Id (f, ξ).
3. Получение экспоненциальных оценок для хвостов распределений стохастических интегралов, построенных по предложенным схемам.
Научная новизна. В диссертации получены легко проверяемые достаточные условия для существования стохастических интегралов Id (f, ξ) в случае,
когда интегрирующие случайные процессы допускают представление в виде
10
рядов со случайными коэффициентами. Для указанных процессов предложены конструкции стохастических интегралов, которые подходят в том числе и
для негауссовых случайных интегрирующих процессов. Кроме того, получены
экспоненциальные оценки для хвостов распределений стохастических интегралов, построенных по предложенным схемам.
Методы исследований. В работе использованы разнообразные методы
стохастического анализа и теории ортогональных рядов.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер.
На защиту выносятся результаты, сформулированные в теоремах 1 – 13.
Обзор основных результатов и предварительные сведения. Сначала
изложим общую схему построения интеграла Id (f, ξ) из [1].
Пусть {Ω, F, P} — вероятностное пространство. Введем в рассмотрение Lk :=
Lk ({Ω, F, P}), k = 1, 2, ..., – банаховы пространства случайных величин, заданных на основном вероятностном пространстве и имеющих конечные моменты
k-го порядка. Хорошо известно, что L2 – гильбертово пространство с известным
скалярным произведением. Предел в пространстве L2 будем называть среднеквадратическим, соответствующую сходимость в L2 — среднеквадратической.
Рассмотрим следующее полукольцо с единицей подмножеств отрезка [a, b] :
M := {(x; x + δ] : a < x < x + δ ≤ b} ∪ {[a; δ] : a < δ ≤ b}.
Пусть на {Ω, F, P} задан случайный процесс {µ(A); A ∈ M} с конечными
вторыми моментами сечений (т.е. µ(A) ∈ L2 ). Такие процессы называют гильбертовыми.
11
Определение 1. Гильбертов случайный процесс {µ(A); A ∈ M} называется
элементарной стохастической мерой, если
µ(A1 ∪ A2 ) = µ(A1 ) + µ(A1 ) почти наверное
для всех подмножеств A1 и A2 таких, что A1 ∩ A2 = ∅ и A1 ∪ A2 ∈ M.
Всякий гильбертов случайный процесс ξ(x), определенный на [a, b], будет
индуцировать элементарную стохастическую меру по формуле
µ((x; x + δ]) := ξ(x + δ) − ξ(x),
где при x = a по этой формуле определяется мера отрезка [a; a + δ] (в дальнейшем это обстоятельство больше не будет оговариваться).
Декартова степень Mk := M×· · ·×M будет полукольцом в [a, b]k с единицей.
Множества из Mk представляют собой канонические параллелепипеды в [a, b]k .
Стохастическую меру на Mk определим следующим образом:
µ
e(A1 × · · · × Ak ) := µ(A1 ) × · · · × µ(Ak ),
где Aj ∈ M и µ – элементарная стохастическая мера на M.
Обозначим через L0 (Md ) следующий класс простых функций fM :
fM (x1 , . . . , xd ) =
M
X
(M )
ck IA(d) (x1 , . . . , xd ),
k
k=1
(d)
(d) T
где Ak ∈ Md , Ai
(M )
ck
(d)
Aj
= ∅, i 6= j, M – произвольное натуральное число,
– произвольные вещественные числа, а IA(d) (x1 , . . . , xd ) – индикатор мно-
жества A(d) = A1 × · · · × Ad , где Ai ∈ M.
Стохастический интеграл от простой функции fM по стохастической мере
µ
e(·), заданной на Md , определяется формулой:
Z
M
X
(M )
(d)
Id (fM , ξ) :=
fM (x1 , . . . , xd )e
µ(dx1 , . . . , dxd ) =
ck µ
e(Ak ).
[a,b]d
k=1
12
Определим на канонических прямоугольниках A1 × · · · × A2d в [a, b]2d , где
A1 , . . . , A2d ∈ M, следующую функцию множества:
m(A1 × · · · × A2d ) := Eµ(A1 ) . . . µ(A2d ),
где {µ(A); A ∈ M} – элементарная стохастическая мера. Эта функция (вообще
Sl (j)
говоря, знакопеременная) аддитивна в следующем смысле: если Aj = ijj Aij
(j)
(j)
для j = 1, . . . , 2d, причем Aj , Aij ∈ M и каждый из конечных наборов {Aij }
состоит из попарно непересекающихся множеств, то
X
(1)
(2d)
m(A1 × · · · × A2d ) =
m(Ai1 × · · · × Ai2d ).
i1 ,...,i2d
Наиболее существенным условием для построения стохастического интеграла будет следующее
Основное предположение. Функция множества m(·) — конечная σ-аддитивная знакопеременная мера (заряд) на M2d , т. е. указанное выше свойство
(j)
аддитивности имеет место и для любых счетных семейств подмножеств {Aij }.
В силу классической теоремы о продолжении меры (см., например, [10])
конечный заряд m при выполнении основного предположения может быть продолжен на σ(M2d ) – сигма-алгебру всех борелевских подмножеств пространства
[a, b]2d . Этот заряд называется ковариационной мерой.
Пусть Q+ и Q− – соответственно множества положительности и отрицательности ковариационной меры m. Поскольку функция m конечна, то она (как и
любой конечный заряд) допускает разложение Жордана: m = m+ −m− , где m+
и m− — неотрицательные σ–аддитивные функции множества (т. е. обычные меры на σ(M2d )), называемые соответственно положительной и отрицательной
частями m; при этом m+ (A) = m(A ∩ Q+ ) ≥ 0 и m− (A) = −m(A ∩ Q− ) ≥ 0 для
любого A ∈ M2d . Стало быть, функция |m| = m+ + m− , называемая полной
вариацией заряда m, обладает всеми свойствами обычной конечной меры.
13
Введем в рассмотрение также проекцию меры |m| на одну из осей: m(A) :=
|m|(A × [a, b]d ). Понятно, что m(A) — конечная σ-аддитивная мера на σ(Md ).
Введем в рассмотрение следующее пространство σ(Md )-измеримых
функций:
Z
f (x1 , . . . , xd ) f (xd+1 , . . . , x2d ) m(dx1 , . . . , dx2d ) < ∞}.
S := {f :
[a,b]2d
Отметим, что существование кратного интеграла в этом определении эквивалентно существованию соответствующих интегралов по мерам m+ и m− .
Далее, введем в рассмотрение заданный на S 2 билинейный функционал
Z
(f, g) :=
f (x1 , . . . , xd ) g(xd+1 , . . . , x2d ) m(dx1 , . . . , dx2d ),
[a,b]2d
для которого выполнены все аксиомы скалярного произведения за исключением
одной: уравнение (f, f ) = 0 имеет, вообще говоря, не единственное решение.
p
Так что функционал ||f || := (f, f ) образует в S полунорму, которая после
стандартной факторизации пространства S превращается в норму. Отметим,
что величина (f, f ) неотрицательна в силу неотрицательной определенности
ковариационной меры m(·) и что евклидово пространство S, вообще говоря, не
будет полным, т. е. гильбертовым (см. [1]).
В [1] доказана следующая
Теорема C. Пусть выполнено основное предположение и f ∈ S. Тогда существует последовательность простых функций {fM }, сходящаяся к f в норме
|| · ||. Более того, для последовательности случайных величин {Id (fM , ξ)} существует среднеквадратический предел Id (f, ξ), который не зависит от выбора
последовательности {fM }.
14
Определение 2. Предельную случайную величину
Z
Id (f, ξ) ≡
f (x1 , . . . , xd )dξ(x1 ) . . . dξ(xd )
[a,b]d
из теоремы C назовем стохастическим интегралом функции f по мере µ
e.
Введем в рассмотрение следующее гильбертово пространство функций:
L2 := L2 ([a, b]d , m).
Замечание 1. Как установлено в [1], пространство L2 вкладывается в S.
Иными словами, формулировка теоремы C останется в силе, если пространство
S заменить на L2 . Несмотря на то, что пространство L2 несколько у́же S, проверять принадлежность той или иной функции к L2 , как правило, значительно
проще, нежели к S (см. [1]).
Структура ковариационной меры m(·) весьма непроста, поэтому проверка
упомянутых условий из теоремы C касательно существования кратного стохастического интеграла Id (f, ξ) представляет собой отдельную проблему.
Глава 1 посвящена описанию новых достаточных условий существования
интеграла Id (f, ξ) для довольно широкого класса случайных процессов, порождающих интегрирующую стохастическую продакт-меру. При этом будет предполагаться, что с вероятностью 1 (или, что то же самое, в пространстве L2 )
случайный процесс ξ(x) при всех x ∈ [a, b] допускает представление
ξ(x) =
∞
X
ξk ϕk (x),
(1)
k=0
где {ξk } – случайные коэффициенты, ϕk (x) – неслучайные функции; при этом
ряд в правой части равенства (1) понимается как среднеквадратический предел
соответствующих частичных сумм при каждом фиксированном x ∈ [a, b]. В
15
дальнейшем все подобные (1) представления по умолчанию будут определяться
именно по вышеприведенной схеме. Указанный среднеквадратический предел
существует тогда и только тогда, когда при каждом фиксированном x ∈ [a, b]
существует предел при N → ∞ последовательности частичных сумм вида
N
X
Eξk ξm ϕk (x)ϕm (x).
k,m=0
В случае, когда последовательность случайных величин {ξk } удовлетворяет
условию ортогональности, т. е. Eξk ξm = 0 для всех k 6= m, то среднеквадратический предел из (1) существует тогда и только тогда, когда при каждом
∞
P
фиксированном x ∈ [a, b] сходится ряд
Eξk2 ϕ2k (x).
k=0
Без ограничения общности всюду в дальнейшем будем считать, что выполнено условие Eξk2 = 1 для всех k.
Приведем несколько результатов касательно разложений (1).
Пусть случайный процесс θ(x1 , . . . , xd ), заданный на [a, b]d , имеет конечный
второй момент. Тогда для процесса θ(x1 , . . . , xd ) определим ковариационную
функцию Kθ , заданную на [a, b]2d , следующим образом:
Kθ (x1 , . . . , xd , y1 , . . . , yd ) := Eθ(x1 , . . . , xd )θ(y1 , . . . , yd ).
В дальнейшем процесс θ(x1 , . . . , xd ) с многомерным временем будем называть многопараметрическим процессом.
Хорошо известна следующая теорема (см., например, [8]).
Теорема D. (Разложение Карунена – Лоэва) Пусть ковариационная функция Kθ (x1 , . . . , xd , y1 , . . . , yd ) непрерывна на [a, b]2d . Тогда в пространстве L2
случайный процесс θ(x1 , . . . , xd ) может быть разложен в ряд
θ(x1 , . . . , xd ) =
∞
X
k=0
θk
p
βk ψk (x1 , . . . , xd ),
(x1 , . . . , xd ) ∈ [a, b]d ,
(2)
16
где случайные величины
1
θk = √
βk
Z
θ(x1 , . . . , xd )ψk (x1 , . . . , xd )dx1 . . . dxd
[a,b]d
ортонормированны, βk являются собственными значениями, а ψk (x1 , . . . , xd ) —
собственными функциями ядра Kθ (x1 , . . . , xd , y1 , . . . , yd ). Более того, функции
ψk (x1 , . . . , xd ) удовлетворяют соотношению
Z
ψk (x1 , . . . , xd )ψm (x1 , . . . , xd )dx1 . . . dxd = δk,m .
[a,b]d
В частности, для центрированного случайного процесса ξ(x), заданного на
[a, b] и имеющего непрерывную ковариационную функцию Kξ (x, y), разложение
Карунена – Лоэва процесса ξ(x) имеет вид
ξ(x) =
∞
X
ξk
p
λk ψk (x),
x ∈ [a, b],
(3)
k=0
где {ξk } — ортонормированные случайные величины, λk — собственные значения, а ψk (x) — собственные функции ковариации процесса ξ(x).
Хорошо известно, что стандартный винеровский процесс W (x), x ∈ [0; 1],
имеет следующее разложение Карунена–Лоэва:
∞
√ X
sin(k + 21 )πx
W (x) = 2
Wk
,
1
(k
+
)π
2
k=0
(4)
где {Wk }k≥0 — независимые случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение,
λk =
1
k+
1 2 2
π
2
— собственные числа, а
ψk (x) =
√
1
2 sin(k + )πx
2
17
— собственные функции интегрального оператора с ядром, равным ковариации
процесса W (x) :
KW (x, y) = min(x, y).
Для броуновского моста W0 (x) разложение Карунена–Лоэва имеет следующий вид:
∞
√ X
sin kπx
Wk
W0 (x) = 2
,
kπ
x ∈ [0; 1],
k=1
где {Wk }k≥1 — независимые случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение.
Заметим, что представлять процесс ξ(x) в виде ряда (1) можно не только
с помощью разложения Карунена–Лоэва. Пусть последовательность {ek } является полной ортонормированной системой функций в L2 [0; 1]. Тогда последовательность частичных сумм
 1
 x

Z
Z
N
X
 ek (t)dW (t)  ek (t)dt
k=0
0
0
будет сходиться в среднеквадратическом к стандартному винеровскому процессу W (x) при N → ∞. Таким образом, в пространстве L2 имеет место разложение:
W (x) =
∞
X

Zx
0

ek (t)dt .
ek (t)dW (t) 

