Методика изучения высшей математики студентами

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра математики
Карякина С.В., Чикирева Т.В.
.
МАТЕМАТИКА
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ И
ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
для студентов, обучающихся по направлению
080200.62 «Менеджмент»
заочной формы обучения
Тюмень, 2013
УДК: 512
К - 27
Карякина С.В., Чикирева Т.В. Математика: методические указания к самостоятельной работе и выполнению контрольных работ и для студентов, обучающихся по направлению 080200.62 «Менеджмент» заочной формы обучения.
– Тюмень: РИО ФГБОУ ВПО ТюмГАСУ, 2013. – 33 с.
Методические указания разработаны на основании рабочей программы
ФГБОУ ВПО «ТюмГАСУ» дисциплины «Математика» для студентов, обучающихся по направлению 080200.62 «Менеджмент». Указания содержат
требования к освоению дисциплины «Математика», задания, указания к выполнению и оформлению контрольных работ студентами заочной формы обучения.
Рецензент: Фомина В.В.
Тираж: 50 экз.
©ФГБОУ ВПО «Тюменский государственный архитектурно-строительный университет»
© С.В. Карякина, Т.В.Чикирева
Редакционно-издательский отдел ФГБОУ ВПО «Тюменский государственный архитектурностроительный университет»
2
1 ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
Процесс изучения дисциплины «Математика» направлен на формирование
следующих компетенций:
ОК-15 - владеть методами количественного анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования.
1.1 Цель преподавания дисциплины
Целями преподавания дисциплины являются: ознакомление студентов с
концептуальными основами дисциплины «Математика» как современной комплексной фундаментальной науки о количественных отношениях и пространственных формах окружающего мира; формирование у студентов навыков, позволяющих обработать и проанализировать информацию о факторах внешней и
внутренней среды организации для принятия управленческих решений.
1.2 Задачи изучения дисциплины
Задачи дисциплины: научить использовать инструменты и методы алгебры,
геометрии, математического анализа, теории вероятностей и математической
статистики для анализа социальных, экономических и технологических процессов; научить студентов логически верно и аргументировано анализировать и
обобщать информацию, делать выводы.
1.3 Требования к уровню освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
Иметь представление:
о роли математики и перспективах ее применения в экономических и естественных науках.
Знать:
основные понятия и инструменты алгебры и геометрии, математического
анализа, теории вероятностей и математической статистики.
Уметь:
решать типовые математические задачи, используемые при принятии
управленческих решений;
использовать математический язык и математическую символику при построении организационно-управленческих моделей;
обрабатывать эмпирические и экспериментальные данные.
применять математические, статистические и количественные методы
решения типовых организационно-управленческих задач.
3
2 МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ СТУДЕНТАМИ
ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ
Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная
работа над учебным материалом, которая состоит из следующих элементов:
изучение материала по учебникам и учебным пособиям, решение контрольных
работ.
Указания студенту по текущей работе даются в методических указаниях,
а также в процессе рецензирования контрольных работ. Студент должен помнить, что только при систематической самостоятельной работе обучение будет
эффективным.
2.1 Изучение разделов дисциплины
Изучите материал разделов соответствующего семестра, перечисленных в
п.3. Изучая материал курса лекций, пользуйтесь учебниками из библиографического списка для более полного и глубокого освоения дисциплины. Следует
особое внимание обращать на определения основных понятий. Полезно вести
конспект, в который рекомендуется выписывать определения, формулы, утверждения и т.п. В конце каждой лекции приведены вопросы, ответы на которые
являются подготовкой к сдаче экзаменов и зачета по дисциплине.
2.2 Решение задач
Освоения теоретических основ курса должно сопровождаться решением
задач. Прежде чем решать задачи, составляющие контрольные работы, разберите задачи с решениями, приведенные в практикуме. В практикум входят типовые задачи обязательного уровня. Решение задач приведенных в практикуме,
студент должен выполнять уверенно, без затруднений. Это требование является
необходимым для сдачи экзамена и зачета.
Решение задач контрольной работы следует выполнять подробно, делая
ссылки на используемые формулы, теоремы и т.д. Решение каждой задачи
должно быть доведено до ответа. Полученный ответ следует проверять способами, вытекающими из сути задачи.
2.3 Самопроверка
После изучения определенной темы и решения задач студенту рекомендуется воспроизвести по памяти ответы на контрольные вопросы и выполнить
решение задач контрольной работы другого варианта.
2.4 Консультации
Если в процессе изучения теоретического материала или при решении задач контрольной работы у студента возникают вопросы, он может обратиться к
тьютору-преподавателю в рамках положения о реализации образовательных
программ с применением электронного обучения и дистанционных образовательных технологий.
4
2.5 Требования к выполнению и оформлению контрольных работ
В процессе изучения курса математики студент должен выполнить 2 контрольные работы в первом учебном семестре, 3 контрольные работы во втором
учебном семестре, 3 контрольные работы в третьем учебном семестре. Контрольные работы должны выполняться самостоятельно для приобретения необходимых навыков и знаний, предусмотренных программой курса.
Без выполненных и зачтенных рецензентом контрольных работ студент
не допускается к сдаче экзамена и зачета.
При оформлении контрольных работ необходимо придерживаться следующих правил.
