ProgramQM0910 - Институт Ядерной Физики им.Г.И.Будкера СО

ВВЕДЕНИЕ В ФИЗИКУ ТВЕРДОГО ТЕЛА
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА и некоторые задачи ФТТ
(5 семестр)
1. Соотношение между корпускулярной и волновой точками зрения: кванты света,
волны де Бройля.
2. Волновая функция, принцип суперпозиции, волновой пакет. Вероятностная интерпретация. Оценки характерных размеров и энергий квантовых систем по соотношению неопределенностей для координаты и импульса.
3. Распределения по координатам и импульсам. Операторы этих величин, их коммутатор.
4. Уравнение Шредингера. Плотность и ток вероятности, уравнение непрерывности.
Стационарные состояния.
5. Одномерное движение. Дискретный спектр. Общие свойства решений. Классификация по четности. Нахождение уровней энергии и волновых функций для прямоугольной ямы. Мелкий уровень, дельта-яма.
6. Одномерное движение. Непрерывный спектр. Постановка задачи. Коэффициенты
прохождения и отражения.
7. Операторы физических величин. Собственные функции и собственные значения,
ортогональность, полнота. Вектор состояния, разложение по базисным векторам.
Вид операторов в различных представлениях, переход от одного представления к
другому. Условия, при которых две физические величины могут иметь определенные значения в одном состоянии.
8. Дифференцирование операторов по времени. Сохраняющиеся величины. Эволюция
состояний во времени. Представление Гайзенберга.
9. Гармонический осциллятор. Спектр и волновые функции с помощью операторов
рождения и уничтожения. Когерентные состояния осциллятора.
10. Квазиклассическое приближение. Квазистационарные состояния. Ширина и время
жизни. Альфа-распад ядер.
11. Симметрии в квантовой механике. Представление операторами, генераторы преобразований. Сдвиг в пространстве-времени, пространственные повороты.
12. Периодическое поле. Теорема Блоха, зонная структура, квазиимпульс, закон дисперсии. Приближение сильной связи и электронный спектр графена.
13. Орбитальный момент, алгебра его операторов, их собственные функции, собственные значения и матричные элементы.
14. Частица в центральном поле.
15. Атом водорода. Спектр и волновые функции связанных состояний.
16. Уравнение Шредингера для бесспиновой частицы в магнитном поле. Уровни
Ландау.
17. Вариационный метод.
18. Стационарная теория возмущений.
19. Влияние электрического поля на спектры атомов. Эффект Штарка в водороде.
20. Квантовая механика частицы со спином ½.
21. Уравнение Паули. Магнитные моменты электрона, протона, нейтрона. Динамика
спина ½ во внешнем магнитном поле. Понятие об электронном парамагнитном резонансе и ядерном магнитном резонансе.
22. Сложение моментов. Матричные элементы скалярных и векторных операторов.
Правила отбора по моменту количества движения и его проекции на ось z .
23. Квантовые компьютеры: кубиты, основные квантовые вентили, квантовые алгоритмы факторизации, поиска в базе данных и телепортации. Примеры реализации
квантовых вентилей на конкретных квантовых системах.
24. Тождественность частиц. Принцип Паули.
25. Элементы теории атома. Атом гелия. Обменное взаимодействие. Таблица Менделеева. LS – взаимодействие и тонкая структура уровней. Определение нормальных
термов атомов по правилам Хунда. Магнитный момент атома. Эффект Зеемана.
26. Двухатомная молекула. Классификация состояний. Колебательные и вращательные уровни. Оценки характерных энергий. Валентность.
27. Эволюция состояний с гамильтонианом, зависящим от времени. Внезапное возмущение. Адиабатическое возмущение. Периодическое возмущение. Почти резонансное возмущение. Переходы в непрерывный спектр.
28. Квантование электромагнитного поля. Излучение и поглощение света. Вероятности
перехода, спонтанное и индуцированное излучение. Правила отбора. Угловое распределение. Принцип работы лазера.
