Обобщенные решения интегро-дифференциальных уравнений

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«Иркутский государственный университет»
Институт математики, экономики и информатики
С. С. Орлов
Обобщенные решения
интегро-дифференциальных
уравнений высоких порядков
в банаховых пространствах
Монография
ИРКУТСК — 2014
УДК 517.968.7
ББК 22.161.6
O-66
Печатается по решению ученого совета ИМЭИ
Издание выходит в рамках Программы
стратегического развития ФГБОУ ВПО «ИГУ»
на 2012-2016 гг., проект Р121-02-002
Рецензенты:
А. Л. Казаков, доктор физико-математических наук
(ИДСТУ СО РАН)
Д. Н. Сидоров, кандидат физико-математических наук
(ИСЭМ СО РАН)
Научный редактор:
М. В. Фалалеев, доктор физико-математических наук
Орлов С. С.
Обобщенные решения интегро-дифференциальных уравнений
O-66
высоких порядков в банаховых пространствах : монография /
С. С. Орлов. — Иркутск : Изд-во ИГУ, 2014. — 149 с.
ISBN 978-5-9624-1030-2
Монография посвящена проблемам существования и единственности
решений начальных задач для линейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра типа свертки в банаховых пространствах. Особое внимание
уделено уравнениям с необратимым оператором в главной части. Развивается
подход, связанный с понятием фундаментальной оператор-функции, который
позволяет эффективно исследовать однозначную разрешимость рассматриваемых задач в классах распределений. Доказан ряд конструктивных теорем,
отражена их применимость к решению содержательных задач.
Книга предназначена для студентов старших курсов, магистрантов,
аспирантов, преподавателей вузов и научных работников, интересующихся
теорией дифференциально-операторных уравнений и ее приложениями.
УДК 517.968.7
ББК 22.161.6
ISBN 978-5-9624-1030-2
c Орлов С. С., 2014
c ФГБОУ ВПО «ИГУ», 2014
Оглавление
Предисловие
5
Введение
6
1 Основные понятия
1.1 Обобщенная жорданова структура фредгольмовых
операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Псевдообращение и жордановы наборы нетеровых
операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Обобщенные функции со значениями в банаховых
пространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Фундаментальная оператор-функция
интегро-дифференциального оператора
в банаховых пространствах и ее применение . . . .
18
. . . .
18
. . . .
22
. . . .
25
. . . .
28
2 Вырожденные интегро-дифференциальные уравнения
специального вида в банаховых пространствах
38
2.1 Случай фредгольмова оператора в главной части . . . . . 40
2.2 Случай нетерова оператора в главной части . . . . . . . . 59
2.3 Случай спектральной ограниченности операторного пучка 79
2.4 Случай секториальной ограниченности операторного
пучка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.5 Случай радиальной ограниченности операторного пучка . 97
3 Интегро-дифференциальные уравнения в банаховых
пространствах с фредгольмовым оператором
при старшей производной
101
3.1 Фундаментальная оператор-функция вырожденного
интегро-дифференциального оператора LN (δ(t)) . . . . . . 102
3.2 Обобщенное и классическое решения вырожденного
интегро-дифференциального уравнения в фредгольмовым
оператором при старшей производной . . . . . . . . . . . . 107
3
4 Задачи линейной термовязкоупругости
114
4.1 Движение вязкоупругой жидкости Кельвина – Фойгта . . 116
4.2 Поперечные колебания пластины с памятью . . . . . . . . 118
4.3 Вязкоупруго-динамическое состояние среды . . . . . . . . 121
4.4 Поперечные колебания диссипативной пластины . . . . . . 123
4.5 Продольные колебания упругого стержня с учетом инерции 125
4.6 Колебания термоупругой пластины . . . . . . . . . . . . . 127
4.7 Колебания термоупругой пластины в нестационарном
тепловом поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Заключение
132
Библиографический список
134
4
Предисловие
Теория дифференциальных уравнений в абстрактных пространствах
последнее время приобретает широкое распространение. Это обусловлено, прежде всего, неразрывной связью данной области с задачами, возникающими в механике, физике, технике, биологии, экономике и др.,
которые она позволяет рассматривать и решать с единой точки зрения.
Во многом ее развитие является откликом на запросы современного естествознания. Помимо важнейшей прикладной стороны, не меньший интерес представляет собственно математическая составляющая проблематики. Особое внимание здесь заслужено уделяется различным «вырожденным» ситуациям, например, случаям критических значений параметров,
входящих в уравнение, сингулярного возмущения, нерегулярных операторных коэффициентов и т. д. Так на протяжении последних 50 лет
интенсивно развивается направление исследований дифференциальных
уравнений с необратимым оператором в главной части. Изучению подобных объектов посвящена обширная библиография. Однако, в мировой
научной литературе по этой тематике рассматриваются преимущественно дифференциальные уравнения, интегральным и интегро-дифференциальным уравнениям уделяется существенно меньшее внимание.
В данной монографии излагаются исследования вырожденных линейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра в банаховых
пространствах. Привлекается аппарат распределений Соболева – Шварца, центральное место в работе занимает конструкция фундаментальной
оператор-функции — аналог фундаментального решения. Основные главы диссертации содержат доказательства теорем существования и единственности обобщенных и классических решений начальных задач для
рассматриваемых интегро-дифференциальных уравнений. В заключительной главе полученные абстрактные результаты проиллюстрированы
примерами задач математической теории термовязкоупругости.
Выражаю искреннюю благодарность профессорам А. Л. Казакову,
Д. Н. Сидорову и М. В. Фалалееву за внимательное прочтение рукописи
и ряд ценных замечаний.
Автор
5
Введение
Представляемая монография посвящена исследованию вопросов существования и единственности решений начальных задач для линейных
интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра типа свертки в банаховых пространствах. Специфика подобных объектов проявляется в их
двойственной природе. Неизвестная функция входит в дифференциальное выражение и, вместе с тем, фигурирует под знаком интеграла. Возникновение интегрального слагаемого в уравнении связано с необходимостью учитывать зависимость мгновенных значений характеристик описываемого объекта от их соответствующих предыдущих значений, т. е.
влияние на текущее состояние системы ее предыстории. В современной
литературе подобные технические и природные системы называют системами с последействием, наследственностью или динамической памятью. Математическое описание законов функционирования таких объектов было предложено В. Вольтерра в серии статей 1909 года (см. монографию [19] и обзор [132]) на основе интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, которые впоследствии были названы его именем,
и остается актуальным в настоящее время.
Отличительной особенностью изучаемых в работе интегро-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах является их нерегулярность (сингулярность, вырождение), которая состоит в наличии
необратимого оператора при старшей производной. Для таких объектов неприменимы теоремы, которые справедливы в регулярных случаях, а прямое использование методов исследования вырожденных линейных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах сопряжено с большими техническими сложностями. Это порождает необходимость разработки аппарата, который, во-первых, позволил бы работать
именно с интегро-дифференциальными уравнениями, во-вторых, был согласован с уже известными идеями, развитыми для вырожденных дифференциальных уравнений. С другой стороны, уравнение в абстрактных
пространствах зачастую является краткой операторной записью какойлибо содержательной задачи математической физики или даже целого
ряда задач. Не разрешенные относительно старшей производной по времени линейные интегро-дифференциальные уравнения в частных произ6
водных (в иной терминологии уравнения соболевского типа) возникают
в математической теории термовязкоупругости [115; 142; 143; 147; 152],
гидродинамике [37; 59], физике плазмы [44] и многих других областях.
Системы линейных обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей коэффициентов при производной широко
используются, например, в электротехнике [84; 120]. Тем самым, помимо
исключительно теоретического интереса, рассматриваемые задачи актуальны с точки зрения приложений.
Тематике интегро-дифференциальных уравнений посвящена обширная библиография. Подробный обзор достижений в этой области до 1962
года представлен М. М. Вайнбергом в статье [11]. Не ставя перед собой
задачи охватить целый отдел современной математической науки, приведем некоторые работы, касающиеся интегро-дифференциальных уравнений в абстрактных пространствах.
На необходимость рассмотрения операторных уравнений Вольтерра впервые указал академик М. М. Лаврентьев в своем докладе [41] на
Международном конгрессе математиков в Ницце в 1970 году. Эти уравнения нашли широкое применение в теории обратных и некорректных
задач математической физики и интегральной геометрии. Некоторые результаты исследований в этих областях изложены в монографии [42], в
которой также рассмотрена задача Коши
Zt
d
u(t) = Bu(t) + A(t, τ )u(τ )dτ + f (t), u(0) = 0,
dt
0
где u(t) ∈ C([0, T ] , U ) — неизвестная функция, U — гильбертово пространство, A(t, τ ) — непрерывное по совокупности переменных ограниченное семейство линейных непрерывных операторов с областями определения и значений в U , B — замкнутый (необязательно ограниченный)
оператор, удовлетворяющий условию B ∗ B − BB ∗ ≥ 0. При этих предположениях доказана единственность решения рассматриваемой задачи
и его непрерывная зависимость от правой части f (t). Аналогичные задачи в банаховых и гильбертовых пространствах с начальным условием
u(0) = u0 и ядром A(t, τ ) ≡ A(t−τ ) при различных предположениях изучались в работах K. B. Hannsgen [131], R. K. Miller и R. L. Wheeler [141],
G. Chen и R. C. Grimmer [116], G. Da Prato и M. Iannelli [118], W. Arendt
и H. Kellermann [109].
В статье R. C. Grimmer [128] исследована начальная задача
x0 (t) = A(t)x(t) +
Zt
B(t, s)x(s)ds + f (t), t ≥ 0,
0
7
x(0) = x0 ∈ X,
где X — банахово пространство, A(t), B(t, s) — замкнутые линейные
операторы с областями определения, не зависящими от переменных t и
s, причем D(A) = X и D(B) ⊆ D(A), функция f : R+ → X сильно
непрерывна. Исходная задача сведена к эквивалентному интегральному
уравнению Вольтерра второго рода, решение которого строится с помощью операторной резольвенты. В качестве приложения полученных результатов проведено исследование системы интегро-дифференциальных
уравнений сверточного типа в частных производных, которые в современной литературе [18; 148] носят названия уравнений Гуртина – Пипкина по фамилиям авторов статьи [130]. Аналогичная задача изучалась
в гильбертовом пространстве G. Da Prato и M. Iannelli [119], когда A(t)
при каждом значении t ≥ 0 является инфинитиземальным генератором
сильно непрерывной полугруппы операторов, а интегральная часть имеет специальный сверточный вид. На основе «энергетического равенства»
доказаны существование и единственность сильного и классического решений соответствующей начальной задачи.
В работах M. G. Crandall, S.-O. Londen и J. A. Nohel [117], а также
V. Barbu и M. A. Malik [112] исследован специальный класс интегро-дифференциальных уравнений вида
Zt
Zt
u0 (t) + Bu(t) + a(t − s)Au(s)ds + b(t − s)u(s)ds = f (t), t ≥ 0,
0
0
где A — линейный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве H, B — нелинейный монотонный оператор, a(t) и b(t) — скалярные функции. Получены условия существования и единственности решения начальной задачи, изучено его поведение при t → +∞. Используется идея редукции к интегральному уравнению Вольтерра второго
рода. Абстрактные результаты иллюстрируются примерами начальнокраевых задач о тепловых потоках наследственного типа. Аналогичные
уравнения более общего вида изучались в работе G. F. Webb [160].
Задача Коши вида

