Матрицей размером m × n называется совокупность mn чисел

МАТРИЦЫ
Определение
Матрицей размером m × n называется совокупность mn чисел,
расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n
столбцов.
Числа из которых состоит матрица, называются элементами
матрицы. Для записи матрицы в общем виде элементы матрицы
обозначаются буквами с двумя индексами, например aij ; при этом
первый индекс указывает номер строки, а второй индекс – номер
столбца, в котором содержится этот элемент.
МАТРИЦЫ
Определение
Часто матрицу, элементами которой являются числа aij , обозначают
одной заглавной буквой A и записывают так:


a11 a12 a13 . . . a1n
 a21 a22 a23 . . . a2n 



A=
(1)
 a31 a32 a33 . . . a3n 
... ... ... ... ...
am1 am2 am3 . . . amn
или сокращённо A = (aij ), i = 1 . . . m, j = 1 . . . n. Возможна и такая
запись B = kbij k или C = [cij ].
МАТРИЦЫ
Определение
Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца,
называется соответственно матрицей-строкой или
матрицей-столбцом. Часто элементы таких матриц обозначают
одним индексом. Например,
 
x1
 x2 
 

X =
 x3  , B = b1 , b2 , b3 , . . . , bn .
. . .
xm
Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим
числом. Матрица размера m × n, все элементы которой равны нулю,
называются нулевой матрицей и обозначается через O.
МАТРИЦЫ
Определение
Элементы матрицы с одинаковыми индексами называют элементами
главной диагонали.
Матрица размером n × n называется квадратной матрицей.
Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы
главной диагонали, называются диагональными матрицами и
записываются так:


a11 0
0 ...
0
 0 a22 0 . . .
0 



0 a33 . . .
0 
A= 0

. . . . . . . . . . . . . . . 
0
0
0 . . . amn
МАТРИЦЫ
Определение
Матрицы A и B, каждая из которых размером m × n, называются
равными, если равны их соответствующие элементы, т. е. aij = bij
для любых i и j.
Пример
√
√ √
√
3 1/ 2
3
9
2/2
=
0 1/2
2
0
0, 5
√ 3/ 3
10/5
МАТРИЦЫ
Сложение и умножение на число
Суммой матриц A и B, каждая из которых размером m × n,
называется матрица тех же размеров m × n, элементы которой
равны суммам соответствующих элементов данных матриц, т. е.
C = A + B, если cij = aij + bij для любых i и j.
Пример
a1
b1
a2
b2
a3
b3
+
c1
d1
c2
d2
c3
d3
=
a 1 + c1
b1 + d1
a2 + c2
b2 + d2
a 3 + c3
.
b3 + d3
МАТРИЦЫ
Сложение и умножение на число
Для любых матриц A, B, C , каждая из которых размером m × n,
справедливы следующие утверждения:
1
A + B = B + A;
2
A + (B + C ) = (A + B) + C .
3
A + 0 = A.
МАТРИЦЫ
Сложение и умножение на число
Произведение матрицы A размером m × n на некоторое число α
называется матрица C тех же размеров m × n, элементы которой
получаются из соответствующих элементов матрицы A умножением
на это число α, т. е., C = αA если cij = αaij для любых i и j.
Пример
a
α 1
b1
a2
b2
a3
b3
=
αa1
αb1
αa2
αb2
αa3
αb3
МАТРИЦЫ
Сложение и умножение на число
Из определения умножения матрицы на число следует, что для
любых матриц A и B, каждая из которых размером m × n, и любых
чисел α и β справедливы равенства:
1
α(βA) = (αβ)A;
2
α(A + B) = αA + αB.
3
(α + β)A = αA + βA;
МАТРИЦЫ
Сложение и умножение на число
Матрица (−1)A называется противоположной матрице A и
обозначается −A. Она обладает тем свойством, что
A + (−A) = O.
Сумма матриц A и −B называется разностью матриц A и B, и
обозначается A − B.
МАТРИЦЫ
Символ
P
В математике часто приходится рассматривать суммы большого
числа слагаемых, причем все слагаемые имеют один и тот же вид и
различаются только индексами. Для таких сумм приняты
n
P
следующие обозначения
, например:
i=1
n
X
ai = a1 + a2 + . . . + an .
i=1
Имеют место следующие правила обращения со знаком суммы:
n
n
X
X
1
αai = α
ai ;
i=1
2
3
n
X
i=1
(ai + bi ) =
i=1
n X
m
X
i=1 j=1
aij =
n
X
ai +
i=1
n
m X
X
j=1 i=1
n
X
i=1
aij
bi ;
МАТРИЦЫ
Умножение матриц
Произведением матрицы A размером m × r на матрицу B размером
r × n называется матрица C размером m × n, обозначаемая AB, у
которой элемент cij равен произведению i-й строки первого
сомножителя, матрицы A, и j-й столбец второго сомножителя,
матрицы B, т. е. C = AB, если
cij =
r
X
k=1
для любых i и j.
aik bkj
МАТРИЦЫ
Умножение матриц
Обратим внимание читателя на то, что умножение матриц не
обладает свойством коммутативности. Например, пусть
1 0
0 1
A=
, B=
,
1 0
0 0
0 1
1 0
тогда AB =
, BA =
, т. е. AB 6= BA.
0 1
0 0
Если AB = BA, то матрицы и называются перестановочными.
МАТРИЦЫ
Умножение матриц
Квадратная матрица порядка n у которой на главной диагонали
стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, принято
называть единичной матрицей.
Для каждой квадратной матрицы A порядка n
AE = EA = A.
МАТРИЦЫ
Умножение матриц
Для любых прямоугольных матриц A, B, C для которых имеют
смысл соответствующие произведения, справедливы равенства:
1
(ассоциативность) (AB)C = A(BC );
2
(дистрибутивность) (A + B)C = AC + BC , C (A + B) = CA + CB.
Проверим первое свойство. Если существует произведение (AB)C и
матрицы A, B, C имеют размеры m × n, n × p, p × q,
соответственно, то тогда существует и произведение A(BC ). При
этом (AB)C и A(BC ) – одного размера.
!
p
p
n
X
X
X
[(AB)C ]ij =
[AB]ik ckj =
ail blk ckj =
k=1
k=1
=
n
X
l=1
ail
l=1
Таким образом, равенство доказано.
p
X
k=1
!
blk ckj
= [A(BC )]ij
МАТРИЦЫ
Транспонирование матриц
Транспонированием матрицы A называется операция при которой
строки данной матрицы A = (aij ), i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n будут в
той же последовательности столбцами транспонированной матрицы,
обозначаемой At = (aijt ), где aijt = aji , i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m.
Отметим, что при транспонировании матрица A размером m × n
переходит в матрицу At размером n × m. В частности, при
транспонировании матрицы-строки получается матрица-столбец и
наоборот.
Пример
a1
b1
a2
b2
a3
b3
t

a1
= a 2
a3

b1
b2  .
b3
МАТРИЦЫ
Транспонирование матриц
Транспонирование матрицы обладает следующими свойствами:
1
(At )t = A;
2
(A + B)t = At + B t ;
3
(αA)t = αAt , где α – число;
4
(AB)t = B t At .
Докажем последнее свойство. Пусть, матрицы A и B имеют размеры
m × n и n × p, соответственно, то тогда существует и произведение
AB. При этом (AB)t и B t At – одного размера.
Далее, убедимся, что
[(AB)t ]ij = [AB]ji =
n
X
k=1
что и требовалось.
ajk bki =
n
X
k=1
t t
akj
bik =
n
X
k=1
t t
bik
akj = [B t At ]ij ,