Методическое пособие. Модуль 3

5. Исчисление высказываний и предикатов
Пусть дано непустое множество простых предложений Q . Расширим это
множество, присоединив к нему все те предложения, которые можно
образовать с использованием сентенциональных связок {∨, &, ¬, ⇒, ⇔} из
простых предложений. В таком случае это расширенное множество будет
обладать свойством:
Если A и B – элементы этого множества, то его элементами будут
¬A, ¬B, A & B, A ∨ B, A ⇒ B, A ⇔ B
.
Будем
называть
элементы
расширенного множества – составными формулами, а элементы
первоначального множества – простыми формулами.
Каждой простой формуле сопоставляется один элемент из множества {T , F } .
Далее принимается, что не имеет значения какое из значений T или F
приписывается данной простой формуле, то есть T или F приписываются в
соответствии с конкретными условиями. Истинностное значение составной
формулы определяется индуктивным способом в соответствии с таблицами.
Таблица 1
A
B
A& B
A∨ B
A⇒ B
A⇔ B
T
T
T
T
T
T
T
F
F
T
F
F
F
T
F
T
T
F
F
F
F
F
T
T
Таблица 2
A
¬A
T
F
F
T
Для каждой формулы A можно построить таблицу истинности, при этом
если простыми компонентами служат P1 ,..., Pn , то количество строк в такой
таблице будет 2n .
Определение:
Формула, истинностное значение которой есть T при любых возможных
истинностных значениях, приписываемых её простым компонентам,
является тавтологией.
Теорема:
Пусть B – некоторая формула, B′ – формула, получаемая из B
подстановкой формулы A вместо простой компоненты P , везде, где эта
компонента встречается в B . Тогда, если B – тавтология, то B′ –
тавтология.
Пример 5.1:
Будут
ли
тавтологиями
P & ( P ⇒ Q) ⇒ Q
формулы
,
( R ⇒ P ) & (( R ⇒ P ) ⇒ Q ) ⇒ Q ?
Решение:
Построим для первой формулы таблицу истинности.
&
( P ⇒ Q)
⇒
T
T
T
T
T
F
F
F
T
F
T
F
T
T
F
F
F
T
T
P
Q
T
P
Q
Как видно из таблицы формула принимает значение T при любых значениях
её простых компонентов. Следовательно P & ( P ⇒ Q ) ⇒ Q – тавтология.
При исследовании второй формулы легко заметить, что при замене в
формуле P & ( P ⇒ Q ) ⇒ Q простой компоненты P на сентенциональную
связку R ⇒ P получается искомая формула, в силу теоремы формула
( R ⇒ P ) & ( ( R ⇒ P ) ⇒ Q ) ⇒ Q – тавтология.
Определение:
Добавим понятие переменной. Предикат – логическая функция от
переменных. То есть n -местный предикат P ( x1 ,..., xn ) обладает тем
свойством, что если приписать переменным некоторые значения, то этот
предикат становится высказыванием от этих переменных.
Формула будет строиться следующим образом:
1. любая атомарная формула P n ( t1 ,..., tn ) – формула,
2. если A и B – формулы, то ¬A, ¬B, A & B, A ∨ B, A ⇒ B, A ⇔ B – формулы,
3. если A – формула, x – переменная, то ∀x A и ∃x A – формулы.
Определения:
Вхождение переменной в формулу называют связанным, если это
вхождение находится в области действия соответствующего квантора,
иначе – свободным.
Интерпретацией Ι называется отображение, которое сопоставляет:
• каждой предметной переменной x элемент Ι ( x ) = d x ∈ D , где d x –
значение переменной x , D – область интерпретации,
• каждому предикатному символу P ( x1 ,..., xn ) поставлена
в
соответствие логическая функция λ : D n → {T , F } , т.е. истинностным
значением для P ( x1 ,..., xn ) будет λ ( d1 ,..., d n ) .
Пара < D; f > , состоящая из области интерпретации D и отображения f ,
которое каждому предикатному символу сопоставляет логическую
функцию, называется моделью.
Пример 5.2:
Найти истинностные значения формулы ∀x ( P ( x ) ⇒ Q ) ∨ ( Q & P ( y ) ) , где
область интерпретации фиксировано D = {a, b} , но неизвестно.
Решение:
Так как область интерпретации фиксировано, но неизвестно, тогда следует
перебрать все варианты, которые может принимать логическая функция λ .
Приведём вариант в таблице.
x
λ1 ( x )
λ2 ( x )
λ3 ( x )
λ4 ( x )
a
T
T
F
F
b
T
F
T
F
Q принимает значения T и F , y приписывается значение a или b , тогда в
таблице должно быть 4 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16 записей.
Рассмотрим одну из строк. Пусть P ( x ) приписывается λ1 ( x ) , Q принимает
значение T , y приписывается a : ∀x ( λ1 ( x ) ⇒ T ) ∨ (T & λ1 ( a ) ) . Чтобы приписать
истинностное значение для ∀x ( λ1 ( x ) ⇒ T ) вычислим её как логическую
функцию от x .
x
λ1 ( x ) ⇒ T
a
T ⇒T
b
T ⇒T
Истинностное
значение
∀x ( λ1 ( x ) ⇒ T )
есть
,
T
а
всей
формулы
∀x ( λ1 ( x ) ⇒ T ) ∨ (T & λ1 ( a ) ) также есть T . Аналогично для всех остальных строк.