29. Упругое рассеяние. Амплитуда и сечение, оптическая теорема. Борновское приближение. Критерии применимости для медленных и быстрых частиц. Рассеяние в
кулоновском поле. Атомный формфактор. Фазовое представление. Рассеяние медленных частиц. Неупругое рассеяние.
30. Упругое и неупругое рассеяние в конденсированных средах как метод определения
их структуры и спектра возбуждений.
Примерный план семинарских занятий.
1. Соотношения де Бройля. Применение законов сохранения энергии-импульса в
процессах с участием фотонов. Оценки по соотношению неопределенностей.
2. Волновой пакет для нерелятивистских частиц.
3. Яма с бесконечными стенками. Координатное и импульсное распределения. Переход к классическому пределу. Конечная яма. Особенности применения соотношения неопределенностей для мелкой ямы.  -ямы.
4. Уровни энергии гармонического осциллятора из уравнения Шредингера.
5. Представление Гейзенберга. Вычисление коммутатора операторов при не совпадающих временах.
6. Одномерные задачи в непрерывном спектре. Коэффициенты отражения и прохождения для барьера (ямы) и комбинации барьеров (ям).
7. Задачи в периодическом поле. Нахождение примесного уровня и его волновой
функции.
8. Квазиклассический метод нахождения уровней для конкретных потенциалов. Решение задачи о двойной яме путем сшивания квазиклассических волновых функций.
9. Квазистационарные состояния, ширина и время жизни для модельных потенциалов.
10. Орбитальный момент количества движения. Явный вид волновых функций для
l  2.
11. Сферический осциллятор. Уровни энергии и волновые функции. Решение в прямоугольных координатах и анализ решения в терминах собственных функций момента импульса для низколежащих состояний.
12. Атом водорода. Явный вид координатных волновых функций. Построение состояний, соответствующих классическим круговым орбитам.
13. Теория возмущений. Ангармонические поправки к уровням энергии осциллятора.
14. Нейтральная частица со спином ½ во внешнем постоянном и переменном магнитном поле. Уровни Ландау однослойного графена в магнитном поле.
15. Простейшие квантовые вентили NOT, CNOT и т.д. Модельная реализация этих
вентилей.
16. Тонкая структура уровней на примере спектров щелочных атомов. Эффект Зеемана и Пашена-Бака. Примеры определения основных термов элементов по правилам Хунда.
17. Определение примеси D-волны в волновой функции дейтрона из величины его
магнитного момента. Определение спина ядра по сверхтонкой структуре атомных
спектров. Поправки к энергии электронов за счет конечных размеров ядер.
18. Теория возмущений, зависящих от времени. Внезапные возмущения. Адиабатические переходы в атоме водорода в переменном электрическом поле. Фотоэффект.
19. Магнито-дипольное излучение при перевороте спина во внешнем магнитном поле.
20. Борновское приближение для амплитуды рассеяния на сферически-симметричных
потенциалах разной формы.
21. Неупругое рассеяние быстрых электронов на атоме водорода с возбуждением из
основного состояния в состояние c n  2 .
Литература
1. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Квантовая механика.
2. Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике, вып. 8 и 9.
3. В. Гейзенберг. Физические принципы квантовой теории. Изд. РХД, 2002 г.
4. И.И. Гольдман, В.Д. Кривченков. Сборник задач по квантовой механике.
5. В.М. Галицкий, Б.М. Карнаков, В.И. Коган. Задачи по квантовой механике.
6. Д.И. Блохинцев. Основы квантовой механики.
7. А.С. Давыдов. Квантовая механика.
8. Ч. Киттель. Введение в физику твердого тела. (Наука, 1978).
9. В.Г. Сербо, И.Б. Хриплович. Квантовая механика. РИЦ НГУ (2010).
10. И.Ф. Гинзбург. Введение в физику твердого тела. Издательство «Лань» (2007).
11. Г. Л. Коткин, В. А Ткаченко, О. А. Ткаченко. Компьютерный практикум
по квантовой механике. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1996.
12. Дж. Прескилл. Квантовая информация и квантовые вычисления. Изд. РХД, 2008.