1. Каждая контрольная работа должна быть представлена в отдельной тетради (или в отдельном файле в формате Word, если студент обучается дистанционно).
2. Титульный лист должен содержать: номер контрольной работы, название
дисциплины, фамилию, имя и отчество студента, направление обучения, номер зачетной книжки.
3. Номер варианта определяется по последней цифре номера зачетной книжки.
4. В работу должны быть включены все задания контрольной работы, выполненные по порядку в соответствии с вариантом.
5. Перед решением каждой задачи необходимо поместить полную формулировку условия задачи и данные своего варианта.
6. Решение задач следует излагать подробно, объясняя все действия по ходу
решения и делая необходимые чертежи. В конце решения должен быть ответ или вывод, соответствующий существу задачи.
7. В незачтенной работе студент должен исправить все отмеченные преподавателем задачи, выполнив работу над ошибками после заголовка «Работа над
ошибками» в этом же файле после основной части. Вносить исправления в
текст уже проверенной работы запрещается.
2.7 Экзамены и зачеты
На экзаменах и зачетах проверяется, прежде всего, отчетливое усвоение
базовых теоретических и практических вопросов программы и умение правильно применять полученные знания к решению практических задач. Экзаменационные и зачетные тесты содержат вопросы, соответствующие содержанию
лекций и задачи, соответствующие практикуму и контрольным работам. Прежде чем приступить в выполнению контрольного теста убедитесь, что определения, утверждения, формулы и правила Вами воспроизводятся правильно по памяти, а решение типовых задач не вызывает затруднений.
3 ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНАМ И ЗАЧЕТУ
I семестр (экзамен)
1. Действия с матрицами.
5
Обратная матрица.
Ранг матрицы.
Собственные значения матрицы.
Определители. Свойства определителей.
Вычисление определителей.
Системы линейных уравнений. Основные понятия и определения.
Исследование системы на совместность и определенность.
Методы решения систем линейных уравнений: метод Крамера; метод обратной матрицы; метод Гаусса; метод Жордана Гаусса.
10.Квадратичные формы.
11.Понятие вектора. Модуль вектора. Координаты вектора.
12.Линейные операции над векторами.
13.Векторное пространство.
14.Базис векторного пространства.
15.Прямая на плоскости и в пространстве.
16.Кривые второго порядка.
17.Плоскость.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
II семестр (зачет)
18.Предел функции.
19.Непрерывность функции.
20.Асимптоты графика функции.
21.Производная функции. Геометрический смысл. Таблица производных.
22.Правило Лопиталя.
23.Исследование функции средствами дифференциального исчисления.
24.Дифференциал функции.
25.Первообразная функции. Неопределенный интеграл. Таблица интегралов.
26.Методы нахождения неопределенных интегралов: табличное интегрирование, замена переменной, интегрирование по частям, интегрирование
рациональных дробей.
27.Определенный интеграл. Геометрический смысл. Формула НьютонаЛейбница, замена переменной, интегрирование по частям. Применение
определенного интеграла для вычисления площадей фигур.
28.Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
29.Функция двух переменных. Область определения. Линии уровня.
30.Производные функции двух переменных.
31.Градиент функции и его свойства.
32.Экстремум функции двух переменных.
1.
2.
3.
4.
III семестр (экзамен)
Линейное программирование. Основная задача линейного программирования. Графическое решение задач линейного программирования.
Алгоритм и правила симплексного метода.
Случайные события. Алгебра событий.
Определения вероятности события. Основные свойства вероятности.
6
5. Теоремы сложения вероятностей. Полная группа событий. Противоположные события.
6. Теоремы умножения вероятностей. Независимые события.
7. Формула полной вероятности. Пример применения.
8. Формула Байеса. Пример применения.
9. Схема независимых испытаний. Формула Бернулли. Пример применения.
10.Локальная теорема Лапласа. Пример применения.
11.Интегральная теорема Лапласа. Пример применения.
12.Виды случайных величин и законы их распределения.
13.Числовые характеристики дискретных случайных величин.
14.Биномиальное распределение.
15.Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
16.Нормальное распределение.
17.Равномерное распределение.
18.Генеральная совокупность. Выборочная совокупность. Статистическое
распределение выборки.
19.Дискретный вариационный ряд. Полигон частот. Полигон относительных
частот. Эмпирическая функция распределения.
20.Точечные статистические оценки параметров распределения.
21.Интервальные статистические оценки параметров распределения.
7
4 СОДЕРЖАНИЕ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
№
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
Контрольные работы
I семестр
№1
№2
11
41
21
51
31
12
42
22
52
32
13
43
23
53
33
14
44
24
54
34
15
45
25
55
35
16
46
26
56
36
17
47
27
57
37
18
48
28
58
38
19
49
29
59
39
20
50
30
60
40
II семестр
№3
№4
№5
61
81
101
71
91
111
121
62
82
102
72
92
112
122
63
83
103
73
93
113
123
64
84
104
74
94
114
124
65
85
105
75
95
115
125
66
86
106
76
96
116
126
67
87
107
77
97
117
127
68
88
108
78
98
118
128
69
89
109
79
99
119
129
70
90
110
80
100
120
130
8
№6
131
141
151
132
142
152
133
143
153
134
144
154
135
145
155
136
146
156
137
147
157
138
148
158
139
149
159
140
150
160
III семестр
№7
161
171
181
162
172
182
163
173
183
164
174
184
165
175
185
166
176
186
167
177
187
168
178
188
169
179
189
170
180
190
№8
191
201
192
202
193
203
194
204
195
205
196
206
197
207
198
208
199
209
200
210
5 ЗАДАНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1
№№ 11-20.