Zt



 u00 (t) = Au(t) + B(t − s)u(s)ds + f (t) для t ∈ [0, T ] ,

0


 u(0) = x и u0 (0) = y,
с замкнутым линейным оператором A, область определения которого
не обязательно плотна в банаховом пространстве X, и сильно измеримым семейством ограниченных операторов B(t), действующих из D(A)
8
в X, изучена в работах H. Oka [145; 146]. Получены достаточные условия существования и единственности слабого и классического решений
задачи на основе ее редукции к сверточному интегральному уравнению
Вольтерра второго рода. С помощью доказанных теорем решены две
содержательные начально-краевые задачи для интегро-дифференциальных уравнений в частных производных.
В серии работ Н. Д. Копачевского [1; 35–37] объектами исследований
выступают интегро-дифференциальные уравнения Вольтерра
t
m Z
X
du
= A0 u(t) +
Gk (t, s)Ak u(s)ds + f (t), u(0) = u0 ,
dt
k=1
0
t
m Z
X
d2 u
+ A0 u(t) +
Gk (t, s)Ak u(s)ds = f (t), u(0) = u0 , u0 (0) = u1 ,
2
dt
k=1
0
в произвольном банаховом пространстве E, где A0 , A1 , . . . , Am — линейные, вообще говоря, неограниченные операторы, действующие в E,
Gk (t, s) — оператор-функции со значениями в L(E). Также в гильбертовом пространстве H рассматривается начальная задача
t
m Z
X
d2 u
du
A 2 + (F + iG) + Bu(t) +
Gk (t, s)Ak u(s)ds = f (t),
dt
dt
k=1
0
u(0) = u0 , u0 (0) = u1 ,
с самосопряженными операторами B, F и G. Оператор A, называемый
оператором кинетической энергии, предполагается тождественным, т. е.
соответствующее интегро-дифференциальное уравнение является разрешенным относительно старшей производной. Средствами теории полугрупп операторов, операторных косинус- и синус-функций и теории операторных (M − N )-функций, примененных к соответствующим «укороченным» уравнениям (все Gk (t, s) ≡ O), исходные начальные задачи сводятся к интегральным уравнениям Вольтерра второго рода, а затем при
определенных условиях доказывается существование и единственность
их решений. Абстрактные результаты иллюстрируются на многочисленных примерах задач гидродинамики.
В работах В. В. Власова, Н. А. Раутиан и А. C. Шамаева [17; 18]
доказана корректная разрешимость начальных задач
dv
+
dt
Zt
K(t − s)A2 v(s)ds = q(t), t > 0,
0
9
v(+0) = ψ0 ,
и
d2 u
2 du
+
K(0)A
+
dt2
dt
Zt
K 0 (t − s)A2 u(s)ds = f (t), t > 0,
0
u(+0) = ϕ0 , u(1) (+0) = ϕ1 .
n
в пространстве типа Соболева W2,γ
(R+ , An ) с весом. Здесь A — самосопряженный положительный оператор, действующий в сепарабельном
гильбертовом пространстве H и имеющий компактный обратный, скалярная функция K(t) представляет собой ряд из экспонент, сходящийся при t = 0. Исследован спектр соответствующих интегро-дифференциальных операторов Вольтерра сверточного типа. На этой основе изучен вопрос существования, единственности и гладкости решений начально-краевых задач для уравнений Гуртина – Пипкина [130], которые отражают релаксационный закон распространения волн и являются реализациями рассматриваемых начальных задач.
Обратные задачи для абстрактных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра типа свертки изучались в совместных работах профессоров А. И. Прилепко и A. Lorenzi [138; 139]. В работе [139] доказана однозначная разрешимость задачи идентификации функции u : [0, T ] → X
и элемента z ∈ Z, удовлетворяющих абстрактному интегро-дифференциальному уравнению
u0 (t) = Au(t) +
Zt
H(t − s)Au(s)ds+
0
Zt
+
H0 (t − s)u(s)ds + E(t)z + f (t), 0 ≤ t ≤ T,
0
начальному
u(0) = ψ0 ,
и дополнительному
Φ(u) = ψ1
условиям, где X и Z — банаховы пространства, A — замкнутый линейный оператор, H, H0 , E и Φ — ограниченные линейные операторы.
В современной литературе такие задачи называтся задачами «прогнозуправление», а дополнительные условия — данными переопределения
или наблюдения [61; 93; 150].
10
Другим обратным задачам — задачам восстановления памяти (функциональной части ядра сверточного линейного интегро-дифференциального уравнения) посвящены работы А. Л. Бухгейма, Н. И. Калиткиной,
В. Б. Кардакова [8–10]. В частности, в [9] рассматриваются задачи
ut − Au =
Zt
h(t − τ )Bu(τ )dτ + f (t), t ∈ [0, T ] ,
0
u(0) = u0 , Φ [u(t)] = ϕ(t),
и
utt − Au =
Zt
h(t − τ )Bu(τ )dτ + f (t), t ∈ [0, T ] ,
0
u(0) = u0 , u0 (0) = u1 , Φ [u(t)] = ϕ(t),
где u0 , u1 — заданные элементы банахова пространства X, f : [0, T ] →
X — известная функция, B — замкнутый линейный оператор с плотной в
X областью определения, ϕ : [0, T ] → R — заданная функция, Φ ∈ X ∗ —
известный функционал. Оператор A таков, что D(A) = X, и является
непрерывно обратимым, кроме того, предполагается инфинитиземальным генератором сильно непрерывной полугруппы (в первой задаче),
порождающим оператором семейства косинус-функций (во второй задаче). Требуется определить пару функций u : [0, T ] → X, h : [0, T ] → R.
Эти обратные задачи решаются на основе редукции к системам нелинейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода, к которым затем
применяются методы Ньютона и последовательных приближений (с доказательством их глобальной сходимости).
Исследованию уравнения
(Bu(t))0 = Au(t) + f t, u(t),
Zt
k(t, s, u(s))ds , t ∈ (0, a] ,
0
с нелокальными условиями
u(0) + g t1 , t2 , . . . , tp , u(t1 ), u(t2 ), . . . , u(tp ) = u0 ,
посвящены работы международного коллектива авторов, возглавляемого профессором K. Balachandran [111]. Здесь f : I × X × X → Y ,
k : I × I × X → X и g : I p × X p → X — заданные отображения, X, Y —
банаховы пространства, I = [0, a], 0 ≤ t1 ≤ t2 . . . ≤ tp ≤ a, A и B — замкнутые линейные операторы из X в Y , причем D(B) ⊂ D(A). В предположении непрерывной обратимости оператора B на основе классической теории полугрупп операторов и принципа Шаудера доказывается
11
существование решения рассматриваемой задачи. В статье [110] изучен
вопрос управляемости. Последние достижения коллектива в исследовании абстрактных интегро-дифференциальных уравнений см. в [153].
В большинстве приведенных работ полученные результаты иллюстрируются примерами содержательных начально-краевых задач для
интегро-дифференциальных уравнений в частных производных, которые являются конкретными реализациями исходных абстрактных объектов. Однако, в ряде случаев исследование таких начально-краевых
задач осуществляется непосредственно, без использования редукции к
операторным аналогам. Сюда следует отнести работы M. E. Gurtin и
A. C. Pipkin [130], M. E. Lord [137], А. С. Калашников [33], F. Bloom
[113], Н. И. Шкиль, А. Н. Вороной и В. Н. Лейфура [107], А. А. Ильюшин и Б. Е. Победря [31], в том числе, по численным методам [60],
D. Guidetti [129]; по обратным задачам M. Grasselli, С. И. Кабанихин
и A. Lorenzi [127; 134], А. Л. Бухгейм, Н. И. Калинина и В. Б. Кардаков [10], J. Janno [133]; по вопросам управляемости H. Gao, P. Lei и
B. Zhang [126], L. Pandolfi [148] и многие другие.
В упоминаемых до сих пор работах отечественных и зарубежных авторов рассматривались абстрактные интегро-дифференциальные уравнения, когда операторный коэффициент при старшей производной дифференциальной части является тождественным либо непрерывно обратимым оператором. Для исследования таких случаев доступны методы
теории полугрупп операторов, теории интегральных уравнений, спектрального анализа линейных операторов, энергетических оценок (для
уравнений в частных производных) и многие другие. При этом существование и единственность решений начальных задач в разных классах
функций имеет место при очень естественных ограничениях их входных
данных: начальных условий Коши, свободной функции, операторных коэффициентов и ядра интегральной части. Ситуация существенно усложняется, когда в главной части абстрактного уравнения или уравнения
в частных производных появляется необратимый оператор, и оно становится не разрешенным относительно старшей производной. Тогда для
однозначной разрешимости начальных задач требуются более жесткие
ограничения.
Интерес к вырожденным (в иной терминологии сингулярным или соболевского типа) дифференциально-операторным уравнениям проявляется с середины прошлого века, им посвящена обширная библиография.
Наиболее известными в этой области являются работы Н. A. Сидорова,
Б. В. Логинова, A. В. Синицына и M. В. Фалалеева [140], Г. А. Свиридюка и В. Е. Федорова [159], Ю. Е. Бояринцева [3; 4], В. Ф. Чистякова
и А. А. Щегловой [103], В. К. Иванова, И. В. Мельниковой и А. И. Фи12
линкова [30], A. Favini и A. Yagi [123], И. С. Егорова, С. Т. Пяткова и
С. В. Попова [26; 151], Х. Гаевского, К. Грегера и К. Захариаса [21],
H. O. Fattorini [122], R. Showalter [157; 158], А. И. Кожанова [34; 135],
Г. В. Демиденко и С. В. Успенского [25], С. Г. Крейна и Н. И. Чернышева [39], Ю. М. Далецкого и М. Г. Крейна [24] и др. Последними по времени
и наиболее важными для приложений основ общей теории вырожденных
интегро-дифференциальных уравнений являются, на взгляд автора, результаты, изложенные в монографиях А. Г. Свешникова, С. А. Габова,
М. О. Корпусова, А. Б. Альшина, Ю. Д. Плетнера [20; 44; 63]. Во всех
приведенных работах большое внимание уделяется сингулярным дифференциальным уравнениям и существенно меньшее интегро-дифференциальным. Далее более подробно рассмотрим те работы, в которых изучаются именно интегро-дифференциальные уравнения с вырождениями
в абстрактных пространствах.
Класс уравнений вида
Zt
M Dt u(t) + Lu(t) = k(t − s)L1 u(s)ds + f (t), 0 ≤ t ≤ τ,
0
где L, L1 , M — замкнутые линейные операторы в комплексном банаховом пространстве X, причем D(L) ⊆ D(L1 ) ∩ D(M ), L — непрерывно обратимый оператор, M — вообще говоря, необратимый оператор,
k(t) — скалярная суммируемая функция, является объектом исследований в статьях A. Favini, A. Lorenzi и H. Tanabe [124; 125]. В работе [124]
рассмотрена задача с начальным условием M u(0) = M u0 . Доказаны
теоремы существования и единственности решения этой задачи путем
ее сведения к регулярному интегро-дифференциальному включению с
нелинейными многозначными операторными коэффициентами. Обратная задача восстановления ядра k(t) изучена в [125].
Авторами C. Lizama и R. Ponce (см. [136], а также [149] и библиографию к ней) исследован вопрос существования и единственности периодического решения интегро-дифференциального уравнения
Zt
d
(M u(t)) = Au(t) +
a(t − s)Au(s)ds + f (t), 0 ≤ t ≤ 2π,
dt
−∞
без предположения непрерывной обратимости или коммутативности суперпозиции операторных коэффициентов M и A — замкнутых линейных операторов, действующих в банаховом пространстве X. В условиях
непрерывной обратимости операторного пучка λM − (1 + ã(λ))A на специальном счетном множестве комплексных значений λ, где ã(λ) — изображение преобразования Лапласа скалярной суммируемой по Лебегу на
13
R+ функции a(t), получены достаточные условия однозначной разрешимости задачи (с условием M u(0) = M u(2π)) в классах типа Лебега –
Бохнера, Гельдера, Бесова и Трибеля – Лизоркина абстрактных периодических функций. Используется техника интегральных преобразований
функций со значениями в банаховых пространствах.
В статье S. Q. Bu и G. Cai [114] аналогичными методами решена
задача
(M u)00 (t) + α(M u)0 (t) = Au(t) +
Zt
a(t − s)Au(s)ds + f (t), 0 ≤ t ≤ 2π,
−∞
M u(0) = M u(2π), (M u)0 (0) = (M u)0 (2π),
здесь α — отличная от нуля постоянная величина, остальные обозначения
заимствованы из предыдущего абзаца.
В работах В. Е. Федорова и О. А. Стахеевой [80; 81; 102] изучена
локальная разрешимость задачи Коши вида
Lu̇(t) = M u(t) + (Ju)(t) + f (t), u(0) = u0 ,
где (Ju)(t) =
Rt
K(s)u(t − s)ds, L — непрерывный, а M — замкнутый
0
линейные операторы, действующие из U в F, U и F — банаховы пространства, D(L) = U, K(t) ∈ L(U, F), t ≥ 0 — семейство линейных непрерывных операторов. На основе идеи разложения пространств U и F в прямые
суммы в условиях сильной (L, p)-секториальности оператора M исходное
уравнение редуцируется к паре интегро-дифференциальных уравнений,
в которых при дополнительных предположениях на ядро K(t) нивелируются интегральные слагаемые. В статье [102] рассмотрен регулярный
R∞
случай L = I с интегральным слагаемым (Ju)(t) = K(s)u(t − s)ds.
0
В иркутской математической школе исследованиям в области интегро-дифференциальных уравнений положил начало профессор В. В. Васильев [13–15]. Им и его учениками Н. А. Сидоровым [79], Г. А. Шишкиным [106], В. Г. Трубиным [83], В. С. Шароглазовым [105], И. И. Беловым [2] и др. изучались общие и специальные вопросы теории обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра и Фредгольма,
систем таких уравнений с различными особенностями. Интегро-дифференциальные уравнения с частными производными рассматривал в своих
работах профессор А. И. Янушаускас [108]. В Иркутском вычислительном центре АН СССР по инициативе академика В. М. Матросова проводились исследования системы Власова – Максвелла нелинейных интегродифференциальных уравнений в частных производных. Группой ученых
14
в составе Н. А. Сидорова, Г. А. Рудых, А. В. Синицына, Ю. А. Маркова
и др. получен ряд значимых результатов [47; 67–74; 76; 155]. В частности,
исследована задача о периодических и уединенных волнах для системы
Власова – Максвелла, доказаны новые общие теоремы существования
асимптотических бифуркационных направлений для системы Власова –
Максвелла с граничными условиями на потенциалы и плотности электромагнитного поля, изучены широкие классы решений стационарных и
динамических систем Власова – Максвелла.
Исследование вырожденных интегро-дифференциальных уравнений
в банаховых пространствах началось с пионерской работы [78] профессора Н. А. Сидорова, в которой изучается разрешимость в классе непрерывных функций абстрактного интегрального уравнения Вольтерра
Bu(t) −
Zt
k(t − s)u(s)ds = f (t),
0
где B и k(t) — замкнутые линейные операторы, действующие из E1 в
E2 , область определения D(k) оператор-функции k(t) не зависит от t,
причем D(B) = D(k) = E1 и D(B) ⊆ D(k), а оператор B фредгольмов.
Используется регуляризация уравнения на основе разложения банаховых пространств E1 и E2 в прямые суммы в соответствии с обобщенной
жордановой структурой оператора B. В работе [75] к этому уравнению
применен аппарат распределений со значениями в банаховых пространствах — аналог классической теории обобщенных функций Соболева –
Шварца [16; 22], разработанный Н. А. Сидоровым и М. В. Фалалеевым
в [76]. Впервые доказаны теоремы об однозначной разрешимости вырожденного интегрального уравнения в классе функций с ограниченным
слева носителем и предложен метод покомпонентного восстановления
регулярной и сингулярной составляющих обобщенного решения, изучена связь между обобщенным и классическим решениями. Отметим, что
вполне завершенная теория обобщенных решений вырожденных систем
дифференциальных уравнений была создана к тому времени усилиями
научной школы профессора С. Т. Завалищина (см. монографию [27] и
библиографию к ней). Однако, разработанные ими методы не допускали
прямого обобщения на случай бесконечномерных пространств, что отчасти и послужило дополнительным стимулом к созданию теории распределений в банаховых пространствах. С конструктивной точки зрения
методика работ [78] и [75] представляет собой сведение рассматриваемых
задач к системам линейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода. Эти идеи распространены М. В. Фалалеевым на более сложные
