Вступительные испытания по математике

Вступительные испытания по математике
Вступительные испытания по математике, представляют собой экзаменационную
работу, состоящую из заданий базового, повышенного уровня и высокого уровня
сложности. Поступающие в лицей должны продемонстрировать:
-владение основными алгоритмами;
-знание и понимание ключевых математических понятий, свойств, приёмов решения
задач;
-умение пользоваться математической записью, применять знания к решению
математических задач, не сводящихся к прямому применению алгоритма, а также
применять математические знания в простейших практических ситуациях.
- умение математически грамотно и ясно записать решение, приводя при этом
необходимые пояснения и обоснования;
- умение решить планиметрическую задачу, применяя различные теоретические знания
курса геометрии;
Задания расположены по нарастанию трудности – от относительно простых до
сложных, предполагающих свободное владение материалом курса и хороший уровень
математической культуры.
В экзаменационной работе содержатся задания по ключевым разделам изученного
курса алгебры и геометрии.
Требования (умения), проверяемые заданиями
экзаменационной работы
Уметь выполнять вычисления и преобразования:
Выполнять, сочетая устные и письменные приёмы, арифметические действия
с
рациональными числами, сравнивать действительные числа; находить в несложных
случаях значения степеней с целыми показателями и корней; вычислять значения
числовых выражений; переходить от одной формы записи чисел к другой.
Округлять целые числа и десятичные дроби, находить приближения чисел с недостатком
и с избытком, выполнять прикидку результата вычислений, оценку числовых выражений
Решать текстовые задачи, включая задачи, связанные с отношением, пропорциональностью величин, дробями, процентами.
Изображать числа точками на координатной прямой.
Уметь выполнять преобразования алгебраических выражений:
Составлять буквенные выражения и формулы по условиям задач, находить значения
буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования.
Выполнять основные действия со степенями с целыми показателями, с многочленами и
алгебраическими дробями.
Выполнять разложение многочленов на множители.
Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений.
Уметь решать уравнения, неравенства и их системы:
Решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к
ним, системы двух линейных уравнений и несложные нелинейные системы.
Решать линейные и квадратные неравенства с одной переменной и их системы.
Применять графические представления при решении уравнений, систем, неравенств.
Уметь строить и читать графики функций:
Определять координаты точки плоскости, строить точки с заданными координатами
Определять значение функции по значению аргумента при различных способах
задания функции.
Определять свойства функции по её графику (промежутки возрастания, убывания,
промежутки знакопостоянства, наибольшее и наименьшее значения)
Строить графики изученных функций, описывать их свойства
Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами:
Решать планиметрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов,
площадей).
Распознавать геометрические фигуры на плоскости, различать их взаимное
расположение, изображать геометрические фигуры; выполнять чертежи по условию
задачи.
Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической
деятельности и повседневной жизни, уметь строить и исследовать простейшие
математические модели:
Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять выражения,
уравнения и неравенства по условию задачи; исследовать построенные модели с
использованием аппарата алгебры.
Описывать с помощью функций различные реальные зависимости между величинами;
интерпретировать графики реальных зависимостей.
Проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую
правильность рассуждений, распознавать ошибочные заключения.
Примерные задания вступительных испытаний
по математике
1. Для приготовления яблочного варенья на 1 кг яблок нужно 1,2 кг сахара.
Сколько килограммовых упаковок сахара нужно купить, чтобы сварить варенье из 26
кг яблок?
2.Почтовая марка стоит 2 руб. 40 копеек. Какое наибольшее число этих марок можно
купить на 80 рублей?
3. Водитель за месяц проехал 8500 км, при этом средний расход бензина на 100 км
составил 9 литров. Стоимость одного литра бензина равна 22 рубля. Сколько рублей
потратил водитель на бензин за этот месяц?
4. Какого радиуса должна быть окружность с центром в точке А(8;6), чтобы она
касалась оси абсцисс?
5. Для изготовления книжных полок требуется заказать 42 одинаковых стекла в одной
из трех фирм. Площадь каждого стекла 0,25 м2. В таблице приведены цены на стекло, а
также заказ на резку стекол и шлифовку края.
Сколько будет стоить самый дешевый заказ?
Фирма
Цена стекла (руб. за 1 м2) Резка и шлифовка
стекла
(руб. за одно стекло)
А
415
75
В
430
65
С
465
60
6. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) точки М, Н, К – середины сторон АВ,
ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник МКН- равнобедренный.
7. Найдите площадь треугольника. вершины которого имеют координаты
(1;7), (5;7), (2;9).
2 x  3 3x  5
8. Решить уравнение

 0.
5
7
2
9. Сократите дробь 3x  7 x  6 .
3x 2  2 x
10. Сократите дробь
9 x 2  15 x  4 .
1  3x  y  3xy
11.Пусть х1 и х2 – корни квадратного уравнения 10х2+х-1=0. Не вычисляя х1 и х2 найдите
значение выражения х21х2+х1х22.
12. Расстояние между двумя пристанями по реке равно 12 км. Лодка проплыла от одной
пристани до другой и вернулась обратно, затратив на весь путь 5 часов. Найдите
собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 1км/час.
13. На трех полках 30 книг. На первой полке в два раза меньше книг, чем на второй, а
на третьей полке на 5 книг меньше, чем на второй. Сколько книг на второй полке?
14. Найти значение выражения
15. На координатной прямой отмечены числа х и у . Какое из следующих утверждений
верно?
16.
17. Вычислить координаты точки С.
q1q2
выразить q1 .
r2
r 2  F  q2
r2  F
r2  F
r2  F
1) q1 
; 2) q1  k 
; 3) q1 
; 4) q1 
k
q2 k
q2
q2 k
19. В какой многочлен можно преобразовать выражение
(3-х)2 + 5х(х-2)?
18. Из формулы F  k 
20. Решить уравнение (3-2х)(6х-1)=(2х-3)2.
21. Решите неравенство х2-5х<24.
22. Решите неравенство 2х-5(4-3х)>-3
23. Составьте выражение для нахождения периметра равнобедренного треугольника,
если известно, что длина его основания равна а , а длина боковой стороны с.
24.К числу справа приписали 6, и оно увеличилось в 13 раз. Какое это число?
22 n 5  6n
.
22  24n
y 2  4 x  xy 2  4
26. Сократите дробь
.
xy  y  2 x  2
27. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна
15. Найдите её среднюю линию.
25. Сократите дробь
28. При каких значениях р прямая y=px+2 образует с осями координат треугольник,
площадь которого равна 64?
nmv 2
выразите скорость молекул v .
3
Pn
3P
Pm
3P
А) v 
; Б) v 
; В) v 
; Г) v 
.
3m
mn
3n
mn
30. В ромб вписана окружность радиуса 2. Найти произведение его диагоналей, если его
сторона равна 3.
29. Из формулы давления газа P 
31. Найти наименьшее значение выражения
4a2  9b2  4a  6b  6 .
32.
33.
34.
На рисунке изображен график функции y=ax2+bx+c. Определите знаки коэффициента a и
дискриминанта D
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
Основания трапеции равны 5 и 7. Найти отрезок, соединяющий середины диагоналей
трапеции.
45.
46.
47.
48.