Решить систему линейных уравнений методами:
1) Крамера;
2) обратной матрицы;
3) Гаусса;
4) Жордана - Гаусса.
Выполнить проверку решения.
x1 x 3
1
11. 2 x1
12.
3x 2 2 x 3
5
4 x 2 5 x 3 14
3x1 2 x 3
2
2 x1 3x 2 4 x 3 14
x1 x 2 3x 3
16
5 x1 x 2 7
2 x1 2 x 3
4
13.
4 x1 3x 2 4 x 3 2
5x2
14.
x3
17
2 x1 7 x 2 8 x 3
4 x1 3x 2 3x 3
9
7
5 x1
15.
2 x1
4 x1
2 x3 5
2 x 2 3x 3 15
3x 2 x 3
6
x1
2 x2
16.
5 x1
3x3
17
3x 2 x 3 17
2 x2 4 x3
13
2 x1 3x 3 17
5
17. 4 x1 2 x 2 3x 3
8 x1 5 x 2 4 x 3
27
9
5 x1 2 x 2 3x 3 8
3x1 2 x 3 2
18.
x1 4 x 2 2 x 3
14
19.
4 x1 2 x 2 3x 3
5 x1 2 x 2 x 3
2 x1
20.
2 x2
10
12
10
2 x1 7 x 2 3x 3
7
x1 5 x 2 x 3 6
5 x1 2 x 2 2 x 3
13
№№ 21-30.
Исследовать систему на совместность и определенность. В случае неопределенной системы выписать общее решение и найти любое частное решение. Выполнить проверку решения.
2 x1 x 2 2 x 3 x 4 x 5 1
x1 x 2 x 3 x 4 x 5
3
3 x1 x 2 2 x 3 x 4 x 5 2
21.
3 x1 2 x 2 3 x 3
2
4 x1 x 3
1
2 x1 x 2
x1 2 x 2
x1 3x 2
22.
3x1 3x 2
x1 x 2
2 x3 x 4
x 3 3x 4
x3 x 4
3x 3 4 x 4
x3 2 x4
x5 1
2 x5
2
x5 3
3x5
1
x5 3
2 x1 x 2 2 x3 x 4 x5 0
x1 2 x 2 x3 x 4 3x5
1
2 x1 x 2 2 x3 x 4 x5
2
23.
3x1 3x 2 3x3 2 x5
1
3x1 x 2 x3 2 x5
3
10
2 x1 x 2 2 x3 x 4 x5 1
x1 x 2 x3 x 4 2 x5
1
3x1 x 2 2 x3 x 4 x5 2
24.
6 x1 x 2 x3 x 4 2
3x1 2 x 2 3x3 x5 0
2 x1 3x 2 2 x3 x 4 x5 0
x1 2 x 2 x3 x 4 3x5
1
2 x1 x 2 2 x3 x 4 x5
2
25.
3x1 5 x 2 3x3 2 x5
1
3x1 x 2 x3 2 x5
3
2 x1 x 2
x1 x 2
3x1 x 2
26.
3x1
4 x1
2 x 3 x 4 x5 1
x 3 x 4 x5
3
2 x 3 x 4 3x5 2
2 x 2 3x 3
2
x 3 2 x5
1
2 x1 x 2 2 x3 x 4 x5 1
x1 x 2 x3 x 4 2 x5
1
3x1 x 2 2 x3 x 4 3x5 2
27.
6 x1 x 2 x3 x 4 2 x5 2
3x1 2 x 2 3x3 x5 0
2 x1 x 2 2 x3 x 4
x1 2 x 2 x3 3x 4
x1 2 x 2 x3 x 4
28.
3x1 3x 2 3x3 4 x 4
x1 x 2 x3 2 x 4
x5 1
2 x5
2
x5 3
3x5
1
x5 3
x1
2 x1
3x1
29.
2 x1
3x1
3x5 1
3x5 2
3x5 1
9 x5 2
6 x5 3
x2
2 x2
3x 2
2 x2
3x 2
3x 3
4 x3
5 x3
8 x3
7 x3
2 x4
x4
2 x4
3x 4
3x 4
11
2 x1 x 2 x3
6 x1 3x 2 2 x3
6 x1 3x 2 4 x3
30.
4 x1 2 x 2 x3
4 x1 2 x 2 x3
2 x4
4 x4
8 x4
x4
2 x4
3x5
5 x5
13 x5
2 x5
2 x5
2
3
9
1
1
№№ 31-40.
Дана квадратичная форма.
1) Выписать матрицу квадратичной формы.
2) Исследовать знакоопределенность квадратичной формы.
2
4 x1 x2 3x2
2
2
2 x1 x2
2
31.
2 x1
32.
3x1
33.
x1
34.
6 x1
35.
x1
36.
