Листок 30 (элемент длины и элемент объема) Пусть U ⊂ R 2

Листок 30 (элемент длины и элемент объема)
f : U → Rn |
невырожденной производной. Положим X = f (U ). Ясно, что
Пусть
U ⊂ R2
| открытое множество и
гладкое вложение с
f 0 (x; y )(@=@x) = fx (x; y ); f 0 (x; y )(@=@y ) = fy (x; y )
(в правой части касательные векторы к
Стало быть, если
d
X
| элемент площади на
отождествлены с векторами из
X , то
f ∗ d (@=@x; @=@y ) = d (fx (x; y ); fy (x; y )) =
Rn ).
EG − F 2 ;
p
где
E = (fx ; fx ); F = (fx ; fy ); G = (fy ; fy );
R √
так что площадь поверхности X равна U EG − F 2 dxdy .
2=3 + y 2=3 = 1.
1. Найдите длину кривой, заданной уравнением x
2.
Найдите площадь поверхности в
R3 ,
заданной условиями
z = xy; x2 + y 2 6 1:
3.
Найдите площадь поверхности в
R3 ,
заданной условиями
z 2 = xy; x > 0; y > 0; z > 0; x + y 6 1:
4.
Найдите площадь поверхности тора в
R4 ,
заданного уравнениями
x21 + x22 = 1; x23 + x24 = 1:
5.
Найдите площадь поверхности тора в
с уравнениями
вокруг оси
R3 ,
полученного вращением окружности
2
2
(x − 2) + y = 1;
z=0
Ox.
6.
Найдите площадь поверхности, полученной вращением графика функции
7.
Пусть
tg x, 0
6 x 6 =4,
X
вокруг оси Ox.
| сфера в R3 , заданная уравнением
Z
X
y
=
x2 + y 2 + z 2 = 1. Найдите
(x + y + z )d:
X | единичная сфера в R3 (она задана уравнением x2 + y 2 + z 2 = 1),
и пусть Y | цилиндр в R3 , заданный уравнением x2 + y 2 = 1; через dX и dY
обозначим соответствующие формы площади. Через ' обозначим отображение,
ставящее в соответствие точке p сферы точку '(p) цилиндра, имеющую ту же
координату z и обладающую тем свойством, что прямая p; '(p) пересекает ось Oz .
Сравните формы dX и '∗ dY .
8.
Пусть
9.
Рассмотрим в
Rn
форму
! = x1 dx2 ∧ : : : dxn − x2 dx1 ∧ dx3 : : : ∧ dxn + : : : + (−1)n−1 xn dx1 ∧ : : : ∧ dxn−1
(в
k-м
dxk и имеется коэффициент xk , знаки чередуются).
! на единичную сферу совпадает с формой объема.
слагаемом пропущено
Докажите, что ограничение