объекты — вырожденные линейные интегро-дифференциальные урав15
нения Вольтерра высокого порядка с переменными операторными коэффициентами [101; 140]. При исследовании нестационарных уравнений
в банаховых пространствах удалось существенно обобщить результаты
Н. А. Магницкого [46], С. Г. Крейна и И. В. Сапронова [40] по аналитической теории систем интегральных уравнений Вольтерра первого и третьего рода (см. [121; 140]), а также корректно сформулировать и решить
задачу о построении решений этих уравнений в классе распределений с
ограниченным слева носителем [154]. В настоящее время аналитическая
теория систем интегральных уравнений Вольтерра первого рода, численные методы их решения и приложения получили дальнейшее развитие в
работах Д. Н. Сидорова [65; 66].
В случае конечномерных пространств наиболее завершенные результаты в области сингулярных интегро-дифференциальных уравнений получены М. В. Булатовым и Е. В. Чистяковой [5–7; 104]. Ими, в частности,
разработаны аналитические и численные методы решения систем обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений вида
A(t)x0 (t) = B(t)x(t) +
Zt
K(t, s)x(s)ds + f (t), t ∈ [0, 1] ,
0
с тождественно вырожденной матрицей A(t), т. е. det A(t) = 0 при всех
t ∈ [0, 1].
Отметим тот факт, что во всех упоминаемых до сих пор работах
авторы указывали на неразрешимость в общем случае начальных задач для вырожденных интегро-дифференциальных уравнений, т. е. для
существования гладкого решения требуется согласование входных данных задачи. Тем самым, первичной проблемой в таких исследованиях
является описание множества входных данных, при которых имеет место однозначная разрешимость. Как стало известно из работ [75; 76],
для существования обобщенного решения дополнительных ограничений
уже не требуется, и в результате был сформирован следующий подход:
построить решение рассматриваемой задачи в классе распределений, а
затем выявить условия, при которых оно окажется классическим. Построение обобщенного решения возможно двумя способами. Одним из
них является упомянутый выше метод покомпонентного восстановления
регулярной и сингулярной составляющих. Но при таком подходе единственность фактически имеет место лишь в «зауженном» классе распределений, определяемом видом самого решения. Этого недостатка лишен
другой способ, разработанный профессором М. В. Фалалеевым. Основным инструментом предложенного метода является фундаментальная
оператор-функция, соответствующая вырожденному дифференциально16
му оператору в банаховых пространствах — аналог классического понятия фундаментального решения (функции влияния) [16; 22]. Обобщенное решение начальной задачи восстанавливается как свертка фундаментальной оператор-функции с правой частью уравнения, причем доказательство существования и единственности не требует громоздких выкладок. Знание фундаментальной оператор-функции позволяет записать
в замкнутой форме единственное обобщенное решение, принадлежащее
классу распределений с ограниченным слева носителем, а уже затем легко определить условия существования и явный вид классического решения, не прибегая к его непосредственному построению. Таким образом,
вопрос однозначной разрешимости начальных задач в классах распределений и функций конечной гладкости удается изучать комплексно.
Конструкция фундаментальной оператор-функции показала свою
эффективность при исследовании дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, в том числе и высоких порядков, систем операторно-дифференциальных уравнений, некоторых классов абстрактных
уравнений с частными производными [23; 38; 94]. Также с ее помощью в
работах [96; 100; 140] исследованы сверточное интегральное уравнение
Bu(t) −
Zt
k(t − s)u(s)ds = f (t)
0
и задача Коши
Bu0 (t) − Au(t) −
Zt
k(t − s)u(s)ds = f (t), u(0) = u0
0
с фредгольмовым оператором B. Однако за пределами этих исследований оказались интегро-дифференциальные уравнения высоких порядков. Этот пробел частично восполняет настоящая работа.
Следует отметить, что в упоминаемых до сих пор работах объектами исследования являются линейные интегро-дифференциальные уравнения с дифференциальными частями первого, реже второго, порядков (параболические и гиперболические абстрактные интегро-дифференциальные уравнения). Однако, для приложений зачастую требуются более высокие порядки дифференциальных частей по времени: второй, третий и даже четвертый. Тем самым, исследование вырожденных интегродифференциальных уравнений именно высоких порядков актуально как
с теоретической, так и с прикладной точек зрения.
17
Глава 1
Основные понятия
В настоящей главе изложены необходимые далее сведения о жордановых наборах фредгольмовых и нетеровых операторов, приведены
основные факты из теории обобщенных функций со значениями в банаховых пространствах. Кроме того, введено понятие фундаментальной
оператор-функции интегро-дифференциального оператора, которое является ключевым в работе. Здесь продемонстрирована технология исследования с помощью этой конструкции начальных задач для абстрактных
линейных интегро-дифференциальных уравнений.
1.1
Обобщенная жорданова структура фредгольмовых
операторов
Пусть E1 , E2 — вещественные банаховы пространства, B — замкнутый линейный оператор, действующий из E1 в E2 , причем D(B) = E1 .
Будем предполагать, что B фредгольмов, т. е.
R(B) = R(B) и dim N (B) = dim N (B ∗ ) < +∞.
Обозначим далее n = dim N (B) — размерность ядра (нуль-пространства)
N (B) оператора B, {ϕi }ni=1 — базис в N (B), {ψi }ni=1 — базис в N (B ∗ ),
{γi }ni=1 ⊂ E1∗ , {zi }ni=1 ⊂ E2 — соответствующие им биортогональные системы элементов (существование которых является прямым следствием
из теоремы Хана – Банаха [82, с. 163, 167]), т. е.
hϕi , γj i = hzi , ψj i = δij , i, j = 1, . . . , n.
Введем проекторы P : E1 → N (B), Q : E2 → span {zi }ni=1 , действующие
по формулам
P =
n
X
i=1
Pi =
n
X
h·, γi i ϕi , Q =
i=1
n
X
i=1
18
Qi =
n
X
i=1
h·, ψi i zi ,
и ограниченный оператор Γ : E2 → D(B),
Γ = B̃ −1 =
B+
n
X
!−1
h·, γi i zi
,
i=1
называемый оператором Треногина – Шмидта 1 . Справедливы следующие равенства
Γzi = ϕi , Γ∗ γi = ψi , i = 1, . . . , n,
(1.1.1)
ΓB = I1 − P, BΓ = I2 − Q.
(1.1.2)
Здесь и далее в работе I1 , I2 — тождественные операторы в пространствах E1 и E2 .
Замечание 1.1.1. Если замкнутый линейный оператор A, действующий
из E1 в E2 , плотно определен и таков, что D(A) ⊇ D(B), то суперпозиция
AΓ по теореме о замкнутом графике [82, с. 157] является ограниченным
оператором.
Пусть F(t) — сильно непрерывное однопараметрическое семейство
класса C ∞ (R) замкнутых линейных операторов из E1 в E2 .
Определение 1.1.1. Обобщенной жордановой цепочкой базисного
элемента ϕi ∈ N (B) относительно оператор-функции F(t) (или короче
F(t)-жордановой цепочкой) называется конечный набор элементов
n
o
(1)
(2)
(pi )
ϕi , ϕi , . . . , ϕi
⊂ E1 ,
удовлетворяющих уравнениям
(1)
(k+1)
Bϕi = 0, Bϕi
= lk (ϕi ), k = 1, . . . , pi − 1,
которые, в соответствии с альтернативой Фредгольма [82], разрешимы,
если выполнены условия
hlk (ϕi ), ψj i = 0, j = 1, . . . , n, k = 1, . . . , pi − 1,
(1)
(речь идет о второй группе уравнений, первое разрешимо и ϕi
Здесь введено обозначение
lk (ϕi ) =
k
X
= ϕi ).
(q)
F(k−q) (0)ϕi .
q=1
1
В монографии [12, с. 340] В. А. Треногиным доказана лемма о непрерывной обратимости операn
P
тора B̃ = B +
h·, γi i zi , обобщающая известный результат Э. Шмидта из теории интегральных
i=1
уравнений.
19
Число pi ∈ N принято называть длиной F(t)-жордановой цепочки, а век(k+1)
тор ϕi
— F(t)-присоединенным элементом k-го порядка к элементу
ϕi , причем справедлива формула
(k+1)
ϕi
= Γlk (ϕi ), k = 1, . . . , pi − 1.
Условие обрыва цепочки присоединенных элементов на pi -м шаге состоит
в том, что не все числа hlpi (ϕi ), ψj i , j = 1, . . . , n равны нулю, т. е. в
(p +1)
неразрешимости относительно ϕi i
уравнения
(pi +1)
Bϕi
= lpi (ϕi ).
Определение 1.1.2. Множество
n
o
(k)
ϕi , i = 1, . . . , n, k = 1, . . . , pi ⊂ E1
всех присоединенных векторов каждого базисного элемента ϕi ∈ N (B)
называется обобщенным жордановым набором фредгольмова оператора
B относительно оператор-функции F(t) (или короче F(t)-жордановым
набором фредгольмова оператора B).
Определение 1.1.3. Жорданов набор относительно оператор-функции
F(t) принято называть полным, если выполняется условие
det khlpi (ϕi ), ψj iki,j=1,...,n 6= 0.
Замечание 1.1.2. Базис в N (B ∗ ) можно выбрать таким, что условие
полноты F(t)-жорданова набора эквивалентно соотношению
hlpi (ϕi ), ψj i = δij , i, j = 1, . . . , n,
в этом случае zi = lpi (ϕi ), т. е. биортогональной к базису {ψi }ni=1 является
система элементов {lpi (ϕi )}ni=1 .
Замечание 1.1.3. В цикле работ Б. В. Логинова (см., например, статью [45] и библиографию к ней, а также [62]) показано, что, если оператор B имеет полный обобщенный F(t)-жорданов набор, то существует
полный обобщенный F∗ (t)-жорданов набор оператора B ∗ , который строится по аналогичным правилам, причем базисы в N (B) и N (B ∗ ) можно
выбрать так, что элементы ϕi и ψi с одинаковыми номерами имеют обобщенные жордановы цепочки одинаковой длины. В дальнейшем без ограничения общности будем предполагать, что все указанные перестройки
базисов уже выполнены.
Определение 1.1.4. Полным F∗ (t)-жордановым набором оператора B ∗
(k)
называется система элементов ψi ∈ E2∗ , i = 1, . . . , n, k = 1, . . . , pi ,
которые удовлетворяют уравнениям
(1)
(k+1)
B ∗ ψi = 0, B ∗ ψi
= lk∗ (ψi ), i = 1, . . . , n, k = 1, . . . , pi − 1,
20
а также условиям разрешимости
hϕi , lk∗ (ψj )i = 0, i, j = 1, . . . , n, k = 1, . . . , pj − 1,
и полноты
D
E
∗
ϕi , lpj (ψj ) = δij , i, j = 1, . . . , n,
∗
k
P
(q)
F(k−q) (0) ψi .
где lk∗ (ψi ) =
q=1
Замечание 1.1.4. Для восстановления F∗ (t)-присоединенных элементов
к векторам ψi , i = 1, . . . , n справедливы формулы
(k+1)
ψi
= Γ∗ lk∗ (ψi ), i = 1, . . . , n, k = 1, . . . , pi − 1,
(1.1.3)
а из последнего соотношения следует, что γi = lp∗i (ψi ), i = 1, . . . , n.
Замечание 1.1.5. Условия разрешимости уравнений для определения
F(t)- и F∗ (t)-присоединенных элементов могут быть записаны в следующем эквивалентном виде:
D
E
D
E
(k+1)
(k+1)
ϕi
, γj = 0, zj , ψi
= 0,
i, j = 1, . . . , n, k = 1, . . . , pi − 1.
Замечание 1.1.6. В случае F(t) ≡ A, получим
(k)
(k)
lk (ϕi ) = Aϕi , lk∗ (ψi ) = A∗ ψi ,
причем A- и A∗ -присоединенные элементы определяются соответственно
через базисные ϕi и ψi следующим образом:
(k+1)
ϕi
(1)
(k+1)
= (ΓA)k ϕi , ψi
(1)
= (Γ∗ A∗ )k ψi , k = 1, . . . , pi − 1.
Биортогональными к {ϕi }ni=1 и {ψi }ni=1 являются системы
on
n
o
n
(pi ) n
n
n
∗ (pi )
, {γi }i=1 = A ψi
,
{zi }i=1 = Aϕi
i=1
i=1
элементы которых, с учетом последних формул имеют вид
(1)
(1)
zi = A(ΓA)pi −1 ϕi , γi = A∗ (Γ∗ A∗ )pi −1 ϕi , i = 1, . . . , n.
Тогда, в силу (1.1.1),
(1)
(1)
(1)
(1)
ϕi = (ΓA)pi ϕi , ψi = (Γ∗ A∗ )pi ψi ,
и справедливо свойство цикличности A- и A∗ -жордановых наборов, выражаемое равенствами
(k+1)
ϕi
(1)
(k+1)
= (ΓA)qpi +k ϕi , ψi
∀ q ∈ {0} ∪ N, k = 1, . . . , pi − 1.
21
(1)
= (Γ∗ A∗ )qpi +k ψi ,
1.2
Псевдообращение и жордановы наборы нетеровых
операторов
В этом пункте будем предполагать, что оператор B, действующий
из E1 в E2 , обладает теми же свойствами, что и предыдущем, только
теперь dim N (B) и dim N (B ∗ ) конечны, но не совпадают, т. е. B нетеров.
Обозначим n = dim N (B), m = dim N (B ∗ ). Число χ = n−m, следуя [12],
будем называть индексом нетерова оператора B. Пусть {ϕi }ni=1 — базис
m
n
∗
∗
в N (B), {ψj }m
j=1 — базис в N (B ), а {γi }i=1 ⊂ E1 и {zj }j=1 ⊂ E2 таковы,
что hϕi , γα i = δiα , i, α = 1, . . . , n и hzβ , ψj i = δβj , β, j = 1, . . . , m. Далее
введем проекторы
P=
n
X
Pi =
i=1
n
X
h·, γi i ϕi , Q =
m
X
i=1
Qj =
m
X
j=1
h·, ψj i zj
j=1
n
пространств E1 и E2 соответственно. Базисам {ϕi }ni=1 , {ψj }m
j=1 , {γi }i=1 и
{zj }m
j=1 соответствует единственный псевдообратный оператор [144], обозначаемый B + , который однозначно определяется следующим набором
своих свойств:
+
D(B + ) = R(B) ⊕ span {zj }m
j=1 , R(B ) = N (P) ∩ D(B),
BB + = I2 − Q на D(B + ), B + B = I1 − P на D(B),
+
+
+
+
причем N (B + ) = {zj }m
j=1 , BB B = B, B BB = B .
Псевдообратный сопряженного оператора B ∗ + удовлетворяет условиям
D(B ∗ + ) = R(B ∗ ) ⊕ span {γi }ni=1 , R(B ∗ + ) = N (Q∗ ) ∩ D(B ∗ ),
B ∗ B ∗ + = I∗1 − P ∗ на D(B ∗ + ), B ∗ + B ∗ = I∗2 − Q∗ на D(B ∗ ),
где сопряженные проекторы задаются формулами
∗
P =
n
X
i=1
Pi∗
=
n
X
∗
hϕi , ·i γi , Q =
i=1
m
X
j=1
Q∗j
=
m
X
hzj , ·i ψj ,
j=1
кроме того,
N (B ∗ + ) = {γi }ni=1 , B ∗ B ∗ + B ∗ = B ∗ , B ∗ + B ∗ B ∗ + = B ∗ + ,
и операторы B ∗ + и B + ∗ совпадают.
Замечание 1.2.1. В силу нормальной разрешимости оператора B (т. е.
R(B) = R(B), согласно критерию Хаусдорфа [82, с. 218]), области определения псевдообратных операторов совпадают с соответствующими пространствами, а именно: D(B + ) = E2 , D(B ∗ + ) = E1∗ . Это по теореме о
22
замкнутом графике [82, с. 157] влечет ограниченность операторов B + и
B ∗ + . И, кроме того, если замкнутый линейный оператор A, определенный плотно в E1 , таков, что D(A) ⊇ D(B), то суперпозиция AB + также
является ограниченным оператором.
Далее введем в рассмотрение системы элементов
k−1 (1)
(k)
(1)
ϕi = B + A
ϕi , i = 1, . . . , n, k ≥ 2, ϕi = ϕi ,
(1.2.1)
и функционалов
(k)
ψj = B ∗ + A∗
k−1
(1)
(1)
ψj , j = 1, . . . , m, k ≥ 2, ψj = ψj .
(1.2.2)
В силу свойств псевдообратных операторов B + и B ∗ + при k ≥ 2 выпол(k)
(k)
няется ϕi ∈ N (P) и ψi ∈ N (Q∗ ) соответственно, т. е.
D
E
(k)
ϕi , γα = 0, i, α = 1, . . . , n,
и
D
E
(k)
zβ , ψj
= 0, β, j = 1, . . . , m.
(k)
Определение 1.2.1. Пусть элементы ϕi удовлетворяют уравнениям и
неравенствам
(k+1)
Bϕi
(k)
= Aϕi , i = 1, . . . , n, k = 1, . . . , pi − 1,
(p +1)
(p )
6= Aϕi i , i = 1, . . . , n,
Bϕi i
соответственно, причем
D
E
(pi )
rang Aϕi , ψk = min(n, m) = l.
i=1,...,n, k=1,...,m
(k)
в этом случае говорят, что вектора ϕi , i = 1, . . . , n, k = 1, . . . , pi , образуют полный A-жорданов набор неторова оператора B.
Замечание 1.2.2. Как показано в работе [62], множества {ϕi }ni=1 , {ψj }m
j=1 ,
n
m
{γi }i=1 , {zj }j=1 можно преобразовать так, чтобы выполнялись следующие равенства:
(
D
E
0, k = 1, . . . , pi − 1, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m,
(k)
Aϕi , ψj =
δij , k = pi , i, j = 1, . . . , l;
(1.2.3)
(
D
E
0, k = 1, . . . , pj − 1, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m,
(k)
ϕi , A∗ ψj
=
δij , k = pj , i, j = 1, . . . , l.
(1.2.4)
Таким образом, без ограничения общности можно считать, что
(p )
(p )
zi = Aϕi i , γk = A∗ ψk k , i, k = 1, . . . , l.
23
Замечание 1.2.3. Выполнение условия существования полного A-жорданова
набора оператора B влечет существование полного A∗ -жорданова набора
оператора B ∗ , который образует система функционалов
n
o
(k)
ψj , j = 1, . . . , m, k = 1, . . . , pj ,
удовлетворяющих следующим уравнениям и неравенствам:
(k+1)
B ∗ ψj
(k)
= A∗ ψj , j = 1, . . . , m, k = 1, . . . , pj − 1,
(pj +1)
B ∗ ψj
(p )
6= A∗ ϕj j , j = 1, . . . , m,
а также условию полноты
D
E
∗ (pj ) rang ϕi , A ψj
i=1,...,n, j=1,...,m
= min(n, m) = l.
При этом прямоугольные матрицы
D
D
E
E
(pi )
∗ (pj ) , ϕi , A ψj
Aϕi , ψj i=1,...,n, j=1,...,m
i=1,...,n, j=1,...,m
имеют одинаковые ранги, равные l. Преобразованиями