2 x1
2
4 x1 x2
4 x2
2
37.
2 x1
2
4 x1 x2 3x2
2
38.
3x1
2
6 x1 x2 5 x2
2
39.
7 x1
2
8 x1 x2 3x2
2
40.
9 x1
2
10 x1 x2 3x2
2
2 x2
4 x1 x2 5 x2
2
2
4 x1 x2
x2
2
2
10 x1 x2 8 x2
2
2
12
6 ЗАДАНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2
№№ 41-50.
Даны координаты вершин треугольника АВС. Построить треугольник в декартовой системе координат. Найти:
1) длины сторон треугольника;
2) углы треугольника;
3) уравнения прямых, содержащих стороны треугольника;
4) уравнение медианы, проведенной из вершины В;
5) уравнение высоты, проведенной из вершины С;
6) длину высоты, проведенной из вершины А;
7) площадь треугольника;
8) систему неравенств, задающую внутреннюю область треугольника.
41. А(-2;3)
B(3;6)
C(6;-1)
42. А(-2;-2)
B(2;5)
C(5;2)
43. А(-5;3)
B(5;1)
C(0;-2)
44. А(3;3)
B(-1;-3)
C(3;-2)
45. А(6;2)
B(-3;-2)
C(0;4)
46. (3;-4)
B(0;3)
C(10;2)
47. А(-3;1)
B(2;6)
C(3;-3)
48. А(-5;-4)
B(-2;3)
C(3;1)
49. А(1;-1)
B(-5;1)
C(6;4)
50. А(-3;4)
B(5;-2)
C(4;6)
13
№№ 51-60.
Кривая второго порядка задана уравнением.
1) Привести уравнение кривой к каноническому виду.
2) Выписать параметры кривой.
3) Построить кривую.
2
51. x
4y2
2x 8 y 1 0
2
52. x
4 y2
2x 8 y 7
0
2
2
53. 4 x 9 y 8 x 18 y 23 0
2
54. 4 x
9y2
8 x 18 y 41 0
2
55. x
9y2
2 x 18 y 1 0
2
56. x
9y2
2 x 18 y 17
0
2
2
57. 4 x 16 y 16 x 32 y 32
2
2
58. 4 x 16 y 16 x 32 y 64
2
59. x
9y2
4 x 18 y 4
2
60. x
9y2
4 x 18 y 14
0
0
14
0
0
7 ЗАДАНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 3
№№ 61-70.
Найти пределы.
61. 1.
2.
62. 1.
2.
63. 1.
2.
64. 1.
2.
65. 1.
2.
66. 1.
2.
67. 1.
x2 x 6
lim
при а) х0= -1; б) х0=2; в) х0=∞
x x0 2 x 2
10 x 12
7 x 2
sin 2 2 x
lim
3. lim
x 3
x 0 sin 2 3 x
x 3
2x2 4x 6
lim
x x0 x 2
5 x 6 при а) х0=2; б) х0= -3; в) х0=∞
x 1
sin 3x
lim
lim
3. x 0
x
1 8
tg5 x
x 3
x2 4x 5
lim
x x0 3x 2
9 x 6 при а) х0=6; б) х0= -1; в) х0=∞
tg 2 x
3 x 1
lim
lim
3. x 0
x 2
tg3x
2 x
4x2 4x 8
lim
x x0 x 2
4 x 3 при а) х0= -3; б) х0=1; в) х0=∞
6 x 1
sin 2 2 x
lim
3. lim
x
5
x 0
5 x
3x 2
3x 2 9 x 30
lim
x x0
x 2 x 2 при а) х0= -4; б) х0= -2; в) х0=∞
x 3 2
lim
sin 3x ctg5 x
3. lim
x 1
x 0
3x 3
x 2 3x 10
lim
при а) х0=3; б) х0= -5; в) х0=∞
x x0 4 x 2 16 x 20
2
4 x
lim
tg 2 x ctg5 x
3. lim
x 0
x 0
3x
2x2 4x 6
lim
x x0 x 2
x 6 при а) х0= -4; б) х0=3; в) х0=∞
15
2.
68. 1.
2.
69. 1.
2.
70. 1.
2.
4 x 3
2x2
lim
3. lim
x 5
x 0 sin 2 3x
2 x 10
x2 2x 8
lim
x x0 5 x 2
35 x 60 при а) х0= -1; б) х0=4; в) х0=∞
2 x
tg2 x
lim
lim
3. x 0
x
2
sin 7 x
3 x 1
3x 2 9 x 30
lim
x x0 x 2
6 x 5 при а) х0= -3; б) х0=5; в) х0=∞
sin 2 x
2x 1 3
lim
lim
3. x 0
x 4
tg3x
4 x
2 x 2 14 x 20
lim
x x0 x 2
2 x 35 при а) х0=1; б) х0= -5; в) х0=∞
7 x 2
tg 2 5 x
lim
3. lim
x
3
x 0 4x2
x 3
№№ 71-80.
