6.2. Случайные величины X xi x1 x2 … xn pi p1 p2 … pn P3 P5 X5

Лекция 4.27. Случайные величины. Формы задания закона распределения. Функция распределения. Свойства функции распределения.
Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Плотность распределения. Свойства плотности распределения.
6.2. Случайные величины
Случайная величина - это величина, которая может в результате эксперимента принимать то или иное значение,
которое заранее неизвестно.
Различают случайные величины дискретные и непрерывные: дискретные – которые принимают отдельные
изолированные значения (число отказов элементов в приборе, состоящем из пяти элементов, где возможны
значения 0,1,2,3,4,5; число попаданий в мишень и т.п.); непрерывные – это случайные величины, которые
сплошь заполняют некоторый интервал своими возможными значениями (координата дальности полета
снаряда при выстреле, время непрерывной работы радиолампы данного типа и т.п.) (рис.6.6).
X
Рис 6.6
Введем понятие закона распределения случайной величины.
Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между
возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.
Про случайную величину будем говорить, что она подчинена данному закону распределения.
Формы задания закона распределения
Для дискретной случайной величины применяют следующие формы законов распределения:
1) ряд распределения случайной величины Х представляет собой таблицу, в которой перечислены возможные
значения случайной величины и соответствующие им вероятности.
xi
pi
x1
p1
n
Здесь
∑p
i =1
i
…
…
x2
p2
xn
pn
= 1 ,т.к. все возможные значения данной случайной величины всегда составляют полную группу
несовместимых событий.
2) Многоугольник распределения, который получается из ряда распределения, если для наглядности точки xi и
pi отложить соответственно по осям х и у и соединить их прямыми отрезками (рис 6.7).
Pi
P3 P4
P2
P1
0
X1
X 2 X3
Рис 6.7
P5
X4 X5
Xi
Функция распределения
Пусть случайная величина непрерывна и в качестве своих возможных значений она может принимать значения
от − ∞ до + ∞ . Составить таблицу для такой непрерывной случайной величины невозможно.
Для количественной характеристики распределения вероятностей удобно воспользоваться вероятностью
события Χ < x , где х – некоторая текущая переменная. Вероятность этого события, очевидно, зависит от х и
есть некоторая функция от Х. Эта функция называется функцией распределения случайной величины Х и
обозначается F(x).
F ( x) = P ( X < x) .
(6.23)
126
Лекция 4.27. Случайные величины. Формы задания закона распределения. Функция распределения. Свойства функции распределения.
Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Плотность распределения. Свойства плотности распределения.
Пример
Снаряд попадет в интервал X < x .
Т.е. вероятность P ( X < x ) = F ( x ) есть вероятность попадания в точку лежащую левее точки х.
Пример для дискретной величины, заданной рядом распределения:
0
0.1
xi
pi
1
0.3
2
0.4
3
0.2
Тогда
1) x < 0 ,
F ( x) = P( X < x) = 0 ;
2) 0 ≤ x < 1 , F ( x ) = P ( X < x ) = P ( x = 0) = 0,1 ;
3) 1 ≤ x < 2 , F ( x) = P ( X < x) = P ( x = 0) = 0,4 ;
4) 2 ≤ x < 3 , F ( x ) = P ( x = 0) + P ( x = 1) = P ( x = 2) = 0,8 ;
5) 3 ≤ x < ∞ , F ( x ) = 1 .
Строим функцию распределения (рис 6.8):
1
0
1
2
3
Рис.6.8
Свойства функции распределения
1. Функция распределения неубывающая функция: если x 2 > x1 , то F ( x 2 ) ≥ F ( x1 ) ;
2. F ( −∞) = 0 ,
3. F ( +∞) = 1 .
127