ψj ,
j = 1, . . . , n,
D
E
n
P
ψ̃j =
(p )
ψj −
Aϕi i , ψj ψi , j = n + 1, . . . , m.
i=1
ϕ̃i =

ϕi ,
ϕi −
i = 1, . . . , m,
m D
P
j=1
(pj )
ϕi , A∗ ψj
E
ϕj , j = m + 1, . . . , n.
базисных векторов ψj при m > n и ϕi при m < n первая и вторая
матрицы соответственно приводятся к своим каноническим формам —
прямоугольным матрицам той же размерности с единичным ранговым
минором l-го порядка и нулями на остальных местах. Далее везде в работе будем считать, что все необходимые перестройки базисов уже выполнены.
Замечание 1.2.4. Фредгольмов оператор является частным случаем
нетерова — нетеровым оператором нулевого индекса. Псевдообратный
оператор B + и оператор Треногина – Шмидта Γ фредгольмова оператора B связаны соотношением [77]
+
B =Γ−
n
X
i=1
24
h·, ψi i ϕi .
1.3
Обобщенные функции со значениями в банаховых
пространствах
Пусть E — вещественное банахово пространство, E ∗ — сопряженное
к нему банахово пространство.
К множеству K(E ∗ ) основных функций отнесем все финитные бесконечно дифференцируемые функции s(t) со значениями в E ∗ .
Определение 1.3.1. Носителем supp s(t) основной функции s(t) называется замыкание в R множества значений t, при которых s(t) 6= 0.
Cходимость в K(E ∗ ), которая вводится следующим образом:
Определение 1.3.2. Говорят, что последовательность функций {sn (t)}
сходится к s(t) в K(E ∗ ), если
а) ∃ R > 0 такое, что ∀ n ∈ N supp sn (t) ⊂ [−R, R] ;
(α)
n→+∞
(α)
б) ∀ α ∈ N выполняется
sup sn (t) − s (t) ∗ −−−−→ 0;
E
t∈[−R, R]
наделяет векторное пространство K(E ∗ ) топологической структурой.
Определение 1.3.3. Обобщенной функцией (распределением) f (t) со
значениями в банаховом пространстве E называется всякий линейный
непрерывный функционал (f, s(t)), заданный на K(E ∗ ).
Будем обозначать K 0 (E) множество всех обобщенных функций со
значениями в E, которое называется пространством обобщенных функций и является полным векторным пространством относительно введенной в нем слабой сходимости.
Определение 1.3.4. Говорят, что последовательность {fn } ⊂ K 0 (E)
сходится к f ∈ K 0 (E), если
n→+∞
(fn , s(t)) −−−−→ (f, s(t)), ∀ s(t) ∈ K(E ∗ ).
Замечание 1.3.1. Понятия нулевого множества и носителя распределения, равенства двух обобщенных функций, операции сложения, умножения на бесконечно дифференцируемую числовую функцию, дифференцирования (последние две непрерывны из K 0 (E) в K 0 (E)) определяются
так же, как и для классических обобщенных функций Соболева – Шварца, множество которых, следуя монографии В. C. Владимирова [16], будем обозначать D 0 .
25
Всякая локально интегрируемая по Бохнеру функция f (t) со значениями в банаховом пространстве E [32] порождает распределение
(f (t), s(t)) =
Z+∞
f (t), s(t) dt, s(t) ∈ K(E ∗ ),
−∞
причем имеет место аналог теоремы Дюбуа-Реймона: двум различным
локально интегрируемым функциям f1 (t) и f2 (t) соответствуют различные распределения. Все обобщенные функции, которые можно задать
по приведенному правилу, принято называть регулярными, остальные —
сингулярными. Примеры регулярной и сингулярной обобщенных функций из K 0 (E) доставляют аналоги функции Хевисайда и дельта-функции
Дирака.
Пример 1.3.1. Пусть a ∈ E, t0 ∈ R, тогда функцией Хевисайда будем
называть обобщенную функцию aθ(t − t0 ), действующую по формуле
(aθ(t − t0 ), s(t)) =
Z+∞
a, s(t) dt, s(t) ∈ K(E ∗ ),
t0
а дельта-функцией Дирака — распределение, определяемое следующим
образом:
(aδ(t − t0 ), s(t)) = a, s(t0 ) , s(t) ∈ K(E ∗ ).
Очевидно, что supp (aθ(t − t0 )) = [ t0 , +∞) , supp (aδ(t − t0 )) = {t0 },
также нетрудно убедиться в справедливости равенства
(aθ(t − t0 ))0 = aδ(t − t0 ).
Из всего пространства K 0 (E) выделим специальный класс K+0 (E)
обобщенных функций, носителями которых является луч [ 0, +∞), такой класс называют пространством распределений с ограниченным слева носителем.
Пусть K(t) — сильно непрерывная оператор-функция класса C ∞ (R)
со значениями в L(E1 , E2 ), причем K∗ (t) ∈ L(E2∗ , E1∗ ) существует почти
при всех t ∈ R.
Определение 1.3.5. Действием оператор-функции K(t) на распределение f (t) ∈ K+0 (E1 ) называется обобщенная функция K(t)f (t) ∈ K+0 (E2 ),
определяемая следующим образом:
(K(t)f (t), s(t)) = (f (t), K∗ (t)s(t)) , ∀ s(t) ∈ K(E2∗ ).
Определение 1.3.6. Пусть h(t) ∈ D 0 , тогда произведение K(t)h(t) (формальное выражение) назовем обобщенной оператор-функцией. Действие
26
обобщенной оператор-функции на элемент f ∈ E1 осуществляется по
правилу
(K(t)f h(t), s(t)) = h(t), f, K∗ (t)s(t) , ∀ s(t) ∈ K(E2∗ ),
т. е. K(t)f h(t) ∈ K 0 (E2 ).
Определение 1.3.7. Сверткой обобщенной оператор-функции K(t)h(t),
h(t) ∈ D+0 и обобщенной функции f (t) ∈ K+0 (E1 ) называется распределение K(t)h(t) ∗ f (t) ∈ K+0 (E2 ), определяемое равенством
(K(t)h(t) ∗ f (t), s(t)) =
= (h(t), (f (τ ), K∗ (t)s(t + τ ))) , ∀ s(t) ∈ K(E2∗ ). (1.3.1)
Замечание 1.3.2. Корректность этого определения гарантируется ограниченностью слева носителей функций h(t) ∈ D+0 и f (t) ∈ K+0 (E1 ) и доказывается по схеме, аналогичной применяемой в [16] при доказательстве
существования свертки в алгебре D+0 .
Пример 1.3.2. Используя последние три определения и пример 1.3.1,
можно получить следующие равенства:
(α)
(α)
Aδ (α) (t) ∗ f (t) = Af (t) , K(t)h(t) ∗ f δ (α) (t) = K(t)f h(t) ,
K(t)θ(t) ∗ b(t)θ(t) =
Zt
K(t − s)b(s)ds θ(t),
0
здесь, помимо K(t)h(t), f и f (t), заимствованных из определений 1.3.6
и 1.3.7, фигурируют A ∈ L(E1 , E2 ), а также локально интегрируемая
функция b(t) со значениями в E1 .
Замечание 1.3.3. Пусть K1 (t) и K2 (t) — оператор-функции со значениями в L(E1 , E2 ) и L(E0 , E1 ) соответственно, обладающие теми же свойствами, что и K(t), a — какой-либо элемент банахова пространства E0 ,
h1 (t), h2 (t) ∈ D+0 . Запишем выражение для свертки обобщенной оператор-функции K1 (t)h1 (t) и распределения K2 (t)ah2 (t) ∈ K+0 (E1 ), согласно
определениям 1.3.6 и 1.3.7:
(K1 (t)h1 (t) ∗ K2 (t)ah2 (t), s(t)) =
= h1 (t), h2 (τ ), a, K∗2 (τ )K∗1 (t)s(t + τ )
, ∀ s(t) ∈ K(E2∗ ).
Пример 1.3.3. В обозначениях предыдущего замечания приведем некоторые формулы для вычисления сверток обобщенных оператор-функций. При h1 (t) = θ(t), K2 (t) = A2 , h2 (t) = δ (α) (t) получим
27
(α)
=
K1 (t)θ(t) ∗ A2 aδ (α) (t) = K1 (t)A2 aθ(t)
=
(α)
K1 (t)A2 aθ(t)
+
α
X
(i−1)
K1
(0)A2 aδ (α−i) (t),
i=1
аналогично, если K1 (t) = A1 , h1 (t) = δ (α) (t), h2 (t) = θ(t), то
(α)
=
A1 δ (α) (t) ∗ K2 (t)aθ(t) = A1 K2 (t)aθ(t)
=
(α)
A1 K2 (t)aθ(t)
+
α
X
(i−1)
A1 K2
(0)aδ (α−i) (t),
i=1
а в случае, когда h1 (t) = h2 (t) = θ(t), получается
K1 (t)θ(t) ∗ K2 (t)aθ(t) =
Zt
K1 (t − s)K2 (s)ads θ(t).
0
Кроме того, имеет место еще одно важное в дальнейшем равенство:
Z t Zt−s
K1 (t)θ(t) ∗ K2 (t)θ(t) ∗ a(t)θ(t) =
K1 (t − s − τ )K2 (τ )a(s)dτ ds θ(t),
0
0
где a(t) — локально интегрируемая функция со значениями в E0 .
Замечание 1.3.4. Аналогичные определения и правила справедливы
для замкнутых операторов и оператор-функций с согласованными областями определения.
1.4
Фундаментальная оператор-функция
интегро-дифференциального оператора
в банаховых пространствах и ее применение
Как и в предыдущих пунктах будем использовать обозначения E1 и
E2 для двух вещественных банаховых пространств. Интегро-дифференциальному оператору вида
LN (u(t)) = Bu(N ) (t) − AN −1 u(N −1) (t) − . . . −
− A1 u0 (t) − A0 u(t) −
Zt
0
28
k(t − s)u(s)ds
поставим в соответствие следующую обобщенную оператор-функцию
LN (δ(t)) = Bδ (N ) (t) − AN −1 δ (N −1) (t) − . . . − A1 δ 0 (t) − A0 δ(t) − k(t)θ(t).
Здесь B, AN −1 , . . . , A1 , A0 , k(t) — замкнутые линейные операторы, действующие из E1 в E2 , свойства которых будем уточнять отдельно в каждом конкретном случае.
Определение 1.4.1. Фундаментальной оператор-функцией интегродифференциального оператора LN (δ(t)) назовем обобщенную операторфункцию EN (t), удовлетворяющую равенствам
EN (t) ∗ LN (δ(t)) ∗ v(t) = v(t), ∀ v(t) ∈ K+0 (E1 ),
LN (δ(t)) ∗ EN (t) ∗ w(t) = w(t), ∀ w(t) ∈ K+0 (E2 ).
Замечание 1.4.1. Смысл этой конструкции состоит в следующем:
если известна фундаментальная оператор-функция EN (t) интегро-дифференциального оператора LN (δ(t)), то, в силу второго равенства, сверточное уравнение вида
LN (δ(t)) ∗ u(t) = f (t),
где f (t) ∈ K+0 (E2 ), имеет своим решением обобщенную функцию
u(t) = EN (t) ∗ f (t) ∈ K+0 (E1 ),
причем это решение единственно. Действительно, пусть существует
v(t) ∈ K+0 (E1 ) такая, что v(t) 6= u(t) и LN (δ(t)) ∗ v(t) = f (t), тогда,
с учетом первого равенства из определения фундаментальной операторфункции, получим
v(t) = EN (t) ∗ LN (δ(t)) ∗ v(t) = EN (t) ∗ f (t) = u(t),
противоречие, доказывающее единственность решения u(t) = EN (t)∗f (t)
исходного сверточного уравнения в классе K+0 (E1 ).
Понятие фундаментальной оператор-функции интегро-дифференциального оператора впервые введено профессором М. В. Фалалеевым
в [100; 140] как обобщение классического понятия фундаментального
решения (функции влияния) [16; 22] на случаи линейных интегральных, дифференциальных (в том числе, с частными производными [95])
и интегро-дифференциальных операторов с различными типами вырождений в банаховых пространствах.
Замечание 1.4.2. Первое и второе равенства из определения 1.4.1 можно по-другому записать как
EN (t) ∗ LN (δ(t)) = I1 δ(t) и LN (δ(t)) ∗ EN (t) = I2 δ(t)
29
соотвественно. Именно в таком виде они наиболее часто будут использованы при доказательстве теорем о фундаментальных оператор-функциях различных интегро-дифференциальных операторов. Далее приведем некоторые простейшие примеры.
Пример 1.4.1. Пусть A — ограниченный линейный, а I — тождественный операторы в банаховом пространстве E. Рассмотрим дифференциальный оператор
L̃1 (δ(t)) = Iδ 0 (t) − Aδ(t),
который может быть получен из LN (δ(t)) при N = 1, B = I и k(t) = O.
Его фундаментальной оператор-функцией является
Ẽ1 (t) = eAt θ(t),
где e
At
At
— классическая операторная экспонента т. е. ряд e
= I+
+∞
P
k=1
k
Ak tk! ,
сходящийся равномерно по t на любом компакте [0, T ] в топологии L(E).
Действительно, используя формулы из примера 1.3.3, получаем цепочки
равенств
L̃1 (δ(t)) ∗ Ẽ1 (t) = Iδ 0 (t) ∗ eAt θ(t) − Aδ(t) ∗ eAt θ(t) =
= AeAt θ(t) + Iδ(t) − AeAt θ(t) = Iδ(t),
Ẽ1 (t) ∗ L̃1 (δ(t)) = eAt θ(t) ∗ Iδ 0 (t) − eAt θ(t) ∗ Aδ(t) =
= AeAt θ(t) + Iδ(t) − eAt Aθ(t) = Iδ(t).
Пример 1.4.2. Рассмотрим теперь интегральный оператор
L̃0 (δ(t)) = Iδ(t) − k(t)θ(t),
с ядром k(t), которое является однопараметрическим семейством класса
C(R) ограниченных в E операторов. Обобщенная оператор-функция
Ẽ0 (δ(t)) = Iδ(t) + R0 (t)θ(t)
является фундаментальной для этого интегрального оператора. Здесь за
R0 (t) обозначена резольвента ядра k(t). Она представляет собой ряд
R0 (t) = k(t) +
+∞
X
k=1
k(t) ? · · · ? k(t),
|
{z
}
k+1 раз
состоящий из повторных сверток Лапласа оператор-функции k(t) 2 и
сходящийся в топологии L(E) равномерно по t на каждом отрезке [0, T ],
2
В этом выражении бинарная операции ? определяется так: k(t) ? k(t) =
Rt
0
30
k(t − s)k(s)ds.
причем имеет место оценка
kR0 (t)kL(E) ≤ CeCT , C = max kk(t)kL(E) .
t∈[0, T ]
Также справедливы очевидные соотношения
Zt
R0 (t) = k(t) +
k(t − s)R0 (s)ds, R0 (t) = k(t) +
0
Zt
R0 (t − s)k(s)ds,
0
которые, с учетом третьей формулы в примере 1.3.3, могут быть записаны в обобщенном смысле в терминах введенной операции свертки (см.
определение 1.3.7 и замечание 1.3.3) следующим образом:
R0 (t)θ(t) = k(t)θ(t) + k(t)θ(t) ∗ R0 (t)θ(t),
R0 (t)θ(t) = k(t)θ(t) + R0 (t)θ(t) ∗ k(t)θ(t).
Используя последние равенства, получим требуемое
L̃0 (δ(t)) ∗ Ẽ0 (t) = Ẽ0 (t) ∗ L̃0 (δ(t)) = Iδ(t).
Далее продемонстрируем каким образом понятие фундаментальной
оператор-функции может быть использовано в исследовании однозначной разрешимости начальных задач для интегро-дифференциальных
уравнений. Справедлива следующая
Теорема 1.4.1. Пусть B, AN −1 , . . . , A1 , A0 — замкнутые линейные
операторы, действующие из E1 в E2 , k(t) — однопараметрическое семейство класса C ∞ (R+ ) операторов с аналогичными свойствами и областью определения D(k), не зависящей от t, причем
D(B) ⊆
N
\
D(Ai−1 ) ∩ D(k),
i=1
оператор-функция сильно непрерывна на D(k), а оператор B непрерывно обратим, тогда регулярный интегро-дифференциальный оператор LN (δ(t)) имеет на классе K+0 (E2 ) фундаментальную операторфункцию вида
EN (t) = B −1
tN −1
θ(t) ∗ (I2 δ(t) + RN (t)θ(t)) ,
(N − 1)!
где RN (t) — резольвента ядра FN (t)B −1 , оператор-функция FN (t) задается следующим образом:
tN −2
FN (t) = AN −1 + AN −2 t + · · · + A1
+
(N − 2)!
31
tN −1
+
+ A0
(N − 1)!
Zt
(t − s)N −1
k(s)ds.
(N − 1)!
0
Доказательство. В соответствии с определением фундаментальной оператор-функции требуется проверить два сверточных равенства
LN (δ(t)) ∗ EN (t) = I2 δ(t), EN (t) ∗ LN (δ(t)) = I1 δ(t).
Заметим для начала, что ввиду предположений, касающихся операторных коэффициентов, ядра интегральной части и их областей определения, суперпозиции Ai−1 B −1 , i = 1, . . . , N и k(t)B −1 существуют и являются ограниченными операторами по теореме о замкнутом графике [82,
с. 157]. Следовательно, оператор-функция FN (t)B −1 принимает значения
из L(E2 ). Далее, используя соотношение
RN (t)θ(t) = FN (t)B −1 θ(t) + FN (t)B −1 θ(t) ∗ RN (t)θ(t)
для резольвенты RN (t) (см. по этому поводу пример 1.4.2), непосредственными преобразованиями в первом равенстве получим
tN −1
θ(t) ∗ (I2 δ(t) + RN (t)θ(t)) =
LN (δ(t)) ∗ EN (t) = LN (δ(t)) ∗ B
(N − 1)!
= I2 δ(t) − FN (t)B −1 θ(t) ∗ (I2 δ(t) + RN (t)θ(t)) =
= I2 δ(t) + RN (t)θ(t) − FN (t)B −1 θ(t) + FN (t)B −1 θ(t) ∗ RN (t)θ(t) =
= I2 δ(t) + RN (t)θ(t) − RN (t)θ(t) = I2 δ(t).
−1
Во втором, с учетом
RN (t)θ(t) = FN (t)B −1 θ(t) + RN (t)θ(t) ∗ FN (t)B −1 θ(t),
справедлива цепочка равенств
tN −1
EN (t) ∗ LN (δ(t)) = B
θ(t) ∗ (I2 δ(t) + RN (t)θ(t)) ∗ LN (δ(t)) =
(N − 1)!
tN −1
= B −1
θ(t) ∗ (I2 δ(t) + RN (t)θ(t)) ∗
(N − 1)!
∗ I2 δ(t) − FN (t)B −1 θ(t) ∗ Bδ (N ) (t) =
N −1
−1 t
=B
θ(t) ∗ Bδ N (t) = I1 δ(t).
(N − 1)!
−1
32
Замечание 1.4.3. Пусть u(t), f (t) — неизвестная и заданная функции
неотрицательного вещественного t со значениями в E1 и E2 соответственно. В условиях теоремы 1.4.1 рассмотрим задачу Коши
LN (u(t)) = f (t), u(0) = u0 , u0 (0) = u1 , . . . , u(N −1) = uN −1 .
(1.4.1)
Пусть u(t) — классическое решение начальной задачи (1.4.1), под которым понимается функция класса C(t ≥ 0; E1 ) ∩ C N (t > 0; E1 ), обращающая в тождество интегро-дифференциальное уравнение и удовлетворяющая начальному условию. Продолжим u(t) и f (t) нулем на отрицательную полуось ũ(t) = u(t)θ(t), f˜(t) = f (t)θ(t). Применяя стандартные
правила дифференцирования обобщенной функции ũ(t), получим выражения для ее производных
ũ0 (t) = u0 (t)θ(t) + u0 δ(t), ũ00 (t) = u00 (t)θ(t) + u1 δ(t) + u0 δ 0 (t), . . .
ũ(N ) (t) = u(N ) (t)θ(t) + uN −1 δ(t) + uN −1 δ 0 (t) + · · · + u0 δ (N −1) (t).
Справедлива цепочка равенств
0 = (LN (u(t)) − f (t)) θ(t) = LN (ũ(t)) − g̃(t),
где g̃(t) ∈ K+0 (E2 ) имеет следующий вид:
g̃(t) = f (t)θ(t) + (BuN −1 − AN −1 uN −2 − . . . − A1 u0 )δ(t)+
+ (BuN −2 − AN −1 uN −3 − . . . − A2 u0 )δ 0 (t) + . . . +
+ (Bu1 − AN −1 u0 )δ (N −2) (t) + Bu0 δ (N −1) (t).
Таким образом, относительно ũ(t) получаем уравнение
LN (ũ(t)) = g̃(t),
которое, в силу первой и третьей формулы в примере 1.3.2, имеет эквивалентный сверточный вид
LN (δ(t)) ∗ ũ(t) = g̃(t).
(1.4.2)
Решение ũ(t) уравнения (1.4.2) в K+0 (E1 ) обычно называют обобщенным
решением задачи Коши (1.4.1).
Теорема 1.4.2. Пусть выполнены условия теоремы 1.4.1, тогда задача
Коши (1.4.1) имеет единственное обобщенное решение вида
Zt
(t − s)N −1 −1
B h(s)ds+
ũ(t) = u(t)θ(t) = p(t) +
(N − 1)!
0
33
Z t Zt−s
+
0
(t − s − τ )N −1 −1
B RN (τ )h(s)dτ ds θ(t),
(N − 1)!
0
N −1
где p(t) = u0 + u1 t + · · · + uN −1 (Nt −1)! , функция h(t) : R+ → E2 задается
следующим образом:
h(t) = f (t) − LN (p(t)),
а оператор-функция RN (t) из теоремы 1.4.1.
Доказательство. Согласно замечанию 1.4.1, уравнение (1.4.2) имеет в
классе K+0 (E1 ) единственное решение вида
ũ(t) = EN (t) ∗ g̃(t).
Нетрудно заметить, что
g̃(t) = f (t)θ(t) − LN (p(t))θ(t) + LN (δ(t)) ∗ p(t)θ(t).
Отсюда непосредственным вычислением свертки, принимая во внимание
второе равенство из определения фундаментальной оператор-функции и
обозначения для h(t), получим
ũ(t) = EN (t) ∗ h(t)θ(t) + LN (δ(t)) ∗ p(t)θ(t) = p(t)θ(t) + EN (t) ∗ h(t)θ(t),
а далее, учитывая равенства из примера 1.3.3, и требуемое.
Замечание 1.4.4. Для существования обобщенного решения в теореме
1.4.2 достаточно локальной интегрируемости по Бохнеру правой части
f (t) уравнения (1.4.1).
Замечание 1.4.5. Полученное в теореме 1.4.2 обобщенное решение представляет собой регулярную обобщенную функцию
ũ(t) = u(t)θ(t),
причем в случае f (t) ∈ C(t ≥ 0; E2 ), функция u(t) принадлежит классу
C(t ≥ 0; E1 ) ∩ C N (t > 0; E1 ), обращает в тождество интегро-дифференциальное уравнение и удовлетворяет начальным условиям, т. е. является
классическим решением задачи Коши (1.4.1).
Теорема 1.4.3. Пусть выполнены условия теоремы 1.4.1 и
f (t) ∈ C(t ≥ 0; E2 ), тогда задача Коши (1.4.1) имеет единственное
классическое решение вида
34
Zt
(t − s)N −1 −1
B h(s)ds+
(N − 1)!
u(t) = p(t) +
0
Z t Zt−s
+
0
(t − s − τ )N −1 −1
B RN (τ )h(s)dτ ds,
(N − 1)!
0
где используются обозначения теоремы 1.4.2.
Доказательство. Справедливы равенства
u0 (t) = p0 (t) +
Zt
(t − s)N −2 −1
B h(s)ds+
(N − 2)!
0
Z t Zt−s
+
0
00
00
Zt
u (t) = p (t) +
(t − s − τ )N −2 −1
B RN (τ )h(s)dτ ds,
(N − 2)!
0
(t − s)N −3 −1
B h(s)ds+
(N − 3)!
0
Z t Zt−s
+
0
(t − s − τ )N −3 −1
B RN (τ )h(s)dτ ds,
(N − 3)!
0
...,
u(N −1) (t) = p(N −1) (t) +
Zt
Z t Zt−s
B −1 h(s)ds +
B −1 RN (τ )h(s)dτ ds,
0
0
u(N ) (t) = p(N ) (t) + B −1 h(t) +
Zt
0
B −1 RN (t − s)h(s)dτ ds.
0
Поскольку f (t) ∈ C(t ≥ 0; E2 ), все производные функции u(t) до N -го
порядка включительно непрерывны по норме пространства E1 , значит,
u(t) принадлежит нужному классу.
Заметим, что
p
(i−1)
tN −i
, i = 1, . . . , N,
(t) = ui−1 + ui t + · · · + uN −1
(N − i)!
отсюда
ui−1 (0) = p(i−1) (0) = ui−1 , i = 1, . . . , N,
35
т. е. u(t) удовлетворяет начальному условию. Далее, подставив выражения для производных в уравнение, получим цепочку равенств
LN (u(t)) = LN (p(t)) + BB −1 h(t) +
Zt
BB −1 RN (t − s)h(s)ds−
0
−
Zt
FN (t − s)B −1 h(s)ds −
0
Z t Zt−s
FN (t − s − τ )B −1 RN (τ )h(s)dτ ds =
0
0
= LN (p(t)) + h(t) +
−
Zt
FN (t − s)B −1 h(s)ds −
0
Zt
RN (t − s)h(s)ds−
0
t−s
t
Z Z
FN (t − s − τ )B −1 RN (τ )h(s)dτ ds.
0
0
Принимая во внимание вид функции h(t) (см. теорему 1.4.2) и равенство
RN (t) = FN (t)B −1 +
Zt
FN (t − τ )B −1 RN (τ )dτ
0
для резольвенты RN (t) ядра FN (t)B −1 (см. пример 1.4.2), получим
Zt LN (u(t)) = f (t) +
RN (t − s) − FN (t − s)B −1 −
0
Zt−s
−1
−
FN (t − s − τ )B RN (τ )dτ h(s)ds = f (t).
0
Тем самым, функция u(t) является классическим решением задачи Коши
(1.4.1), единственность которого гарантируется теоремой 1.4.2.
Тем самым, фундаментальная оператор-функция является в данном
исследовании ключевым звеном. Знание ее позволяет нам утверждать существование и единственность решения рассматриваемой задачи Коши в
классе распределений, более того дает возможность построить в замкнутой форме само обобщенное решение. А затем последующий его анализ
выявляет связь с классическим решением.
Здесь рассмотрен достаточно простой, но очень важный пример, когда интегро-дифференциальное уравнение является регулярным, и регулярность состоит в непрерывной обратимости оператора при старшей
36
производной дифференциальной части. Уравнение не содержит никаких
особенностей, и, поэтому требование лишь сильной непрерывности правой части для разрешимости начальной задачи в классическом смысле
выглядит очень естественно.
Далее, когда будут рассматрены случаи различных вырождений,
это непременно отразится на условиях существования и единственности
классического решения, в которых будут фигурировать более жесткие
требования (дополнительной гладкости правой части, определенные соотношения на входные данные задачи). Они будут иметь непосредственную связь с порядком дифференциальной части, жордановой структурой, специальными спектральными показателями и т. д.
37
Глава 2
Вырожденные
интегро-дифференциальные
уравнения
специального вида в банаховых
пространствах
Изложение результатов исследования сингулярных линейных интегро-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах начнем с
рассмотрения одного частного случая. В этой главе будем изучать специальный класс уравнений
Bu(N ) (t) = Au(t) +
Zt
g(t − s)Au(s)ds + f (t)
(2.0.1)
0
с ядром интегральной части k(t) = g(t)A, где A — линейный оператор, а g(t) : R+ → R — числовая функция, и дифференциальной частью, не содержащей группу младших производных неизвестной функции (такие линейные дифференциальные операторы и соответствующие
им уравнения иногда называют «неполными» [29; 35; 99]). Заметим, что
интегральный член представляет собой сверточное вольтерровское интегральное возмущение последнего слагаемого Au(t). Именно такая ситуация часто встречается в задачах математической теории вязкоупругости [31; 59; 115] при моделировании движения вязкоупругих сред наследственного типа, колебаний вязкоупругих тел и т. д. Эти процессы
описываются интегро-дифференциальными уравнениями в частных производных, которые являются конкретными реализациями абстрактного
уравнения (2.0.1), и примеры таких содержательных задач приведены в
заключительной главе настоящей работы. Тем самым, столь специфич-
38
ный вид исследуемого объекта выбран неслучайно и продиктован соответствующими приложениями.
Будем исследовать разрешимость в классах распределений и функций конечной гладкости задачи Коши с начальными условиями
u(0) = u0 , u0 (0) = u1 , . . . , u(N −1) (0) = uN −1 ,
(2.0.2)
для уравнения (2.0.1) при различных предположениях относительно операторных коэффициентов. В частности, рассмотрим случаи фредгольмова и нетерова оператора B (последний как для положительного, так и
отрицательного индекса). Также в этой главе также проведем исследование начальной задачи (2.0.1), (2.0.2) с точки зрения теории полугрупп
операторов с ядрами [64; 159] в условиях спектральной, секториальной
и радиальной ограниченности соответствующего операторного пучка.
Классическим решением начальной задачи (2.0.1), (2.0.2), по аналогии с замечанием 1.4.3, назовем N раз сильно непрерывно дифференцируемую функцию u(t), обращающую в тождество уравнение (2.0.1)
и удовлетворяющую начальным условиям (2.0.2). Задача Коши (2.0.1),
(2.0.2) в обобщенных функциях допускает сверточное представление
Bδ (N ) (t) − Aδ(t) − Ag(t)θ(t) ∗ ũ(t) =
= f (t)θ(t) + BuN −1 δ(t) + BuN −2 δ 0 (t) + . . . +
+ Bu1 δ (N −2) (t) + Bu0 δ (N −1) (t),
а, как уже было показано в п. 1.4 (см. замечание 1.4.1), единственное решение этого уравнения в K+0 (E1 ) (обобщенное решение начальной задачи
(2.0.1), (2.0.2)) имеет вид
ũ(t) = EN (t) ∗ f (t)θ(t) + BuN −1 δ(t) + BuN −2 δ 0 (t) + . . .+
+ Bu1 δ (N −2) (t) + Bu0 δ (N −1) (t) . (2.0.3)
Здесь EN (t) — фундаментальная оператор-функция интегро-дифференциального оператора (Bδ (N ) (t) − Aδ(t) − Ag(t)θ(t)). Восстановив в каждом конкретном случае вырождения уравнения (2.0.1) вид фундаментальной оператор-функции EN (t), мы получим возможность для дальнейшего изучения вопроса однозначной разрешимости рассматриваемой
начальной задачи в классах распределений с ограниченным слева носителем и функций конечной гладкости.
Результаты этой главы были представлены автором ранее в работах
[48; 50; 85; 88; 91].
39
2.1
Случай фредгольмова оператора в главной части
Приведем и докажем некоторые утверждения, необходимые в дальнейшем.
Лемма 2.1.1. Пусть B, A — замкнутые линейные операторы, действующие из E1 в E2 , D(B) = D(A) = E1 , оператор B фредгольмов и
имеет полный A-жорданов набор, тогда справедливо равенство