Для каждой функции:
1) выписать область определения;
2) найти точки разрыва и определить род разрыва;
3) установить наличие вертикальных и горизонтальных асимптот;
4) сделать схематический чертеж графика функции.
x
71. 1. y
72. 1. y
73. 1. y
x 1
x 2
x 2
x 3
x 1
x 3
1
2. y
3x
3
3.
y
2, x 0
1 x2, 0 x 1
3
2. y
2
1
x 1
3.
y
x, x
x 3, x 0
4 x2, 0 x 2
2 x, x
1
2. y
5x
3
3.
y
2
2 x 2, x 0
x 2 1, 0 x 1
3, x 1
16
1
74. 1. y
x
x
4
2
1
2. y
4x
2
3.
y
2 x2 , x 0
1, 0 x 2
2 x, x 2
x2 , x 0
75. 1. y
x 3
x 1
2. y
3
1
x 4
3.
y
cos x, 0 x
x, x
x
76. 1. y
77. 1. y
x 2
x 1
x 3
x 2
2. y
2
1
x 1
y
2, x
sin x,
x
2
3.
x2 , x
1
2. y
5x
2
3.
y
79. 1. y
80. 1. y
x
x
4
2
x 1
x 3
x
x
2
4
2
2
x 1, x 0
2 x2, 0 x 1
3 2 x, x 1
x 2, x
78. 1. y
2
1
2. y
4x
3
3.
y
2x ,
1 x
x, x
1
2. y
3x
4
3.
y
1
2
2
3 x, x 0
1 x2 , 0 x 1
3 x, x 1
1
2. y
2x
5
17
3.
y
x 1, x 0
2 x, 0 x 1
x 3 1, x 1
8 ЗАДАНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 4
№№ 81-90.
Провести исследование функции по следующему плану:
1) выписать область определения функции;
2) установить наличие симметрии графика функции;
3) установить наличие асимптот;
4) найти интервалы монотонности и экстремумы;
5) найти интервалы выпуклости и точки перегиба;
6) найти точки пересечения с осями;
7) построить график функции.
81.
y
82.
y
83.
y
84.
y
85.
y
86.
y
87.
y
88.
y
89.
y
90.
y
x2
2x 1
x2
x 2
x2
x 1
3x 2 1
2x 1
3x 2 1
x 1
x2 3
x 2
1 x2
x 3
2x2 1
x 2
2x2 1
x 2
2x2 1
x 1
18
№№ 91-100.
Найти экстремум функции
2
2
91. z=x -y +2(x-y)
2
2
92. z=2x +y -4x+6y
2
2
93. z=4x -2xy+3y
2
2
94. z=3x +y +12x-4y
2
2
95. z=x -3xy+5y
2
2
96. z=5x +y +xy-8y
2
97. z=(2x-y) +5x
2
2
98. z= -2x -3y -6(x+y)
2
2
99. z=x -y +7xy-y
2
100. z= -(3x+2y) +xy
19
9 ЗАДАНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 5
№№ 101-110.
Найти неопределенные интегралы.
4
101. 1.
3.
102. 1.
3.
2 ln x
dx
x
2.
4.
2 x 3 cos2 x
dx
sin 2 x x 4
2.
x e
3x 3
103. 1.
1 x
8
3 4 cos2 x sin 2 xdx
x3
x arctg4 xdx
x/2
3
x2
dx
x(1 ln 2 x )
x3
dx
4.
5
dx
6x 7
x2
4
dx
2x 3
e5x
dx
2.
1 e
x3
5x 2
2
dx
2x 3
3.
x sin 3 xdx
4.
104. 1.
e tg 3 x
dx
cos2 3x
5 xdx
2.
1 x4
3.
105. 1.
3.
106. 1.
3.
5
x2
x3
x ln 2 xdx
4.
dx
5 x ln 3 x
2.
3x
x e dx
4.
x2
3
dx
5
dx
6x 5
5 3sin 3x cos3xdx
x3 8
dx
x2 2x 3
xdx
2dx
tg3x
2.
x cos3xdx
4.
20
5 x2
x3 3
dx
x 2 3x 10
3xdx
107. 1.
2.
1 x4
x3
3. arcsin 2 xdx
4.
3x 2 e x
dx
x3 e x
5 ln x
dx
x2
108. 1.
3.
e
109. 1.
2x 3
2.
4.
5
110. 1.
3.
6
dx
x 2 2x 8
3 ln( x 2)
dx
x 2
x3 2
dx
x 2 8x 7
x2
dx
2.
2 x
x3
x arctg3 xdx
3.
arctg3 2 xdx
1 4x2
4.
x2
3 4
dx
2
dx
5x 4
4 x 2 dx
1 x6
7 ln x
dx
2x
2.
x sin 4 xdx
x3 1
dx
4.
2
x 7 x 10
№№ 111-120.
Построить в координатной плоскости фигуру, ограниченную линиями. Найти
площадь фигуры.
111. y=x
2
112. y=x
3
113. y=4/x
114.
y
x
115. y=-x
116. y=x
2
2
+1
3
117. y=x -2
2
118. y= -(x-1)
2
119. y=x
3
120. y=x
y=x+2
y=4x
y=0
y 2 x
y= -1
y=3-x
y=0
y= -1
y=2-x
y=8
y=x
y 0
x=0
x=0
21
x=4
№№ 121-130.
Вычислить несобственный интеграл.
121.
e
122.
dx
x ln 2 x
xe
x2 1
dx
1
0
123.
124.