k=0

Z1
(5)
0
Упомянем также известный подход (см. [24]) для нахождения разложения
вида (1). Пусть {η(x), x ∈ [0; 1]} — рассматриваемый случайный процесс. Через Hη1 обозначим замыкание в L2 линейной оболочки, порожденной семейством
всех одномерных проекций случайного процесса η(·). Если Hη1 является сепарабельным, то мы будем иметь в L2 следующее представление процесса η(x) :
η(x) =
∞
X
k=0
ηk E[η(x)ηk ].
18
Здесь {ηk }k≥0 образуют полную ортонормированную систему в Hη1 . Если случайный процесс η(x) является гауссовским, то ηk — независимые случайные
величины, имеющие стандартное нормальное распределение. В работах [23] и
[24] этот подход реализован для фрактального броуновского движения.
В главе 1 установлено (см. теорему 5), что при выполнении некоторых условий с вероятностью 1 справедливо представление
Id (f, ξ) =
∞
X
Z
ξi1 . . . ξid
i1 ,...,id =0
f (x1 , . . . , xd )dϕi1 (x1 ) . . . dϕid (xd ),
[a,b]d
где ряд в правой части понимается как среднеквадратический предел при N →
∞ последовательности частичных сумм
Z
N
X
ξi1 . . . ξid
f (x1 , . . . , xd )dϕi1 (x1 ) . . . dϕid (xd ).
i1 ,...,id =0
[a,b]d
В связи с последним обстоятельством, в главе 2 кратный стохастический
интеграл будет пониматься как случайная величина
Z
∞
X
ξi1 . . . ξid
f (x1 , . . . , xd )dϕi1 (x1 ) . . . dϕid (xd ),
i1 ,...,id =0
[a,b]d
построенная относительно разложения (1) (см. определение 3), которую мы будем обозначать Ido (f, ξ).
Отметим, что стохастический интеграл в смысле определения 3 хорош тем,
что в отличие от некоторых других конструкций для него проще вычисляются моменты любых порядков, если, конечно, они существуют. Кроме того, эта
конструкция подходит для случая не обязательно конечных ковариационных
мер.
Для случая винеровского интегрирующего процесса W (x) представление
стохастического интеграла в виде кратного ряда, не обязательно построенного
19
относительно разложения (1), уже были известны. В частности, такое представление используется при решении проблем численного интегрирования стохастических дифференциальных уравнений и в задачах моделирования решений
стохастических дифференциальных уравнений в работах Д. Ф. Кузнецова, Г.
Н. Мильштейна, П. Е. Клоедена, E. Платена (см. [11], [13], [29]).
Кратный стохастический интеграл от функции f относительно разложения
винеровского процесса (5) задается как случайная величина вида
∞
X
Z
Wi1 . . . Wid
i1 ,...,id =0
f (x1 , . . . , xd )ei1 (x1 ) . . . eid (xd )dx1 . . . dxd .
(6)
[0, 1]d
Так как {ek } — полная ортонормированная система функций в L2 [0; 1], то коэффициенты
Z
f (x1 , . . . , xd )ei1 (x1 ) . . . eid (xd )dx1 . . . dxd
[0, 1]d
являются коэффициентами Фурье. Это обстоятельство упрощает работу с интегралом (6).
В работе Г. В. Джонсона и Г. Каллианпура [28] было получено представление
стохастического интеграла, построенного относительно винеровского интегрирующего процесса, в виде ряда (6). Но в этой работе интеграл определяется не
относительно разложения случайного процесса W (x), а относительно разложения в виде ряда Фурье неслучайной функции f по полной ортонормированной
системе {ei1 (x1 ) . . . eid (xd )} в L2 ([0, 1]d ). При этом предполагается, что функция
f симметрична, и существуют пределы при N → ∞ в пространстве L2 ([0, 1]d−2j )
20
последовательностей частичных сумм
N
X
N
X
ei2j+1 (x2j+1 ) . . . eid (xd )×
i1 ,...,ij =0 i2j+1,...,id =0
Z
×
f (x1 , . . . , xd )ei1 (x1 )ei1 (x2 ) . . . eij (x2j−1 )eij (x2j )×
[0, 1]d
× ei2j+1 (x2j+1 ) . . . eid (xd )dx1 . . . dx2j dx2j+1 . . . dxd
для каждого фиксированного j, 1 ≤ j ≤ [d/2], и любой полной ортонормированной системы функций {ek } в L2 [0; 1]. Более того, предполагается, что указанные пределы не зависят от выбора {ek }. Эти условия являются необходимыми
и достаточными для построения интеграла в работе [28].
При выполнении введенных выше условий стохастический интеграл относительно разложения
f (x1 , . . . xd ) =
∞
X
fi1 ,...,id ei1 (x1 ) . . . eid (xd )
i1 ,...,id =0
определяется как среднеквадратический предел δ(f ) при N → ∞ последовательности частичных сумм
N
X
i1 ,...,id =0
Z
fi1 ,...,id
1
Z
ei1 (x1 )dW (x1 ) . . .
0
1
eid (xd )dW (xd ),
0
где fi1 ,...,id — соответствующие коэффициенты Фурье функции f. Отметим, что
δ(f ) не зависит от выбора системы функций {ek }. Случайные величины
Z 1
ek (x)dW (x)
0
являются независимыми и имеют стандартное нормальное распределение, а отсюда следует, что если существует стохастический интеграл δ(f ), то существует
интеграл (6), и они равны с вероятностью 1.
21
Более того, если существует стохастический интеграл δ(f ), то, как следует
из работы А. Будхираджи и Г. Каллианпура [17], для всякой непрерывной и
симметричной функции f существуют и равны с вероятностью 1 стохастические
интегралы Id (f, W ), J S (f ) и δ(f ).
Мы также отметим работы Д. Роcински [34] и Д. Нуаларта, М. Закая [33]
по так называемым кратным стохастическим интегралам Огавы с винеровским
интегрирующим процессом. Напомним, что для измеримого случайного проR1
цесса η(x) c 0 E|η(x)|dx < ∞ и всякой полной ортонормированной системы
R1
{ek } интеграл Огавы 0 η(x) ∗ dW (x) определяется как среднеквадратический
предел при N → ∞ частичных сумм вида
N Z
X
k=0
1
Z 1
ek (x)η(x)dx
ek (x)dW (x) ,
0
0
если, конечно, этот предел существует и не зависит от выбора системы функций
{ek }.
В работе А. Будхираджи и Г. Каллианпура [18] разбираются условия существования и равенства конструкций интеграла δ(f ) и интеграла Огавы. Там
же рассмотрены некоторые другие конструкции стохастических интегралов, например, интегралов Фиска–Стратоновича.
В главе 2 получены экспоненциальные оценки для хвостов распределения
стохастических интегралов в смысле определения 3. В связи с этим приведем
результат П. Майора [30] для классических интегралов Винера–Ито и стохастических интегралов, построенных по ортогональным гауссовским мерам. Указанные интегралы будем обозначать J(f ). Напомним, что в схеме построения
стохастических интегралов J(f ) не учитывается поведение функции f на диагональных подпространствах множества [a, b]d , что существенно отличает их от
22
стохастических интегралов, построенных по схеме, предложенной в настоящей
работе.
Теорема E. Пусть для функции f определен кратный стохастический интеграл J(f ) на множестве [a, b]d . Тогда существуют некоторые константы
K1 > K2 > 0 и x0 > 0, зависящие от функции f, такие, что справедливо
2/d
e−K1 x
≤ P(|J(f )| > x) ≤ e−K2 x
2/d
для всех x > x0 .
Здесь в качестве K2 можно взять Cd (EJ(f )2 )1/d с константой Cd , зависящей
только от порядка d стохастического интеграла. То есть при фиксированном
d константа K2 зависит только от дисперсии случайной величины J(f ). Но с
другой стороны, не так просто охарактеризовать константу K1 .
Отметим также работу П. Майора [31] по экспоненциальным неравенствам
для интегралов Винера–Ито, где получены в некотором смысле оптимальные
оценки для хвостов распределения.
Так как интегралы Винера–Ито возникают как слабые пределы последовательностей нормированных канонических статистик Мизеса (V -статистик) в
случае независимых наблюдений, а интегралы Id (f, ξ) — в случае зависимых наблюдений, то отметим работы П. Майора [32], И. С. Борисова и Н. В. Володько
[3], в которых были получены экспоненциальные неравенства для хвостов распределений V -статистик.
В работе А. А. Быстрова [6] получены экспоненциальные оценки для хвостов
распределений кратных стохастических интегралов Id (f, ξ) от ограниченных
функций f в случае, когда f непрерывна на всех диагональных подпространствах куба [0; 1]d . В качестве интегрирующих рассматривались гауссовские процессы с зависимыми приращениями из некоторого достаточно широкого класса.
23
Полученная оценка имеет вид
2/d
P(|Id (f, ξ)| > x) ≤ 2d e−βx
для всех x > x0 . Константы β и x0 вычислены.
В теореме 6 настоящей диссертации доказано, что если разложение (1) и
введенный кратный стохастический интеграл Ido (f, ξ) удовлетворяют условиям
(E1 ) supi≥0 Eξi2dm ≤ (a1 m)a2 dm для всякого натурального m, где a1 , a2 —
некоторые положительные постоянные, которые не зависят от m;
∞
P
(E2 ) K :=
|f (x1 , . . . , xd )dϕi1 (x1 ) . . . dϕid (xd )| < ∞,
i1 ,...,i2d =0
то для всех x ≥ K (ea1 )
a2 d
2
справедливо неравенство
2
P (|Ido (f, ξ)|
> x) ≤ e
−Cx a2 d
, где C =
a2 d
2
a2 d
.
2ea1 K
Для любого центрированного гауссовского процесса ξ(x) (с нормированными коэффициентами разложения ξi ) приведенное неравенство будет иметь вид
2
P (|Ido (f, ξ)| > x) ≤ e−Cx d
d
для всех x ≥ K (2de) 2 , где C =
1
2 .
4eK d
Условие (E2 ) в теореме 6 более ограничительное, чем в теореме E. Но здесь
стоит отметить, что в отличие от теоремы E теорема 6 применима и для негауссовых процессов, что обеспечивает ее широкое применение.
В главе 3 рассматривается принципиально иная схема построения кратных
стохастических интегралов, основанная на представлении произведения случайных процессов ξ(x1 ) . . . ξ(xd ), (x1 , . . . , xd ) ∈ [a, b]d , в виде одномерного ряда со
24
случайными коэффициентами:
ξ(x1 ) . . . ξ(xd ) =
∞
X
ξk ϕk (x1 , . . . , xd ),
(7)
k=0
где ряд в правой части равенства понимается как среднеквадратический предел
соответствующих частичных сумм при каждом фиксированном (x1 , . . . , xd ) ∈
[a, b]d . При этом предполагается, что случайные коэффициенты {ξk } удовлетворяют условию ортонормированности, т. е. Eξk ξm = δk,m . Применяя к представлению (7) последовательно d раз различные координатные разностные операторы (подробнее см. гл. 3), мы получим представление для продакт-дифференциала
соответствующего стохастического интеграла.
Существование разложений вида (7) гарантируется теоремой D, если мы
положим
θ(x1 , . . . , xd ) = ξ(x1 ) . . . ξ(xd ).
Относительно разложения (7) соответствующий кратный стохастический
интеграл, обозначаемый Id∗ (f, ξ), определяется как среднеквадратический предел при N → ∞ последовательности случайных величин
N
X
k=0
Z
ξk
f (x1 , . . . , xd )dϕk (x1 , . . . , xd ),
[a,b]d
где знакопеременная мера dϕk определяется с помощью упомянутой выше dкратной суперпозиции координатных разностных операторов (подробнее см.
определение 4).
В теореме 7 доказано, что если {fM } — последовательность простых функций, для которой
Z
lim
[f (x1 , . . . , xd ) − fM (x1 , . . . , xd )] dϕk (x1 , . . . , xd ) = 0
M →∞
[a,b]d
25
при всех k и существует среднеквадратический предел последовательности стохастических интегралов Id (fM , ξ), то существует стохастический интеграл Id∗ (f, ξ).
Более того, будет иметь место следующая сходимость в пространстве L2 :
Id (fM , ξ) → Id∗ (f, ξ) при M → ∞.
Теорема 7 утверждает, что если задавать стохастический интеграл как среднеквадратический предел последовательности стохастических интегралов от
простых функций, как это сделано при построении Id (f, ξ), то в итоге получится случайная величина, совпадающая с вероятностью 1 со стохастическим
интегралом, построенным по новой схеме. В главе 3 приведен пример интегрирующего случайного процесса и класса ядер, когда соответствующий стохастический интеграл Id (f, ξ) не существует, но корректно определен стохастический
интеграл Id∗ (f, ξ). В этом смысле определение интеграла Id∗ (f, ξ) шире, чем определение интеграла Id (f, ξ).
Если функция K(x1 , . . . , x2d ) := Eξ(x1 ) . . . ξ(x2d ) непрерывна на [a, b]2d и
f ∈ L2 , то существуют и с вероятностью 1 равны стохастические интегралы
Id (f, ξ) и Id∗ (f, ξ) (см. теорему 8). Здесь интеграл Id∗ (f, ξ) построен относительно
разложения Карунена–Лоэва процесса ξ(x1 ) . . . ξ(xd ).
Несмотря на то, что доказать существование разложений (7) легко, весьма
непростую задачу представляет собой построение этого разложения в явном
виде. Поэтому указанная конструкция будет обобщена на случаи, когда многопараметрический случайный процесс ξ(x1 ) . . . ξ(xd ) допускает представление
в виде конечной суммы нескольких рядов вида (7). Находить в явном виде
такие разложения проще. Будет также описан метод, который позволяет получать указанные разложения для любого центрированного гауссовского процесса, а значит и для стандартного винеровского процесса W (x). По указанно-
26
му методу построено разложение многопараметрического случайного процесса
W (x1 ) . . . W (xd ), и относительно этого разложения определяется кратный винеровский интеграл Id∗ (f, W ).
В предположении симметричности функции f (x1 , . . . , xd ) в теореме 11 доказано, что справедлива формула
√ d
∞
X
2 d!
Id∗ (f, W ) =
Hp1 (Wkp1 ) . . . Hpm (Wkp1 +···+pm )Tk01 ,...,kd
p1 ! . . . p m !
0≤k1 ≤···≤kd
[d/2]
X
(−1)j−1 d! ∗ j
I
Tf , W .
+
j d−2j
(d
−
2j)!j!2
j=1
(8)
Здесь для всякого j = 1, . . . , [d/2]
Z
Tfj (x2j+1 , . . . , xd ) :=
f (x1 , x1 , . . . , xj , xj , x2j+1 , x2j+2 , . . . , xd )dx1 . . . dxj ,
[0, 1]j
Tk01 ,...,kd − коэффициенты Фурье функции f, Hn (x) − полиномы Эрмита,
а набор {p1 , . . . , pm } определяет кратности элементов множества {k1 , . . . , kd }
(см. главу 3).
Отметим, что формула (8) напоминает формулу Хью–Мейера. Однако в этой
формуле и в левой, и в правой частях равенства используется одна и та же конструкция стохастического интеграла, меняется лишь его размерность. Формула
Хью–Мейера же выражает связь двух различных конструкций стохастических
интегралов.
Кроме этого, в главе 3 получены экспоненциальные неравенства как для
обобщенной, так и для необобщенной конструкций.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на
объединенном семинаре кафедры теории вероятностей и математической статистики НГУ и лаборатории теории вероятностей и математической статистики
27
Института математики СО РАН под руководством академика А. А. Боровкова. Результаты работы также докладывались на нескольких международных
конференциях.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах
[4], [5], а также в [15], [16].
Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Нумерация теорем, следствий, замечаний и формул
сквозная. Список литературы составлен последовательно по двум алфавитам
— русскому и латинскому.
Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю Игорю
Семеновичу Борисову за предложенную интересную тему исследования, внимание к работе, помощь и ценные советы.
28
ГЛАВА 1.
Достаточные условия существования кратного
стохастического интеграла
§ 1. Достаточные условия существования.
В этом параграфе будет предложено несколько типов легко проверяемых достаточных условий, обеспечивающих существование стохастического интеграла
Id (f, ξ).
Теорема 1. Пусть разложение (1) случайного процесса ξ(x) удовлетворяет
следующим условиям:
(I1 ) {ξk }∞
k=0 — независимые случайные величины с нулевыми средними и
supk Eξk2d < ∞;
∞
2
P
(I2 )
Vab [ϕk ] < ∞, где Vab [ϕk ] — полная вариация ϕk на [a; b].
k=0
Тогда стохастический интеграл Id (f, ξ) существует для всякой ограниченной
функции f .
Теорема 2. Пусть разложение (1) случайного процесса ξ(x) удовлетворяет
условиям (I1 ), (I2 ) и
(I3 ) ϕk (x) — абсолютно непрерывные функции относительно некоторой конечной меры λ на [a, b].
Тогда стохастический интеграл Id (f, ξ) существует для всякой функции f
такой, что
Z
|f (x1 , . . . , xd )f (xd+1 , . . . , x2d )||q(x1 , . . . , x2d )|λ(dx1 ) . . . λ(dx2d ) < ∞,
[a,b]2d
где
q(x1 , . . . , x2d ) =
∞
X
i1 ,...,i2d =0
Eξi1 . . . ξi2d ϕ0i1 (x1 ) . . . ϕ0i2d (x2d ),
ϕ0i =
dϕi
.
dλ
29
Следствие 1. Если функция q(x1 , . . . , x2d ) ограничена, то для того чтобы
существовал стохастический интеграл Id (f, ξ), достаточно потребовать конечность интеграла
Z
|f (x1 , . . . , xd )|λ(dx1 ) . . . λ(dxd ).
[a,b]d
Заметим, что функция q(x1 , . . . , x2d ) будет ограниченной при выполнении
условий (I1 ) и
∞
X
2
(ϕ0k (x)) ≤ C0 < ∞
k=0
для всех x ∈ [a, b].
Обозначим через K(x, y) ковариационную функцию процесса ξ(x).
Положим
Dab [K]
k−1 p
X
[K(xi , xi ) + K(xi+1 , xi+1 ) − 2K(xi+1 , xi )],
:= sup
i=0
где точная верхняя грань сумм берется по всевозможным конечным разбиениям
отрезка [a; b] :
a = x0 < x1 < · · · < xk = b.
Теорема 3. Пусть разложение (1) случайного процесса ξ(x) удовлетворяет
условиям (I1 ) и
(I4 ) Dab [K] < ∞.
Тогда стохастический интеграл Id (f, ξ) существует для всякой измеримой
ограниченной функции f .
30
В отличие от условия (I4 ), в [1] требуется, чтобы функция K(x, y) имела
ограниченную вариацию по совокупности переменных, т. е.
sup
k−1
X
[K(xi , xi ) + K(xi+1 , xi+1 ) − 2K(xi+1 , xi )] ≤ C < ∞.
i=0
Здесь, как и прежде, точная верхняя грань сумм берется по всевозможным
конечным разбиениям отрезка [a; b] :
a = x0 < x1 < · · · < xk = b.
Далее, при рассмотрении конкретных примеров ковариационная мера канонических параллелепипедов выписывалась в явном виде через определенную комбинацию функции K(x, y), и требование ограниченной вариации по совокупности переменных использовалось для доказательства основного предположения.
Легко понять, что из ограниченности вариации функции K(x, y) следует
выполнение условия (I4 ). Но в отличие от примеров из [1] мы рассматриваем такой класс интегрирующих процессов (не обязательно гауссовских), для
которого, вообще говоря, нельзя в явном виде в терминах функции K(x, y)
вычислить ковариационную меру канонических параллелепипедов. Однако все
же оказалось возможным, пожертвовав точностью, привести в (I4 ) достаточные
условия на K(x, y), обеспечивающие выполнение основного предположения и в
рассматриваемом случае.
Ценность теоремы 3 заключается в том, что для не обязательно гауссовской
интегрирующей продакт-меры уже лишь по структуре ковариационной функции можно судить о существовании стохастических интегралов любой кратности. Стоит отметить, что справедливость условия (I1 ) можно установить и не
зная конкретного вида разложения (1) процесса ξ(x). Например, это условие
выполнено для всех центрированных гауссовcких процессов.
31
Теорема 4. Пусть разложение (1) случайного процесса ξ(x) удовлетворяет
условиям (I1 ) и
(I5 ) K(x, y) ∈ C 2 ([a, b]2 ).
Тогда стохастический интеграл Id (f, ξ) существует для всякой функции f
такой, что
Z
|f (x1 , . . . , xd )|dx1 . . . dxd < ∞.
[a,b]d
Замечание 2. Из условия (I5 ) следует условие (I4 ).
Отметим, что условия (I2 ), (I4 ) не выполнены для указанных выше разложений Карунена–Лоэва винеровского процесса W (x) и броуновского моста W0 (x).
Несмотря на это, утверждения теорем 1-4 представляют существенный интерес в том плане, что в них не используется гауссовость интегрирующих процессов.
32
§ 2. Представление кратного стохастического интеграла
в виде кратного ряда
со случайными коэффициентами.
Будем предполагать, что {ϕk (x)}k≥0 — функции с ограниченным изменением на [a, b]. Каждая функция ϕk (x) будет индуцировать элементарную знакопеременную меру (заряд) на полукольце M:
ϕk ((x; x + δ]) := ϕk (x + δ) − ϕk (x),
где при x = a по этой формуле определяется мера замкнутого интервала [a; δ] (в
дальнейшем это обстоятельство больше не будет оговариваться). В силу классической теоремы о продолжении меры этот заряд может быть продолжен на
σ(M). Более того, произведение 2d штук таких элементарных мер будет определять элементарную меру на полукольце M2d , а значит и меру на σ(M2d ).
Теорема 5. Пусть {fM } — последовательность простых функций, равномерно приближающих функцию f . И пусть разложение процесса ξ(x) в виде
ряда (1) удовлетворяет условию (I1 ) и хотя бы одному из условий: (I2 ) или (I4 ).
Тогда существует стохастический интеграл Id (f, ξ). Более того, c вероятностью 1 будет верным следующее представление:
Z
∞
X
Id (f, ξ) =
ξi1 . . . ξid
f (x1 , . . . , xd )dϕi1 (x1 ) . . . dϕid (xd ),
i1 ,...,id =0
[a,b]d
где ряд в правой части понимается как среднеквадратический предел при N →
∞ последовательности частичных сумм
N
X
i1 ,...,id =0
Z
ξi1 . . . ξid
f (x1 , . . . , xd )dϕi1 (x1 ) . . . dϕid (xd ).
[a,b]d
33
§ 3. Доказательство основных результатов.
3.1. Доказательство теоремы 1.
При задании стохастического интеграла отдельную проблему представляет
собой проверка выполнимости основного предположения. В связи с этим докажем следующую лемму.
Лемма 1. Пусть ξ(x) — случайный процесс, разложение которого в виде
ряда (1) удовлетворяет следующим условиям:
(I1 ) {ξk }∞
k=0 — последовательность независимых случайных величин с нулевыми средними и supk Eξk2d < ∞.
∞
2
P
(I2 )
Vab [ϕk ] < ∞, где Vab [ϕk ] — полная вариация ϕk на [a; b].
k=0
Тогда функция множества m является конечной σ-аддитивной знакопеременной мерой на M2d (т.е. основное предположение выполнено), и для любых
элементов A1 , . . . , A2d ∈ M справедливо представление
∞
X
m(A1 × · · · × A2d ) =
Eξi1 . . . ξi2d ϕi1 (A1 ) × · · · × ϕi2d (A2d ),
(9)
i1 ,...,i2d =0
где для всех подмножеств вида A = (x; x + δ] ∈ M или A = [x = a; x + δ] ∈ M
полагаем ϕj (A) := ϕj (x + δ) − ϕj (x).
Более того, кратный ряд в правой части представления (9) сходится абсолютно, а значит для него равносильны различные определения суммы кратного
ряда.
Доказательство. Так как {ξk }∞
k=0 — последовательность независимых центрированных случайных величин, то по теореме о трех рядах (см., например,
∞
P
[7]) для сходимости ряда
ξk ϕk (x) с вероятностью 1 достаточно, чтобы сходился ряд
∞
P
k=0
k=0
ϕ2k (x)Eξk2 , что, очевидно, выполнено.
34
В силу разложения случайного процесса ξ(x) в ряд (1) имеем
µ((x; x + δ]) =
∞
X
ξk ϕk (x + δ) −
A ∈ M, т. е.
∞
P
ξk ϕk (x) =
∞
X
ξk ϕk ((x; x + δ]).
k=0
k=0
k=0
Покажем, что ряд
∞
X
ξk ϕk (A) сходится в норме пространства L2d для любого
k=0
k
M
X
ξk ϕk (A)kL2d → 0
k=N
при N, M → ∞. Действительно,
k
M
X
ξk ϕk (A)k2d
L2d = E
k=N
M
X
!2d
ξk ϕk (A)
k=N

≤
X
M
X

l1 ,..., l2d
Sgn(l1 )
l
E|ξil1 |l1 ϕil1 (A) 1 
×
il1 =N

M
X
··· × 
Sgn(l2d )
l2d
,
E|ξil2d |l2d ϕil2d (A) 
il2d =N
где первая сумма берется по целым неотрицательным числам lj с условиями
lj 6= 1 и (l1 + · · · + l2d ) = 2d. В дальнейшем это обстоятельство оговариваться не
будет. Условие lj 6= 1 вытекает из того, что {ξi } являются независимыми центрированными случайными величинами. Поэтому Eξi1 . . . ξi2d = 0, как только
хотя бы один из индексов ij станет отличаться от всех остальных. Таким образом, в правой части неравенства останутся только ряды, которые определяются
для 2 ≤ lj ≤ 2d. Так как выполнено условие supk Eξk2d < ∞, то в силу неравенства Гельдера существует такая константа C, что supk E|ξk |m ≤ C для любого
m = 1, . . . , 2d. Далее, при всех 2 ≤ j ≤ 2d имеет место следующая оценка:



 2j
M
M
M
X
X
X
j
ϕi (A)j  ≤ C 
E|ξij |j ϕij (A) ≤ C 
ϕ2ij (A) .
j
ij =N
ij =N
ij =N
35
Здесь последнее неравенство имеет место в силу полуаддитивности вогнутой
функции f (x) = x2/j при j ≥ 2. Отсюда сразу же вытекает справедливость
следующего неравенства:

M
X
X

l1 ,..., l2d
Sgn(l1 )
l
E|ξil1 |l1 ϕil1 (A) 1 
...
X
C
M
X
( l21 )Sgn(l1 )
ϕ2il1 (A)

Sgn(l2d )
l2d
E|ξil2d |l2d ϕil2d (A) 
В силу сходимости ряда
( l2d2 )Sgn(l2d )
M
X
. . . C
il1 =N
l1 ,..., l2d
M
X
il2d =N
il1 =N