O2 , k = αpi , i 6= q,
Qq (AΓ)k Qi = Qq , k = αpi , i = q,


O2 , k 6= αpi ;
q, i = 1, . . . , n, k, α ∈ N.
Доказательство. Поскольку Qq = h·, ψq i zq (см. п. 1.1), то, в силу равенства (1.1.1),
Qq (AΓ)k Qi = h·, ψi i (AΓ)k zi , ψq zq =
= h·, ψi i A(ΓA)k−1 Γzi , ψq zq = h·, ψi i A(ΓA)k−1 ϕi , ψq zq .
Пусть k = αpi , где α ∈ N, тогда, учитывая свойство цикличности A-жор(p )
данова набора и zi = Aϕi i (см. замечание 1.1.6), получим
Qq (AΓ)k Qi = Qq (AΓ)αpi Qi = h·, ψi i A(ΓA)αpi −1 ϕi , ψq zq =
E
D
E
D
(pi )
(α−1)pi +pi −1
= h·, ψi i A(ΓA)
ϕi , ψq zq = h·, ψi i Aϕi , ψq zq =
= h·, ψi i hzi , ψq i zq = h·, ψi i δiq zq .
Таким образом,
(
O2 ,
Qq (AΓ)k Qi =
Qq ,
k = αpi , i 6= q,
k = αpi , i = q.
Пусть теперь k 6= αpi , т. е. k = (α−1)pi +β, где α ∈ N, а β = 1, . . . , pi −1.
Принимая во внимание вновь свойство цикличности A-жорданова набора, а также условия разрешимости
D
E
(β)
Aϕi , ψq = 0, i, q = 1, . . . , n, β = 1, . . . , pi − 1,
уравнений для определения A-присоединенных элементов, имеем цепочку равенств
Qq (AΓ)k Qi = Qq (AΓ)(α−1)pi +β Qi =
D
E
(α−1)pi +β−1
= h·, ψi i A(ΓA)
ϕi , ψq zq =
40
D
E
(β)
= h·, ψi i Aϕi , ψq zq = O2 .
Тем самым, доказательство леммы завершено.
Введем в рассмотрение оператор вида
Q̃ =
pi D
n X
X
(j)
ψi
·,
E
(pi +1−j)
Aϕi
.
(2.1.1)
i=1 j=1
Справедлива следующая
Лемма 2.1.2. Пусть выполнены условия леммы 2.1.1, тогда справедливо равенство
Q(AΓ)k (I2 − Q̃) = O2 , ∀ k ∈ N.
Доказательство. Поскольку
k
Q(AΓ) (I2 − Q̃) =
n
X
Qq (AΓ)k (I2 − Q̃),
q=1
то для доказательства требуемого достаточно показать, что
Qq (AΓ)k (I2 − Q̃) = O2 , ∀ k ∈ N
при каждом q = 1, . . . , n. Заметим, что
Q̃ =
pi D
n X
X
(j)
ψi
·,
E
(pi +1−j)
Aϕi
=
i=1 j=1
=
pi D
n X
X
=
=
∗ j−1
∗
∗ j−1
·, (Γ A )
i=1 j=1
pi D
n X
X
·, (Γ A )
i=1 j=1
pi D
n X
X
(1)
ψi
∗
∗
A(ΓA)pi −j ϕi =
E
A(ΓA)pi −j Γzi =
(1)
ψi
∗ j−1
·, (Γ A )
E
(1)
ψi
(1)
E
(AΓ)pi −j+1 zi =
i=1 j=1
pi
n X
X
=
(AΓ)pi −j+1 Qi (AΓ)j−1 ,
i=1 j=1
тогда
k
k
Qq (AΓ) (I2 − Q̃) = Qq (AΓ) −
pi
n X
X
i=1 j=1
41
Qq (AΓ)pi −j+1+k Qi (AΓ)j−1 .
Поскольку k ∈ N, значит, при каждом pi ∈ N справедливо разложение
k = αi pi + βi , i = 1, . . . , n, где αi ∈ {0} ∪ N, βi = 0, . . . , pi − 1, αi2 + βi2 6= 0
(так как k 6= 0), поэтому
Qq (AΓ)k (I2 − Q̃) =
αq pq +βq
= Qq (AΓ)
−
pi
n X
X
Qq (AΓ)(αi +1)pi −j+1+βi Qi (AΓ)j−1 .
i=1 j=1
Далее обозначим ωi = (αi + 1)pi − j + 1 + βi и рассмотрим операторы
вида
Qq (AΓ)ωi Qi .
При каждом i = 1, . . . , n показатель ωi пробегает значения подряд от
αi pi + 1 до (αi + 2)pi − 1. В силу леммы 2.1.1 Qq (AΓ)ωi Qi = O2 при всех
этих значениях ωi , за исключением случая ωi = (αi + 1)pi и i = q, когда
Qq (AΓ)ωi Qi = Qq , что возможно если j = βi + 1 и i = q. Значит, с учетом свойства цикличности A∗ -жорданова набора, имеет место цепочка
равенств
Qq (AΓ)k (I2 − Q̃) = Qq (AΓ)αq pq +βq − Qq (AΓ)βq =
D
E
D
E
∗ ∗ αq pq +βq (1)
∗ ∗ βq (1)
= ·, (Γ A )
ψq zq − ·, (Γ A ) ψq zq =
D
E
D
E
(βq +1)
(βq +1)
= ·, ψq
zq − ·, ψq
zq = O2 ,
которая и доказывает требуемое равенство.
Замечание 2.1.1. Равенство из леммы 2.1.2 справедливо и при k = 0.
Действительно,
pi D
n X
ED
E
X
(j)
(pi +1−j)
Qq (I2 − Q̃) = h·, ψq i zq −
·, ψi
Aϕi
, ψq zq =
i=1 j=1
n D
X
= h·, ψq i zq −
(1)
ψi
·,
ED
(p )
Aϕi i ,
E
ψq zq =
i=1
= h·, ψq i zq −
n
X
h·, ψi i hzi , ψq i zq =
i=1
= h·, ψq i zq −
n
X
δiq h·, ψi i zq = h·, ψq i zq − h·, ψq i zq = O2 ,
i=1
откуда следует
Q(I2 − Q̃) = O2 .
Кроме того, имеет место еще одно полезное равенство
(I2 − Q)(I2 − Q̃) = I2 − Q̃.
42
(2.1.2)
Лемма 2.1.3. Пусть выполнены условия леммы 2.1.1, тогда справедливо равенство
pi D
n X
E
X
(p −j+1)
∗ (j)
P + ΓQ̃B =
·, A ψi ϕi i
.
i=1 j=1
Доказательство. Исходя из вида проектора P и оператора Q̃, заключаем, что
pi D
n
n X
E
X
X
(p −j+1)
∗ (j)
P + ΓQ̃B =
h·, γi i ϕi +
·, B ψi ΓAϕi i
.
i=1
i=1 j=1
(1)
Поскольку B ∗ ψi = 0, i = 1, . . . , n, то
P + ΓQ̃B =
n
X
pi D
n X
E
X
(p −j+1)
∗ (j)
h·, γi i ϕi +
·, B ψi ΓAϕi i
=
i=1
i=1 j=2
=
n
X
h·, γi i ϕi +
i=1
(j+1)
n pX
i −1 D
X
·, B
∗
(j+1)
ψi
E
(pi −j)
ΓAϕi
.
i=1 j=1
(j)
(j+1)
(j)
Далее, используя B ∗ ψi
= A∗ ψi и ϕi
= ΓAϕi , j = 1, . . . , pi − 1,
∗ (pi )
i = 1, . . . , n, а также γi = A ψi , i = 1, . . . , n, получим
n D
n pX
i −1 D
E
E
X
X
(1)
(j)
(p −j+1)
∗ (pi )
P + ΓQ̃B =
·, A ϕi
ϕi +
·, A∗ ψi ΓAϕi i
=
i=1
i=1 j=1
pi D
n X
E
X
(p −j+1)
∗ (j)
=
·, A ψi ϕi i
.
i=1 j=1
Тем самым лемма доказана.
Замечание 2.1.2. На основе доказанного в лемме 2.1.3 нетрудно заметить, что
Q̃A − AΓQ̃B = AP.
(2.1.3)
Теорема 2.1.1. Пусть B, A — замкнутые линейные операторы из E1
в E2 , причем
D(B) = D(A) = E1 , D(B) ⊆ D(A)
ядро g(t) : R+ → R — непрерывная функция, оператор B фредгольмов
и имеет полный A-жорданов набор, тогда интегро-дифференциальный
оператор Bδ (N ) (t) − Aδ(t) − Ag(t)θ(t) имеет на классе K+0 (E2 ) фундаментальную оператор-функцию вида
43
EN (t) = Γ
+∞
X
k−1
(δ(t) + g(t)θ(t))
k=1
tkN −1
∗
θ(t)(AΓ)k−1 (I2 − Q̃)−
(kN − 1)!