1
x2
dx
4x 5
x2
dx
2x
2
xdx
125.
2
( x 2 1) 3
x2
dx
4x 5
127.
x2
dx
2x 2
128.
xdx
3 x4
126.
2
0
0
0
2 2 x3
x e
129.
130.
0
x2
dx
dx
6x 10
22
10 ЗАДАНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 6
№№ 131-140.
Решите задачи на нахождение вероятности события.
131.
Рабочий обслуживает за смену два станка. Вероятность, что в течение смены потребует внимания первый станок – 0,4; второй станок – 0,3. Найти вероятность, что в течение смены потребует внимания хотя бы один станок.
132.
Произведено 7 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность
появления события А равна 0,3. Найти вероятность, что событие А появится
хотя бы один раз.
133.
Предприятие изготовляет 95% изделий, причем из них 30% высшего качества. Найти вероятность, что наудачу взятое изделие, изготовленное на этом
предприятии, будет высшего качества.
134.
Три стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8; для второго стрелка – 0,85 и для третьего
стрелка – 0,9. Найти вероятность, что мишень будет поражена дважды.
135.
В телестудии три видеокамеры. Для каждой из них вероятность быть включенной – 0,8. Найти вероятность, что в данный момент работают две камеры.
136.
В семье трое детей. Вероятность рождения мальчика 0,51. Найти вероятность, что все дети одного пола.
137.
Охотник выстрелил по удаляющейся мишени четыре раза. Вероятность попадания при первом выстреле – 0,8; а после каждого выстрела вероятность попадания уменьшается на 0,1. Найти вероятность того, что мишень не будет поражена.
138.
Вероятность попадания бомбы на объект составляет 0,8. Вероятность того,
что бомба взорвется, составляет 0,95. Найти вероятность разрушения объекта.
139.
Упаковка содержит 20 годных и 3 бракованных пар обуви. Найти вероятность, что среди трех взятых наудачу пар обуви нет бракованных.
130.
Произведено 6 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность
появления события А равна 0,6. Найти вероятность того, что событие А появится хотя бы в одном испытании.
23
№№ 141-150.
Решите задачи на нахождение вероятности события.
141.
Предприятие выпускает в первую смену 70% продукции, а во вторую –
30%. Продукция высшего качества составляет 80% и 65% для каждой смены
соответственно. Найти вероятность, что наудачу взятое изделие высшего качества.
142.
На сборку поступает 60% деталей с первого автомата и 40% деталей со
второго. Процент брака составляет 5 и 7 процентов для каждого автомата соответственно. Проверенная деталь оказалась стандартной. Найти вероятность, что
она изготовлена на первом автомате.
143.
В населенный пункт поставляется 60% продукции самолетом и 40% продукции автотранспортом. При перевозке самолетом и автотранспортом приходит в негодность 3% и 10% продукции соответственно. Найти вероятность, что
взятый наугад продукт пришел в негодность.
144.
В магазин в равном количестве поступают яблоки трех видов. Стандартная
продукция для каждого вида составляет 95%; 90%; 85% соответственно. Найти
вероятность, что наудачу взятое яблоко будет стандартным.
145.
На конвейер поступают детали с двух автоматов, причем производительность первого автомата в два раза больше. Процент брака для первого автомата
составляет 0,1%, для второго автомата – 2%. Найти вероятность, что взятая
наудачу стандартная деталь произведена вторым автоматом.
146.
В магазин поступает продукция от трех поставщиков в соотношении 2:4:5.
Вероятности, что продукция некачественная составляют 0,1; 0,15 и 0,2 соответственно для каждого поставщика. Найти вероятность, что взятая наудачу продукция оказалась качественной.
147.
В первом ящике 30 деталей, из них 20 первого сорта, во втором ящике 50
деталей, из них 35 первого сорта. Найти вероятность взять деталь первого сорта
из наудачу выбранного ящика.
148.
В олимпиаде участвуют студенты четырех ВУЗов по 10 человек. Вероятность победить для первой команды составляет 0,8; для второй команды – 0,85;
для третьей и четвертой соответственно 0,9 и 0,75. Найти вероятность, что занявший первое место студент из второй команды.
24
149.
Детали на сборку поступают с четырех станков в соотношении 3:4:5:2.
Процент брака составляет 2; 3; 0,5 и 1,5 соответственно для каждого станка.
Найти вероятность, что взятая наудачу деталь качественная.
150.
В магазин поступают партии изделий от трех поставщиков в равном количестве. Первый поставщик поставляет 2% нестандартных изделий, второй – 3%,
третий – 1,5%. Найти вероятность того, что взятое наудачу стандартное изделие
поступило от первого поставщика.
№№ 151-160. Решите задачи на нахождение вероятности события.
151.
Два равносильных противника играют в шахматы. Какова вероятность для
первого игрока выиграть три партии из четырех? Ничьи во внимание не принимаются.
152.
Вероятность поражения мишени равна 0,75. Найти вероятность того, что
при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 80 раз.
153.
Вероятность появления события А в каждом независимом испытании равна
0,6. Произведено 70 испытаний. Найти вероятность того, что событие А появится в большинстве испытаний.
154.