≤

ϕ2il (A)
2d
.
(10)
il2d =N
∞
P
ϕ2k (x) мы имеем
k=0
M
X
ϕ2k (A) → 0
k=N
при N, M → ∞, и в силу (10) будет верно соотношение
k
M
X
ξk ϕk (A)kL2d → 0
k=N
при N, M → ∞. Тем самым, мы доказали, что ряд
∞
P
ξk ϕk (A) сходится в норме
k=0
пространства L2d для любого A ∈ M.
∞
P
Так как
ξk ϕk (A) = µ(A) и, кроме того, этот ряд сходится в норме проk=0
странства L2d , то µ(A) ∈ L2d , а значит
E (µ(A))2d < ∞
для всякого A ∈ M. Это условие позволяет нам доказать, что m(·) конечна.
Действительно, при помощи неравенства Гельдера получаем
|m(A1 × · · · × A2d )| = |Eµ(A1 ) . . . µ(A2d )|
36
2d
≤ E (µ(A1 ))
1/2d
2d
. . . E (µ(A2d ))
1/2d
< ∞.
Посчитаем m(A1 × · · · × A2d ) для 2d-мерного куба, где Ai ∈ M. Имеем
m(A1 × · · · × A2d ) = Eµ(A1 ) . . . µ(A2d )
∞
X
=E
i1 =0
∞
X
=E
ξi1 ϕi1 (A1 ) · · ·
∞
X
!
ξi2d ϕi2d (A2d )
i2d =0
···
i1 =0
∞
X
!
ξi1 . . . ξi2d ϕi1 (A1 ) . . . ϕi2d (A2d ) . . .
,
i2d =0
где переход к кратной сумме в последнем равенстве законен в силу сходимости
∞
P
почти наверное рядов вида
ξk ϕk (Ai ).
k=0
Повторяя рассуждения, которые были использованы при выводе неравенства (10), получаем
∞
X
|Eξi1 . . . ξi2d ϕi1 (A1 ) . . . ϕi2d (A2d )|
i1 ,...,i2d =0

≤
X
C
l1 ,..., l2d

· · · × C
∞
X
il2d =0
∞
X
( l21 )Sgn(l1 )
2
×
ϕil1 (Al1 ) 
il1 =0
( l2d2 )Sgn(l2d )
2
ϕil2d (Al2d ) 
< ∞.
(11)
37
Тогда в силу теоремы Фубини
∞
X
Eξi1 . . . ξi2d ϕi1 (A1 ) . . . ϕi2d (A2d )
i1 ,...,i2d =0
=
∞
X
...
i1 =0
=E
∞
X
!
!
Eξi1 . . . ξi2d =0 ϕi1 (A1 ) . . . ϕi2d (A2d ) . . .
i2d =0
∞
X
...
i1 =0
∞
X
!
!!
ξi1 . . . ξi2d ϕi1 (A1 ) . . . ϕi2d (A2d ) . . .
i2d =0
= m(A1 × · · · × A2d ).
Предпоследнее равенство нуждается в пояснении. Чтобы внести знак матемаP
тического ожидания E под первый знак суммы , достаточно показать, что
∞
! !
∞
X
X
...
ξi1 ϕi1 (A1 ) . . . ξi2d ϕi2d (A2d ) . . .
E
i2d =0
i1 =0
−
N
X
∞
X
E ...
i1 =0
i2d =0
!
ξi1 ϕi1 (A1 ) . . . ξi2d ϕi2d (A2d ) . . . → 0
!
при N → ∞. Без ограничения общности далее будем предполагать, что µ(A)
есть среднеквадратический предел при N → ∞ последовательности сумм
N
X
ξk ϕk (A).
k=0
Тогда получим, что
∞
! !
∞
X
X
...
ξi1 ϕi1 (A1 ) . . . ξi2d ϕi2d (A2d )) . . .
E
i1 =0
i2d =0
!
−
E ...
ξi1 ϕi1 (A1 ) . . . ξi2d ϕi2d (A2d ) . . . i1 =0
i2d =0
! !
N
X
∞
X
≤ E
...
i1 =0
∞
X
i2d =0
∞
X
ξi1 ϕi1 (A1 ) . . . ξi2d ϕi2d (A2d ) . . .
!
38
!
−
...
ξi1 ϕi1 (A1 ) . . . ξi2d ϕi2d (A2d ) . . . i1 =0
i2d =0
!
N
X
ξi1 ϕi1 (A1 ) .
= E µ(A2 ) . . . µ(A2d ) µ(A1 ) −
∞
X
N
X
!
i1 =0
По неравенству Гельдера
!
N
X
ξi1 ϕi1 (A1 ) E µ(A2 ) . . . µ(A2d ) µ(A1 ) −
i1 =0
≤k µ(A2 ) kL2d · · · k µ(A2d ) kL2d k µ(A1 ) −
N
X
ξi1 ϕi1 (A1 )kL2d → 0
i1 =0
при N → ∞, так как k µ(Ai ) kL2d < ∞ и в пространстве L2d выполняется
∞
X
ξi1 ϕi1 (A1 ) = µ(A1 ).
i1 =0
Тем самым, математическое ожидание можно внести под знак первой суммы.
Аналогичной техникой доказывается, что математическое ожидание вносится
и под оставшиеся знаки сумм. В результате получаем
∞
X
m(A1 × · · · × A2d ) =
Eξi1 . . . ξi2d ϕi1 (A1 ) . . . ϕi2d (A2d ).
i1 ,...,i2d =0
Установим σ-аддитивность m(·) на [a, b]2d . Для этого достаточно установить
σ-аддитивность на полукольце полуоткрытых канонических 2d-мерных параллелепипедов в [a, b]2d (см., например, [10]).
i
∞
S
(l)
(l) (l)
(l)
Пусть Ajl = xjl , xjl+1 , A(l) =
Ajl , для l = 1, . . . , 2d. Сначала докажем,
jl =0
что ряд
∞
X
j1 ,.,j2d =0
m
(1)
Aj1
× ··· ×
(2d)
Aj2d
39
является абсолютно сходящимся. Действительно, используя условие (I2 ), получаем
∞
X
(1)
(2d) m Aj1 × · · · × Aj2d j1 ,.,j2d =0
∞
X
≤
≤
≤
∞
X
(1)
(2d) |Eξi1 . . . ξi2d |
ϕi1 Aj1 × · · · × ϕi2d Aj2d i1 ,.,i2d =0
∞
X
i1 ,.,i2d =0
∞
X
|Eξi1 . . . ξi2d |
j1 ,.,j2d =0
∞ X
∞ X
(2d) (1) ϕi2d Aj2d ϕi1 Aj1 × · · · ×
j2d =0
j1 =0
|Eξi1 . . . ξi2d | Vab [ϕi1 ] × · · · × Vab [ϕi2d ]
i1 ,.,i2d =0

≤
X
C
∞
X
( l21 )Sgn(l1 )
2
Vab [ϕil1 ] 
×
il1 =0
l1 ,..., l2d

· · · × C
∞ X
( l2d2 )Sgn(l2d )
2
Vab [ϕil2d ]
< ∞.

il2d =0
Тогда, применяя теорему Фубини, заключаем, что
∞
X
m
(1)
Aj1
× ··· ×
(2d)
Aj2d
j1 ,.,j2d =0
=
∞
X
j1 =0
=m
···
∞
X
m
j2d =0
∞
[ (1)
Aj1
jl =0
(1)
Aj1
× ··· ×
× ··· ×
∞
[
(2d)
Aj2d
!
(2d)
Aj2d
j2d =0
= m(A(1) × · · · × A(2d) ).
Лемма доказана.
Так как выполнены условия (I1 ) и (I2 ), то из леммы 1 следует справедливость основного предположения.
40
Очевидно, что для всякой ограниченной функции f выполнено условие
Z
f (x1 , . . . , xd ) f (xd+1 , . . . , x2d ) m(dx1 , . . . , dx2d ) < ∞.
[a,b]2d
Отсюда по теореме C следует существование соответствующего стохастического
интеграла.
Теорема доказана.
3.2. Доказательство теоремы 2.
Так как выполнены условия (I1 ) и (I2 ), то по лемме 1 следует справедливость
основного предположения.
Rb
Имеем Vab [ϕk ] = a |ϕ0k (x)|λ(dx). Тогда условие (I2 ) можно переписать в виде
2

∞
X


k=0
Z

|ϕ0k (x)|λ(dx) < ∞.
[a,b]
Для существования стохастического интеграла Id (f, ξ) остается доказать,
что f ∈ S. Из леммы 1 получаем, что ковариационная мера канонического
параллелепипеда A1 × · · · × A2d ∈ M2d с учетом условия (I3 ) вычисляется следующим образом:
m(A1 × · · · × A2d )
=
∞
X
Z
Eξi1 . . . ξi2d ϕ0i1 (x1 ) . . . ϕ0i2d (x2d )λ(dx1 ) . . . λ(dx2d ).
i1 ,...,i2d =0A ×···×A
1
2d
Аналогично доказательству неравенства (11) устанавливается справедли-
41
вость следующей цепочки неравенств:
∞
X
Z
Eξi . . . ξi ϕ0i (x1 ) . . . ϕ0i (x2d ) λ(dx1 ) . . . λ(dx2d )
1
2d
1
2d
i1 ,...,i2d =0A ×···×A
1
2d
2 ( l21 )Sgn(l1 )
Z
∞
X  X


0
C

≤
|ϕ
(x
)|λ(dx
)
×

1  
jl1 1



jl1 =0
l1 ,..., l2d
[a,b]
2 ( l2d2 )Sgn(l2d )
Z
∞
 X


0

··· × 
C
< ∞.
|ϕ
(x
)|λ(dx
)

2d  
jl2d 2d



jl2d =0
[a,b]
Тогда по теореме Фубини имеем
∞
X
Z
Eξi1 . . . ξi2d ϕ0i1 (x1 ) . . . ϕ0i2d (x2d )λ(dx1 ) . . . λ(dx2d )
i1 ,...,i2d =0A ×···×A
1
2d
Z
=
∞
X
Eξi1 . . . ξi2d ϕ0i1 (x1 ) . . . ϕ0i2d (x2d )λ(dx1 ) . . . λ(dx2d ).
A1 ×···×A2d i1 ,...,i2d =0
Обозначим через q(x1 . . . s2d ) подынтегральную функцию в последнем интеграле. Тогда ковариационная мера канонического параллелепипеда A1 ×· · ·×A2d ∈
M2d перепишется в виде
Z
m(A1 × · · · × A2d ) =
q(x1 . . . s2d )λ(dx1 ) . . . λ(dx2d ),
A1 ×···×A2d
т. е. мера |m| имеет плотность |q| относительно соответствующей 2d-мерной
продакт-меры. Причем, соответствующая производная Радона – Никодима вычисляется по формуле
d|m|
(x1 , . . . , x2d ) = |q(x1 , . . . , x2d )|,
dλ0
42
где λ0 = λ(dx1 ) . . . λ(dx2d ). Отсюда следует
Z
f (x1 , . . . , xd )f (xd+1 , . . . , x2d )m(dx1 , . . . , dx2d )
[a,b]2d
Z
≤
|f (x1 , . . . , xd )f (xd+1 , . . . , x2d )||m|(dx1 , . . . , dx2d )
[a,b]2d
Z
|f (x1 , . . . , xd )f (xd+1 , . . . , x2d )||q(x1 , . . . , x2d )|λ(dx1 ) . . . λ(dx2d ).
=
[a,b]2d
При условии, что последний интеграл конечен, получаем
Z
f (x1 , . . . , xd )f (xd+1 , . . . , x2d )m(dx1 , . . . , dx2d ) < ∞,
[a,b]2d
а значит, функция f принадлежит пространству S.
Теорема доказана.
3.3. Доказательство теоремы 3.
Сначала установим справедливость основного предположения. Как уже отмечалось выше, чтобы установить σ-аддитивность на [a, b]2d , достаточно установить σ-аддитивность на полукольце полуоткрытых канонических 2d-мерных
параллелепипедов в [a, b]2d .
Пусть
(l)
Ail
=
(l) (l)
xil , xil+1
i
,
(l)
A
=
∞
[
(l)
Ail , l = 1, ..., 2d.
il =0
Так как выполнено условие (I1 ), то в силу леммы 1 справедливо представление
(9). Тогда ряд
∞
X
m
(1)
Ai1
× ··· ×
(2d)
Ai2d
i1 ,.,i2d
будет абсолютно сходящимся, если для любого набора неповторяющихся индек-
43
сов {j1 , . . . , jl } ∈ {1, . . . , 2d} абсолютно сходятся ряды вида
∞
X
∞
X
(j )
(j )
1
l
Eξkl ϕk (Aij 1 ) × · · · × ϕk (Aij l ),
ij1 ,...,ijl =0 k=0
где l ∈ {2, . . . 2d}. Используя условие (I1 ) и неравенство Коши-Буняковского
для внутренней суммы (по индексу k) произведений l неотрицательных чисел,
легко показать, что для всех указанных натуральных l справедлива следующая
оценка:
∞
X
∞
X
(j )
(j )
1
l
|Eξkl ϕk (Aij 1 ) × · · · × ϕk (Aij l )|
ij1 ,...,ijl =0 k=0
≤C
∞
X
v
u∞ 2
uX
(j1 )
t
ϕk (A ) ×
ij1
ij1 =0
··· ×
k=0
∞
X
v
u∞ 2
uX
l
(jl )
t
ϕk (Aij ) ≤ C Dab [K] < ∞.
l
ijl =0
k=0
Здесь мы учли тот факт, что при условиях Eξk = 0 и Eξk2 = 1, k = 1, 2, ...,
справедливы представления
∞
X
Eξk2 ϕ2k ((x; y])
=
k=0
∞
X
ϕ2k ((x; y])
k=0
= E(ξ(y) − ξ(x))2 = K(y, y) + K(x, x) − 2K(x, y);
∞
X
Eξk2 ϕ2k ([a; y])
k=0
=
∞
X
ϕ2k ([a; y])
k=0
= E(ξ(y) − ξ(a))2 = K(y, y) + K(a, a) − 2K(a, y)
для всех x, y ∈ [a, b].
44
Тогда, применяя теорему Фубини, получаем
∞
X
m
(1)
Ai1
× ··· ×
(2d)
Ai2d
=
i1 ,.,i2d =0
∞
X
i1 =0
=m
∞
X
···
m
(1)
Ai1
× ··· ×
(2d)
Ai2d
i2d =0
∞
[
(1)
Ai1 × · · · ×
il =0
∞
[
!
(2d)
Ai2d
i2d =0
= m(A(1) × · · · × A(2d) ).
Таким образом, σ-аддитивность доказана, а значит основное предположение
выполняется.
Ранее уже отмечалось, что если справедливо основное предположение, то
для всякой измеримой ограниченной функции f корректно определен стохастический интеграл Id (f, ξ).
Теорема доказана.
3.4. Доказательство теоремы 4.
Так как K(x, y) ∈ C 2 ([a, b]2 ), то
Zxi+1 Zxi+1
K(xi , xi ) + K(xi+1 , xi+1 ) − 2K(xi+1 , xi ) =
xi
∂ 2 K(t, s)
dtds
∂t∂s
xi
для всех xi , xi+1 ∈ [a, b]. Значит,
2
∂ K(t, s) (xi+1 − xi )2
|K(xi , xi ) + K(xi+1 , xi+1 ) − 2K(xi+1 , xi )| ≤ sup ∂t∂s t,s∈[a,b]
для всех xi , xi+1 ∈ [a, b]. Поскольку для любого l ∈ {2, . . . , 2d} и всякого канонического параллелепипеда A1 × · · · × A2d ∈ M2d имеет место оценка (см.
доказательство теоремы 3)
v
v
u∞
u∞
uX
uX
2
t
|m(A1 × · · · × A2d )| ≤ C1
(ϕk (A1 )) × · · · × t
(ϕk (A2d ))2 ,
k=0
k=0
45
то справедливо
|m(A1 × · · · × A2d )| ≤ C2 λ(A1 ) × · · · × λ(A2d ),
где λ — мера Лебега на прямой. Отсюда очевидным образом следует выполнение основного предположения. Для существования стохастического интеграла
Id (f, ξ) осталось установить принадлежность функции f пространству S. Применяя теорему непрерывности для σ-конечных мер, из последнего неравенства
получаем, что для любого A ∈ σ(M2d ) справедлива оценка
|m(A)| ≤ C2 λ2d (A),
где λ2d – 2d-мерная мера Лебега. Таким образом,
|m|(A) ≤ C3 λ2d (A),
т. е. мера |m| абсолютно непрерывна относительно меры λ2d . Значит,
Z
f (x1 , . . . , xd )f (xd+1 , . . . , x2d )m(dx1 , . . . , dx2d )
[a,b]2d
Z
≤
|f (x1 , . . . , xd )f (xd+1 , . . . , x2d )||m|(dx1 , . . . , dx2d )
[a,b]2d
Z
≤ C3
|f (x1 , . . . , xd )f (xd+1 , . . . , x2d )|λ(dx1 ) . . . λ(dx2d )
[a,b]2d
2

Z

= C3 

|f (x1 , . . . , xd )|λ(dx1 ) . . . λ(dxd ) .
[a,b]d
Отсюда следует, что функция f принадлежит пространству S, когда f интегрируема по мере Лебега на [a, b]d .
Теорема доказана.
46
3.5. Доказательство теоремы 5.
Так как разложение случайного процесса ξ(x) в виде ряда (1) удовлетворяет
условию (I1 ), то, как следует из доказательства леммы 1, законно представление
(9), где кратный ряд в правой части этого представления сходится абсолютно.
Для определенности в (9) будем понимать кратный ряд как предел
m(A1 × · · · × A2d ) =
∞
X
Eξi1 . . . ξi2d ϕi1 (A1 ) × · · · × ϕi2d (A2d )
i1 ,...,i2d =0
:= lim
N
X
N →∞
Eξi1 . . . ξi2d ϕi1 (A1 ) × · · · × ϕi2d (A2d ).
i1 ,...,i2d =0
Напомним, что стохастический интеграл от простой функции fM по стохастической мере µ
e(·), заданной на Md , определяется формулой
Z
Id (fM , ξ) :=
fM (x1 , . . . , xd )e
µ(dx1 , . . . , dxd ) =
M
X
(M )
(n)
ck µ
e(Ak ).
k=1
[a,b]d
Далее нам необходимо ввести в рассмотрение функциональное ядерное пространство. Чтобы это сделать, мы в известной степени повторим рассуждения
из [1].
Квадрат расстояния в пространстве L2 между случайными величинами Id (fM , ξ)
и Id (fL , ξ) для любых элементов fM , fL ∈ L0 (Md ) можно записать так:

Z

2
E(Id (fM , ξ) − Id (fL , ξ)) = E 
fM (x1 , . . . , xd )e
µ(dx1 , . . . , dxd )
[a,b]d
2
Z
−

fL (x1 , . . . , xd )e
µ(dx1 , . . . , dxd )
[a,b]d
=E
M
X
k=1
(M )
(n)
ck µ
e(Ak ) −
L
X
k=1
!2
(L)
(n)
dk µ
e(Bk )
,
47
(n)
(n)
(M )
(L)
где Ak , Bk ∈ Md , а ck , dk – некоторые числа. Так как Md – полукольцо, то
любую пару простых функций можно представить как линейные комбинации
индикаторов одних и тех множеств из Md , порождающих с помощью операции
S
два вышеупомянутых разбиения. Обозначим указанную систему порождаю(n)
щих множеств через {Ck = C1k × · · · × Cnk }. Тогда имеем
!2
X
E(Id (fM , ξ) − Id (fL , ξ))2 = E
(M,L)
ck
(n)
µ
e(Ck )
k
X
=
(M,L) (M,L)
(n)
(n)
ck2 Ee
µ(Ck1 )e
µ(Ck2 )
ck1
k1 , k2
X
=
(M,L) (M,L)
(n)
ck2 m(Ck1
ck1
(n)
× Ck2 )
k1 , k2
Z
=
gM,L (x1 , . . . , x2d )m(dx1 , . . . , dx2d ).
[a,b]2d
Далее воспользуемся представлением (1). Тогда последнее выражение можно
записать так
X
(M,L) (M,L)
ck1 ck2
∞
X
Eξi1 . . . ξi2d ϕi1 (C1k1 ) . . . ϕi2d (Cnk2 )
i1 ,...,i2d =0
k1 , k2
=
=
∞
X
i1 ,...,i2d =0
∞
X
i1 ,...,i2d =0
Eξi1 . . . ξi2d
X
(M,L) (M,L)
ck2 ϕi1 (C1k1 ) . . . ϕi2d (Cnk2 )
ck1
k1 , k2
Z
Eξi1 . . . ξi2d
gM,L (x1 , . . . , x2d )dϕi1 (x1 ) . . . dϕi2d (x2d ),
[a,b]2d
где ϕi1 (C1k1 ) . . . ϕi2d (Cnk2 ) := ϕi1 (C1k1 ) . . . ϕid (Cnk1 )ϕid+1 (C1k2 ) . . . ϕi2d (Cnk2 ),
gM,L (x1 , . . . , x2d ) := (fM (x1 , . . . , xd ) − fL (x1 , . . . , xd )) ×
× (fM (xd+1 , . . . , x2d ) − fL (xd+1 , . . . , x2d )) .
48
Таким образом, мы получили, что
E(Id (fM , ξ) − Id (fL , ξ))2
∞
X
=
Z
Eξi1 . . . ξi2d
i1 ,...,i2d =0
gM,L (x1 , . . . , x2d )dϕi1 (x1 ) . . . dϕi2d (x2d ).
[a,b]2d
Поэтому введем в рассмотрение функциональное пространство F , состоящее из
функций f , для которых сходится ряд
Z
∞
X
Eξi1 . . . ξi2d
f (x1 , . . . , xd )f (xd+1 , . . . , x2d )dϕi1 (x1 ) . . . dϕi2d (x2d )
i1 ,...,i2d =0
:= lim
N →∞
[a,b]2d
N
X
Z
Eξi1 . . . ξi2d
i1 ,...,i2d =0
f (x1 , . . . , xd )f (xd+1 , . . . , x2d )dϕi1 (x1 ) . . . dϕi2d (x2d ).
[a,b]2d
Зададим на F 2 следующий билинейный функционал:
Z
∞
X
hf, gi :=
Eξi1 . . . ξi2d
f (x1 , . . . , xd )g(xd+1 , . . . , x2d )dϕi1 (x1 ) . . . dϕi2d (x2d ),
i1 ,...,i2d =0
[a,b]2d
который с учетом ранее сделанного замечания можно считать скалярным проp
изведением. Так что функционал kf kF = hf, f i образует в F норму.
Положим
∞
X
ζ(f ) :=
Z
ξi1 . . . ξid
i1 ,...,id =0
ζN (f ) :=
N
X
f (x1 , . . . , xd )dϕi1 (x1 ) . . . dϕid (xd ).
[a,b]d
Z
ξi1 . . . ξid
i1 ,...,id =0
f (x1 , . . . , xd )dϕi1 (x1 ) . . . dϕid (xd ).
[a,b]d
Из критерия Коши следует, что случайная величина ζ(f ) определена тогда и
только тогда, когда f ∈ F.
Для доказательства теоремы 5 нам понадобится
49
Лемма 2. Пусть {fM } — последовательность простых функций, сходящаяся
к f ∈ F в норме k · kF при M → ∞.
Тогда для последовательности случайных величин {Id (fM , ξ)} существует
среднеквадратический предел ζ, который не зависит от выбора последовательности {fM }. Более того,
а) с вероятностью 1 справедливы соотношения
Id (fM , ξ) = ζ(fM ), ζ = ζ(f );
б) для произвольной последовательности функций fM ∈ F такой, что
kf − fM kF → 0,
M → ∞,
выполняется следующая сходимость в среднеквадратическом:
L
ζ(fM ) →2 ζ(f ) при M → ∞.
Доказательство. Ввиду полноты пространства L2 , нам достаточно проверить критерий Коши, т. е. фундаментальность последовательности случайных
величин {Id (fM , ξ)} в норме пространства L2 .
kId (fL , ξ) − Id (fK , ξ)kL2 =
p
E(Id (fL , ξ) − Id (fK , ξ))2
= kfL − fK kF ≤ kfL − f kF + kf − fK kF → 0
при K, L → ∞. Таким образом, фундаментальность последовательности {fM }
в пространстве F влечет за собой фундаментальность в L2 последовательности
{Id (fM , ξ)}. В силу полноты пространства L2 последовательность {Id (fM , ξ)}
сходится в среднеквадратичном к некоторой случайной величине ζ. Независимость этого предела от последовательности {fM } докажем от противного.
Пусть {fK }, {fL } – последовательности простых функций, сходящихся к f в
50
норме k · kF . И пусть {Id (fK , ξ)}, {Id (fL , ξ)} — последовательности случайных
величин, сходящиеся в норме пространства L2 к ζ, η соответственно. Получаем:
kζ − ηkL2 ≤ kζ − Id (fK , ξ)kL2 + kId (fK , ξ) − Id (fL , ξ)kL2 + kId (fL , ξ) − ηkL2 → 0
при K, L → ∞. Отсюда следует, что ζ = η почти наверное.
Докажем пункт а). Действительно,
Id (fM , ξ) =
=
M
X
(n)
(M )
e(Ak )
ck µ
k=1
M
X
(M )
ck
∞
X
ξi1 . . . ξid ϕi1 (A1k ) . . . ϕid (Ank ).
i1 ,...,id =0
k=1
Последнее выражение, используя очевидное равенство
Z
ϕi1 (A1k ) . . . ϕid (Ank ) =
dϕi1 (x1 ) . . . dϕid (xd ),
(n)
Ak
можно записать так
M
X
(M )
ck
∞
X
Z
ξi1 . . . ξid
i1 ,...,id =0
k=1
=
∞
X
i1 ,...,id =0
dϕi1 (x1 ) . . . dϕid (xd )
(n)
Ak
Z
ξi1 . . . ξid
M
X
!
(M )
ck IA(n) (x1 , . . . , xd ) dϕi1 (x1 ) . . . dϕid (xd )
k
[a,b]d
k=1
= ζ(fM ).
Таким образом, окончательно получили, что Id (fM , ξ) = ζ(fM ).
Пусть {fM } — последовательность простых функций, приближающая функции f в норме пространства F. Покажем, что для такой последовательности
будет верна сходимость в среднеквадратическом последовательности стохастических интегралов {ζ(fM ) = Id (fM , ξ)} к случайной величине ζ(f ) при M → ∞.
51
Действительно,
lim kζ(f ) − ζ(fM )kL2
M →∞
= lim kζ(f ) − ζN (f ) + ζN (f ) − ζN (fM ) + ζN (fM ) − ζ(fM )kL2
M →∞
= lim lim kζ(f ) − ζN (f ) + ζN (f ) − ζN (fM ) + ζN (fM ) − ζ(fM )kL2 .
M →∞ N →∞
Далее, применив неравенство треугольника, получим оценку сверху для последнего выражения:
lim lim kζ(f ) − ζN (f )kL2 + lim lim kζN (f ) − ζN (fM )kL2
M →∞ N →∞
M →∞ N →∞
+ lim lim kζN (fM ) − ζ(fM )kL2
M →∞ N →∞
= 0 + lim kf − fM kF + 0 = 0.
M →∞
L
L
Имеем ζ(fM ) →2 ζ(f ), Id (fM , ξ) →2 ζ при M → ∞, и ζ(fM ) = Id (fM , ξ). Отсюда
следует, что в пространстве L2 справедливо
Id (f, ξ) = ζ(f ).
Утверждение пункта б) очевидно.
Лемма 2 доказана.
Для любого натурального N введем в рассмотрение следующие функции
множества на M2d :
νN (A1 × · · · × A2d ) :=
N
X
Eξi1 . . . ξi2d ϕi1 (A1 ) × · · · × ϕi2d (A2d ).
i1 ,...,i2d =0
Очевидно, что функции νN (·) удовлетворяют основному предположению, а значит νN можно продолжить на σ(M2d ), т. е. каждый член последовательности
2d
{νN }∞
N =1 является обычной знакопеременной мерой на σ(M ).
52
Покажем прежде всего, что полные вариации зарядов νN ограничены в совокупности, т. е. существует положительная постоянная C, для которой
|νN |([a, b]2d ) ≤ C,
Пусть множества
что [a, b] =
Kl
S
il =0
(l)
A0
N = 1, 2, . . . .
h
i
i
(l)
(l)
(l) (l)
= a; x1 , Ail = xil ; xil+1 , il ≥ 0, из M таковы,
(l)
(l)
l
Ail для всех l = 1, . . . , 2d, т. е. набор {Ail }K
il =0 представляет
собой разбиение отрезка [a, b]. Тогда полная вариация заряда νN может быть
вычислена по формуле
|νN |([a, b]2d ) = sup
K1X
,...,K2d
i1 ,.,i2d =0
N
X
(2d) (1)
ϕj1 Ai1 × · · · × ϕj2d Ai2d ,
|Eξj1 . . . ξj2d | j1 ,.,j2d =0
где точная верхняя грань берется по всевозможным конечным разбиениям
(l)
l
{Ail }K
il =0 отрезка [a; b] и всякого l = 1, . . . , 2d.
Пусть выполняется условие (I2 ). Тогда будем иметь (см. доказательство леммы 1):
N
X
|Eξj1 . . . ξj2d |
j1 ,.,j2d =0
≤
K1X
,...,K2d (1)
(2d) ϕj1 Ai1 × · · · × ϕj2d Ai2d i1 ,.,i2d =0
K1 K2d X
X
(1) (2d) |Eξj1 . . . ξj2d |
ϕj1 Ai1 × · · · ×
ϕj2d Ai2d N
X
j1 ,.,j2d =0
i1 =0
∞
X
≤
i2d =0
|Eξj1 . . . ξj2d | Vab [ϕj1 ] × · · · × Vab [ϕj2d ]
j1 ,.,j2d =0

≤
X
l1 ,..., l2d
C
∞
X
( l21 )Sgn(l1 )
2
Vab [ϕjl1 ] 
×
jl1 =0

· · · × C
∞
X
jl2d =0
( l2d2 )Sgn(l2d )
2
Vab [ϕjl2d ] 
< ∞.
53
Если выполнено условие (I4 ), то заключаем (см. доказательство теоремы 3),
что
N
X
|Eξj1 . . . ξj2d |
j1 ,.,j2d =0
K1X
,...,K2d (1)
(2d) ϕj1 Ai1 × · · · × ϕj2d Ai2d i1 ,.,i2d =0
v
v
u K2d u K1 N
N
2
2
uX
X
X uX
2d
(1)
(2d)
t
t
ϕk (Aj1 ) × · · · ×
ϕk (Aj2d ) ≤ C Dab [K] < ∞.
≤C
j1 =0
j2d =0
k=0
k=0
Из этих неравенств и вышеупомянутой формулы для полной вариации следует, что какое бы ни было N , при выполнении условия (I2 ) или (I4 ) существует
такая постоянная C, что
|νN |([a, b]2d ) ≤ C.
Далее, так как {fM } равномерно приближает функцию f, то f – ограниченная функция, а значит существует стохастический интеграл Id (f, ξ) (см. теорему C.)
Покажем, что
1) ||f − fM || → 0;
2) ||f − fM ||F → 0.
Первый пункт очевиден для любой последовательности функций {fM }, равномерно сходящейся к функции f. Докажем второй пункт. Имеем
Z
∞
X
2
||f − fM ||F =
Eξi1 . . . ξi2d
gM (x1 , . . . , x2d )dϕi1 (x1 ) . . . dϕi2d (x2d )
i1 ,...,i2d =0
[a,b]2d
Z
= lim
N →∞
[a,b]2d
gM (x1 , . . . , x2d )νN (dx1 , . . . , dx2d ),
где gM (x1 , . . . , x2d )
= (f (x1 , . . . , xd ) − fM (x1 , . . . , xd )) (f (xd+1 , . . . , x2d ) − fM (xd+1 , . . . , x2d )) .
54
Очевидно, что
Z
lim
N →∞
[a,b]2d
gM (x1 , . . . , x2d )νN (dx1 , . . . , dx2d )
≤ lim sup (max |gM (x1 , . . . , x2d )|) |νN |([a, b]2d )
N →∞
≤ C max |gM (x1 , . . . , x2d )| → 0 при M → ∞.
Из сходимости 1), теоремы C и леммы 2 будет следовать, что
L
Id (fM , ξ) →2 Id (f, ξ) при M → ∞,
ζ(fM ) = Id (fM , ξ) для всех M.
Значит,
||fM ||2F = ||fM ||2 → ||f ||2 при M → ∞.
Отсюда, поскольку верна сходимость 2), получаем
||fM ||2F → ||f ||2F = ||f ||2 при M → ∞.
А значит f ∈ F и в силу леммы 2 получаем
L
ζ(fM ) →2 ζ(f ) при M → ∞.
Таким образом, заключаем, что справедливо равенство с вероятностью 1
Id (f, ξ) = ζ(f ).
Теорема доказана.
55
ГЛАВА 2.
Задание кратного стохастического интеграла
в виде кратного ряда
со случайными коэффициентами
Мы видели, что в построении стохастического интеграла Id (f, ξ) имеются
два существенных этапа. Первый — непосредственное определение интеграла
(как суммы ряда) для некоторого класса функций (простых функций), достаточно простого и в то же время достаточно обширного, второй — распространение определения интеграла на существенно более широкий класс функций с
помощью предельного перехода. Сейчас мы определим кратный стохастический
интеграл, используя несколько иной подход.
В этой главе мы будем предполагать, что случайный процесс ξ(x), x ∈ [a, b],
как и прежде, имеет разложение (1). Функции {ϕi } из этого разложения имеют ограниченную вариацию, а значит, как уже отмечалось выше, индуцируют
соответствующий заряд, который мы обозначим как dϕi (x).
§ 1. Определение кратного стохастического интеграла.
Используя разложение (1), определим последовательность стохастических
процессов: {ξN (x), x ∈ [a, b]} следующим образом:
ξN (x) :=
N
X
ξk ϕk (x).
k=0
Случайную величину
Z
f (x1 , . . . , xd )dξN (x1 ) . . . dξN (xd )
[a,b]d
56
мы будем понимать как интеграл Лебега–Стилтьеса, определенного для почти
всех реализаций ξN (x). В этом случае, справедливо
Z
f (x1 , . . . , xd )dξN (x1 ) . . . dξN (xd )
[a,b]d
N
X
=
Z
ξi1 . . . ξid
i1 ,...,id =0
f (x1 , . . . , xd )dϕi1 (x1 ) . . . dϕid (xd ).
[a,b]d
Определение 3. Пусть для функции f относительно разложения (1) определен среднеквадратический предел при N → ∞ последовательности случайных величин
Z
f (x1 , . . . , xd )dξN (x1 ) . . . dξN (xd ).
[a,b]d
В этой ситуации предельную случайную величину будем обозначать Ido (f, ξ)
и называть кратным стохастическим интегралом от функции f относительно разложения (1). Записывать это будем так
Ido (f, ξ)
:=
∞
X
Z
ξi1 . . . ξid
i1 ,...,id =0
f (x1 , . . . , xd )dϕi1 (x1 ) . . . dϕid (xd ).
[a,b]d
Всюду в дальнейшем будем обозначать
Z
fi1 ,...,id =
f (x1 , . . . , xd )dϕi1 (x1 ) . . . dϕid (xd ).
[a,b]d
57
Замечание 3. Кратный стохастический интеграл от функции f относительно разложения (1) существует тогда и только тогда, когда существует предел
последовательности частичных сумм вида
N
X
fi1 ,...,id fid+1 ,...,i2d Eξi1 . . . ξi2d
при N → ∞.
i1 ,...,i2d =0
В этом случае мы будем говорить, что сходится ряд
∞
X
fi1 ,...,id fid+1 ,...,i2d Eξi1 . . . ξi2d .
i1 ,...,i2d =0
Легко заметить, что введенный стохастический интеграл обладает некоторыми свойствами кратных детерминированных интегралов. Поэтому и работать
с таким интегралом удобно.
Свойства кратного стохастического интеграла.
1. Пусть определен кратный стохастический интеграл от функции f относительно разложения (1). Тогда для любой постоянной α справедливо
Ido (αf, ξ) = αIdo (f, ξ)
2. Пусть определены кратные стохастические интегралы от функций f и g
относительно разложения (1). Тогда справедливо
Ido (f + g, ξ) = Ido (f, ξ) + Ido (g, ξ)
3. Пусть определен кратный стохастический интеграл от функций
f1 (x1 , . . . , xd1 ) и f2 (x1 , . . . , xd2 ) относительно разложения (1) на [a, b]d1 и [a, b]d2 ,
соответственно. Тогда определен кратный стохастический интеграл от функции
g(x1 , . . . , xd1 +d2 ) := f1 (x1 , . . . , xd1 )f2 (xd1 +1 , . . . , xd1 +d2 )
58
относительно разложения (1) на [a, b]d1 +d2 и справедливо
Ido1 +d2 (g, ξ) = Ido1 (f1 , ξ)Ido2 (f2 , ξ)
Теперь предположим, что разложение (1) случайного процесса ξ(x) таково,
∞
P
2d
что supk Eξk ≤ C < ∞. а ряд
|fi1 ,...,id | сходится. Тогда имеет место
i1 ,...,id =0
оценка
∞
X
fi
f
Eξ
.
.
.
ξ
i1
i2d ≤ C
1 ,...,id id+1 ,...,i2d
i1 ,...,i2d =0
∞
X
!2
|fi1 ,...,id |
.
i1 ,...,id =0
А это значит, что последовательность частичных сумм
N1X
,...,Nd
fi1 ,...,id ξi1 . . . ξid
i1 ,...,id =0
сходится в среднеквадратическом равномерно по Nj1 , . . . , Njm при
Njm+1 , . . . , Njd → ∞ для любого множества {j1 , . . . , jd } попарно различных индексов из {1, . . . , d} и всякого 1 ≤ m ≤ d. Отсюда следует, что при выполнении
указанных выше условий, в пространстве L2 сходится ряд
∞
X
fi1 ,...,id ξi1 . . . ξid ,
i1 ,...,id =0
и для него справедливо утверждение теоремы Фубини. Таким образом, для
кратных стохастических интегралов имеет место свойство
4. Пусть разложение (1) случайного процесса ξ(x) таково, что supk Eξk2d ≤
∞
P
C < ∞, а ряд
|fi1 ,...,id | сходится. Тогда определен кратный стохастичеi1 ,...,id =0
ский интеграл
Ido (f, ξ)
и имеет место следующее равенство:
59
∞
X
fi1 ,...,id ξi1 . . . ξid =
i1 ,...,id =0