pi piX
−k+1 D
n
E
X
X
(j)
(p −k+2−j) ((k−1)N )

−
·, ψi ϕi i
δ
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))k  ,
i=1
j=1
k=1
pi D
n P
P
(j)
ψi
E
(p +1−j)
·,
Aϕi i
,
где Γ — оператор Треногина – Шмидта, Q̃ =
j=1
i=1
n
o
(j)
ϕ , i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , pi — A-жорданов набор оператора B,
n i
o
(j)
ψi , i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , pi — A∗ -жорданов набор оператора B ∗ ,
r(t) — резольвента ядра −g(t), под k-ой степенью обобщенной функции
(δ(t) + g(t)θ(t)) ∈ D+0 понимается ее повторная k-кратная свертка,
т. е.
(δ(t) + g(t)θ(t))k = (δ(t) + g(t)θ(t)) ∗ · · · ∗ (δ(t) + g(t)θ(t)),
|
{z
}
k раз
причем (δ(t) + g(t)θ(t))0 = δ(t).
Доказательство. В соответствии с определением фундаментальной оператор-функции требуется проверить два сверточных равенства
(Bδ (N ) (t) − Aδ(t) − Ag(t)θ(t)) ∗ EN (t) = I2 δ(t)
и
EN (t) ∗ (Bδ (N ) (t) − Aδ(t) − Ag(t)θ(t)) = I1 δ(t).
(1)
Поскольку BΓ = I2 − Q, Bϕi = 0, i = 1, . . . , n, и
(δ(t) + g(t)θ(t)) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))k = (δ(t) + r(t)θ(t))k−1 ,
в первом равенстве имеем
(Bδ (N ) (t) − Aδ(t) − Ag(t)θ(t)) ∗ EN (t) =
+∞
X
tkN −1
(N )
k−1
=
δ (t) ∗ (δ(t) + g(t)θ(t)) ∗
θ(t)(I2 − Q)(AΓ)k−1 (I2 − Q̃)−
(kN − 1)!
k=1
+∞
X
−
(δ(t) + g(t)θ(t))k ∗
k=1
tkN −1
θ(t)(AΓ)k (I2 − Q̃)−
(kN − 1)!


pi piX
−k+1 D
n
E
X
X
(j)
(p −k+2−j) (kN )

−
·, ψi Bϕi i
δ
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))k  +
i=1
k=1
j=1
44
+
n
X


p
−k+1
p
i
i
D
E
X X
(j)
(p −k+2−j) ((k−1)N )

·, ψi Aϕi i
δ
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))k−1  =
i=1
j=1
k=1
= (I2 − Q)(I2 − Q̃)δ(t)+
+∞
X
tkN −1
+
(δ(t) + g(t)θ(t)) ∗
θ(t)(I2 − Q)(AΓ)k (I2 − Q̃)−
(kN
−
1)!
k=1
k
+∞
X
(δ(t) + g(t)θ(t))k ∗
−
k=1
−
n
X
tkN −1
θ(t)(AΓ)k (I2 − Q̃)−
(kN − 1)!


pX
i −k D
i −1 p
X

(j)
·, ψi
E
(pi −k+2−j) (kN )
Bϕi
δ
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))k  +
k=1 j=1
i=1
pi D
n X
X
+
·,
(j)
ψi
E
(pi +1−j)
Aϕi
δ(t)+
i=1 j=1
n
X
+

pi piX
−k+1 D
X
(j)
·, ψi

i=1

k=2
E
(pi −k+2−j) ((k−1)N )
Aϕi
δ
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))k−1  .
j=1
Далее учтем равенство (2.1.2), результат леммы 2.1.2, вид оператора Q̃
(j+1)
(j)
и Bϕi
= Aϕi , j = 1, . . . , pi − 1, i = 1, . . . , n (см. п. 1.1).
(Bδ (N ) (t) − Aδ(t) − Ag(t)θ(t)) ∗ EN (t) = (I2 − Q̃)δ(t)−
+∞
X
tkN −1
θ(t)Q(AΓ)k (I2 − Q̃) + Q̃δ(t)−
(δ(t) + g(t)θ(t))k ∗
(kN − 1)!
k=1


p
−1
p
−k
n
i
i
D
E
X XX
(j)
(p −k+2−j) (kN )

−
·, ψi Bϕi i
δ
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))k  +
i=1
k=1 j=1


pX
n
i −1 p
i −k D
E
X
X
(j)
(p −k+1−j) (kN )

+
·, ψi Aϕi i
δ
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))k  =
i=1
k=1 j=1
= I2 δ(t).
(1)
Теперь докажем второе равенство. Так как B ∗ ψi = 0, i = 1, . . . , n и
(δ(t) + r(t)θ(t))k ∗ (δ(t) + g(t)θ(t)) = (δ(t) + r(t)θ(t))k−1 ,
то
EN (t) ∗ (Bδ (N ) (t) − Aδ(t) − Ag(t)θ(t)) =
45
+∞
X
(δ(t) + g(t)θ(t))k−1 ∗
=
tkN −1
θ(t) ∗ δ (N ) (t)Γ(AΓ)k−1 (I2 − Q̃)B−
(kN − 1)!
k=1
+∞
X
tkN −1
θ(t)Γ(AΓ)k−1 (I2 − Q̃)A−
−
(δ(t) + g(t)θ(t)) ∗
(kN − 1)!

k=1
p
−k+1
p
n
i
i
D
E
X X X
(j)
(p −k+2−j) (kN )

·, B ∗ ψi ϕi i
δ
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))k  +
−
i=1
n
X
+

k=1
k
j=1
(j)
·, A∗ ψi

i=1

−k+1 D
pi piX
X
k=1
E
(pi −k+2−j) ((k−1)N )
ϕi
δ
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))k−1  =
j=1
= Γ(I2 − Q̃)Bδ(t)+
+∞
X
tkN −1
+
(δ(t) + g(t)θ(t)) ∗
θ(t)Γ(AΓ)k (I2 − Q̃)B−
(kN − 1)!
k=1
k
+∞
X
tkN −1
(δ(t) + g(t)θ(t)) ∗
−
θ(t)Γ(AΓ)k−1 (I2 − Q̃)A−
(kN − 1)!
k=1

p
−1
p
−k+1
n
i
i
E
X X X D
(j)
(p −k+2−j) (kN )

−
·, B ∗ ψi ϕi i
δ
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))k  +
i=1
k=1
k
j=2
pi D
n X
E
X
(p −j+1)
∗ (j)
+
·, A ψi ϕi i
δ(t)+
i=1 j=1
n
X
+

pi piX
−k+1 D
X

i=1
k=2

(j)
·, A∗ ψi
E
(pi −k+2−j) ((k−1)N )
ϕi
δ
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))k−1  .
j=1
Используя равенство ΓB = I1 −P и (2.1.3), результат леммы 2.1.3 и урав(j+1)
(j)
нения B ∗ ψi
= A∗ ψi , j = 1, . . . , pi − 1, i = 1, . . . , n для определения
A∗ -присоединенных элементов, получим
EN (t) ∗ (Bδ (N ) (t) − Aδ(t) − Ag(t)θ(t)) = (I1 − P − ΓQ̃B)δ(t)+
+∞
X
tkN −1
k
θ(t)Γ(AΓ)k−1 ×
+
(δ(t) + g(t)θ(t)) ∗
(kN − 1)!
k=1
× (A − AP − AΓQ̃B − A + Q̃A)−
−
n
X

pX
i −1 p
i −k D
X

i=1

(j+1)
·, B ∗ ψi
E
(pi −k+1−j) (kN )
ϕi
δ
k=1 j=1
46
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))k  +
+
n
X

pX
i −k D
i −1 p
X

i=1

(j)
·, A∗ ψi
E
(pi −k+1−j) (kN )
ϕi
δ
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))k  +
k=1 j=1
+
pi D
n X
X
·, A
∗
(j)
ψi
E
(pi −j+1)
ϕi
δ(t) = I1 δ(t),
i=1 j=1
что и завершает доказательство теоремы.
Замечание 2.1.3. Фундаментальная оператор-функция может быть записана в следующем виде:
tN −1
θ(t) ∗ (I2 δ(t) + MN (t)θ(t))(I2 − Q̃)−
EN (t) = Γ
(N − 1)!


p
−k+1
p
n
i
i
D
E
X X X
(j)
(p −k+2−j) ((k−1)N )

·, ψi ϕi i
δ
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))k  ,
−
i=1
k=1
j=1
где MN (t) — резольвента ядра AΓ
N −1
t
(N −1)!
+
Rt
0
N −1
(t−s)
(N −1)!
g(s)ds , которая
представляет собой операторно-функциональный ряд, сходящийся в топологии L(E2 ) равномерно на любом компакте [0, T ], причем имеет место
оценка
kMN (t)kL(E2 ) ≤ CeCT ,
tN −1
Rt (t−s)N −1
здесь C = kAΓkL(E2 ) · max (N −1)! + (N −1)! g(s)ds. Отметим также,
t∈[0, T ]
0
что справедливы равенства
Zt
tN −1
MN (t) =
AΓ +
(N − 1)!
(t − τ1 )N −1
g(τ1 )dτ1 AΓ+
(N − 1)!
0
Zt
+
(t − τ1 )N −1
AΓMN (τ1 )dτ1 +
(N − 1)!
0
t
Z t−τ
Z 1
+
0
(t − τ1 − τ2 )N −1
g(τ2 )AΓMN (τ1 )dτ2 dτ1 (2.1.4)
(N − 1)!
0
и
QMN (t)(I2 − Q̃) = O2 ,
(2.1.5)
первое из которых следует из определения резольвенты ядра, второе —
из леммы 2.1.2.
47
Замечание 2.1.4. В соответствии с замечанием 1.4.1 единственным обобщенным решением задачи Коши (2.0.1), (2.0.2) является распределение
ũ(t) = EN (t) ∗ g̃(t),
где g̃(t) ∈ K+0 (E2 ) имеет вид
g̃(t) = f (t)θ(t) + BuN −1 δ(t) + · · · + Bu1 δ (N −1) (t) + Bu0 δ (N −1) (t).
Введем обозначения
tN −1
p(t) = u0 + u1 t + · · · + uN −1
,
(N − 1)!
Zt
h0 (t) = f (t) + Ap(t) +
g(t − s)Ap(s)ds,
0
тогда справедливо равенство
g̃(t) = f (t)θ(t) + (Bδ (N ) (t) − Aδ(t) − Ag(t)θ(t)) ∗ p(t)θ(t)−


Zt
− Bp(N ) (t) − Ap(t) − g(t − s)Ap(s)ds θ(t),
0
или, поскольку p(N ) (t) ≡ 0
g̃(t) = (Bδ (N ) (t) − Aδ(t) − Ag(t)θ(t)) ∗ p(t)θ(t) + h0 (t)θ(t).
(2.1.6)
Рассмотрим также последовательность регулярных обобщенных функций из K+0 (E2 ) вида
hk (t)θ(t) = (δ(t) + r(t)θ(t))k ∗ h0 (t)θ(t), k ∈ N,
где r(t) — резольвента ядра (−g(t)). Поскольку
h0 (t)θ(t) = f (t)θ(t) + (δ(t) + g(t)θ(t)) ∗ Ap(t)θ(t)
и
(δ(t) + r(t)θ(t)) ∗ (δ(t) + g(t)θ(t)) = δ(t),
для hk (t) справедливо иное представление
hk (t)θ(t) = (δ(t) + r(t)θ(t))k ∗ f (t)θ(t) + (δ(t) + r(t)θ(t))k−1 ∗ Ap(t)θ(t),
и соотношение
(δ(t) + g(t)θ(t)) ∗ hk (t)θ(t) = hk−1 (t)θ(t), k ∈ N.
48
Последнее имеет место в классическом смысле, а именно:
Zt
hk (t) +
g(t − s)hk (s)ds = hk−1 (t).
(2.1.7)
0
Заметим также, что в случае f (t) ∈ C α (t ≥ 0; E2 ) и g(t) ∈ C α (t ≥ 0),
α ∈ N справедливо еще одно соотношение
(α)
hk (t)
Zt
+
g(t −
(α)
s)hk (s)ds
=
(α)
hk−1 (t)
−
α
X
(q−1)
hk
(0)g (α−q) (t),
(2.1.8)
q=1
0
которое получается из (2.1.7) с помощью дифференцирования и замены
в интеграле.
Справедлива следующая
Теорема 2.1.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.1.1, тогда задача
Коши (2.0.1), (2.0.2) имеет единственное обобщенное решение, и, если
g(t) ∈ C (p−1)N (t ≥ 0), f (t) ∈ C (p−1)N (t ≥ 0; E2 ), p = max pi ,
i=1,...,n
то оно имеет вид

Zt
(t − s)N −1

Γ(I2 − Q̃)h0 (s)ds +
ũ(t) = p(t) +
(N − 1)!
0
t
Z Zt−s
(t − s − τ )N −1
ΓMN (τ )(I2 − Q̃)h0 (s)dτ ds−
(N − 1)!
0 0

p
p
−k+1
n
i
i
D
E
XX X
((k−1)N )
(j)
(p −k+2−j) 
−
hk
(t), ψi ϕi i
θ(t)−
+
i=1 k=1
j=1
pi piX
−k+1 (k−1)N
n X
E
X
X D ((k−1)N −q)
(j)
(p −k+2−j) (q−1)
−
hk
(0), ψi ϕi i
δ
(t), (2.1.9)
i=1 k=2
j=1
q=1
где используются обозначения двух последних замечаний.
Доказательство. Если выполняются условия теоремы 2.1.1, то известен
вид фундаментальной оператор-функции, указанный в этой теореме, а,
значит, в силу замечания 1.4.1, задача Коши (2.0.1), (2.0.2) имеет единственное обобщенное решение ũ(t) = EN (t) ∗ g̃(t). Теперь восстановим
его вид. Сначала подставим выражение (2.1.6) для распределения g̃(t) в
последнюю формулу
49
ũ(t) = EN (t) ∗ g̃(t) =
= EN (t) ∗ (Bδ (N ) (t) − Aδ(t) − Ag(t)θ(t)) ∗ p(t)θ(t) + h0 (t)θ(t) =
= I1 δ(t) ∗ p(t)θ(t) + EN (t) ∗ h0 (t)θ(t) =
= p(t)θ(t) + EN (t) ∗ h0 (t)θ(t).
Далее, используя обозначения замечания 2.1.4, получим
EN (t) ∗ h0 (t)θ(t) =
tN −1
=Γ
θ(t) ∗ (I2 δ(t) + MN (t)θ(t))(I2 − Q̃) ∗ h0 (t)θ(t)−
(N − 1)!
−k+1 D
pi piX
n X
E
X
(j)
(p −k+2−j) ((k−1)N )
·, ψi ϕi i
δ
(t)∗(δ(t)+r(t)θ(t))k ∗h0 (t)θ(t) =
−
i=1 k=1
j=1