Веб-страница: http://www.theory.caltech.edu/~preskill/ph219/
ЗАДАНИЕ № 1 (срок сдачи 10 октября)
1. Атомы неона, охлажденные в лазерной ловушке до температуры T  10 3 K, освобождаются из нее и падают в поле тяжести на плоскость с двумя параллельными
щелями. Ширина щелей 2 микрона, расстояние между ними 6 микрон. Плоскость
находится на расстоянии l  3.5 см от центра ловушки. Под плоскостью на расстоянии L  85 см находится регистрирующий экран, на котором наблюдается интерференционная картина. Найти расстояние между максимумами интерференционной картины (5 баллов).
2. В опытах с конденсатами Бозе-Эйнштейна частицы первоначально находились в
основном состоянии в ловушке, поле которой имеет вид поля анизотропного осm
циллятора U ( x, y, z )  ( 2 x x 2   2 y y 2   2 z z 2 ) . В некоторый момент времени
2
поле выключили. Найти импульсное распределение частиц. Вычислить с его поp2x
p2 y
мощью отношения
,
. Взаимодействием частиц друг с друp2z
p2z
гом пренебречь (3 балла).
3. Найти энергии и волновые функции стационарных состояний частицы в поле
U(x) = -G [δ(x-a) + δ (x) + δ (x+a)]. При каких значениях a число уровней уменьшается до двух, до одного в таком поле? В предельном случае mGa /  2 >>1 получить явные выражения для уровней энергии. Численно оценить параметр mGa /  2 ,
предполагая, что частица является электроном,  -функция моделирует яму глубиной 13.6 эВ, шириной 1 A, расстояние между ямами a  2 A (6 баллов).
4. Выяснить,
при
каком
соотношении
между
параметрами
поля
, x  0,

возникает связанное состояние частицы в таком поле.
U ( x)  
 G ( x  a), x  0
Найти мелкий уровень энергии явно. Пусть справа на этот потенциал падают частицы с энергией E  0 . Взяв при
x  a волновую функцию в виде
2 i
 ikx
ikx
 ( x)  e  Ae показать, что A  e и найти выражение для e 2 i . Вычислить
величину e 2i  1
2
и выяснить ее зависимость от энергии падающих частиц. Ис-
следовать предельный случай E  0 (8 баллов).
ЗАДАНИЕ №2 (срок сдачи 6 ноября)
1. Вычислить в произвольный момент времени t средние значения операторов координаты и импульса гармонического осциллятора, находящегося в когерентном состоянии  (5 баллов).
2. Найти уровни энергии En и нормированные волновые функции стационарных со , z  0,
стояний частицы в одномерном поле с потенциальной энергией U ( z )  
mgz, z  0
в квазиклассическом приближении (4 балла).
3. Одной из термоядерных реакций в звездах является реакция p  p  d  e    e .
Она возможна, если протонам удастся преодолеть кулоновский барьер и проникнуть в область действия ядерных сил притяжения при r  10 13 см. Оценить в квазиклассическом приближении вероятность подбарьерного проникновения в область расстояний r  10 13 см при центральном столкновении двух протонов с энергией, эквивалентной температуре 10 7 K, 10 8 K (3 балла).
4. Рассмотрим модель дейтрона как связанного состояния протона и нейтрона, взаимодействующих за счет центрально-симметричного потенциала в виде прямоугольной ямы радиуса R0  1.7  10 13 см. Глубина ямы U 0 . Известно, что энергия
связи дейтрона равна E d
является мелким ( E d
 2.2 МэВ. Предполагая, что это связанное состояние
 U 0 ) s-волновым уровнем, вычислить необходимую глу-
бину ямы U 0 . Рассчитать вероятность того, что расстояние между протоном и
нейтроном в дейтроне превышает радиус ямы R0 (6 баллов).
ЗАДАНИЕ № 3 (срок сдачи 30 ноября)
1. Частица с моментом количества движения j  1 находится в состоянии
   1,1   1,0   1,1 . Вычислить  ˆj x , y , z  и  ˆj 2 x, y , z  (3 балла).