∞
X
∞
X
ξi1 . . . ξij 
i1 ,...,ij =0

fi1 ,...,id ξij+1 . . . ξid 
ij+1 ,...,id =0
для любого натурального j ≤ d.
Теперь перепишем теорему 5 в новых терминах.
Теорема 5. Пусть {fM } — последовательность простых функций, равномерно приближающих функцию f . И пусть разложение процесса ξ(x) в виде
ряда (1) удовлетворяет условию (I1 ) и хотя бы одному из условий: (I2 ) или (I4 ).
Тогда существуют стохастический интеграл Id (f, ξ) и стохастический интеграл Ido (f, ξ). Более того, эти интегралы совпадают с вероятностью 1, т. е.
Id (f, ξ) = Ido (f, ξ).
Без ограничения общности будем предполагать, что функция f (x1 , . . . , xd ) симметрична. Если же это не так, и функция f не является симметричной, то проведем ее симметризацию:
1 X
f (xπ(1) , . . . , xπ(d) ),
fe(x1 , . . . , xd ) =
d!
π∈Sd
где сумма берется по всем перестановкам π элементов множества {1, . . . d}. Тогда для симметризованной функции fe будет выполняться
Ido (f, ξ) = Ido (fe, ξ).
Заметим, что для симметричной функции f коэффициенты fi1 ,...,id также
будут симметричны относительно любых перестановок индексов i1 , . . . , id . А
значит, для нахождения моментов первого и второго порядка для кратных стохастических интегралов вида
Ido (f, ξ),
60
построенных относительно разложений гауссовских процессов, можно использовать утверждение теоремы F, доказанное в [28].
Теорема F. Пусть неслучайные коэффициенты bi1 ,...,id симметричны, а
{ξij }ij ≥0 — независимые случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение для всех j = 1, . . . , d. Тогда
!2
∞
X
E
bi1 ,...,id ξi1 . . . ξid
i1 ,...,id =0
=
[d/2]
X
(Cd,k )2 (d − 2k)!
k=0
!2
∞
X
∞
X
i2k+1 ,...,id =0
i1 ,...,ik =0
bi1 ,i1 ,...,ik ,ik ,i2k+1 ,...,id
,
где
Cd,k =
E
∞
X
d!
.
(d − 2k)!2k k!
!
bi1 ,...,id ξi1 . . . ξid
= 0, если d нечетно,
i1 ,...,id =0
E
∞
X
!
bi1 ,...,id ξi1 . . . ξid
= Cd,[d/2]
∞
X
bi1 ,i1 ,...,i[ d ] i[ d ] , если d четно.
i1 ,...,i[ d ] =0
i1 ,...,id =0
2
2
2
§ 2. Экспоненциальное неравенство.
Заметим, что если
∞
P
|fi1 ,...,id | < ∞ и supi≥0 Eξi2d < ∞, то очевидно, что
i1 ,...,i2d =0
сходится ряд
∞
X
fi1 ,...,id fid+1 ,...,i2d Eξi1 . . . ξi2d .
i1 ,...,i2d =0
А значит, согласно замечанию 3, определен стохастический интеграл
Ido (f, ξ).
61
Теорема 6. Пусть для всякого натурального m выполняется неравенство
sup Eξi2dm ≤ (a1 m)a2 dm ,
(12)
i≥0
где a1 , a2 — некоторые положительные постоянные, которые не зависят от
m. И пусть
∞
X
K :=
|fi1 ,...,id | < ∞.
(13)
i1 ,...,i2d =0
Тогда для всех x ≥ K (ea1 )
a2 d
2
справедливо следующее неравенство:
P (|Ido (f, ξ)| > x) ≤ e−Cx
2
a2 d
,
(14)
где
a2 d
C=
2
.
2ea1 K a2 d
Как уже отмечалось, случайные величины ξk , участвующие в разложении
(1) центрированного гауссовского процесса ξ(x), имеют стандартное нормальное
распределение. Момент порядка 2dm такой случайной величины оценивается
следующим образом:
Eξ12dm = (2dm − 1)!! = (2dm − 1)(2dm − 3) . . . 1 ≤ (2dm)dm .
Тогда условие (12) выполняется для постоянных a1 = 2d и a2 = 1. Воспользовавшись теоремой 6, мы получим следующий результат.
Следствие 2. Пусть разложение (1) процесса ξ(x) таково, что случайные
величины ξi имеют стандартное нормальное распределение. И пусть
K :=
∞
X
i1 ,...,i2d =0
|fi1 ,...,id | < ∞.
62
d
Тогда для всех x ≥ K (2de) 2 справедливо следующее неравенство:
P (|Ido (f, ξ)|
2
−Cx d
> x) ≤ e
,
где
C=
1
2
4eK d
.
Требования (12) и (13) в теореме 6 более жесткие, чем в теореме E. Но
теорема 6, в отличии от теоремы E, применима, в том числе, и для негауссовых
процессов.
Следствие 3. Пусть |ξi | ≤ 1 почти наверное для всех i ≥ 0 и выполнено
условие (13). Тогда при всех x > K вероятность в (14) равна нулю.
В самом деле, в условиях следствия 3 требование (12) в теореме 6 выполняется для a1 = 1 и любого положительного a2 . Стало быть, в правую часть
неравенства (14) можно подставить предел при a2 → 0. Остается только заметить, что
lim Cx
2
a2 d
a2 →0
a2 d x a22d
= ∞.
= lim
a2 →0 2e
K
Вышесказанное согласуется с тем, что при сделанных предположениях с
вероятностью 1
|Ido (f, ξ)| ≤ K.
§ 3. Доказательство теоремы 6.
Положим η := Ido (f, ξ). Рассмотрим произвольный четный момент случайной величины η.
Eη
2m
=
∞
X
i1 ,...,i2dm =0
fi1 ,...,id . . . fi(2d−1)m+1 ,...,i2dm Eξi1 . . . ξi2dm
63
∞
X
≤
|fi1 ,...,id . . . fi(2d−1)m+1 ,...,i2dm ||Eξi1 . . . ξi2dm |
i1 ,...,i2dm =0
≤
sup
i1 ,...,i2dm =0
∞
X
|Eξi1 . . . ξi2dm |
|fi1 ,...,id . . . fi(2d−1)m+1 ,...,i2dm |
i1 ,...,i2dm =0
≤
sup
i1 ,...,i2dm =0
|Eξi1 . . . ξi2dm |K 2m .
По неравенству Гельдера получаем, что
sup
i1 ,...,i2dm =0
|Eξi1 . . . ξi2dm | ≤
Eξi2dm
1
sup
i1 ,...,i2dm =0
1
2dm
. . . Eξi2dm
2dm
1
2dm
.
Используя условие (12), получаем окончательную оценку четного момента стохастического интеграла:
Eη 2m ≤ K 2m (a1 m)a2 dm .
Сейчас мы можем оценить распределение хвоста стохастического интеграла
η при помощи неравенства Чебышева следующим образом:
Eη 2m
K 2m (a1 m)a2 dm
P(|η| > x) ≤ 2m ≤
.
x
x2m
2
Положим m = [εx a2 d ] для произвольного ε > 0, где [a] — целая часть положи2
тельного числа a. Тогда, используя очевидное неравенство m ≤ εx a2 d , мы будем
иметь
2
a2 dm
K 2m aa12 dm εa2 dm x2m
2m a2 dm a2 dm
a2 d
P(|η| > x) ≤
= K a1 ε
= K a1 ε
x2m
2
=e
a2 dm log(K a2 d a1 ε)
2
.
Знак степени экспоненты равен знаку log(K a2 d a1 ε). Возможны два случая:
2
1. log(K a2 d a1 ε) ≥ 0;
2
2. log(K a2 d a1 ε) < 0.
64
2
Рассмотрим каждый из них. Случай, когда log(K a2 d a1 ε) ≥ 0, не заслуживает
внимания, так как очевидно, что
2
e
a2 dm log(K a2 d a1 ε)
≥ 1.
2
Пусть log(K a2 d a1 ε) < 0, тогда, используя тривиальное неравенство m ≥
2
1
a2 d
,
2 εx
получим оценку
2
a2 dm log(K a2 d a1 ε)
e
≤e
2
1
a2 d
a
dεx
2
2
2
log(K a2 d a1 ε)
.
(15)
2
Минимальное значение функции ε log(K a2 d a1 ε) достигается в точке
εopt =
1
2
.
ea1 K a2 d
Подставляя значение εopt в правую часть неравенства (15), получаем окончательную оценку
−
P(|η| > x) ≤ e
2
a2 d
2
2ea1 K a2 d
x a2 d
.
Заметим, что последнее неравенство справедливо в предположении о том,
2
что m = [εopt x a2 d ] ≥ 1. А это условие равносильно тому, что
x ≥ K (ea1 )
Теорема доказана.
a2 d
2
.
65
ГЛАВА 3.
Задание кратного стохастического интеграла
в виде одномерного ряда
со случайными коэффициентами
§ 1. Определение кратного стохастического интеграла.
Предположим, что произведение случайных процессов
ξ(x1 ) . . . ξ(xd ), (x1 , . . . , xd ) ∈ [a, b]d ,
с вероятностью 1 (или, что тоже самое, в пространстве L2 ) при всех x ∈ [a, b]
допускает представление в виде ряда со случайными коэффициентами:
ξ(x1 ) . . . ξ(xd ) =
∞
X
ξk ϕk (x1 , . . . , xd ),
(16)
k=0
где ряд в правой части равенства понимается как среднеквадратический предел
соответствующих частичных сумм при каждом фиксированном
(x1 , . . . , xd ) ∈ [a, b]d . В дальнейшем все подобные (16) представления по умолчанию будут определяться именно по вышеприведенной схеме. Будем считать,
что для последовательности случайных величин {ξk } выполнено условие ортонормированности, т. е. Eξk ξm = δk,m .
Тогда ряд в (16) сходится в среднеквадратичном тогда и только тогда, когда
неслучайные “базисные” функции {ϕk (x1 , . . . , xd )} удовлетворяют соотношению
∞
X
k=0
ϕ2k (x1 , . . . , xd ) < ∞ для всех (x1 , . . . , xd ) ∈ [a, b]d .
66
Существование разложений вида (16) гарантируется теоремой D, если в качестве процесса θ(x1 , . . . , xd ) мы возьмем процесс ξ(x1 ) . . . ξ(xd ), т. е.
θ(x1 , . . . , xd ) = ξ(x1 ) . . . ξ(xd ).
Пусть функция ϕ(x1 , . . . , xd ) задана на [a, b]d . Для A1 , . . . , Ad ∈ M, где Ai =
(xi ; xi +δi ] в случае, когда xi 6= a, и Ai = [xi ; xi +δi ], когда xi = a, мы определим
функцию множества:
ϕ(A1 × · · · × Ad ) := ∆δ11 (∆δ22 (. . . (∆δdd ϕ(x1 , . . . , xd )))).
(17)
Здесь ∆δi i ϕ(x1 , . . . , xd ) := ϕ(x1 , . . . xi + δi , . . . , xd ) − ϕ(x1 , . . . xi , . . . , xd ) для всех
i = 1, . . . , d. Отметим, что если функция ϕ(·) представима в виде произведения
d функций одного переменного, то суперпозиция координатных разностных операторов в (17) переводит указанное произведение функций в произведение их
приращений. Иными словами, формальное применение линейного преобразования в (17) к обеим частям (16) дает представление для продакт-дифференциала
интегрирующего процесса.
Будем говорить, что ϕ(x1 , . . . , xd ) имеет ограниченную вариацию на [a, b]d ,
если существует такая постоянная C, что
N1X
,...,Nd
(d)
|ϕ(Ai1 )(1) × · · · × Aid )| ≤ C
i1 ,...,id
(j)
N
j
для всякого конечного разбиения {Aij ∈ M}ij =0
множества [a, b] (j = 1, . . . , d).
Всюду далее будем предполагать, что функции {ϕk } имеют ограниченную
вариацию. Каждая функция ϕk будет индуцировать элементарную знакопеременную меру на Md по формуле (17). В силу того, что функция имеет ограниченную вариацию, то указанную меру можно продолжить на σ(Md ). Полученный в результате этого заряд мы будем обозначать как dϕk (x1 , . . . , xd ).
67
Используя разложение (16), определим последовательность многопараметрических стохастических процессов: {ξN (x1 , . . . , xd ), (x1 , . . . , xd ) ∈ [a, b]d } следующим образом:
ξN (x1 , . . . , xd ) :=
N
X
ξk ϕk (x1 , . . . , xd ).
k=0
Случайную величину
Z
f (x1 , . . . , xd )dξN (x1 , . . . , xd )
[a,b]d
мы будем понимать как интеграл Лебега–Стилтьеса, определенного для почти
всех реализаций ξN (x1 , . . . , xd ). Очевидно, что в этом случае, справедливо
Z
f (x1 , . . . , xd )dξN (x1 , . . . , xd ) =
N
X
Z
ξk
k=0
[a,b]d
f (x1 , . . . , xd )dϕk (x1 , . . . , xd ).
[a,b]d
Определение 4. Пусть для функции f относительно разложения (16) определен среднеквадратический предел при N → ∞ последовательности случайных величин
Z
f (x1 , . . . , xd )dξN (x1 , . . . , xd ).
[a,b]d
В этой ситуации предельную случайную величину будем обозначать
Id∗ (f, ξ)
и называть кратным стохастическим интегралом от функции f относительно разложения (16). Записывать это будем так
Id∗ (f, ξ) :=
∞
X
k=0
Z
ξk
f (x1 , . . . , xd )dϕk (x1 , . . . , xd ).
[a,b]d
68
Замечание 4. Кратный стохастический интеграл от функции f относительно разложения (16) существует тогда и только тогда, когда сходится ряд
2

Z
∞
X


f (x1 , . . . , xd )dϕk (x1 , . . . , xd ) .

k=0
[a,b]d
Можно заметить, что если случайный процесс ξ(x) представим в виде ряда (1), и выполнено условие (I1 ), то, как следует из доказательства леммы 1,
справедливо разложение
ξ(x1 ) . . . ξ(xd ) =
∞
X
ξi1 . . . ξid ϕi1 (x1 ) . . . ϕid (xd ).
i1 ,...,id =0
Полученное разложение качественно отличается от разложения (16) тем, что
последовательность случайных величин {ξi1 . . . ξid } не обязательно удовлетворяет условию ортонормированности, которое является ключевым требованием
при доказательстве основных результатов настоящей главы.
Свойства кратного стохастического интеграла.
1. Пусть определен кратный стохастический интеграл от функции f относительно разложения (16). Тогда для любой постоянной α справедливо
Id∗ (αf, ξ) = αId∗ (f, ξ).
2. Пусть определены кратные стохастические интегралы от функций f и g
относительно разложения (16). Тогда справедливо
Id∗ (f + g, ξ) = Id∗ (f, ξ) + Id∗ (g, ξ).
69
§ 2. Сравнение различных конструкций кратных стохастических
интегралов.
В данной работе мы рассматриваем три принципиально разные конструкции
кратных стохастических интегралов, обозначаемых:
Id (f, ξ), Ido (f, ξ), Id∗ (f, ξ).
Связь первого и второго стохастических интегралов была уже установлена в
теореме 5, а также во Введении (для винеровских интегралов). В данном параграфе мы детально рассмотрим соотношения между Id (f, ξ) и Id∗ (f, ξ).
Для начала сформулируем легко проверяемое утверждение.
Утверждение 1. Для всякой простой функции fM в пространстве L2 справедливо
Id (fM , ξ) = Ido (fM ) = Id∗ (fM ).
Теорема 7. Пусть {fM } — последовательность простых функций такая, что
для всех k выполнено
Z
lim
[f (x1 , . . . , xd ) − fM (x1 , . . . , xd )] dϕk (x1 , . . . , xd ) = 0.
M →∞
[a,b]d
(18)
Пусть существует среднеквадратический предел ζ последовательности стохастических интегралов Id (fM , ξ). Тогда существует интеграл Id∗ (f, ξ). Более того,
имеет место следующая сходимость в пространстве L2 :
Id (fM , ξ) → Id∗ (f, ξ) при M → ∞.
Эта теорема говорит о том, что если задавать стохастический интеграл как
среднеквадратический предел последовательности стохастических интегралов
70
от простых функций, как это сделано при построении Id (f, ξ), то в итоге получится случайная величина, совпадающая с вероятностью 1 со стохастическим интегралом, построенным по схеме предложенной в настоящей главе. В
этом смысле определение интеграла Id∗ (f, ξ) шире, чем определение интеграла
Id (f, ξ).
Теперь установим в каких случаях конструкции указанных стохастических
интегралов совпадают.
Для простоты в следующей теореме будем считать, что ξ(a) = 0.
Теорема 8. Пусть ковариационная функция K(x1 , . . . , x2d ) многопараметрического процесса ξ(x1 ) . . . ξ(xd ) непрерывна на [a, b]2d и f ∈ L2 .
Тогда существует стохастический интеграл Id∗ (f, ξ) относительно разложения Карунена–Лоэва процесса ξ(x1 ) . . . ξ(xd ), и существует стохастический интеграл Id (f, ξ). Более того, Id (f, ξ) = Id∗ (f, ξ) с вероятностью 1.
Из теоремы 8 вытекает верность следующего утверждения.
Следствие 4. Пусть выполнено основное предположение и ковариационная
функция K(x1 , . . . , x2d ) многопараметрического процесса ξ(x1 ) . . . ξ(xd ) непрерывна на [a, b]2d .
Тогда для всякой ограниченной функции f существует стохастический интеграл
Id∗ (f, ξ)
относительно разложения Карунена–Лоэва процесса ξ(x1 ) . . . ξ(xd ), и существует стохастический интеграл Id (f, ξ). Более того, с вероятностью 1 справедливо
равенство
Id (f, ξ) = Id∗ (f, ξ).
71
Пример. Пусть процесс ξ(x) задается на отрезке [0; 1] следующим рядом:
ξ(x) =
∞
X
q
ξk (1 − x)xk ,
k=0
где {ξk } — ортонормированные случайные величины с нулевыми средними. При
фиксированном x эти ряды сходятся в пространстве L2 . Ковариационная функция для такого процесса определяется следующим образом:
q
∞
X
Eξk2
K(x, y) = Eξ(x)ξ(y) =
(1 − x)(1 − y)xk y k
k=0
=
p
(1 − x)(1 − y)
∞
X
k=0
 √
(1−x)(1−y)
√
, если x, y ∈ (0; 1);
√ k 
1− xy
( xy) =

0,
иначе.
Докажем, что функция множества m(·), построенная по процессу ξ(x), не
является конечной ковариационной мерой. Действительно, если допустить противное, то для m(·) справедлива аксиома непрерывности. Тогда мы вправе заключить, что
m({1} × {1}) = lim m((1 − 1/k; 1] × (1 − 1/k; 1]) = lim E (ξ(1) − ξ(1/k))2
k→∞
k→∞
= lim E (ξ(1/k))2 = lim K(1/k, 1/k) = lim 1 = 1.
k→∞
k→∞
k→∞
С другой стороны,
m({1} × {1}) = lim m({1} × (1 − 1/l; 1])
l→∞
= lim lim m((1 − 1/k; 1] × (1 − 1/l; 1])
l→∞ k→∞
= lim lim K(1 − 1/k, 1 − 1/l)
l→∞ k→∞
p
(1/k)(1/l)
p
= lim lim
= lim 0 = 0.
l→∞ k→∞ 1 −
(1 − 1/k)(1 − 1/l) l→∞
72
Пришли к противоречию, значит функция m(·) не является конечной ковариационной мерой. Это приводит к тому, что нельзя задать пространство
функций S, для которого устанавливалось корректное определение интеграла
по схеме работы [1], т. е. мы не можем определить стохастический интеграл
I1 (f, ξ). Но при этом стохастический интеграл I1∗ (f, ξ) будет существовать для
широкого класса функций. Покажем, например, что он будет корректно определен для функции f (x) = xl+1 , где для простоты будем предполагать, что
l ≥ −1 — целое число, т. е. нам достаточно установить, что сходится ряд
∞
X
k=0

Eξk2 
Z1
2
q
xl+1 d (1 − x)xk  .
(19)
0
В случае когда l = −1 это очевидно, поэтому будем предполагать, что l ≥ 0.
Применяя формулу интегрирования по частям, получаем
∞
X
k=0

Z1
2
1/2 k/2
 (1 − x)
0
x
l
(l + 1)x dx = (l + 1)
2
∞
X
B 2 (3/2; l + 1 + k/2),
k=0
где B(t; s) – бета-функция. Используя формулу B(a; b) =
Γ(a)Γ(b)
Γ(a+b)
и свойства
Гамма-функции Γ(x), в частности, ее возрастание для x ≥ a0 ≈ 1, 4616 для
всех k ≥ 4 имеет место следующее представление:

Γ(3/2)

для четных k,
(k/2+l+1)
B(3/2; l + 1 + k/2) ≤
Γ(3/2)

(k/2+l+3/2)(k/2+l+1/2) для нечетных k.
Значит сходится ряд (19), и стохастический интеграл I1∗ (f, ξ) определен.
73
§ 3. Обобщенная конструкция стохастического интеграла.
Обобщим конструкцию стохастического интеграла
Id∗ (f, ξ)
для случая, когда с вероятностью 1 имеет место следующее представление:
∞
∞
X
X
(m) (m)
(1) (1)
ξk ϕk (x1 , . . . , xd ), (20)
ξk ϕk (x1 , . . . , xd ) + · · · +
ξ(x1 ) . . . ξ(xd ) =
k=0
k=0
где ряды в правой части равенства понимаются как среднеквадратические пределы соответствующих частичных сумм при каждом фиксированном
(x1 , . . . , xd ) ∈ [a, b]d . В дальнейшем все подобные (20) представления по умолчанию будут определяться по вышеприведенной схеме. При этом будем предполагать, что или для каждого i = 1, . . . , m последовательность случайных величин
(i)
{ξk } удовлетворяет условию ортогональности, то есть
(i) (i)
Eξk ξl = 0 для всяких k 6= l,
(i)
или же для каждого i = 1, . . . , m последовательность {ξk } состоит из попарно некоррелируемых случайных величин. Стоит отметить, что эти два пред(i)
положения равносильны в случае, когда Eξk = 0 для всякого k. Также бу(i)
дем считать, что функции {ϕk } имеют ограниченную вариацию для каждого
i = 1, . . . , m и всякого k.
Определение 5. Пусть для функции f и всякого i = 1, . . . , m ряды
Z
∞
X
(i)
(i)
ξk
f (x1 , . . . , xd )dϕk (x1 , . . . , xd )
k=0
[a,b]d
сходятся в среднеквадратическом смысле. Тогда для функции f относительно
разложения (20) будет определен кратный стохастический интеграл
Z
m X
∞
X
(i)
(i)
ξk
f (x1 , . . . , xd )dϕk (x1 , . . . , xd ).
i=1 k=0
[a,b]d
74
Замечание 5. Кратный стохастический интеграл в определении 4 существует тогда и только тогда, когда для каждого i = 1, . . . , m сходится ряды
∞
X
(i)
Eξk
k=0
∞
X
k=0
Z
(i)
f (x1 , . . . , xd )dϕk (x1 , . . . , xd ),
[a,b]d
2