Zt
=
(t − s)N −1
Γ(I2 − Q̃)h0 (s)ds +
(N − 1)!
0
Z t Zt−s
+
0

(t − s − τ )N −1
ΓMN (τ )(I2 − Q̃)h0 (s)dτ ds θ(t)−
(N − 1)!
0
−
pi piX
−k+1 D
n X
X
i=1 k=1
(j)
·, ψi
E
(pi −k+2−j) ((k−1)N )
ϕi
δ
(t) ∗ hk (t)θ(t).
j=1
Поскольку выполняются условия гладкости
g(t) ∈ C (p−1)N (t ≥ 0), f (t) ∈ C (p−1)N (t ≥ 0; E2 ), p = max pi ,
i=1,...,n
имеет место равенство
δ ((k−1)N ) (t) ∗ hk (t)θ(t) =


k = 1,
h1 (t)θ(t),
(k−1)N
=
P ((k−1)N −q)
((k−1)N )

h
(t)θ(t)
+
hk
(0)δ (q−1) (t), k = 2, . . . , pi ;
 k
q=1
подставляя которое в предыдущее выражение, получим искомую формулу решения.
Замечание 2.1.5. Условие сильной гладкости порядка ((p−1)N ) функции f (t) в теореме 2.1.2 можно ослабить, заменив следующим:
D
E
(j)
f (t), ψi
∈ C (pi −j)N (t ≥ 0), j = 1, . . . , pi , i = 1, . . . , n.
50
Тогда последняя группа слагаемых выражения EN (t) ∗ h0 (t)θ(t) имеет
вид
−k+1 D
pi piX
n X
X
(j)
·, ψi
E
(pi −k+2−j) ((k−1)N )
ϕi
δ
(t)∗(δ(t)+r(t)θ(t))k ∗h0 (t)θ(t) =
j=1
i=1 k=1
=
−k+1
pi piX
n X
X
δ
((k−1)N )
D
E
(j)
(p −k+2−j)
(t) ∗ hk (t), ψi θ(t)ϕi i
.
j=1
i=1 k=1
Введем обозначение для числовых функций
D
E
(j)
ξkji (t) = hk (t), ψi , k = 1, . . . , pi , j = 1, . . . , pi + 1 − k, i = 1, . . . , n.
Принимая во внимание ослабленные условия на функцию f (t), а также
g(t) ∈ C (p−1)N (t ≥ 0), p = max pi , можно заключить, что
i=1,...,n
δ
D
((k−1)N )
=
(t) ∗ hk (t),


ξ1ji (t)θ(t),
(j)
ψi
E
θ(t) =
k = 1,
((k−1)N )

(t)θ(t) +
ξkji
(k−1)N
P
q=1
((k−1)N −q)
ξkji
(0)δ (q−1) (t), k = 2, . . . , pi .
В этом случае обобщенное решение имеет вид

Zt
(t − s)N −1
ũ(t) = p(t) +
Γ(I2 − Q̃)h0 (s)ds +
(N − 1)!
0
t
Z Zt−s
+
(t − s − τ )N −1
ΓMN (τ )(I2 − Q̃)h0 (s)dτ ds−
(N − 1)!
0 0

p
p
−k+1
n
i
i
X X X ((k−1)N )
(p −k+2−j) 
−
ξkji
(t)ϕi i
θ(t)−
i=1 k=1
−
j=1
pi piX
−k+1 (k−1)N
n X
X
X
i=1 k=2
j=1
((k−1)N −q)
ξkji
(pi −k+2−j) (q−1)
(0)ϕi
δ
(t).
q=1
Замечание 2.1.6. Обобщенное решение представляет собой следующее
распределение
ũ(t) = u(t)θ(t) + ω(t),
где ω(t) ∈ K+0 (E1 ) является линейной комбинацией δ-функции Дирака
и ее производных. Если ω(t) ≡n0, что возможно, в силу линейной
незаo
(j)
висимости системы элементов ϕi , j = 1, . . . , pi , i = 1, . . . , n , тогда и
51
только тогда, когда выполняется условие
D
E
(q−1)
(j)
hk (0), ψi
= 0,
(2.1.10)
q = 1, . . . , (k − 1)N, k = 2, . . . , pi , j = 1, . . . , pi − k + 1, i = 1, . . . , n,
то обобщенное решение имеет вид
ũ(t) = u(t)θ(t).
Здесь
Zt
(t − s)N −1
Γ(I2 − Q̃)h0 (s)ds+
(N − 1)!
u(t) = p(t) +
0
Z t Zt−s
+
0
(t − s − τ )N −1
ΓMN (τ )(I2 − Q̃)h0 (s)dτ ds−
(N − 1)!
0
pi piX
−k+1 D
n X
E
X
((k−1)N )
(j)
(p −k+2−j)
−
hk
(t), ψi ϕi i
(2.1.11)
i=1 k=1
j=1
принадлежит классу C(t ≥ 0; E1 ) ∩ C N (t > 0; E1 ) при g(t) ∈ C pN (t ≥ 0),
f (t) ∈ C pN (t ≥ 0; E2 ), p = max pi .
i=1,...,n
Кроме того, функция u(t) обращает в тождество уравнение (2.0.1).
Покажем это. Производная N -го порядка имеет вид
u(N ) (t) = Γ(I2 − Q̃)h0 (t) +
Zt
ΓMN (t − s)(I2 − Q̃)h0 (s)ds−
0
−
pi piX
−k+1 D
n X
X
i=1 k=1
(kN )
hk (t),
(j)
ψi
E
(pi −k+2−j)
ϕi
j=1
Так как BΓ = I2 − Q, то
Bu(N ) (t) − Au(t) −
Zt
g(t − s)Au(s)ds =
0
= (I2 − Q)(I2 − Q̃)h0 (t) +
Zt
(I2 − Q)MN (t − s)(I2 − Q̃)h0 (s)ds−
0
−
pi piX
−k+1 D
n X
X
i=1 k=1
(kN )
hk (t),
j=1
52
(j)
ψi
E
(pi −k+2−j)
Bϕi
−
.
− Ap(t) −
Zt
(t − s)N −1
AΓ(I2 − Q̃)h0 (s)ds−
(N − 1)!
0
−
Z t Zt−s
0
+
(t − s − τ1 )N −1
AΓMN (τ1 )(I2 − Q̃)h0 (s)dτ1 ds+
(N − 1)!
0
−k+1 D
pi piX
n X
X
((k−1)N )
hk
(t),
i=1 k=1
−
Zt
g(t − s)Ap(s)ds −
0
−
0
Z t Zt−s t−s−τ
Z 1
0
j=1
Z t Zt−s
0
(j)
ψi
E
(pi −k+2−j)
Aϕi
−
(t − s − τ1 )N −1
g(τ1 )AΓ(I2 − Q̃)h0 (s)dτ1 ds−
(N − 1)!
0
(t − s − τ1 − τ2 )N −1
g(τ2 )AΓMN (τ1 )(I2 − Q̃)h0 (s)dτ2 dτ1 ds+
(N − 1)!
0
+
*
pi piX
−k+1 Z t
n X
X
i=1 k=1
j=1
+
((k−1)N )
g(t − s)hk
(pi −k+2−j)
(j)
(s)ds, ψi
Aϕi
0
(1)
Далее воспользуемся равенством (2.1.2), (2.3.2), а также Bϕi
i = 1, . . . , n и перегруппируем слагаемые следующим образом
Bu(N ) (t) − Au(t) −
Zt
.
= 0,
g(t − s)Au(s)ds =
0
= (I2 − Q̃)h0 (t) − Ap(t) −
Zt
g(t − s)Ap(s)ds−
0
−
n pX
i −1 p
i −k D
X
X
(kN )
hk (t),
(j)
ψi
E
(pi −k+2−j)
Bϕi
+
i=1 k=1 j=1
+
pi
n X
X
i=1 j=1
*
Zt
h1 (t) +
+
(j)
g(t − s)h1 (s)ds, ψi
(pi +1−j)
Aϕi
+
0
*
+
Zt
pi piX
−k+1
n X
X
((k−1)N )
((k−1)N )
(j)
(p −k+2−j)
+
hk
(t) + g(t − s)hk
(s)ds, ψi
Aϕi i
+
i=1 k=2
j=1
0
53
Zt
+

N −1
MN (t − s) − (t − s)
AΓ −
(N − 1)!
Zt−s
(t − τ1 − s)N −1
g(τ1 )AΓdτ1 −
(N − 1)!
0
0
Zt−s
(t − τ1 − s)N −1
−
AΓMN (τ1 )dτ1 −
(N − 1)!
0

t−τ
−s
t−s
Z Z1
N −1
(t − τ1 − τ2 − s)
g(τ2 )AΓMN (τ1 )dτ2 dτ1  (I2 − Q̃)h0 (s)ds.
−
(N − 1)!
0
0
Последняя группа интегральных слагаемых зануляется в силу равенства
(2.1.4). Далее, принимая во внимание вид функции h0 (t), соотношения
(2.1.7) и (2.1.8), получим
Bu(N ) (t) − Au(t) −
Zt
g(t − s)Au(s)ds =
0
= f (t) − Q̃h0 (t) −
+
n pX
i −1 p
i −k D
X
X
i=1 k=1 j=1
pi D
n
XX
h0 (t),
(kN )
hk (t),
(j)
ψi
E
(j)
ψi
E
(pi +1−j)
Aϕi
(pi −k+2−j)
Bϕi
+
+
i=1 j=1
+
pi piX
−k+1 D
n X
X
i=1 k=2
((k−1)N )
hk−1
(j)
(t), ψi
E
(pi −k+2−j)
Aϕi
−
j=1
pi piX
−k+1 (k−1)N
n X
E
X
X D (q−1)
(j)
(p −k+2−j)
−
hk (0), ψi g ((k−1)N −q) (t)Aϕi i
,
i=1 k=2
j=1
q=1
Поскольку выполнены условия (2.1.10), последняя группа слагаемых в
данном выражении зануляется, а остается
Bu(N ) (t) − Au(t) −
= f (t) −
Zt
g(t − s)Au(s)ds =
0
n pX
i −1 p
i −k D
X
X
(kN )
hk (t),
(j)
ψi
E
(pi −k+2−j)
Bϕi
+
i=1 k=1 j=1
+
pi piX
−k+1 D
n X
X
i=1 k=2
((k−1)N )
hk−1
(t),
j=1
54
(j)
ψi
E
(pi −k+2−j)
Aϕi
=
n pX
i −k D
i −1 p
X
X
= f (t) −
(kN )
hk (t),
(j)
ψi
E
(p −k+2−j)
Bϕi i
−
(p −k+1−j)
Aϕi i
=
i=1 k=1 j=1
= f (t),
(j+1)
(j)
так как Bϕi
= Aϕi , j = 1, . . . , pi − 1, i = 1, . . . , n. Таким образом,
функция (2.1.11) обращает в тождество уравнение 2.0.1.
Заметим, что, поскольку p(i−1) (0) = ui−1 , i = 1, . . . , N , функция
(2.1.11) удовлетворяет начальным условиям
−k+1 D
pi piX
n X
E
X
((k−1)N )
(j)
(p −k+2−j)
hk
(0), ψi ϕi i
,
u(0) = u0 −
j=1
i=1 k=1
0
u (0) = u1 −
pi piX
−k+1 D
n X
X
i=1 k=1
((k−1)N +1)
hk
(0),
(j)
ψi
E
(pi −k+2−j)
ϕi
,
j=1
...,
pi piX
−k+1 D
n X
E
X
((k−1)N +N −1)
(j)
(p −k+2−j)
(N −1)
u
(0) = uN −1 −
hk
(0), ψi ϕi i
.
i=1 k=1
j=1
Следовательно, (2.1.11) удовлетворяет начальным условиям (2.0.2) тогда
и только тогда, когда выполнены условия
D
E
(q−1)
(j)
hk (0), ψi
= 0,
(2.1.12)
q = (k − 1)N + 1, . . . , kN, k = 1, . . . , pi , j = 1, . . . , pi − k + 1, i = 1, . . . , n.
Таким образом, доказана следующая
Теорема 2.1.3. Пусть выполнены условия теоремы 2.1.1 и
g(t) ∈ C pN (t ≥ 0), f (t) ∈ C pN (t ≥ 0; E2 ), p = max pi ,
i=1,...,n
тогда, если
D
(q−1)
hk (0),
(j)
ψi
E
= 0,
q = 1, . . . , kN, k = 1, . . . , pi , j = 1, . . . , pi − k + 1, i = 1, . . . , n,
то задача Коши (2.0.1), (2.0.2) имеет единственное классическое решение вида (2.1.11).
Замечание 2.1.7. Условие сильной гладкости функции f (t) можно заменить следующим:
D
E
(j)
f (t), ψi
∈ C (pi −j+1)N (t ≥ 0), j = 1, . . . , pi , i = 1, . . . , n,
55
(q−1)
и, если ξkji (0) = 0 при q = 1, . . . , kN , k = 1, . . . , pi , j = 1, . . . , pi − k + 1,
i = 1, . . . , n, то результат теоремы 2.1.3 сохраняется. Здесь используется
обозначение, введенное в замечании 2.1.5.
Замечание 2.1.8. Представленные здесь результаты согласуются со случаем g(t) ≡ 0, исследованным ранее в [100; 140]
Пример 2.1.1. Рассмотрим систему интегро-дифференциальных уравнений вида

Zt





ẍ1 (t) = x1 (t) + x2 (t) − sin(t − s)(x1 (s) + x2 (s))ds + f1 (t),



0





0 = x2 (t) −



Zt
sin(t − s)x2 (s)ds + f2 (t);
0
с начальными условиями
ẋ1 (0)
x10
x1 (0)
=
,
=
ẋ2 (0)
x20
x2 (0)
1
0
1
Здесь E1 = E2 = R2 , B =
, A =
0 0
0
Очевидно, что
dim N (B) = dim N (B ∗ ) = 1 и ϕ = ψ =
x11
.
x21
1
, g(t) = − sin t.
1
0
1
.
Напомним, что B ∗ означает транспонированную матрицу t B. Заметим
также, что (Aϕ, ψ) = 1, а, значит, ϕ не имеет A-присоединенных векторов или p, длина A-жордановой цепочки, равна 1. Далее выпишем
1
0
и γ = A∗ ψ = t Aψ =
.
z = Aϕ =
1
1
А теперь
1
0
1
1
1
0
B̃ = B + (·, γ)z =
, Γ = (B̃)−1 =
1 −1
0
I2 − (·, ψ)z =
, (·, ψ)ϕ =
0
0
0
Rt
Оператор-функция AΓ t + (t − s)g(s)ds имеет вид
−1
1
0
.
1
0
Zt
AΓ t +
(t − s)g(s)ds =
0
56
sin t
0
0
sin t
,
,
ее резольвентой является матрица функция
t 0
M2 (t) =
,
0 t
а резольвентой функции (−g(t)) является r(t) = t. Таким образом, фундаментальная оператор функция интегро-дифференциального оператора имеет вид:
3
3
(t + t3! )θ(t) −(t + t3! )θ(t)
E2 (t) =
.
0
−δ(t) − tθ(t)
Поскольку
g̃(t) =
g̃1 (t)
g̃2 (t)
=
f1 (t)
f2 (t)
θ(t) +
x11
0
δ(t) +
x10
0
δ 0 (t),
обобщенное решение имеет вид
x1 (t)
θ(t) =
x̃(t) = E2 (t) ∗ g̃(t) =
x2 (t)
x11 t3
x10 t2
x11
x10
+
+
t+
+
=
0
0
0
0
2!
3!
 t

R
(t−s)3
(t − s) + 3! )(f1 (s) − f2 (s))ds 

0
 θ(t).
+


Rt
−f2 (t) − (t − s)f2 (s)ds
0
Оно станет классическим, если f2 (t) ∈ C 2 (t ≥ 0) и будут выполнены
условия f2 (0) = −x20 , f˙2 (0) = −x21 , которые можно получить из второго
уравнения исходной системы, не прибегая к данному исследованию, что
позволяет сделать вывод о согласованности представленного подхода с
классическими методами решения подобных задач.
Замечание 2.1.9. Из основных утверждений этого пункта могут быть
извлечены результаты для случая непрерывно обратимого оператора B.
(j)
(j)
Для этого всюду нужно положить ϕi = 0 и ψi = 0, i = 1, . . . , n,
j = 1, . . . , pi , а оператор Треногина – Шмидта Γ заменить ограниченным
оператором B −1 , обратным к B. Ниже сформулируем эти утверждения.
Теорема 2.1.4. Пусть B, A — замкнутые линейные операторы из E1 в
E2 , причем D(B) ⊆ D(A), ядро g(t) : R+ → R — непрерывная функция,
оператор B непрерывно обратим, тогда интегро-дифференциальный оператор Bδ (N ) (t) − Aδ(t) − Ag(t)θ(t) имеет на классе K+0 (E2 ) фундамен-
57
тальную оператор-функцию вида
EN (t) = B
−1
+∞
X
(δ(t) + g(t)θ(t))k−1 ∗
k=1
tkN −1
θ(t)(AB −1 )k−1 ,
(kN − 1)!
где под k-ой степенью обобщенной функции (δ(t) + g(t)θ(t)) ∈ D+0 понимается ее повторная k-кратная свертка, т. е.
(δ(t) + g(t)θ(t))k = (δ(t) + g(t)θ(t)) ∗ · · · ∗ (δ(t) + g(t)θ(t)),
|
{z
}
k раз
причем (δ(t) + g(t)θ(t))0 = δ(t).
Замечание2.1.10. Если ввести обозначение
LN (t) для резольвенты
t
R
N −1
N −1
ядра AB −1 (Nt −1)! + (t−s)
(N −1)! g(s)ds , то фундаментальная оператор0
функция может быть записана в следующем виде:
EN (t) = B
−1
tN −1
θ(t) ∗ (I2 δ(t) + LN (t)θ(t)).
(N − 1)!
Теорема 2.1.5. Пусть выполнены условия теоремы 2.1.4, тогда задача
Коши (2.0.1), (2.0.2) имеет единственное обобщенное решение, и, если
f (t) локально интегрируема по Бохнеру, то оно имеет вид