2. Гамильтониан квантовой системы имеет вид Hˆ  Hˆ 0  Vˆ , где невозмущенный га2 d 2
мильтониан равен Hˆ 0  
 G[ ( x  a)   ( x  a)] , G  0 , а оператор воз2m dx 2
мущения равен Vˆ  G ( x  a) ,   1 . Найти энергии и волновые функции системы при условии, что mGa 2 >>1. Ответ для волновых функций представить в

терминах собственных функций  s и  a невозмущенного гамильтониана, имеющих определенную четность (6 баллов).
3. В экспериментах по прецизионному измерению магнитного момента электрона использовалась ловушка Пеннинга в виде комбинации однородного магнитного по
ля B  B (0,0,1)
и
квадрупольного
электростатического
потенциала
   ( x 2  y 2  2 z 2 ) . Найти уровни энергии электрона с магнитным моментом
g
в такой ловушке. Определить квантовые числа двух наиболее близких
2
уровней. Используя экспериментальные значения g  1.00115965218073(28) и
2
B  5T , вычислить длину волны излучения, испускаемого при переходе между такими уровнями в приближении   0 . Указание. Решить уравнение Паули с век 1  
торным потенциалом магнитного поля в виде A  [ B  r ] методом разделения пе2
ременных в цилиндрических координатах (r ,  , z ) , вводя новую радиальную коор-
  B
динату   r 2  x 2  y 2 (10 баллов).
4. Два тождественных фермиона со спином ½ находятся в одномерной потенциальной яме ширины a с бесконечными стенками. Взаимодействие между ними вначале отсутствует. Выписать полные (т.е. включающие спиновую и координатную
часть) волновые функции системы, отвечающие четырём низшим энергетическим
уровням. Вычислить в первом порядке теории возмущений поправки к найденным

уровням энергии за счёт возмущения вида Vˆ ( x)  g ( s1 s 2 ) ( x1  x 2 ) (6 баллов).
ЗАДАНИЕ № 4(срок сдачи 30 декабря).
1. Атом бора в основном состоянии имеет электронную конфигурацию 1s 2 2s 2 2 p .
Определить картину зеемановского расщепления уровней (с учетом тонкой структуры уровней) в предельных случаях сильного и слабого магнитного поля (7 баллов).
2. Однократно заряженная частица находится на уровне с главным квантовым числом n  1 изотропного гармонического осциллятора. Вычислить время жизни частицы на этом уровне, обусловленное однофотонным переходом. Ответ довести до
числа в предположении, что масса частицы равна массе атома рубидия, а частота
осциллятора 
 50 Гц. Найти угловое распределение испущенных квантов при
2
излучении из состояний (n x , n y , n z )  (1,0,0) , (0,1,0) и (0,0,1) соответственно.
(Нейтральные атомы рубидия в осцилляторном потенциале с аналогичными параметрами изучались в опытах с конденсатом Бозе-Эйнштейна.). Каким окажется
время жизни на указанном уровне протона, если характерная энергия для потенциала ядерных сил равна   1 МэВ? (7 баллов)
3. Быстрые электроны рассеиваются протоном, находящимся в ядерном потенциале
вида U  m 2 ( x 2  y 2  z 2 ) / 2 . Найти в борновском приближении дифференциальное сечение упругого рассеяния для случая, когда протон находится в основном состоянии, и неупругого рассеяния с возбуждением протона из основного состояния в состояние с n  n x  n y  n z  1 . Конечно или бесконечно дифференциальное
сечение, проинтегрированное по всем углам? (6 баллов)
4. В экспериментах Р. Хофштадтера по рассеянию электронов с энергией E  183
МэВ на ядрах золота (заряд Z  79 , атомный номер A  197 ) измерен квадрат
модуля формфактора как функция угла рассеяния. Эта зависимость обнаруживает
минимум при угле рассеяния   49.4  . Рассчитать зарядовый формфактор, рассмотрев две формы зависимости
зарядовой плотности ядра от радиу1
  , r  R,
r
са,  (r )   0 e R и  (r )   0
, где R  R0 A 3 . Выразить параметры  0 и
 0, r  R
R0 через заряд ядра Ze и среднеквадратичный радиус зарядового распределения
r 2 . В пользу какого из указанных выше распределений плотности свидетель-
ствуют данные эксперимента? Определить из этих данных величину параметров
 0 и R0 для ядра золота (5 баллов).