E
(i)
ξk
2
Z



(i)
f (x1 , . . . , xd )dϕk (x1 , . . . , xd ) .
[a,b]d
§ 4. Разложение многопараметрического процесса с ковариационной
функцией специального вида.
Отметим, что получить разложение вида (16), которое необходимо для построения кратного стохастического интеграла
Id∗ (f, ξ),
представляет собой трудную задачу, несмотря на то, что теорема Карунена–
Лоэва, применимая к многопараметрическому процессу ξ(x1 ) . . . ξ(xd ), не просто гарантирует нам существование такого разложения, но и указывает алгоритм нахождения соответствующих случайных величин ξk и неслучайных
функций ϕk .
В теореме ниже установлено, что на основе разложения Карунена–Лоэва (3)
процесса ξ(x) можно построить разложение вида (20) многопараметрического
процесса ξ(x1 ) . . . ξ(xd ) для некоторого широкого класса процессов ξ(x).
Введем понятие кратностей элементов в множестве натуральных чисел
{k1 , . . . kj }. Будем говорить, что набор
{p1 ≡ p1 (k1 , . . . , kj ), . . . , pm ≡ pm (k1 , . . . , kj )}, m ≡ m(k1 , . . . , kj ),
75
определяет кратности элементов множества {k1 , . . . kj }, если множество
{k1 , . . . kj } состоит из m различных элементов, и справедливо следующее соотношение:
k1 = · · · = kp1 < kp1 +1 = · · · = kp1 +p2 < · · · < kp1 +...pm−1 +1 = · · · = kp1 +···+pm ,
здесь p1 + · · · + pm = j.
Теорема 9. Пусть случайный процесс ξ(x) с ковариационной функцией
Kξ (x1 , x2 ) и разложением Карунена–Лоэва (3) обладает свойством
X
Eξ(x1 ) . . . ξ(x2j ) =
Kξ (xi1 , xi2 ) . . . Kξ (xi2j−1 , xi2j )
(i1 , i2 ),..., (i2j−1 , i2j )
для всех j = 1, . . . , d.
Тогда для всех четных j из множества {2, . . . , d} справедливо
ξ(x1 ) . . . ξ(xj ) =
∞
X
q
Hk1 ,...,kj (ξk1 , . . . , ξkj ) j!λk1 . . . λkj ψk1 ,...,kj (x1 , . . . , xj )
0≤k1 ≤···≤kj
X
+
Kξ (xi1 , xi2 )
j
Y
ξ(xim ) − . . .
m=1;m6=i1 ,i2
(i1 , i2 )
X
−(−1)j/2
Kξ (xi1 , xi2 ) . . . Kξ (xij−1 , xij );
(i1 , i2 ),..., (ij−1 , ij )
для всех нечетных j из множества {2, . . . , d}
ξ(x1 ) . . . ξ(xj ) =
∞
X
q
Hk1 ,...,kj (ξk1 , . . . , ξkj ) j!λk1 . . . λkj ψk1 ,...,kj (x1 , . . . , xj )
0≤k1 ≤···≤kj
X
+
Kξ (xi1 , xi2 )
(i1 , i2 )
[j/2]
−(−1)
X
(i1 , i2 ),..., (ij−2 , ij−1 )
j
Y
ξ(xim ) − . . .
m=1;m6=i1 ,i2
Kξ (xi1 , xi2 ) . . . Kξ (xij−2 , xij−1 )
j
Y
m=1;m6=i1 ,...,ij−1
ξ(xim ).
76
Здесь [·] — целая часть числа, а суммирование ведется по всевозможным наборам попарно несовместных двухэлементных подмножеств (в количествах,
указанных под знаками сумм) конечной совокупности {1, . . . , j};
Hk1 ,...,kj (ξk1 , . . . , ξkj ) :=
Hpm (ξkp1 +···+pm )
Hp1 (ξkp1 ) Hp2 (ξkp1 +p2 )
√
√
√
...
,
p1 !
p2 !
pm !
ψk1 ,...,kj (x1 , . . . , xj ) := √
X
1
ψk (xπ(1) ) . . . ψkj (xπ(j) ),
j!p1 ! . . . pm ! π∈S 1
j
где {p1 , . . . , pm } — кратности элементов множества {k1 , . . . , kd }; Hn (x)— полиномы Эрмита, определенные по формуле
dn − x2
Hn (x) = (−1) e
e 2 , n ≥ 0,
dxn
n
x2
2
или с помощью рекуррентного соотношения
H0 (x) ≡ 1, H1 (x) = x,
Hn+1 (x) = xHn (x) − nHn−1 (x).
Замечание 6. Всякий центрированный гауссовский процесс обладает указанным в теореме свойством. Случайные величины Hk1 ,...,kj (ξk1 , . . . , ξkj ) являются
ортонормированными. Кроме того, функции ψk1 ,...,kj (x1 , . . . , xj ) являются ортонормированными в L2 ([a, b]j ).
§ 5. Условия существования кратного
винеровского стохастического интеграла.
Ранее уже было выписано разложение Карунена–Лоэва (4) для стандартного винеровского процесса W (x), x ∈ [0, 1]. Двухпараметрический процесс
77
W (x)W (y), где процесс W (x) имеет разложение (4), согласно теореме 9 представим в виде
∞
X
Hp1 (Wkp1 )Hp2 (Wkp1 +p2 ) sin(k1 + 21 )πx sin(k2 + 12 )πy
W (x)W (y) = 2
p1 !p2 !
(k1 + 21 )π(k2 + 12 )π
0≤k1 ≤k2
∞
X
Hp1 (Wkp1 )Hp2 (Wkp1 +p2 ) sin(k1 + 21 )πy sin(k2 + 12 )πx
+2
+ min(x, y).
p1 !p2 !
(k1 + 12 )π(k2 + 21 )π
0≤k1 ≤k2
Последнее можно переписать в следующем виде:
∞
X
W (x)W (y) = 2
0≤k1 <k2
+2
∞
X
0≤k1 <k2
+2
∞
X
k=0
Wk2
sin(k1 + 21 )πx sin(k2 + 21 )πy
Wk1 Wk2
(k1 + 12 )π(k2 + 21 )π
sin(k1 + 21 )πy sin(k2 + 21 )πx
Wk1 Wk2
(k1 + 12 )π(k2 + 21 )π
(21)
sin(k + 12 )πx sin(k + 21 )πy
−1
+ min(x, y).
2
(k + 21 )π
В силу того, что
min(x, y) = EW (x)W (y) = 2
∞
X
k=0
+ 21 )πx sin(k + 21 )πy
(k + 12 )π
(k + 12 )π
sin(k
EWk2
∞
X
sin(k + 21 )πx sin(k + 21 )πy
=2
,
1
1
(k
+
)π
(k
+
)π
2
2
k=0
это разложение можно переписать также в виде следующего ряда:
W (x)W (y) = 2
∞
X
k1 ,k2
sin(k1 + 21 )πx sin(k2 + 12 )πy
Wk1 Wk2
.
1
1
(k
+
)π
(k
+
)π
1
2
2
2
=0
(22)
Отметим, что полученное разложение (22), есть результат произведения разложений Карунена–Лоэва процессов W (x) и W (y). Разложение (22) качественно отличается от (21) тем, что не является рядом ортогональных случайных
величин.
78
Аналогичным образом, используя теорему 9, мы получаем, что для всякого
d разложение W (x1 ) . . . W (xd ), построенное на основе разложения Карунена–
Лоэва (4), описывается следующим рекуррентным соотношением:
W (x1 ) . . . W (xd )
∞
X
√ d X
=
2
π∈Sd 0≤k1 ≤···≤kd
+
X
d
Hp1 (Wkp1 )
Hpm (Wkp1 +···+pm ) Y
sin(kj + 12 )πxπ(j)
...
p1 !
pm !
(kj + 12 )
j=1
d
Y
min(xi1 , xi2 )
W (xj )
(23)
j=1;j6=i1 ,i2
(i1 , i2 )
−
2
Y
X
min(xi2k−1 , xi2k )
(i1 , i2 ),(i3 , i4 ) k=1
d
Y
j=1;j6=i1 ,...,i4
[d/2]
d/2
−(−1)
X
W (xj ) + . . .
Y
d
Y
min(xi2k−1 , xi2k )
(i1 , i2 ),...,(i2[d/2]−1 , i2[d/2] ) k=1
W (xj ).
j=1;j6=i1 ,...,i2[d/2]
Рассмотрим условия существования двумерного стохастического интеграла
Z1 Z1
f (x, y)dW (x)dW (y)
0
(24)
0
относительно разложения (21). Согласно определению 5 и замечанию 5 этот
интеграл существует, если сходятся ряды:
2
 1 1
Z
Z
∞
X
2
1
1
πx cos k +
πydxdy  ;
E Wk2 − 1 
f (x, y) cos k +
2
2
k=0
0
0
∞
X

Z1 Z1
0≤k1 6=k2
E (Wk1 Wk2 )2 
0
2
1
1
f (x, y) cos k1 +
πx cos k2 +
πydxdy 
2
2
0

Z1 Z1
+
2
f (x, y)d min(x, y) .
0
0
(25)
79
Хорошо известно, что индуцированная функцией min(x, y) мера всякого
T
множества A × B, где A, B ∈ M, является Лебеговой мерой множества A B.
Таким образом, получается, что
2
 1 1
2  1
Z
Z Z

f (x, y)d min(x, y) =  f (x, x)dx .
0
0
0
Так как система функций
1
1
πx cos k2 +
πy
cos k1 +
2
2
является ортонормированной тригонометрической системой, то согласно неравенству Бесселя ряд в (25) сходится, если
Z1 Z1
0
f 2 (x, y)dxdy < ∞.
0
Тогда ряды в (25) определены и конечны, если дополнительно существует интеграл
Z1
f (x, x)dx.
0
Таким образом получаем, что для существования двумерного стохастического интеграла (24) относительно разложения (21) достаточно, чтобы функция
f (x, y) была интегрируема с квадратом на множестве [0; 1] × [0; 1], а функция
f (x, x) интегрируема на отрезке [0; 1].
Теперь сформулируем условия существования стохастических винеровских
интегралов любой кратности.
Для функции f (x1 , . . . , xd ) и всякого целого числа j такого, что 0 ≤ j ≤ d/2
введем обозначение
(j)
gf (x1 , . . . , x2j , y1 , . . . , yd−2j )
80
:= f (x1 , x1 , . . . , xj , xj , y1 , y2 . . . , yd−2j )f (xj+1 , xj+1 , . . . , x2j , x2j , y1 , y2 , . . . , yd−2j ).
При этом предполагается, что ни один из индексов аргументов функции f не
равен нулю.
Теорема 10. Для существования кратного винеровского стохастического
интеграла
Id∗ (f, W )
Z
≡
f (x1 , . . . , xd )dW (x1 ) . . . dW (xd )
[0, 1]d
в смысле определения 5 относительно разложения, описываемого соотношением (23), достаточно, чтобы для всякого целого числа j, 0 ≤ j ≤ d/2, существовали интегралы
Z
(j)
gf (x1 , . . . , x2j , y1 , . . . , yd−2j )dx1 . . . dx2j dy1 . . . dyd−2j ,
[0,1]d
а также аналогичные интегралы при всех перестановках аргументов у функции f.
Отметим, что в работе [1] кратные винеровские интегралы существуют, если
указанные детерминированные интегралы из теоремы 10 существуют при всех
(j)
перестановках аргументов у функции gf . Понятно, что из этих условий следует
справедливость предположений теоремы 10.
В теореме 10 сформулированы довольно простые достаточные условия существования винеровских стохастических интегралов. В следующей теореме будут
сформулированы не только достаточные, но и необходимые условия, где будем
предполагать, что функция f (x1 , . . . , xd ) симметрична относительно любых
перестановок π элементов множества {1, . . . d}, т. е. выполняется
f (x1 , . . . , xd ) = f (xπ(1) , . . . , xπ(d) ).
Если же это не так, и функция f не является симметричной, то проведем ее
81
симметризацию:
1 X
fe(x1 , . . . , xd ) =
f (xπ(1) , . . . , xπ(d) ),
d!
π∈Sd
где сумма берется по всем перестановкам π элементов множества {1, . . . d}.
Введем необходимые обозначения. Пусть для всякого j = 1, . . . , [d/2]
Z
j
f (x1 , x1 , . . . , xj , xj , x2j+1 , x2j+2 , . . . , xd )dx1 . . . dxj .
Tf (x2j+1 , . . . , xd ) :=
[0, 1]j
В случае, когда j = 0 полагаем, что
Tf0 (x1 , . . . , xd ) := f (x1 , . . . , xd ).
Для четного d будем считать, что
Z
d/2
Tf :=
f (x1 , x1 , . . . , xd/2 , xd/2 )dx1 . . . dxd/2 .
[0, 1]d/2
Для всякого j = 0, . . . , [d/2] через Tkj1 ,...,kd−2j будем обозначать коэффициенты Фурье разложения функции Tfj по системе функций
1
1
cos k1 +
πx2j+1 . . . cos kd−2j +
πxd .
2
2
Указанные коэффициенты определяются формулой
Z
1
1
j
πx2j+1 . . . cos kd−2j +
πxd dx2j+1 . . . dxd .
Tf (x2j+1 , . . . , xd ) cos k1 +
2
2
[0, 1]d−2j
В следующей теореме мы предполагаем, что для всякого j = 0, . . . , [d/2]
определены коэффициенты Фурье Tkj1 ,...,kd−2j , и при этом будем считать, что
I0∗ (g, W ) := g.
82
Теорема 11. Кратный стохастический интеграл Id∗ (f, W ) определен тогда и только тогда, когда для всякого j = 0, . . . , [d/2] сходятся в среднеквадратичном (в пространстве l2 ) ряды, составленные из коэффициентов Фурье
Tkj1 ,...,kd−2j , то есть
∞
X
Tkj1 ,...,kd−2j
2
< ∞,
k1 ,...,kd−2j =0
d/2
и определено Tf , если d четно.
Более того, справедлива формула
√ d
∞
X
2 d!
Id∗ (f, W ) =
Hp1 (Wkp1 ) . . . Hpm (Wkp1 +···+pm )Tk01 ,...,kd
p1 ! . . . p m !
0≤k1 ≤···≤kd
[d/2]
X
(−1)j−1 d! ∗ j
+
I
Tf , W .
j d−2j
(d
−
2j)!j!2
j=1
(26)
Получили, что кратный стохастический интеграл Id∗ (f, W ) есть линейная
комбинация рядов вида:
√ d−2j
∞
X
2
(d − 2j)!
Hp1 (Wkp1 ) . . . Hpm (Wkp1 +···+pm )Tkj1 ,...,kd−2j ,
p1 ! . . . pm !
0≤k1 ≤···≤kd−2j
где при каждом j = 0, . . . , [d/2] набор
{p1 ≡ p1 (k1 , . . . , kd−2j ), . . . , pm ≡ pm (k1 , . . . , kd−2j )}, m ≡ m(k1 , . . . , kd−2j ),
определяет кратности элементов множества {k1 , . . . kd−2j }, по которым ведется
суммирование в указанных рядах.
Тогда Id∗ (f, W ) можно записать в следующем виде:


√ d−2j
[d/2]
∞
X
X
2
(d − 2j)!
lj
Hp1 (Wkp1 ) . . . Hpm (Wkp1 +···+pm )Tkj1 ,...,kd−2j  ,
p1 ! . . . pm !
j=0
0≤k1 ≤···≤kd−2j
(27)
83
где
j Y
j−i
X
(−1)i−1 (d − 2n)!
, 1 ≤ j ≤ [d/2]; l0 := 1.
lj :=
i
(d
−
2n
−
2i)!i!2
i=1 n=0
Заметим, что в формуле (26) случайные величины
Hpj (Wk )
p
pj !
являются ортонормированными (см. доказательство теоремы 9).
Так как система ортонормированных функций
1
1
cos k1 +
πx2j+1 . . . cos kd−2j +
πxd
2
2
является полной, то для сходимости рядов
∞
X
Tkj1 ,...,kd−2j
2
,
k1 ,...,kd−2j =0
как следует из теоремы Фишера–Рисса, необходимо и достаточно будет требовать квадратичную интегрируемость функции Tfj на множестве [0, 1]d−2j для
всякого j = 0, . . . , [d/2]. Отсюда следует, что для симметричной функций f
необходимые и достаточные условия существования интеграла Id (f, W ) (см. [1])
равносильны необходимым и достаточным условиям существования интеграла
Id∗ (f, W ) из теоремы 11.
Стоит добавить, что еще в 1951 году К. Ито (см. [27]) обнаружил тесную
связь между полиномами Эрмита от стандартных нормальных случайных величин и кратными винеровскими стохастическими интегралами.
84
§ 6. Сравнение кратных стохастических интегралов, построенных
относительно различных разложений
одного и того же процесса.
В связи с тем, что многопараметрические процессы ξ(x1 ) . . . ξ(xd ) можно
раскладывать в ряды со случайными коэффициентами не единственным образом, то необходимо коснуться вопроса равенства стохастических интегралов, построенных относительно разных разложений одного и того же процесса
ξ(x1 ) . . . ξ(xd ).
Из теоремы 7 вытекает следующее
Следствие 5. Пусть случайный процесс ξ(x1 ) . . . ξ(xd ) с многомерным временем имеет два различных представления в виде рядов (20). Причем будем
предполагать, что для всякого i = 1, . . . , m в каждом таком представлении (20)
(i)
последовательность случайных величин {ξk } удовлетворяет условию ортонормированности, а также выполнено условие (18) для каждого разложения. Через
ζ1 и ζ2 обозначим кратные стохастические интегралы относительно первого и
второго разложений процесса ξ(x1 ) . . . ξ(xd ). Пусть существует среднеквадратический предел ζ последовательности случайных величин Id (fM , ξ).
Тогда в пространстве L2 справедливо
ζ = ζ1 (f ) = ζ2 (f ).
Замечание 7. В работе [1] подробно изучено для каких функций f существует среднеквадратический предел ζ последовательности случайных величин
{Id (fM , ξ)}. В таком случае предельную случайную величину ζ в работе [1]
называют кратным стохастическим интегралом. Отсюда делаем вывод, что если существует кратный стохастический интеграл, построенный согласно схеме,
85
изложенной в [1], то для каких бы то ни было разложений типа (20) при выполненном условии ортонормированности для случайных коэффициентов этих
разложений, а также выполненном условии (18), существуют стохастические
интегралы типа
m X
∞
X
(i)
ξk
i=1 k=0
Z
(i)
f (x1 , . . . , xd )dϕk (x1 , . . . , xd ).
[a,b]d
Более того, все эти стохастические интегралы с вероятностью 1 будут совпадать.
Для любой функции f (x1 , . . . , xd ) введем обозначение
qf (x1 , . . . , x2d ) := f (x1 , . . . , xd )f (xd+1 , . . . , x2d ).
Пусть кратный стохастический интеграл
Z
f (x1 , . . . , xd )dW (x1 ) . . . dW (xd )
[0, 1]d
построен по схеме, изложенной в [1]. Тогда, как было показано в [1], он существует, если существуют, во-первых, интегралы
Z
qf (x1 , x1 , . . . , xd , xd )dx1 . . . dxd ,
[0, 1]d
а, во–вторых, аналогичные интегралы при всех перестановках аргументов у
функции qf (x1 , x1 , . . . , xd , xd ). Отсюда следует справедливость условий теоремы
10. А значит будет корректно определен и стохастический интеграл Id∗ (f, W ).
Более того, согласно замечанию 7 получаем, что при этих же условиях существуют и совпадают с вероятностью 1 стохастические интегралы типа Id∗ (f, W )
относительно любых разложений вида (20) при выполненном условии (18).
86
Отметим также, что для симметричных ядер f (в известном смысле, это не
есть ограничение общности) условия теоремы 10 и упомянутые условия из [1]
будут эквивалентными.
Теперь рассмотрим стохастические интегралы, построенные по разным разложениям, в случае, когда не будет выполнено условие ортонормированности
для случайных коэффициентов разложения.
Введем обозначения
Z1 Z1
fk1 ,k2 :=
0
1
1
f (x, y) cos(k1 + )πx cos(k2 + )πydxdy.
2
2
0
Двумерный винеровский стохастический интеграл относительно разложения (22) для функции f (x, y) существует тогда и только тогда, когда сходятся
ряды
∞
X
fk21 ,k2 ,
k1 ,k2 =0
∞
X
fk,k .
k=0
Относительно разложения (21) двумерный винеровский стохастический интеграл существует тогда и только тогда, когда сходится ряд
∞
X
fk21 ,k2
0≤k1 6=k2
и существует интеграл
R1
0
f (x, x)dx.
Понятно, что fkk являются диагональными коэффициентами Фурье функ∞
P
ции f (x, y). Из сходимости ряда
fkk , вообще говоря, не следует существоваk=0
ние интеграла
Z1
f (x, x)dx,
0
поскольку диагональные элементы разложения функции двух переменных в
кратный ортогональный ряд не несут в себе никакой информации о поведе-
87
нии этой функции на диагонали области определения. Понятно, что и обратное утверждение тоже неверно. Отсюда следует, что стохастические интегралы,
корректно определенные относительно какого-то разложения, могут не существовать относительно другого.
§ 7. Экспоненциальное неравенство.
Для кратного стохастического интеграла от функции f относительно разложения (16) введем обозначение
Z
fk =
f (x1 , . . . , xd )dϕk (x1 , . . . , xd ).
[a,b]d
Стохастический интеграл в таком случае запишется так:
Id∗ (f, ξ)
=
∞
X
ξk fk .
k=0
Заметим, что если
∞
P
|fk | < ∞, то сходится ряд
k=0
∞
P
fk2 < ∞. А значит,
k=0
согласно замечанию 4, определен стохастический интеграл
Id∗ (f, ξ).
Теорема 12. Пусть для всякого натурального m выполняется неравенство
sup Eξk2m ≤ (a1 m)a2 m ,
(28)
k≥0
где a1 , a2 — некоторые положительные постоянные, которые не зависят от
m. И пусть
K :=
∞
X
|fk | < ∞.
k=0
Тогда для всех x ≥ K (ea1 )
a2
2
справедливо следующее неравенство:
88
P (|Id∗ (f, ξ)|
2
> x) ≤ e
−Cx a2
,
где
a2
C=
2ea1 K
2
a2
.
Теорема 12 позволяет получать экспоненциальные неравенства и для стохастических интегралов, построенных относительно разложений вида (20).
Так, для винеровского стохастического интеграла Id∗ (f, W ), определяемого
формулой (27), справедлива следующая теорема.
Теорема 13. Пусть для всех 0 ≤ j ≤ [d/2] выполняется
Kj :=
∞
X
0≤k1 ≤···≤kd−2j
√ d−2j
2
(d − 2j)! j
√
lj
Tk1 ,...,kd−2j < ∞.
p1 ! . . . pm !
Тогда для всех x таких, что
x ≥ max {Kj (2e(d − 2j + 1))
d−2j
2
},
0≤j≤[d/2]
справедливо следующее неравенство:
P(|Id∗ (f, W )|
> x) ≤
[d/2]
X
e−Cj x
2
d−2j
,
j=0
где
Cj =
1
[d/2] + 1
2
d−2j
d − 2j
2
d−2j
4e(d − 2j + 1)Kj
2
e
−Cj x d−2j
:= 0 для j = d/2.
,
89
§ 8. Доказательство основных результатов.
8.1. Доказательство теоремы 7.
Легко показать, что для всякой простой функции fM справедливо:

2
Z
∞
X


∗
2
kId (fM , ξ)kL2 =
fM (x1 , . . . , xd )dϕk (x1 , . . . , xd ) .

k=0
[a,b]d
В связи с этим равенством введем в рассмотрение следующее пространство
σ(Md )-измеримых функций:

2
Z
∞
X

W := {f :
f (x1 , . . . , xd )dϕk (x1 , . . . , xd ) < ∞}.

k=0
[a,b]d
Заметим, что существование кратного стохастического интеграла Id∗ (f, ξ),
построенного относительно разложения (16), равносильно f ∈ W.
Зададим на W 2 следующий билинейный функционал:
∞ Z
X
hf, gi :=
f (x1 , . . . , xd )f (xd+1 , . . . , x2d )dϕk (x1 , . . . , xd )dϕk (xd+1 , . . . , x2d ).
k=0
[a,b]2d
Проведем факторизацию пространства W по множеству корней уравнения
p
kf kW = 0. Тогда легко проверить, что функционал kf kW = hf, f i является в
W нормой.
Для доказательства теоремы 7 нам понадобится
Лемма 3. Пусть {fM } — последовательность простых функций, сходящаяся
к f ∈ W в норме k · kW при M → ∞.
Тогда для последовательности случайных величин {Id (fM , ξ)} существует
среднеквадратический предел, который не зависит от выбора последовательности {fM }. Более того, в пространстве L2 имеет место следующая сходимость:
Id (fM , ξ) → Id∗ (f, ξ) при M → ∞.
90
Доказательство. Ввиду полноты пространства L2 , нам достаточно проверить критерий Коши, т. е. фундаментальность последовательности случайных
величин {Id (fM , ξ)} в норме пространства L2 .
kId (fL , ξ) − Id (fK , ξ)kL2 =
p
E(Id (fL , ξ) − Id (fK , ξ))2
= kfL − fK kW ≤ kfL − f kW + kf − fK kW → 0
при K, L → ∞. Таким образом, фундаментальность последовательности {fM } в
пространстве W влечет за собой фундаментальность в L2 последовательности
{Id (fM , ξ)}. В силу полноты пространства L2 последовательность {Id (fM , ξ)}
сходится в среднеквадратическом к некоторой случайной величине, которую
мы обозначим ζ. Независимость этого предела от последовательности {fM } докажем от противного. Пусть {fK }, {fL } – последовательности простых функций, сходящихся к f в норме k · kW . И пусть {Id (fK , ξ)}, {Id (fL , ξ)} — последовательности случайных величин, сходящиеся в норме пространства L2 к ζ, η
соответственно. Получаем:
kζ − ηkL2 ≤ kζ − Id (fK , ξ)kL2 + kId (fK , ξ) − Id (fL , ξ)kL2 + kId (fL , ξ) − ηkL2 → 0
при K, L → ∞. Отсюда следует, что ζ = η почти наверное.
Положим для всякой функции g ∈ W
Z
ζN (g) :=
g(x1 , . . . , xd )dξN (x1 , . . . , xd ),
[a,b]d
ζ(g) := Id∗ (g, ξ).
Пусть {fM } — последовательность простых функций, приближающая функцию f в норме пространства W. Покажем, что для такой последовательности
91
будет верна сходимость в среднеквадратическом последовательности стохастических интегралов {ζ(fM ) = Id (fM , ξ)} к случайной величине ζ(f ) при M → ∞.
Действительно,
lim kζ(f ) − ζ(fM )kL2
M →∞
= lim kζ(f ) − ζN (f ) + ζN (f ) − ζN (fM ) + ζN (fM ) − ζ(fM )kL2
M →∞
= lim lim kζ(f ) − ζN (f ) + ζN (f ) − ζN (fM ) + ζN (fM ) − ζ(fM )kL2 .
M →∞ N →∞
Далее, применив неравенство треугольника, получим оценку сверху для последнего выражения:
lim lim kζ(f ) − ζN (f )kL2 + lim lim kζN (f ) − ζN (fM )kL2
M →∞ N →∞
M →∞ N →∞
+ lim lim kζN (fM ) − ζ(fM )kL2
M →∞ N →∞
= 0 + lim kf − fM kW + 0 = 0.
M →∞
L
L
Имеем ζ(fM ) →2 ζ(f ), Id (fM , ξ) →2 ζ при M → ∞, и ζ(fM ) = Id (fM , ξ). Отсюда
следует, что в пространстве L2 справедливо
Id (f, ξ) = ζ(f ).
Лемма 3 доказана.
Переходим к доказательству теоремы 7.
В силу существования среднеквадратического предела последовательности
стохастических интегралов Id (fM , ξ), для любого ε > 0 и для всех достаточно
больших M, L будет выполнено:
||Id (fM , ξ) − Id (fL , ξ)||L2 ≤ ε.
Так как верно равенство
||Id (fM , ξ) − Id (fL , ξ)||L2 = ||fM − fL ||W ,
92
то для всех достаточно больших M, L справедливо
||fM − fL ||W ≤ ε.
Далее будем иметь
||fM − fL ||2W =
∞
X
2


Eξk2 
k=0
Z

[fM (x1 , . . . , xd ) − fL (x1 , . . . , xd )] dϕk (x1 , . . . , xd )
[a,b]d
2

∞
X

=

k=0
=
∞
X
k=0
Z

[fM (x1 , . . . , xd ) − fL (x1 , . . . , xd )] dϕk (x1 , . . . , xd )
[a,b]d
2

Z
Z


fM (x1 , . . . , xd )dϕk (x1 , . . . , xd ) −
[a,b]d

fL (x1 , . . . , xd )dϕk (x1 , . . . , xd ) .
[a,b]d
Введем следующие обозначения:
Z
(M )
bk :=
fM (x1 , . . . , xd )dϕk (x1 , . . . , xd );
[a,b]d
bk :=
(M )
lim bk
M →∞
Z
=
f (x1 , . . . , xd )dϕk (x1 , . . . , xd ).
[a,b]d
Получаем, что для любого ε > 0 и для всех достаточно больших M, L будет
выполнено:
∞ 2
X
(M )
(L)
bk − bk
≤ ε.
k=0
Отсюда следует, что для любого фиксированного K
K 2
X
(M )
(L)
bk − bk
≤ ε.
k=0
93
В этой сумме теперь только конечное число слагаемых, и мы можем, зафиксировав L, перейти к пределу при M → ∞. Получим:
K X
bk −
(L)
bk
2
≤ ε.
k=0
Это равенство верно при любом K. Восстановим бесконечный ряд, переходя к
пределу при K → ∞, получаем:
∞ X
bk −
(L)
bk
2
≤ ε,
k=0
т. е. мы получили, что для любого ε > 0 и всех достаточно больших L имеет
место соотношение

2
Z
Z
∞
X


f (x1 , . . . , xd )dϕk (x1 , . . . , xd ) −
fL (x1 , . . . , xd )dϕk (x1 , . . . , xd )

k=0
[a,b]d
[a,b]d
2

Z
∞
X


=
[f (x1 , . . . , xd ) − fL (x1 , . . . , xd )] dϕk (x1 , . . . , xd )

k=0
[a,b]d
= ||f − fL ||2W ≤ ε.
Отсюда в силу произвольности ε следует, что
||f − fM ||W → 0 при M → ∞.
По условию теоремы существует среднеквадратический предел ζ последовательности стохастических интегралов Id (fM , ξ). Значит,
kfM kW = kId (fM , ξ)kL2 → kζkL2 < ∞ при M → ∞.
Отсюда следует, что f ∈ W, т. е. существует стохастический интеграл Id∗ (f, ξ).
Применяя лемму 3, получаем
Id (fM , ξ) → Id∗ (f, ξ) при M → ∞.
94
Теорема доказана.
8.2. Доказательство теоремы 8.
Прежде всего заметим, что по теореме C для всякой функции f ∈ L2 корректно определен стохастический интеграл Id (f, ξ). Более того, существует последовательность простых функций {fM } таких, что
Z
|f (x1 , . . . , xd ) − fM (x1 , . . . , xd )| m(dx1 , . . . , dxd ) → 0;
[a,b]d
L
Id (fM , ξ) →2 Id (f, ξ) при M → ∞.
В силу того, что функция K(x1 , . . . , x2d ) непрерывна, по теореме D получаем
следующее разложение по собственным функциям:
ξ(x1 ) . . . ξ(xd ) =
∞
X
ξk
p
λk ψk (x1 , . . . , xd ),
(x1 , . . . , xd ) ∈ [a, b]d ,
k=0
где функции ψk (x1 , . . . , xd ) непрерывны и
Z
λk ψk (x1 , . . . , xd ) =
K(x1 , . . . , x2d )ψk (xd+1 , . . . , x2d )dxd+1 . . . dx2d .
[a,b]d
Поскольку ξ(a) = 0, то легко заметить, что
K(x1 , . . . , x2d ) = m([a; x1 ] × · · · × [a; x2d ]).
Введем обозначение ϕk (x1 , . . . , xd ) := λk ψk (x1 , . . . , xd ). Тогда для всякого
канонического параллелепипеда A1 × · · · × Ad ∈ Md будет верно:
ϕk (A1 × · · · × Ad )
Z
=
m(A1 ×· · ·×Ad ×[a; xd+1 ]×· · ·×[a; x2d ])ψk (xd+1 , . . . , x2d )dxd+1 . . . dx2d .
[a,b]d
95
Поскольку
|m(A1 × · · · × Ad × [a; xd+1 ] × · · · × [a; x2d ])|
≤ |m|(A1 × · · · × Ad × [a; xd+1 ] × · · · × [a; x2d ])
≤ |m|(A1 × · · · × Ad × [a, b]d ) = m(A1 × · · · × Ad ),
а функция ψk (x1 , . . . , xd ) непрерывна на [a, b]d , то существует такая постоянная
C(k), что
|ϕk (A1 × · · · × Ad )| ≤ C(k)m(A1 × · · · × Ad ).
Из последнего неравенства вытекает ограниченность вариации функции ϕk . Более того, для функции множества |ϕk | (·), являющейся полной вариацией заряда
ϕk (·), будет справедливо следующее неравенство:
|ϕk | (A) ≤ C1 (k)m(A) для всех A ∈ σ(Md ),
где C1 (k) некая константа. Таким образом, мера |ϕk | абсолютно непрерывна
относительно меры m. Поскольку для всякого натурального k верно:
Z
[f (x1 , . . . , xd ) − fM (x1 , . . . , xd )] dϕk (x1 , . . . , xd )
[a,b]d
Z
≤ C1
|f (x1 , . . . , xd ) − fM (x1 , . . . , xd )| m(dx1 , . . . , dxd ) → 0 при M → ∞,
[a,b]d
то, применяя теорему 7, получим справедливость доказываемого утверждения.
Теорема доказана.
8.3. Доказательство теоремы 9.
Рассматривается процесс θ(x1 , . . . , xd ) = u(ξ(x1 ) . . . ξ(xd )), где u — заданная неслучайная функция, а процесс ξ(x) допускает разложение Карунена–
Лоэва (3).
96
Легко проверить, что будет справедлива следующая
Лемма 4. Пусть имеет место быть следующее представление:
Kθ (x1 , . . . , xd , y1 , . . . , yd ) =
X
Kξ (x1 , yπ(1) ) . . . Kξ (xd , yπ(d) ),
π∈Sd
где сумма берется по всевозможным различным перестановкам элементов
множества {1, . . . , d}.
Тогда βk1 ,...,kd = d!λk1 . . . λkd являются собственными значениями, а
X
1
ψk (xπ(1) ) . . . ψkd (xπ(d) )
ψk1 ,...,kd (x1 , . . . , xd ) = √
d!p1 ! . . . pm ! π∈S 1
d
— ортонормированными собственными функциями ядра Kθ (x1 , . . . , xd , y1 , . . . , yd ),
где {p1 , . . . , pm } — есть соответствующие кратности элементов множества
{k1 , . . . , kd }. При этом мы предполагаем, что k1 ≤ · · · ≤ kd . Более того, справедливо следующее разложение Карунена – Лоэва:
θ(x1 , . . . , xd ) =
∞
X
θk1 ,...,kd
p
βk1 ,...,kd d!ψk1 ,...,kd (x1 , . . . , xd ).
0≤k1 ≤···≤kd
Введем процесс θ(x1 , . . . , xd ) следующим образом:
θ(x1 , . . . , xd ) = ξ(x1 ) . . . ξ(xd ) −
X
Kξ (xi1 , xi2 )
X
ξ(xm ) + . . .
m=1;m6=i1 ,i2
(i1 , i2 )
+(−1)d/2
d
Y
Kξ (xi1 , xi2 ) . . . Kξ (xid−1 , xid )
(i1 , i2 ),..., (id−1 , id )
для четных d;
θ(x1 , . . . , xd ) = ξ(x1 ) . . . ξ(xd ) −
X
(i1 , i2 )
+(−1)
[d/2]
X
(i1 , i2 ),..., (id−2 , id−1 )
Kξ (xi1 , xi2 )
d
Y
ξ(xm ) + . . .
m=1;m6=i1 ,i2
Kξ (xi1 , xi2 ) . . . Kξ (xid−2 , xid−1 )
d
Y
m=1;m6=i1 ,...,id−1
ξ(xm )
97
для нечетных d.
Лемма 5. Пусть процесс ξ(x), имеющий разложение Карунена–Лоэва (3),
обладает свойством
X
Eξ(x1 ) . . . ξ(x2j ) =
Kξ (xi1 , xi2 ) . . . Kξ (xi2j−1 , xi2j )
(i1 , i2 ),..., (i2j−1 , i2j )
для всех j = 1, . . . , d.
Тогда для указанного процесса θ(x1 , . . . , xd ) справедливо
Kθ (x1 , . . . , xd , y1 , . . . , yd ) =
X
Kξ (x1 , yπ(1) ) . . . Kξ (xd , yπ(d) ).
π∈Sd
Доказательство леммы 5 осуществляется путем непосредственного вычисления функции Kθ (x1 , . . . , xd , y1 , . . . , yd ).
Переходим к доказательству теоремы 9. Пусть d — четно. Из леммы 4 и 5
следует, что для процесса, указанного вида, при k = k1 = · · · = kd представление соответствующих случайных величин θk,...,k в разложении Карунена – Лоэва
(2) имеет вид:
θk,...,k
1
=p
βk,...,k
=q
Z
θ(x1 , . . . , xd )ψk,...,k (x1 , . . . , xd )dx1 . . . dxd
[a,b]d
Z
1
θ(x1 , . . . , xd )ψk (x1 ) . . . ψk (xd )dx1 . . . dxd
λdk d![a,b]d
Z
1
=q
ξ(x1 ) . . . ξ(xd )ψk (x1 ) . . . ψk (xd )dx1 . . . dxd
d
λk d![a,b]d