Найти вероятность, что событие А появится ровно три раза в пяти независимых испытаниях, если в каждом испытании вероятность появления события
А равна 0,4.
155.
Монета брошена 50 раз. Найти вероятность того, что "герб" появится ровно
35 раз.
156.
Вероятность появления события А в каждом независимом испытании равна
0,4. Найти вероятность того, что событие А появится не более 20 раз при 50 испытаниях.
157.
Монету бросают четыре раза. Найти вероятность того, что "герб" выпадет
три раза.
158.
Вероятность поражения мишени равна 0,8. Найти вероятность того, что при
40 выстрелах мишень будет поражена ровно 30 раз.
25
159.
Монету бросают 30 раз. Найти вероятность того, что герб появится от 10 до
20 раз.
160.
В семье пять детей. Найти вероятность, что среди этих детей три мальчика.
Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.
11 ЗАДАНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 7
№№ 161-170.
Дискретная случайная величина X задана законом распределения вероятностей.
1) Найти значение а , построить многоугольник распределения.
2) Найти функцию распределения и построить график функции распределения.
3) Вычислить P( X 2,5) .
4) Найти числовые характеристики величины Х.
5) Найти числовые характеристики величины (2Х-3).
161.
xi
-5
2
3
4
pi
0,4
а
0,1
0,2
xi
-3
1
2
3
pi
0,1
а
0,2
0,2
xi
-5
2
3
4
pi
0,4
а
0,1
0,2
xi
-8
-2
1
2
pi
а
0,4
0,1
0,3
xi
-5
-1
1
2
pi
0,4
0,2
а
0,2
162.
163.
164.
165.
26
166.
xi
-4
2
3
5
pi
а
0,5
0,1
0,2
xi
-5
2
3
4
pi
0,4
а
0,1
0,2
xi
-1
1
3
4
pi
0,2
а
0,3
0,2
xi
-6
-3
3
4
pi
0,1
а
0,1
0,3
xi
-8
2
4
5
pi
0,4
0,4
0,1
а
167.
168.
169.
170.
№№ 171-180.
Непрерывная случайная величина задана плотностью вероятности f(x).
1) Найти числовые характеристики величины Х.
2) Найти функцию распределения F(x).
3) Построить графики интегральной и дифференциальной функций распределения.
4) Найти вероятность попадания значений случайной величины в заданный
интервал [a;b].
171. f ( x)
0, x 0
3x , 0 x 1 ,
0, x 1
2
a=0; b=0,5.
27
172. f ( x)
173. f ( x)
0, x
0
6 x 2, 0
x
0, x
1
3
0, x 0
2
x, 0 x 3 ,
9
0, x 3
0, x
1
3,
a=0; b=0,25.
a=1; b=2.
0
174. f ( x)
1
x, 0 x 2 ,
2
0, x 2
a=1; b=2.
175. f ( x)
0, x 0
2 x, 0 x 1 ,
0, x 1
a=0,25; b=0,5.
176. f ( x)
0, x 2
1
, 2 x 4,
2
0, x 4
a=2; b=3.
0, x
177. f ( x)
178. f ( x)
1
1, 1 x 2 ,
0, x 2
0, x 0
1
, 0 x 4,
4
0, x 4
0, x
179. f ( x)
1
,
3
1
0, x
0, x
180. f ( x)
a=1; b=1,5.
a=1; b=3.
1
x
2,
a=0; b=1.
2
4
1
,4 x 6 ,
2
0, x 6
a=4; b=5.
28
№№ 181-190.
Для изучения количественного дискретного признака Х из генеральной совокупности извлечена выборка. Требуется:
1) построить вариационный ряд;
2) найти статистическое распределение выборки в виде распределения частот и построить полигон частот;
3) найти распределение относительных частот и построить полигон относительных частот;
4) найти эмпирическую функцию распределения и построить график этой
функции;
5) найти выборочную среднюю;
6) найти выборочную дисперсию;
7) найти «исправленную» выборочную дисперсию.
181.
1; 2; 3; 4; 5; 6; 1; 2; 3; 4; 2; 3; 4; 3; 4; 3; 4; 4; 3; 4.
182.
1; 3; 5; 3; 5; 6; 2; 3; 5; 6; 5; 2; 6; 3; 2; 3; 5; 3; 6; 7.
183.
1; 4; 5; 6; 5; 1; 6; 4; 5; 2; 5; 2; 4; 5; 4; 5; 6; 6; 8; 4.
184.
1; 3; 1; 3; 3; 4; 8; 4; 4; 5; 4; 5; 5; 4; 5; 6; 6; 4; 6; 8.
185.
1; 2; 2; 1; 2; 3; 3; 2; 3; 3; 4; 3; 3; 4; 4; 3; 4; 5; 4; 6.
186.
2; 4; 3; 2; 3; 4; 3; 4; 3; 4; 5; 4; 5; 5; 5; 6; 5: 6; 5; 8.
187.
3; 4; 5; 7; 3; 7; 4; 9; 5; 7; 5; 7; 8; 4; 8; 4; 7; 5; 8; 9.
188.
1; 6; 3; 5; 6; 5; 7; 5; 6; 5; 6; 5; 6; 1; 3; 6; 3; 5; 7; 9.
189.
