Вопросы к экзамену по мат

Вопросы к экзамену по математическому анализу.
1 семестр.
Лектор: Семенко Т.И.
1. Множество. Элемент множества. Пустое множество. Подмножество. Равные
множества. Операции над множествами: пересечение, объединение, разность,
симметрическая разность. Прямое (декартово) произведение множеств.
2. Аксиоматика множества вещественных чисел: свойства арифметических операций и
отношения порядка, аксиома полноты. Рациональные, иррациональные числа. Целая,
дробная часть вещественного числа.
3. Модуль вещественного числа. Основные свойства модуля. Геометрический смысл |a|
и |a-b|.
4. Ограниченное множество. Верхняя и нижняя границы множества. Грани.
Характеристические свойства граней.
5. Теорема о существовании граней ограниченного множества.
6. Максимальный и минимальный элементы множества, их связь с гранями множества.
7. Лемма Кантора (о вложенных отрезках).
8. Отображение. Инъективное, сюръективное, биективное отображение. Образ,
прообраз множества.
9. Функция. Область определения, множество значений. Способы задания функций.
График функции. Равные функции. Сужение функции на множество. Взаимно
однозначная функция.
10. Ограниченная функция. Верхняя и нижняя грани функции. Монотонная, строго
монотонная функция.
11. Периодическая функция. Четная и нечетная функции. Представление функции в виде
суммы четной и нечетной. Четное и нечетное продолжения функции.
12. Обратная функция, условие ее существования.
13. Сложная функция (композиция функций), ее область определения.
14. Понятие элементарной функции. Простейшие элементарные функции, их графики.
Классификация элементарных функций.
15. Числовая последовательность. Арифметические операции над числовыми
последовательностями. Ограниченная последовательность. Монотонная
последовательность.
16. Предел числовой последовательности.
17. Бесконечно малая последовательность. Свойства бесконечно малых
последовательностей. Теорема о представлении последовательности, имеющей
конечный предел.
18. Бесконечно большая последовательность. Связь между бесконечно малыми и
бесконечно большими последовательностями.
19. Основные теоремы о пределе последовательности.
20. Свойства предела последовательности, связанные с неравенствами.
21. Теорема Вейерштрасса (о сходимости монотонной ограниченной последовательности).
Последовательность Эйлера. Число e.
22. Подпоследовательность. Частичный предел последовательности (предельная точка).
23. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании сходящейся
подпоследовательности у ограниченной последовательности.
24. Фундаментальная последовательность. Критерий Коши.
25. Открытые и замкнутые множества, их свойства. Компактные множества. Предельная
точка множества.
26. Предел функции в точке.
27. Пределы функции на бесконечности. Бесконечные пределы.
28. Односторонние пределы функции в точке. Связь существования предела в точке с
существованием односторонних пределов.
29. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва, их классификация.
30. Основные теоремы о пределе функции: единственность предела; локальная
ограниченность функции, имеющей конечный предел; предел суммы, произведения,
частного функций.
31. Теорема о переходе к пределу в неравенствах f ( x)  c , f ( x)  c , f ( x)  g ( x) ,
f ( x )  h( x )  g ( x ) .
32. Теорема о пределе сложной функции. Замена переменной при вычислении предела.
33. Основные свойства непрерывных функций.
34. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, связь между ними. Теорема о
представлении функции, имеющей конечный предел, в виде суммы предела и
бесконечно малой функции. Свойства бесконечно малых функций.
35. Основные свойства бесконечно больших функций.
36. Особые случаи при вычислении пределов суммы, произведения, частного.
Неопределенности.
37. Первый замечательный предел.
38. Второй замечательный предел.
39. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые. Примеры.
Использование эквивалентных бесконечно малых при вычислении пределов.
40. Непрерывность функции на множестве. Свойства функций, непрерывных на отрезке:
первая и вторая теоремы Больцано-Коши.
41. Свойства функций, непрерывных на отрезке: первая теорема Вейерштрасса.
42. Свойства функций, непрерывных на отрезке: вторая теорема Вейерштрасса.
43. Равномерная непрерывность функции на множестве. Теорема Кантора.
44. Теорема о существовании и непрерывности функции, обратной к строго монотонной.
45. Определение и доказательство непрерывности простейших элементарных функций
(const, степенной, показательной, логарифмической, тригонометрических).