Итого 90 баллов.
Пункты программы, незнание которых влечёт оценку «2» на экзамене.
1. Численные значения физических постоянных me , m p , e, c, . в системе СГСЭ. Коэффициент пересчета из эрг в эВ.
2. Оценки энергии основного состояния и характерных размеров по соотношению
неопределенностей для гармонического осциллятора и атома водорода (в случае атома водорода оценки довести до числа!).
3. Явный вид операторов координаты, импульса и их коммутатора в координатном
представлении.
4. Вид уравнения Шредингера для частицы в потенциальном поле в координатном
представлении в общем случае и в стационарном пределе.
5. Вид решений одномерного стационарного уравнения Шредингера в кусочнопостоянном потенциале. Условия сшивания волновой функции в точках, где потенциал
испытывает скачок.
6. Уровни энергии одномерного гармонического осциллятора.
7. Уровни энергии и их кратности вырождения в водороде.
8 Формула для поправки первого порядка к уровням энергии E (1) n в стационарной теории
возмущений.
9 Явный вид операторов спина в случае s  ½. Магнитные подуровни частицы спина
s  ½ с магнитным моментом  в однородном магнитном поле.
10. Оценка электронных, колебательных и вращательных энергий в двухатомной молекуле.
11. Формула Борна для амплитуды рассеяния. Выражение дифференциального сечения
через амплитуду рассеяния.

12. Спектр собственных значений операторов j 2 , j z . Спектр собственных значений j ,
возникающих при сложении моментов j1 и j 2 .
13. Ограничения, налагаемые принципом Паули на симметрию координатной волновой
функции двух электронов относительно перестановки их координат.
Замечания.
 Задание сдается в форме беседы с преподавателем в специально отведенное время
(прием заданий).
 За сданные вовремя задачи из Задания и за контрольные начисляются баллы. Задача
считается сданной вовремя, если она сдана не позже даты, указанной в задании. За несданные вовремя задачи баллы не начисляются!
 Неспособность студента быстро ответить на технические вопросы по представленному
решению считаются попыткой сдать списанную задачу. В этом случае баллы за задачу
не начисляются.
 К этим баллам добавляются баллы, полученные на двух контрольных.
 Для допуска к экзамену (и возможности получить оценку "3") необходимо сдать все
задачи из Задания.
 Для получения на экзамене оценки "4" необходимо в течение семестра набрать не менее 60 баллов.
 Для получения на экзамене оценки "5" необходимо в течение семестра набрать не менее 90 баллов.
 Приём заданий прекращается 30 декабря!
ВВЕДЕНИЕ В ФИЗИКУ ТВЕРДОГО ТЕЛА
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА и некоторые задачи ФТТ
(6 семестр)
1. Основные понятия термодинамики. Температура и энтропия. Термодинамические
потенциалы в разных условиях.
2. Статистический подход к описанию макроскопически больших систем. Число и
плотность состояний. Микроканоническое распределение и статистический смысл
энтропии.
3. Канонический и большой канонический ансамбли. Вычисление термодинамических функций и получение уравнения состояния из статистических распределений.
Флуктуации в ансамблях.
4. Статистическая механика классического идеального газа. Распределение Максвелла – Больцмана. Равнораспределение энергии по степеням свободы. Теплоемкость
многоатомных молекул в классическом пределе. Газ двухатомных молекул. Учет
колебательных и вращательных степеней свободы.
5. Химические реакции и химическое равновесие. Ионизационное равновесие.
6. Идеальный вырожденный Ферми—газ. Электронная теплоемкость.
7. Зонная структура в приближении слабой связи. Подсчет состояний. Классификация кристаллических твердых тел: металлы, полупроводники, изоляторы.
8. Полупроводники. Собственные полупроводники. Доноры и акцепторы. Температурная зависимость числа носителей тока. Энергия и теплоемкость электронной
подсистемы.