∀x ( P ( x ) ⇒ Q )
(Q & P ( y ))
P ( x)
Q
y
λ1 ( x )
T
a
T
T
T
λ1 ( x )
T
b
T
T
T
λ1 ( x )
F
a
F
F
F
λ1 ( x )
F
b
F
F
F
λ2 ( x )
T
a
T
T
T
λ2 ( x )
T
b
T
T
F
λ2 ( x )
F
a
F
F
F
λ2 ( x )
F
b
F
F
F
λ3 ( x )
T
a
T
T
F
λ3 ( x )
T
b
T
T
T
λ3 ( x )
F
a
F
F
F
λ3 ( x )
F
b
F
F
F
λ4 ( x )
T
a
T
T
F
λ4 ( x )
T
b
T
T
F
λ4 ( x )
F
a
T
T
F
λ4 ( x )
F
b
T
T
F
∨
Определения:
1. Формула выполнима, если существует интерпретация, в которой она
истинна.
2. Формула общезначима, если она истинна в любой интерпретации.
3. Формула противоречива (невыполнима), если не существует
интерпретации, в которой она истинна.
Пример 5.3:
Выполнимы ли формулы:
1. ∃x P ( x ) ,
2. ∀x P ( x ) ,
3. ∃x∀y ( Q ( x, x ) & ¬Q ( x, y ) ) ,
4. ∃x∃y ( P ( x ) & ¬P ( y ) ) ,
5. ∃x∀y ( Q ( x, y ) ⇒ ∀zR ( x, y, z ) ) ?
Решение:
1. Формула ∃x P ( x ) выполнима в N , P , где P ( x ) = T ⇔ x – простое число.
2. Формула ∀x P ( x ) выполнима в N , P , где P ( x ) = T – тождественно
истинный предикат.
3. Формула ∃x∀y ( Q ( x, x ) & ¬Q ( x, y ) ) невыполнима. Пусть она истина в
некоторой интерпретации, то есть ∃a : ∀y ( Q ( a, a ) & ¬Q ( a, y ) ) , тогда
должна быть истинной формула Q ( a, a ) & ¬Q ( a, a ) , таким образом
пришли к противоречию.
4. Формула ∃x∃y ( P ( x ) & ¬P ( y ) ) выполнима в N , P , где P ( x ) = T ⇔ x –
простое число.
5. Формула ∃x∀y ( Q ( x, y ) ⇒ ∀zR ( x, y, z ) )
выполнима
в
N ; Q, R
,
где
Q ( x, y ) = T ⇔ x ≥ y , R ( x, y, z ) = T ⇔ x + y ≥ z . Не выполнима в случае
N ′; Q, R , где N ′ = {1, 2,..., n} .
Пример 5.4:
Пусть дана модель N ; S 3 , P 3 , где S 3 ( x, y, z ) = T ⇔ x + y = z , P 3 ( x, y, z ) = T
⇔ x ⋅ y = z . Записать формулу с одной свободной переменной x , истинную в
модели тогда и только тогда, когда x = 0 , x = 1 , x = 2 , x – чётно, x – нечётно,
x – простое число.
Решение:
• x = 0 – Ο ( x ) = ∀y S 3 ( x, y, y ) , то есть сумма с нулём число не изменяет,
• x = 1 – Ε ( x ) = ∀y P 3 ( x, y, y ) , то есть умножение на единицу число не
изменяет,
• x = 2 – D ( x ) = ∃z ( ∀yP 3 ( z, y, y ) & S 3 ( z , z, x ) ) , то есть существует такое z ,
умножение на которое не меняет число, а это есть единица, сумма
единиц – двойка,
• x – чётно – C ( x ) = ∃y S 3 ( y, y, x ) , то есть x представимо в виде
x = y + y = 2y ,
• x – нечётно – N ( x ) = ¬C ( x ) , то есть число нечётное,
• x – простое число – P ( x ) = ( ¬Ε ( x ) & ∀y∀z ( P ( y, z, x ) ⇒ ( Ε ( y ) ∨ Ε ( z ) ) ) ) , то
есть число не нуль и если найдётся множители числа, то одно из них
будет единица, а другое, как следствие, само число.
Задачи для самостоятельного решения
1. Построить
таблицу
истинности
( R ⇒ P ) & (( R ⇒ P ) ⇒ Q ) ⇒ Q .
для
формулы
2. Пусть Μ = N ; S 3 , P3 , где S 3 ( x, y, z ) = T ⇔ x + y = z , P 3 ( x, y, z ) = T ⇔ x ⋅ y = z .
Написать формулу, выражающую следующее утверждение: z
наименьшее общее кратное x и y .
3. Пусть Μ = N ; S 3 , P3 , где S 3 ( x, y, z ) = T ⇔ x + y = z , P 3 ( x, y, z ) = T ⇔ x ⋅ y = z .
Написать формулу, выражающую следующее
бесконечность множества простых чисел.
утверждение: