Document 265031

Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики»,
посвященная 75-летию академика М.М.Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Обобщенные решения задачи Коши для вырожденного нестационарного
дифференциального уравнения первого порядка в банаховых пространствах
М.В.Фалалеев
Иркутский государственный университет,
ул. К.Маркса, 1, 664003, Иркутск, Россия
E-mail: mihail@ic.isu.ru
Рассматривается задача Коши вида
Bx  At x  f t ,
(1)
x0  x0 ,
(2)
где B, At   замкнутые линейные операторы из E1 в E2 , E1 , E2  банаховы пространства,
DB   D At , DB   D At   E1 , B  фредгольмов, At   достаточное число раз сильно
непрерывно
дифференцируемая
в
окрестности
точки
t 0
оператор-функция,
RB   RB , f t   достаточно гладкая функция.
 
Пусть  l , l  1,, n  базис ядра N B , l , l  1,, n  базис ядра N B  ,   оператор
Шмидта [1], соответствующий B , обозначим через
U t  разрешающий оператор уравнения [2]
xt   At xt 
и введем в рассмотрение следующие функции:
t
bl t    U t U 1   A x0  f  , l d ,
0
K pl t , s   U t U 1 s As  p , l ,
p, l  1, , n.
Пусть выполнено условие:
А) все функции K pl t , s  аналитичны в окрестности точки 0; 0 при t  R и s  R и все
их частные производные до m  1 -го порядка включительно обращаются в нуль в точке 0; 0 ,
но не все частные производные m -го порядка равны нулю точке 0; 0.
Обозначим через K ij матрицу из i, j  -коэффициентов Маклорена функций K pl t , s , тогда
для матричной функции K t , s   K pl t , s  справедливо разложение

K t , s   
K
r m i  j r
ij
tis j.
Назовем точку t  0 регулярной для K t , s , если обратима матрица

i j m
det
K
i  j m
ij
0
K ij , т.е.
и введем матричные функции вида
Lk   

i  j k
K ij
, k  m, m  1,.
  j 1
Характеристическим уравнением задачи (1)-(2) назовем уравнение
det Lm    0.
Для каждого натурального корня  0 характеристического уравнения будем предполагать
выполненным условие
  1k 1
В) матрица Lm 0  имеет полный обобщенный 


k!

Lmk  0  -жорданов набор [3]


элементов ei j  , i  1, , n0 , j  1, , pi , n0  dim N Lm 0 .
Кратностью натурального корня  0 называют число
m0  max pi , i  1,, n0 ,
а его показателем величину
q 0  p1  p 2    p n0 .
В [3] автором приведена и доказана следующая
ТЕОРЕМА 1. Если выполнены условие А), характеристическое уравнение имеет r целых
неотрицательных корней 0  1  2    r кратностей m1 , m2 ,, mr с показателями
q1 , q2 ,, qr , для каждого из которых выполнено условие В), t  0 регулярная особая точка для
K t , s 
и
bl 0  bl0    blm  0  0, l  1,, n,
тогда задача Коши (1)-(2) имеет
q1  q2    qr  -параметрическое непрерывное решение вида
n
xt   x0  vt     i t  i ,
i 1
где
n


vt    U t U 1   A x0  f      i  A  i d ,
i 1


0
t
числовые функции  i t  восстанавливаются из системы интегральных уравнений Вольтерра 1-го
рода
t
 K t, s  s ds  b t ,
0
(здесь  t   1 t ,  2 t , ,  n t , b t   b1 t , b2 t , , bn t  вектор-столбцы) в виде логарифмо-степенных рядов, часть коэффициентов которых содержат свободные параметры и выраж-
  1k 1 k 

Lm i  -жордановых наборов матрицы Lm i  .
аются через элементы обобщенных 
 k!

Одно из условий приведенной теоремы, а именно b 0  b 0    b m  0  0, можно
снять, если строить решения задачи (1)-(2) в пространстве распределений. В обобщенных
функциях задачу Коши (1)-(2) можно переписать в следующем виде
B t    At  ~x t   f t  t   Bx 0 t 
(3)
и искать обобщенное решение как сумму
n
n


~
x t    t   y t    x0    i t  i  t    wi i ,
i 1
i 1


(4)
m
wi   cij  j  t   D ,
j 0
Qi t   yt   0, Qi  , i , i  1,, n,
yt   K E2 .
(5)
(Здесь и далее используются обозначения и терминология из работ [3]-[6].)


Поскольку E t   U t  I 2 t   U 1 t  является фундаментальной для дифференциального
оператора I 2 t    At  ( I 2 : E2  E2 - единичный оператор), то после подстановки (4) в (3)
получаем для yt  представление
n
n


yt   E t  At x0  f t    At  i  i t  t    E t At  i wi
i 1
i 1


или
n
n


yt    U t U 1   A x0  f      i   A  i d t    E t At  i wi ,
i 1
i 1


0
t
(6)
подставляя которое в соотношения (5), получим для  t  (после выполнения всех тождественных
преобразований) систему
t
 K t, s  s ds  g t 
(7)
0
с правой частью
n
g t   b t    Ai t  ci ,
i 1
где ci  ci 0 , ci1 , ci 2 ,, cim  - вектор-столбцы.
Из системы (7) можно восстановить вектор-функцию  t , если для правой части (7)
выполнены условия g 0  g 0  g 0    g m  0  0, которые можно обеспечить подобрав
значения констант c ij из системы линейных алгебраических уравнений:=
n
 A  0c
j
i 1
i
i
 b  j  0,
j  1, 2, , m.
(8)
В представляемой работе показано, что матрица этой системы имеет блочную структуру и ее
определитель отличен от нуля, тогда из этой системы однозначно восстанавливаются искомые
коэффициенты c ij , а вместе с ними последовательно и остальные составляющие обобщенного
решения (4).
Таким образом доказана
ТЕОРЕМА 2. Если выполнены условие А), характеристическое уравнение имеет r целых
неотрицательных корней 0  1  2    r кратностей m1 , m2 ,, mr с показателями
q1 , q2 ,, qr , для каждого из которых выполнено условие В), t  0 регулярная особая точка для
K t , s  и det K l ml  0, l  0,1,, m, тогда задача Коши (1)-(2) имеет
q1  q2    qr  -
параметрическое обобщенное решение вида (4), составляющие которого восстанавливаются из
формул (6), (7), (8).
Замечание. Если в теореме 2 выполнится условие b 0  b 0    b m  0  0, то
обобщенное решение (4) окажется классическим (непрерывным) построенным в теореме 1.
Литература
1. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений
уравнений. – М.: Наука, 1969.
2. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в
банаховых пространствах. – М.: Наука, 1970.
3. Sidorov N., Loginov B., Sinitsyn A. and Falaleev M. Lyapunov-Schmidt Methods in Nonlinear
Analysis and Applications. – Kluwer Academic Publishers, 2002.
4. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. – М.: Наука, 1979.
5. Фалалеев М.В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных
операторов в банаховых пространствах // Сиб. мат. журн. – 2000. – Т. 41, №5. – С. 1167--1182.
6. Фалалеев М.В., Гражданцева Е.Ю. Фундаментальные оператор-функции вырожденных
дифференциальных и дифференциально-разностных операторов с нетеровым оператором в
главной части в банаховых пространствах // Сиб. мат. журн. – 2005. – Т. 46, №6. – С. 1393--1406.