9. Идеальный Бозе-газ. Формула Планка. Уравнение состояния. Бозе-газ сохраняющихся частиц. Конденсация Бозе-Эйнштейна.
10. Простая, объемно-центрированная и гранецентрированная кубические решетки.
Обратная решетка. Кристаллические плоскости, индексы Миллера.
11. Колебания атомов в кристалле. Акустические и оптические фононы. Модели Дебая
и Эйнштейна.
12. Термодинамические флуктуации.
13. Зависимость флуктуаций от времени. Броуновское движение и диффузия. Спектральная функция флуктуирующей величины. Обобщённая восприимчивость. Шумы и предел чувствительности приборов. Формула Найквиста.
14. Неидеальные системы. Разложение по степеням плотности. Второй вириальный
коэффициент. Газ Ван-дер-Ваальса. Равновесие фаз. Классификация фазовых переходов. Фазовый переход первого рода. Уравнение Клапейрона-Клаузиуса.
15. Диамагнетизм и парамагнетизм вещества. Ферромагнетизм. Температура Кюри.
Обменное взаимодействие и теория Кюри-Вейсса. Домены.
16. Приближение среднего поля (теория Ландау) для фазовых переходов 2-го рода.
17. Кинетическое уравнение Больцмана. Интеграл столкновений и равновесие.
Интеграл столкновений для рассеяния на примесях. Электропроводность
электронного газа.
Примерный план семинарских занятий.
1. Основные термодинамические соотношения. Применение к идеальному газу с заданной теплоёмкостью CV (T ) и к газу Ван-дер-Ваальса.
2. Микроканоническое распределение на различных примерах: осциллятор, одномерная модель резины
3. Каноническое распределение. Применение к осциллятору, газу дипольных молекул. Система с двумя уровнями при большой кратности вырождения верхнего
уровня.
4. Химическое равновесие. Вычисление констант равновесия реакций.
5. Идеальный вырожденный ферми-газ. Термодинамика и парамагнитная восприимчивость. Эффекты внешнего поля (на примере однородного поля тяжести и осцилляторного потенциала).
6. Полупроводники (собственные и с примесями различных типов).
7. Термодинамические функции газа фотонов; уравнение адиабаты. Бозе-газ сохраняющихся частиц. Изотермы в широком интервале температур. Бозе-коденсация
во внешнем поле (на примере однородного поля тяжести).
8. Простейшие трехмерные кубические кристаллические решетки и обратные к ним.
9. Фононы. Флуктуации положения атомов в кристаллической решетке (в модели Дебая).
10. Стационарные термодинамические флуктуации.
11. Корреляция флуктуаций во времени. Уравнение Ланжевена. Примеры вычисления
для конкретных систем (частица в среде с трением, осциллятор с трением, электрические цепи с емкостью, индуктивностью и сопротивлением.)
12. Фазовые переходы первого рода. Применение уравнения Клапейрона-Клаузиуса.
Критический радиус капли в насыщенном паре.
13. Фазовый переход второго рода на примере упорядочения бинарного сплава (приближение среднего поля).
14. Электропроводность в магнитном поле. Вычисление с помощью уравнения Больцмана в   приближении.
ЗАДАНИЕ № 1 (срок сдачи 10 марта)
1. Вычислить в квазиклассическом приближении плотность энергетических состояний для частицы со спином s в следующих ситуациях. (а) свободная частица в яме
с непроницаемыми стенками в 1,2,3 пространственных измерениях (б) частица в
поле
анизотропного
гармонического
осциллятора
m
U ( x, y, z )  ( 2 x x 2   2 y y 2   2 z z 2 ) (в) частица с электрическим зарядом q в
2

однородном электрическом поле напряженности E  E0 (0,0,1) , помещенной в объем L x  L y  L z . (11 баллов).
2. Плоский конденсатор с площадью пластин  и расстоянием между ними L заполнен газом нейтральных двухатомных молекул, обладающих электрическим дипольным моментом p . Число молекул N , температура T . Сколько тепла выделится при изотермической зарядке конденсатора до разности потенциалов U ?
Найти изменение температуры газа, если при включении электрического поля
газ был теплоизолирован. Считать, что pU <<1 (5 баллов).
TL
3. Газ молекул при температуре T находится в сосуде, ограниченном стенками. Вычислить долю молекул, достигающих стенки, энергия которых превышает  0 (4
балла).
4. Цилиндр свободно подвешен за середину торца. N медленных электронов, поляризованных вдоль оси цилиндра, застревают в нем. В результате взаимодействия
электронов с атомами вещества (за счет спин-орбитальной связи) часть момента
количества движения электронов переходит в момент вращения цилиндра. Считая
теплоемкость цилиндра большой, найти установившуюся угловую скорость вращения цилиндра в зависимости от температуры. Указание. Использовать принцип
максимума энтропии и условие сохранения полного момента количества движения
(5 баллов).
ЗАДАНИЕ №2 (срок сдачи 15 апреля)
1. Найти равновесную степень диссоциации газа двухатомных молекул вида AB с
12
6
 r

r
потенциалом межатомного взаимодействия U (r )  U 0  0   2 0   . Счиr
 r 

тать, что полный электронный спин молекулы и проекция электронного орбитального момента на ось симметрии равны нулю. Атомы A и B , из которых составлена молекула, имеют основные термы 2 S 1 / 2 (6 баллов).
2. Прямоугольный сосуд с площадью основания 10 см 2 и высотой 10 см находится
в однородном поле тяжести Земли. Сколько нейтронов можно поместить в этот сосуд? Вычислить энергию нейтронов. Считать, что вещество сосуда непроницаемо
для нейтронов, а температура T  0 . Взаимодействием нейтронов друг с другом
пренебречь. (5 баллов)
3. Графен является двумерной кристаллической модификацией углерода. Электронно-дырочный спектр графена такой же, как у беспримесного полупроводника с нулевой щелью и с линейным законом дисперсии  e,h  vF
p 2 x  p 2 y , где верхний
(нижний) знак относится к электронам e (дыркам h ), v F  1 108 см/с – скорость
Ферми. (a) Вычислить зависимость от температуры концентрации носителей (то
есть числа носителей на единицу площади) и электронно-дырочной теплоёмкости.
Ответ довести до числа при T  1 K и 300 K. (b) Найти зависимость концентрации
электронов и дырок при наложении однородного электрического поля напряженности E0 , направленного вдоль оси x образца с геометрическими размерами
L x  L y . Учесть, что кроме вырождения по проекции спина у электронов в графене есть дополнительное двукратное вырождение. (8 баллов).
4. 3. N  10 6 атомов 37 Rb 87 находятся в ловушке, действие которой можно представить
потенциалом
анизотропного гармонического осциллятора
m
U ( x, y, z )  Rb  2  ( x 2  y 2 )   2 z z 2 . Поперечная и продольная частоты равны
2



 10 2 Гц,  z
 10 Гц. Спин ядра атома 37 Rb 87 равен 3/2 . Показать, что
2
2
этот атом является бозоном.
Вычислить температуру бозе-эйнштейновской
конденсации T0 для каждого из возможных значений полного момента атома
37
Rb 87 . Найти теплоемкость системы ниже этой точки и выяснить характер ее осо-
бенности в зависимости от температуры в окрестности T0 . Взаимодействием атомов между собой пренебречь (6 баллов).
ЗАДАНИЕ № 3 (срок сдачи 25 мая)

1. Рассчитать геометрический структурный фактор S (q ) для гранецентрированной
кубической и объемно-центрированной кубической структур. Зная, что при дифракции на кристалле рентгеновских лучей с длиной волны 1.542 ангстрема
наблюдались брэгговские углы 12.3 ,14.1 ,20.2  ,24.0  ,25.1 ,29.3 ,32.2  и 33.1 ,
определить соответствующие индексы Миллера. Какой из двух указанных кубических решеток принадлежит исследуемый кристалл? Найти из экспериментальных
данных размер элементарной ячейки (6 баллов).