Z
d
X
Y

Kξ (xi1 , xi2 )
ξ(xm ) ψk (x1 ) . . . ψk (xd )dx1 . . . dxd +. . .
1
−q
λdk d![a,b]d
m=1;m6=i1 ,i2
(i1 , i2 )
+(−1)d/2 q
1
Z
X
λdk d![a,b]d (i1 , i2 ),..., (id−1 , id )
Kξ (xi1 , xi2 ) . . . Kξ (xid−1 , xid )
98
×ψk (x1 ) . . . ψk (xd )dx1 . . . dxd .
Учитывая, что
1
√
λk
Z
ξ(x)ψk (x)dx = ξk ,
[a,b]
а для всякого натурального k верно
Z
Kξ (x, y)ψk (x)ψk (y)dxdy = λk ,
[a,b]
получим
θk,...,k
2 2
2 2
2
C
C
C
C
.
.
.
C
1
2
d
d−2
d
d−2
ξkd − Cd2 ξkd−2 +
ξkd−4 − · · · + (−1)d/2
=√
.
2!
(d/2)!
d!
Для нечетных d аналогичными рассуждениями приходим к тому, что
2 2
2 2 2
C
C
.
.
.
C
C
C
1
3
ξk .
ξkd − Cd2 ξkd−2 + d d−2 ξkd−4 − · · · + (−1)[d/2] d d−2
θk,...,k = √
2!
[d/2]!
d!
Непосредственным вычислением получаем, что для всякого n ≥ 0 справедливо
1 2 2
n!
2
2
Cn Cn−2 Cn−4
. . . Cn−(2j−2)
= j
.
j!
2 j!(n − 2j)!
Хорошо известно следующее представление для полиномов Эрмита Hn (x):
[n/2]
Hn (x) =
X
(−1)j
j=0
n!
xn−2j .
− 2j)!
2j j!(n
Тогда получаем, что случайные величины θk,...,k в терминах полиномов Эрмита задаются следующим образом:
1
θk,...,k = √ Hd (ξk ).
d!
Аналогично выводится общий вид случайных величин θk1 ,...,kd .
Далее, выражая процесс ξ(x1 ) . . . ξ(xd ) через θ(x1 , . . . , xd ) и соответствующее
ему разложение Карунена – Лоэва, получим утверждение теоремы.
99
Теорема доказана.
8.4. Доказательство теоремы 10.
Сперва покажем, что это верно для всякого четного d. Доказательство проведем по индукции. Для d = 2, как уже было показано выше, утверждение
выполнено. Теперь предположим, что теорема верна для всякого четного числа
не превосходящего d − 2.
Сначала распишем
Z
f (x1 , . . . , xd )dW (x1 ) . . . dW (xd )
[0, 1]d
для четных d, используя (23). Получим
Z
f (x1 , . . . , xd )dW (x1 ) . . . dW (xd )
[0, 1]d
=
√ d
2 d!
Hp1 (Wkp1 ) . . . Hpm (Wkp1 +···+pm )Tk01 ,...,kd
p1 ! . . . pm !
∞
X
0≤k1 ≤···≤kd
+
X Z
f (x1 , . . . , xd )d min(xi1 , xi2 )
X
−(−1)
dW (xj ) − . . .
(29)
j=1;j6=i1 ,i2
(i1 , i2 )[0, 1]d
d/2
d
Y
Z
f (x1 , . . . , xd )d min(xi1 , xi2 ) . . . d min(xid−1 , xid ).
(i1 , i2 ),..., (id−1 , id )[0, 1]d
Первый ряд в этом разложение сходится в среднеквадратическом, если функция f (x1 , . . . , xd ) интегрируема с квадратом на [0, 1]d . Действительно, так как
величины
Tk01 ,...,kd =
Z
[0, 1]d
1
1
f (x1 , . . . , xd ) cos k1 +
πx1 . . . cos kd +
πxd dx1 . . . dxd
2
2
100
являются коэффициентами Фурье, то, как следует из неравенства Бесселя, соответствующим им ряд сходится в среднеквадратическом при упомянутой выше
квадратичной интегрируемости.
Так как для всех i1 , i2 верно d min(xi1 , xi2 ) = dxi1 , то вторая сумма в разложении (29) определена в пространстве L2 , если определены, во–первых, стохастические интегралы кратности d − 2
 1

Z
Z
 f (x1 , . . . , xd−2 , xd , xd )dxd  dW (x1 ) . . . dW (xd−2 ),
(30)
0
[0, 1]d−2
а, во–вторых, аналогичные интегралы при всех перестановках аргументов у
функции f.
Для функции f (x1 , . . . , xd ) введем обозначение
Z1
f (x1 , . . . , xd−2 , xd , xd )dxd .
hf (x1 , . . . , xd−2 ) :=
0
Стохастические интегралы (30) существуют согласно предположению индукции
в случае, когда для всякого целого числа j, 0 ≤ j ≤ d/2 − 1, существуют
интегралы
Z
(j)
ghf (x1 , . . . , x2j , y1 , . . . , yd−2−2j )dx1 . . . dx2j dy1 . . . dyd−2−2j ,
[0, 1]d−2
и аналогичные им при всех перестановках аргументов у функции f. Учитывая
вид функции hf , последний интеграл переписывается в виде
 1
Z
Z
 f (x1 , x1 , . . . , xj , xj , y1 , y2 . . . , yd−2j−2 , xd−1 , xd−1 )dxd−1
[0, 1]d−2
Z1
0

f (xj+1 , xj+1 , . . . , x2j , x2j , y1 , y2 . . . , yd−2j−2 , xd , xd )dxd  ×
0
101
×dx1 . . . dx2j dy1 . . . dyd−2j−2
Z
[f (x1 , x1 , . . . , xj , xj , y1 , y2 . . . , yd−2j−2 , xd−1 , xd−1 ) ×
=
[0, 1]d
× f (xj+1 , xj+1 , . . . , x2j , x2j , y1 , y2 . . . , yd−2j−2 , xd , xd )] ×
×dx1 . . . dx2j dxd−1 dxd dy1 . . . dyd−2j−2 .
Напомним, что полученные интегралы по предположению индукции должны
существовать при всех целых числах j ≤ d/2 − 1 и при всех перестановках
аргументов у функции f. А это равносильно тому, что определены интегралы
Z
(j)
gf (x1 , . . . , x2j , y1 , . . . , yd−2j )dx1 . . . dx2j dy1 . . . dyd−2j
[a,b]d
при всех перестановках аргументов у функции f, но только уже для j таких,
что 1 ≤ j ≤ d/2.
Анализируя третью сумму из представления (29), приходим к тем же выводам, но только для 2 ≤ j ≤ d/2. Повторяя рассуждения для еще не рассмотренных рядов из представления (29), убеждаемся в верности утверждения для
всех четных d.
Аналогично доказывается справедливость утверждения и для всякого нечетного числа d.
Теорема доказана.
8.5. Доказательство теоремы 11.
Пусть d четно. Напомним, что в представлении (29) суммирование ведется по всевозможным наборам попарно несовместных двухэлементных подмножеств конечной совокупности {1, . . . , d}. Если сумма в представлении (29) определяется набором из j штук двухэлементных подмножеств, то число слагаемых
102
в такой сумме равно
d!
1 2 2
2
2
Cd Cd−2 Cd−4
. . . Cd−(2j−2)
.
= j
j!
2 j!(d − 2j)!
Для симметричной функции f слагаемые под каждой суммой, за исключением первой, одинаковые. Отсюда следует справедливость представления (26).
Из (26) вытекает, что кратный стохастический винеровский интеграл Id∗ (f, W )
определен тогда и только тогда, когда когда, во–первых, сходится в среднеквадратическом смысле ряд
√ d
∞
X
2 d!
0≤k1 ≤···≤kd
p1 ! . . . pm !
Hp1 (Wkp1 ) . . . Hpm (Wkp1 +···+pm )Tk01 ,...,kd ,
(31)
∗
Tf1 , W . Ряд (31) схоа, во-вторых, определен стохастический интеграл Id−2
дится в среднеквадратическом тогда и только тогда, когда
∞
X
Tk01 ,...,kd
2
< ∞.
k1 ,...,kd =0
∗
В свою очередь, из представления (26), построенного для Id−2
Tf1 , W , будет
∗
следовать, что стохастический интеграл Id−2
Tf1 , W определен тогда и только
тогда, когда, во–первых, сходится в среднеквадратическом смысле ряд
√ d−2
∞
X
2
(d − 2)!
Hp1 (Wkp1 ) . . . Hpm (Wkp1 +···+pm )Tk11 ,...,kd−2 ,
p1 ! . . . pm !
0≤k1 ≤···≤kd−2
∗
а, во-вторых, определен стохастический интеграл Id−4
Tf2 , W .
Ряд (32) сходится в среднеквадратичном тогда и только тогда, когда
∞
X
Tk11 ,...,kd−2
2
< ∞.
k1 ,...,kd−2 =0
Далее, применяя подобные рассуждения к стохастическим интегралам
∗
d/2
∗
Id−4
Tf2 , W , Id−6
Tf3 , W , . . . , I0∗ Tf , W ,
(32)
103
приходим к утверждению теоремы 11 для всех четных d.
Аналогично доказывается справедливость утверждения и для всякого нечетного числа d.
Теорема доказана.
8.6. Доказательство теоремы 12.
Положим η := Id∗ (f, ξ). Рассмотрим произвольный четный момент случайной величины η.
Eη
2m
∞
X
=
fi1 . . . fi2m Eξi1 . . . ξi2m
i1 ,...,i2m =0
∞
X
≤
|fi1 . . . fi2m ||Eξi1 . . . ξi2m |
i1 ,...,i2m =0
≤
sup
i1 ,...,i2m =0
≤
∞
X
|Eξi1 . . . ξi2m |
|fi1 . . . fi2m |
i1 ,...,i2m =0
sup
i1 ,...,i2m =0
|Eξi1 . . . ξi2m |K 2m .
По неравенству Гельдера получаем, что
sup
i1 ,...,i2m =0
|Eξi1 . . . ξi2m | ≤
sup
i1 ,...,i2m =0
Eξi2m
1
1
2m
...
Eξi2m
2m
1
2m
.
Используя условие (28), получаем окончательную оценку четного момента стохастического интеграла:
Eη 2m ≤ K 2m (a1 m)a2 m .
Сейчас мы можем оценить распределение хвоста стохастического интеграла
η при помощи неравенства Чебышева следующим образом:
K 2m (a1 m)a2 m
Eη 2m
P(|η| > x) ≤ 2m ≤
.
x
x2m
104
2
Положим m = [εx a2 ] для произвольного ε > 0, где [a] — целая часть положи2
тельного числа a. Тогда, используя очевидное неравенство m ≤ εx a2 , мы будем
иметь
a2 m
2
K 2m a1a2 m εa2 m x2m
2m a2 m a2 m
a2
P(|η| > x) ≤
= K a1 ε
= K a1 ε
x2m
= ea2 m log(K
2
a2
a1 ε)
.
2
Знак степени экспоненты равен знаку log(K a2 a1 ε). Возможны два случая:
2
1. log(K a2 a1 ε) ≥ 0;
2
2. log(K a2 a1 ε) < 0.
2
Рассмотрим каждый из них. Случай, когда log(K a2 a1 ε) ≥ 0, не заслуживает
внимания, так как очевидно, что
2
a2 m log(K a2 a1 ε)
e
≥ 1.
2
2
Пусть log(K a2 a1 ε) < 0, тогда,используя тривиальное неравенство m ≥ 21 εx a2 ,
получим оценку
2
e
a2 m log(K a2 a1 ε)
≤e
2
1
a2
2 a2 εx
2
log(K a2 a1 ε)
.
(33)
2
Минимальное значение функции ε log(K a2 a1 ε) достигается в точке
εopt =
1
2
.
ea1 K a2
Подставляя значение εopt в правую часть неравенства (33), получаем окончательную оценку
−
P(|η| > x) ≤ e
a2
2
2ea1 K a2
2
x a2
.
Заметим, что последнее неравенство справедливо в предположении о том,
2
что m = [εopt x a2 ] ≥ 1. А это условие равносильно тому, что
a2
x ≥ K (ea1 ) 2 .
105
Теорема доказана.
8.7. Доказательство теоремы 13.
Введем в рассмотрение случайную величину Qn (Wk ), где Qn (x) — полином
степени n, а Wk — стандартная нормальная случайная величина. В [30] доказано, что для произвольного четного момента случайной величины Qn (Wk )
справедлива оценка
2l
nl
E [Qn (ηk )] ≤ (2l) (n + 1)
l
2
E [Qn (Wk )]
l
.
(34)
Используя неравенство (34), оценим следующий момент порядка 2l для набора {p1 , . . . , pm }, определяющего кратности элементов множества {k1 , . . . , kd−2j } :
2l
1
Hp (Wkp1 ) . . . Hpm (Wkp1 +···+pm )
E √
p1 ! . . . pm ! 1
2
2 !l
H
(W
)
H
(W
)
p1
k p1
pm
k
√
√ pm
...E
.
≤ (2l)p1 l (p1 + 1)l . . . (2l)pm l (pm + 1)l E
p1 !
pm !
2
Hn (Wi )
√
= 1 (см. доказательство теоремы 9) и p1 + · · · + pm = d − 2j,
Так как E
n!
то окончательно получим
2l
1
E √
Hp1 (Wkp1 ) . . . Hpm (Wkp1 +···+pm )
≤ (2l)p1 l (p1 +1)l . . . (2l)pm l (pm +1)l
p1 ! . . . pm !
≤ (2l)(d−2j)l (d − 2j + 1)(d−2j)l = (2(d − 2j + 1)l)(d−2j)l .
(35)
Положим для всякого 0 ≤ j ≤ [d/2]
√ d−2j
∞
X
2
(d − 2j)!
ηj :=
lj
Hp1 (Wkp1 ) . . . Hpm (Wkp1 +···+pm )Tkj1 ,...,kd−2j .
p1 ! . . . pm !
0≤k1 ≤···≤kd−2j
Каждую случайную величину ηj можно считать стохастическим интегралом
от функции Tfj относительно разложения
√ d−2j
d−2j
∞
X
Y sin(ki + 1 )πx2j+i
2
(d − 2j)!
2
lj
Hp1 (Wkp1 ) . . . Hpm (Wkp1 +···+pm )
.
1
p1 ! . . . pm !
(k
+
)π
i
2
i=1
0≤k1 ≤···≤kd−2j
106
Поэтому мы вправе применить теорему 12 для случайных величины ηj , взяв
в качестве постоянных a1 , a2 , согласно неравенству (35), числа 2(d − 2j + 1) и
d − 2j, соответственно. Помимо этого, необходимо соответствующим образом
определить для каждой случайной величины ηj постоянные Kj и Cj .
Для всякого y будем иметь


X
[d/2] [d/2] X
y
P |ηj | >
ηj > y  ≤
P 
.
[d/2]
+
1
j=0 j=0
Применив для каждого слагаемого P |ηj | >
y
[d/2]+1
из теоремы 12, получим утверждение теоремы.
Теорема доказана.
экспоненциальную оценку
107
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Основные результаты диссертации заключаются в том, что получены легко проверяемые достаточные условия для существования стохастических интегралов Id (f, ξ) в случае, когда интегрирующие случайные процессы допускают
представление в виде рядов со случайными коэффициентами. Более того, для
указанных процессов разработаны новые конструкции стохастических интегралов, которые подходят в том числе и для негауссовых интегрирующих случайных процессов. Кроме того, получены экспоненциальные оценки для хвостов
распределений стохастических интегралов, построенных по предложенным схемам.
108
Список литературы
1. Борисов И. С., Быстров А. А. Построение стохастического интеграла от
неслучайной функции без условия ортогональности интегрирующей меры
// Теория вероятн. и ее примен. — 2005. — T. 50. — В. 1. — С. 52–80.
2. Борисов И. С., Быстров А. А. Предельные теоремы для канонических
статистик Мизеса, построенных по зависимым наблюдениям // Сиб. матем. журнал. — 2006. — T. 47. — В. 6. — С. 1205–1217.
3. Борисов И. С., Володько Н. В. Экспоненциальные неравенства для распределений U- и V - статистик от зависимых наблюдений // Матем. Труды. — 2008. — T. 11. — В. 2. — С. 3–19.
4. Борисов И. С., Хрущев С. Е. Построение кратных стохастических интегралов по негауссовым продакт-мерам // Матем. Труды. — 2012. — T. 15.
— В. 2. — С. 37–71.
5. Борисов И. С., Хрущев С. Е. Кратные стохастические интегралы, построенные по специальному разложению произведения интегрирующих
случайных процессов // Матем. Труды. — 2014. — T. 17. — В. 2. — С.
61–83.
6. Быстров А. А. Экспоненциальные неравенства для вероятностей уклонений кратных стохастических интегралов по гауссовским интегрирующим
процессам // Теория вероятн. и ее примен. — 2014. — T. 59. — В. 1. — С.
150–159.
7. Боровков А. А. Теория вероятностей. — М.: Эдиториал УРСС, 1999.
8. Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов.
— М.: Наука, 1965.
109
9. Колмогоров А. Н. Кривые в гильбертовом пространстве, инвариантные
по отношению к однопараметрической группе движений // Доклады АН
СССР. — 1940. — T. 26. — С. 6–9.
10. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1981.
11. Кузнецов Д. Ф. Стохастические дифференциальные уравнения: теория
и практика численного решения. — СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2009.
12. Лоэв М. Теория вероятностей. — М.: Иностранная литература, 1962.
13. Мильштейн Г. Н. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. — Свердловск.: Изд-во Уральского ун-та, 1988.
14. Филиппова А. А. Теорема Мизеса о предельном поведении функционалов
от эмпирических функций распределения и ее статистические применения
// Теория вероятн. и ее примен. — 1962. — T. 7. — В. 1. — С. 26–60.
15. Хрущев С. Е. Об условии существования n-мерного стохастического интеграла от неслучайной функции // Тезисы XLVII Международной научной
студенческая конференции. — Новосибирск. — 2009. — С. 202–203.
16. Borisov I., Khruschev S. A construction of stochastic integrals of nonrandom
functions in the non-Gaussian case // V-th Conference ”Limit Theorems in
Probability Theory and Their Applications”. — Novosibirsk. — August 15–21,
2011. — Abstracts of Communic. — P. 12–13.
17. Budhiraja A., Kallianpur G. Hilbert space valued traces and multiple Stratonovich integrals with statistical applications // Probab. Math. Statist. — 1995.
— V. 15. — P. 127–163.
110
18. Budhiraja A., Kallianpur G. Two results on multiple stratonovich integrals
// Statistica Sinica. — 1997. — V. 7. — P. 907–922.
19. Cambanis S., Huang S. T.
Stochastic and multiple Wiener integrals for
Gaussian processes // Ann. Probab. — 1978. — V. 6. — P. 585–614.
20. Cramér H. On the theory of random processes // Ann. Math. — 1940. — V.
41. — P. 215–230.
21. Dasgupta A., Kallianpur G. Multiple fractional integrals // Probab. Theory
Rel. Fields. — 1999. — V. 115. — P. 505–526.
22. Denker M., Grillenberg C., Keller G. Note on Invariance Principles for v.
Mises’ Statistics // Metrica. — 1985. — V. 32. — P. 197–214.
23. Dzhaparidze K., Zanten H.
Krein spectral theory and the Paley–Wiener
expansion for fractional Brownian Motion // Ann. Probab. — 2005. — V.
33. — №2. — P. 620–644.
24. Gilsing H., Sottinen T.
Power series expansions for fractional Brownian
Motions // Theory of Stoch. Processes. — 2003. — V. 9 (25). — №3–4. —
P. 38–49.
25. Hu Y. Z., Meyer P. A. Sur les intégrales multiples de Stratonovitch // In
Séminaire de Probabilités XXII. Lecture Notes in Math. — 1988. — V. 1321.
— P. 72–81.
26. Ito K. Stochastic integral // Proc. Imp. Acad. Tokyo. — 1944. — V. 20. — P.
519–524.
27. Ito K. Multiple Wiener integral // J. Math. Soc. Japan. — 1951. — V. 3. —
P. 157–169.
111
28. Johnson G. W., Kallianpur G. Homogeneous chaos, p-forms, scaling and the
Feynman integral // Trans. Amer. Math. Soc. — 1993. — V. 340. — P. 503–548.
29. Kloeden P. E., Platen E. Numerical solution of stochastic differential equations.
— New York: Springer–Verlag, 1995.
30. Major P. Multiple Wiener-Ito integrals // Lecture Notes in Math. Springer.
— 1981. — V. 849.
31. Major P. Estimation of Wiener–Ito integrals and polynomials of independent
gaussian random variables. — arXiv:0803.1453[math.PR].
32. Major P. On a multivariate version of Bernstein’s inequality // Springer,
Electron. J. Probab. — 2007. — V. 12. — P. 966–988.
33. Nualart D., Zakai M. On the relation between the Stratonovitch and Ogawa
integrals // Ann. Probab. — 1989. — V. 17. — P. 1536–1540.
34. Rosinski J. On stochastic integration by a series of Wiener integrals // Appl.
Math. Optim. — 1989. — V. 19. — P. 137–155.
35. Rubin H., Vitale R. Asimptotic distribution of symmetric statistics // Ann.
Statist. — 1980. — V. 8. — №1. — P. 165–170.
36. Von Mises R. On the asymptotic distribution of differentiable statistical functions
// Ann. Math. Statist. — 1947. — V. 18. — P. 309–348.
37. Wiener N. Differential space // J. Math. Phys. — 1923. — V. 2. — P. 131–179.
38. Wiener N. The homogeneous chaos // Amer. Journ. Math. — 1938. — V. 60.
— P. 897–936.