1; 3; 7; 9; 3; 5; 6; 5; 5; 6; 1; 3; 6; 5; 6; 7; 3; 5; 7; 9.
190.
2; 4; 5; 4; 5; 6; 4; 8; 9; 4; 5; 6; 5; 4; 5; 5; 6; 5; 6; 8.
29
12 ЗАДАНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 8
№№ 191-200.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z в заданной области:
1) графическим методом;
2) симплекс-методом.
3 x1 x2
x1 x2
191. Z= -x1+2x2 в области
2 x1 x2
192. Z=x1+3x2
в области
-3x1-x2 в области
-x1+3x2 в области
196. Z=2x1+x2
-x1-x2
3
для x1
24
5x2
в области
2 x1 x 2
2 x1 3 x 2
30
0.
0, x2
0.
0, x2
0.
15
3 x1 7 x 2 7
в области x1 x 2 5 для x1
x1 3 x 2 15
5x2
0, x2
6
x1 x 2 3
для x1
3 x1 2 x 2 12
3 x1
197. Z=
3x2
0.
3
x1 2 x 2 8
для x1
x1 x 2 8
2 x1
195. Z=
x2
x1 3 x 2
4 x1 3 x 2
5 x1
194. Z=
0, x2
3 x1 4 x 2
4
в области 3 x1 2 x 2 6 для x1
x1 x 2 5
x1
193. Z=2x1-x2
2
4
для x1
10
0, x2
0.
0, x2
0.
0, x2
0.
10
2
для x1
12
x1 x 2 2
3 x1 4 x 2
4
198. Z= -2x1+x2 в области
для x1
6 x1 5 x 2 30
199. Z=2x1+3x2
200. Z=3x1-2x2
в области
x1
x2
4
x1
7 x1
3x2
5x2
3
для x1
35
3 x1
4 x2
12
в области x1 2 x 2
2 x1
x2
6
для x1
6
0, x2
0.
0, x2
0.
0, x2
0.
№№ 201-210.
Для производства двух видов продукции А и В используют три вида сырья с
запасами соответственно с1, с2 и с3 кг. На изготовление единицы продукции вида А расходуется а1 кг сырья первого вида, а2 кг сырья второго вида и а3 кг сырья третьего вида. На изготовление единицы продукции вида В расходуется b1,
b2 и b3 кг сырья каждого вида соответственно. От реализации единицы готовой
продукции видов А и В получают прибыль а и b денежных единиц соответственно. Определить максимальную прибыль от реализации всей продукции.
201. a1= 20; a2= 12; a3= 5; b1= 15; b2= 24; b3= 5;
c1= 630; c2= 510; c3= 220; a= 8; b= 12.
202. a1= 18; a2= 12; a3= 7; b1= 15; b2= 21; b3= 10;
c1= 271; c2= 330; c3= 165; a= 8; b= 13.
203. a1= 11; a2= 12; a3= 15; b1= 6; b2= 16; b3= 24;
c1= 271; c2= 330; c3= 445; a= 11; b= 8.
204. a1= 21; a2= 16; a3= 9; b1= 6; b2= 11; b3= 24;
c1= 503; c2= 451; c3= 480; a= 17; b= 9.
205. a1= 15; a2= 8; a3= 8; b1= 4; b2= 13; b3= 11;
c1= 188; c2= 210; c3= 303; a= 9; b= 14.
206. a1= 14; a2= 8; a3= 15; b1= 10; b2= 19; b3= 9;
c1= 220; c2= 355; c3= 409; a= 10; b= 8.
31
207. a1= 11; a2= 15; a3= 18; b1= 9; b2= 18; b3= 13;
c1= 255; c2= 431; c3= 556; a= 10; b= 12.
208. a1= 13; a2= 9; a3= 11; b1= 15; b2= 17; b3= 12;
c1= 458; c2= 401; c3= 490; a= 5; b= 7.
209. a1= 17; a2= 8; a3= 5; b1= 10; b2= 14; b3= 9;
c1= 509; c2= 320; c3= 267; a= 9; b= 6.
200. a1= 12; a2= 5; a3= 11; b1= 7; b2= 14; b3= 16;
c1= 490; c2= 316; c3= 557; a= 15; b= 9.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Основная литература
1. Красс М.С., Чупрынов Б.Л. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. Учебник. - М.: Дело, 2006.- 720 с.
2. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов: Учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям.-3-е изд.М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2006, - 311 с.
3. Задачник по высшей математике: Учебн. Пособие для вузов / Шипачев
В.С. – 3-е изд.,стер. – М. Высш.шк., 2008. – 304с.
Дополнительная литература
4. Ермаков В.И., Бобрик Г.И. и др. Сборник задач по высшей математике
для экономистов: Учебное пособие под ред. В.И Ермакова. – М.: ИНФАМ, 2002. – 575 с.
5. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. и др. Высшая математика для экономистов:
Учебное пособие под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ,
1997. – 439 с.
6. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под ред.
Ермакова В.И. – М.: ИНФРА-М, 2003. – 656 с.
Справочная и нормативная литература
7. Рудаков Б.П. Школьная и вузовская математика в формулах и графиках –
справочное учебное пособие. – Тюмень: Издательство «Вектор Бук»,
2005. – 272 с.
32