2. N s атомов, обладающих основным термом
2
S1 / 2 , помещены в кристаллическую
Ns
 10 2 . Начальная температура сиNa
стемы Ti  3 K, внешнее магнитное поле H i  10 кгс. Вся система теплоизолирована. Затем магнитное поле адиабатически выключается. Учитывая колебания кристаллической решетки, найти температуру системы в конце этого процесса, считая,
что остаточное магнитное поле (за счет слабых межатомных взаимодействий), действующее на атомы парамагнитной примеси, равно H f  10 гс. Учет колебаний
кристаллической решетки провести в модели Дебая в предположении, что элементарная ячейка содержит один атом. Температура Дебая D  100 K. При вычислениях считать, что H
<<1 (5 баллов).
k BT
решетку. Число атомов в решетке
Na,
3. Представим, что нанотехнолог изготовил молекулярное устройство, которое способно работать при температуре T , причем постоянство температуры должно поддерживаться на уровне 10 6 . Сколько осцилляторов с угловой частотой   1014 с 1
потребовалось бы для изготовления термостата, поддерживающего стабильность
температуры на таком уровне, при T  100, 200, 300 K? (2 балла).
4. Заряженная частица движется в газе, испытывая действие однородного магнитного поля напряженности B0 , направленного вдоль оси z . Сила трения, действующая


на частицу со стороны газа, пропорциональна скорости: f  v . Температура среды T . Вычислить спектральные плотности величин (v x2, y , z )  , (v x v y )  , (v x , y v z )  .
Найти коэффициенты диффузии D x , D y и D z частицы вдоль трех декартовых координат. Вычислить корреляционную функцию v x (t )v y (0) . (7 баллов).
Итого 80 баллов.
Литература.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
И.Ф. Гинзбург. Введение в физику твёрдого тела. Издательство «Лань» (2007).
Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Статистическая физика, ч.1.
Ю.Б. Румер, М.Ш. Рывкин. Термодинамика, статистическая физика и кинетика.
Ч. Киттель. Статистическая термодинамика.
Ч. Киттель. Введение в физику твердого тела. (Наука, 1978).
Р. Кубо. Статистическая механика.
Г.Л. Коткин. Лекции по статистической физике. РИЦ НГУ.
Пункты программы, незнание которых влечёт оценку «2» на экзамене.
1. Численные значения физических постоянных me , m p , e, c, , k B в системе СГСЭ.
2. Вид распределений Максвелла-Больцмана, Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна. В каких
ситуациях они применяются? Вычисление различных средних с помощью этих распределений.
3. Критерий квантового вырождения идеальных газов.
4. Температурная зависимость теплоемкости электронного газа и решеточной теплоемкости в классической и квантовой области.
5. Теплоёмкость газа  -атомных молекул (  1, 2, 3) в широком интервале температур.
6. Вычисление статсумм двухуровневой системы, поступательного, вращательного и колебательного движения и нахождение соответствующих теплоёмкостей.
7. Условие Вульфа-Брэггов и его физический смысл.
8. Оценки характерных энергий частиц, коэффициентов диффузии и электропроводности.
Замечания.
 Задание сдается в форме беседы с преподавателем в специально отведенное время
(прием заданий).
 За сданные вовремя задачи из Задания и за контрольные начисляются баллы. Задача
считается сданной вовремя, если она сдана не позже даты, указанной в задании. За несданные вовремя задачи баллы не начисляются!
 Неспособность студента быстро ответить на технические вопросы по представленному
решению рассматривается как попытка сдать списанную задачу. В этом случае баллы
за задачу не начисляются.
 К этим баллам добавляются баллы, полученные на двух контрольных.
 Для допуска к экзамену (и возможности получить оценку "3") необходимо сдать все
задачи из Задания.
 Для получения на экзамене оценки "4" необходимо в течение семестра набрать не менее 60 баллов.
 Для получения на экзамене оценки "5" необходимо в течение семестра набрать не менее 80 баллов.
 Приём заданий прекращается 30 мая!
Программу и задания составил А.А. Кожевников.