Zt
(t − s)N −1 −1

ũ(t) = p(t) +
B h0 (s)ds +
(N − 1)!
0

Z t Zt−s
N −1
(t − s − τ )
B −1 LN (τ )h0 (s)dτ ds θ(t),
+
(N − 1)!
0
0
где используются обозначения замечаний 2.1.4 и 2.1.10.
Теорема 2.1.6. Пусть выполнены условия теоремы 2.1.4, тогда, если
f (t) ∈ C(t ≥ 0; E2 ), то задача Коши (2.0.1), (2.0.2) имеет единственное классическое решение
Zt
u(t) = p(t) +
(t − s)N −1 −1
B h0 (s)ds+
(N − 1)!
0
Z t Zt−s
+
0
(t − s − τ )N −1 −1
B LN (τ )h0 (s)dτ ds.
(N − 1)!
0
58
2.2
Случай нетерова оператора в главной части
В этом параграфе будем использовать сведения из пункта 1.2 с
сохранением принятых там обозначений. Сначала приведем некоторые
вспомогательные утверждения.
Лемма 2.2.1. Пусть B, A — замкнутые линейные операторы, действующие из E1 в E2 , D(B) = D(A) = E1 , оператор B нетеров и
имеет полный A-жорданов набор, тогда справедливо равенство


p
l
l
i
E
X
XXD
(j)
(p +1−j) 
Qq (AB + )k I2 −
·, ψi Aϕi i
= O2 , k ∈ N,
q=1
i=1 j=1
здесь l = min(n, m), n = dim N (B), m = dim N (B ∗ ).
Доказательство. Рассмотрим оператор Qq (AB + )k , q = 1, . . . , l. Так как
(1)
(k+1)
(B ∗+ A∗ )k ψq = ψq
при k = 1, . . . , pq − 1, q = 1, . . . , l, то
Qq (AB + )k = ·, ψq(k+1) zq ,
а при k = pq получим
Qq (AB + )pq = ·, B ∗+ A∗ ψq(pq ) zq = ·, B ∗+ γq zq = O2 ,
(p )
поскольку A∗ ψq q = γq и γq ∈ N (B ∗+ ). Отсюда, очевидно, следует, что и
для всех k > pq имеет место равенство Qq (AB + )k = O2 . Таким образом,
для каждого q = 1, . . . , l


pi D
l X
E
X
(j)
(p +1−j) 
Qq (AB + )k I2 −
·, ψi Aϕi i
= O2 , k ≥ pq .
i=1 j=1
Покажем, что это справедливо и при k = 1, . . . , pq − 1. Согласно (1.2.1)
и (1.2.2),


pi D
l X
E
X
(j)
(p +1−j) 
Qq (AB + )k I2 −
·, ψi Aϕi i
=
i=1 j=1
pi D
D
E
ED
E
X
(j)
(pi +1−j)
(k+1)
+ k
= ·, ψq
zq −
·, ψi
(AB ) Aϕi
, ψq zq =
D
E
(k+1)
= ·, ψq
zq −
j=1
pi D
X
·,
(j)
ψi
ED
+
k
A(B A)
(p +1−j)
ϕi i
,
E
ψq zq =
j=1
pi D
D
E
ED
E
X
(j)
(k+1)
+
k+pi −j (1)
= ·, ψq
zq −
·, ψi
A(B A)
ϕi , ψq zq .
j=1
59
D
E
Теперь рассмотрим числа A(B A)
ψq . При фиксированных
k = 1, . . . , pq − 1 и i = 1, . . . , l, изменяющемся индексе j = 1, . . . , pi
показатель k + pi − j пробегает подряд натуральные значения от k до
k + pi − 1, где гарантировано имеется pi − 1, при котором
D
E D
E
(1)
(1)
A(B + A)k+pi −j ϕi , ψq = A(B + A)pi −1 ϕi , ψq =
D
E
(pi )
= Aϕi , ψq = δiq .
k+pi −j
+
(1)
ϕi ,
При всех остальных значениях k + pi − j эти числа равны нулю. Для
тех значений k и j, при которых k + pi − j < pi − 1, это можно установить из формулы (1.2.3), а, если k + pi − j ≥ pi , то следует принять
(p )
во внимание два факта: Aϕi i = zi (см. замечание 1.2.2) и zi ∈ N (B + )
(из
оператора). Тем самым, среди чисел
D определения псевдообратного
E
(1)
A(B + A)k+pi −j ϕi , ψq отличными от нуля (равными единице) являются только те, у которых i = q и j = k + 1. Отсюда для всех q = 1, . . . , l
получаем


p
l
i
E
XXD
(j)
(p +1−j) 
+ k
Qq (AB ) I2 −
·, ψi Aϕi i
=
i=1 j=1
pi D
D
E
ED
E
X
(j)
(k+1)
+
k+pi −j (1)
= ·, ψq
zq −
·, ψi
A(B A)
ϕi , ψq zq =
j=1
D
= ·,
ψq(k+1)
E
D
zq − ·,
ψq(k+1)
E
zq = O2 , k = 1, . . . , pq − 1.
Таким образом, показано, что при каждом q = 1, . . . , l и любом k ∈ N
справедливо равенство


p
l
i
D
E
XX
(j)
(p +1−j) 
Qq (AB + )k I2 −
·, ψi Aϕi i
= O2 ,
i=1 j=1
из которого и следует требуемое.
Замечание 2.2.1. Лемма 2.2.1 справедлива и при k = 0, а именно:


pi D
l
l X
E
X
X
(j)
(p +1−j) 
Qq I2 −
·, ψi Aϕi i
= O2 .
(2.2.1)
q=1
i=1 j=1
Действительно, при всех q = 1, . . . , l
60

Qq I2 −
pi D
l X
X

(j)
·, ψi
E
(pi +1−j) 
Aϕi
=
i=1 j=1
= h·, ψq i zq −
pi D
l X
X
(j)
ψi
·,
ED
(p +1−j)
Aϕi i
,
E
ψq zq =
i=1 j=1
= h·, ψq i zq −
l D
X
(1)
ψi
·,
ED
(p )
Aϕi i ,
E
ψq zq =
i=1
= h·, ψq i zq −
l
X
h·, ψi i hzi , ψq i zq =
i=1
= h·, ψq i zq −
l
X
δiq h·, ψi i zq = h·, ψq i zq − h·, ψq i zq = O2 .
i=1
Отсюда также следует равенство



p
l
l
i
E
D
X
XX
(p +1−j) 
(j)
I2 −
=
Qq  I2 −
·, ψi Aϕi i
q=1
i=1 j=1
= I2 −
pi D
l X
X
·,
(j)
ψi
E
(pi +1−j)
Aϕi
. (2.2.2)
i=1 j=1
Лемма 2.2.2. Пусть выполнены условия леммы 2.2.1, тогда
l
X
h·, γi i ϕi + B
+
i=1
pi D
l X
X
·, B
∗
(j)
ψi
E
(pi +1−j)
Aϕi
=
i=1 j=1
=
pi D
l X
X
·, A
∗
(j)
ψi
E
(pi +1−j)
ϕi
. (2.2.3)
i=1 j=1
(1)
Доказательство. Поскольку B ∗ ψi = 0, то, с учетом (1.2.1), справедлива цепочка равенств
B
+
pi D
l X
X
·, B
∗
(j)
ψi
E
(pi +1−j)
Aϕi
=
i=1 j=1
=
pi D
l X
X
(j)
·, B ∗ ψi
E
(1)
(B + A)pi −j+1 ϕi =
i=1 j=2
=
l pX
i −1 D
X
·, B
∗
(j+1)
ψi
E
+
pi −j
(B A)
(1)
ϕi
i=1 j=1
l pX
i −1 D
E
X
(p +1−j)
∗ (j+1)
=
·, B ψi
ϕi i
.
i=1 j=1
61
(j+1)
(j)
Далее, используя B ∗ ψi
= A∗ ψi , j = 1, . . . , pi (см. замечание 1.2.3),
(p )
и A∗ ψi i = γi , i = 1, . . . , l (см. замечание 1.2.2), получим
B
+
pi D
l X
X
·, B
∗
(j)
ψi
E
(pi +1−j)
Aϕi
=
i=1 j=1
=
l pX
i −1 D
X
·, A
∗
(j)
ψi
E
(pi +1−j)
ϕi
=
i=1 j=1
pi D
l X
l D
E
E
X
X
(pi +1−j)
(1)
∗ (j)
∗ (pi )
=
·, A ψi ϕi
−
·, A ψi
ϕi =
i=1 j=1
i=1
=
pi D
l X
X
·, A
∗
(j)
ψi
E
(p +1−j)
ϕi i
−
i=1 j=1
l
X
h·, γi i ϕi ,
i=1
откуда и следует искомое равенство.
Замечание 2.2.2. Имеет место еще одно полезное равенство
pi D
l X
X
·, A
∗
(j)
ψi
E
(p +1−j)
Aϕi i
− AB
+
pi D
l X
X
(j)
·, B ∗ ψi
E
(pi +1−j)
Aϕi
=
i=1 j=1
i=1 j=1
=
l
X
h·, γi i Aϕi . (2.2.4)
i=1
Замечание 2.2.3. При n < m (2.2.3) и (2.2.4) можно переписать так:
pi D
n X
E
X
(p −j+1)
∗ (j)
P + B Q̃B =
·, A ψi ϕi i
+
(2.2.5)
i=1 j=1
и
Q̃A − AB + Q̃B = AP,
где Q̃ =
(2.2.6)
E
pi D
n P
P
(j)
(p +1−j)
·, ψi Aϕi i
.
i=1 j=1
Перейдем к изложению основных результатов. Начнем с рассмотрения случая отрицательного индекса нетерова оператора B (т. е. n < m,
см. п. 1.2). Здесь справедлива
Теорема 2.2.1. Пусть B, A — замкнутые линейные операторы из E1
в E2 , причем
D(B) = D(A) = E1 , D(B) ⊆ D(A),
62
ядро g(t) : R+ → R — непрерывная функция, оператор B нетеров отрицательного индекса и имеет полный A-жорданов набор, тогда интегродифференциальный оператор Bδ (N ) (t) − Aδ(t) − Ag(t)θ(t) имеет фундаментальную оператор-функцию вида
N −1
+ t
EN (t) = B
θ(t) ∗ I2 δ(t) + UN (t)θ(t) (I2 − Q̃)−
(N − 1)!


p
p
−k+1
n
i
i
D
E
X X X
(j)
(p −k+2−j) ((k−1)N )

−
·, ψi ϕi i
δ
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))k  ,
i=1
k=1
j=1
(2.2.7)
на подклассе обобщенных функций w(t) ∈ K+0 (E2 ) таких, что
Qν I2 δ(t) + UN (t)θ(t) ∗ w(t) = 0, ν = n + 1, . . . , m.
pi D
n P
P
+
(j)
ψi
E
(p +1−j)
Здесь B — псевдообратный оператор, Q̃ =
·,
Aϕi i
,
i=1
j=1
o
n
(j)
ϕ , i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , pi — A-жорданов набор оператора B,
n i
o
(j)
ψi , i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , pi — A∗ -жорданов набор оператора B ∗ ,
t
R
N −1
N −1
(t−s)
t
UN (t) — операторная резольвента ядра AB + (N −1)! + (N −1)! g(s)ds ,
0
r(t) — резольвента ядра −g(t), под k-ой степенью обобщенной функции
(δ(t) + g(t)θ(t)) ∈ D+0 понимается ее повторная k-кратная свертка
(δ(t) + g(t)θ(t))k = (δ(t) + g(t)θ(t)) ∗ · · · ∗ (δ(t) + g(t)θ(t)),
|
{z
}
k раз
причем (δ(t) + g(t)θ(t))0 = δ(t).
Доказательство. В соответствии с определением 1.4.1 покажем, что, вопервых,
(Bδ (N ) (t) − Aδ(t) − Ag(t)θ(t)) ∗ EN (t) ∗ w(t) = w(t)
для любого распределения w(t) ∈ K+0 (E2 ), которое удовлетворяет соотношению
Qν I2 δ(t) + UN (t)θ(t) ∗ w(t) = 0, ν = n + 1, . . . , m,
а, во-вторых,
EN (t) ∗ (Bδ (N ) (t) − Aδ(t) − Ag(t)θ(t)) ∗ v(t) = v(t), ∀ v(t) ∈ K+0 (E1 ).
63
Поскольку BB + = I2 − Q,
tN −1
UN (t)θ(t) = AB
θ(t) ∗ (δ(t) + g(t)θ(t))+
(N − 1)!
N −1
+ t
θ(t) ∗ (δ(t) + g(t)θ(t)) ∗ UN (t)θ(t)),
+ AB
(N − 1)!
+
(1)
(сведения о резольвенте см. в прмере 1.4.2), Bϕi = 0, i = 1, . . . , n, и
(δ(t) + g(t)θ(t)) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))k = (δ(t) + r(t)θ(t))k−1 ,
справедлива цепочка равенств
(Bδ (N ) (t) − Aδ(t) − Ag(t)θ(t)) ∗ EN (t) =
(I2 − Q) I2 δ(t) + UN (t)θ(t) (I2 − Q̃)−
N −1
+ t
− AB
θ(t) ∗ (δ(t) + g(t)θ(t)) ∗ I2 δ(t) + UN (t)θ(t) (I2 − Q̃)−
(N − 1)!


p
p
−k+1
n
i
i
E
X X X D
(p −k+2−j) (kN )
(j)

δ
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))k  +
−
·, ψi Bϕi i
i=1
j=1
k=1


p
p
−k+1
n
i
i
D
E
X X X
(j)
(p −k+2−j) ((k−1)N )

+
·, ψi Aϕi i
δ
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))k−1  =
i=1
j=1
k=1
= (I2 − Q)(I2 − Q̃)δ(t) − QUN (t)θ(t)(I2 − Q̃)−
−
n
X

pX
i −1 p
i −k D
X

i=1

(j)
·, ψi
E
(pi −k+2−j) (kN )
Bϕi
δ
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))k  +
k=1 j=1
pi D
n X
E
X
(j)
(p +1−j)
δ(t)+
+
·, ψi Aϕi i
i=1 j=1


pi piX
−k+1 D
n
E
X
X
(j)
(p −k+2−j) ((k−1)N )

+
·, ψi Aϕi i
δ
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))k−1  =
i=1
k=2
j=1
=
−
n
X
ν=1
I2 −
Qν −
n
X
Qν −
ν=1
m
X
m
X
!
Qν
(I2 − Q̃)δ(t)−
!ν=n+1
Qν
UN (t)θ(t)(I2 − Q̃) + Q̃δ(t)−
ν=n+1
64
−
n
X
pX
i −k D
i −1 p
X

n
X
n
P
(pi −k+2−j) (kN )
Bϕi
δ
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))k  +


pX
i −k D
i −1 p
X

i=1
Но
(j)
·, ψi
E
k=1 j=1
i=1
+


(j)
·, ψi
E
(pi −k+1−j) (kN )
Aϕi
δ
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))k  .
k=1 j=1
Qν (I2 − Q̃) = O2 , согласно (2.2.1) (в нашем случае n < m, значит,
ν=1
l = n), а, так как
+∞
X
tkN −1
(AB )
UN (t)θ(t) =
θ(t) ∗ (δ(t) + g(t)θ(t))k ,
(kN − 1)!
k=1
то, в силу леммы 2.2.1,
+ k
n
P
(2.2.8)
Qν UN (t)θ(t)(I2 − Q̃) ≡ O2 . Учитывая это все
ν=1
(j+1)
(j)
и Bϕi
= Aϕi , j = 1, . . . , pi − 1, i = 1, . . . , n (см. определение 1.2.1),
получим
(Bδ (N ) (t) − Aδ(t) − Ag(t)θ(t)) ∗ EN (t) = (I2 − Q̃)δ(t)−
m
m
X
X
−
Qν (I2 − Q̃)δ(t) + Q̃δ(t) −
Qν UN (t)θ(t)(I2 − Q̃) =
ν=n+1
ν=n+1
= I2 δ(t) −
m
X
Qν
I2 δ(t) + UN (t)θ(t) +
ν=n+1
+
m
X
m
X
Qν Q̃δ(t) +
ν=n+1
Qν UN (t)θ(t)Q̃.
ν=n+1
Однако Qν Q̃ = O2 и Qν (AB + )k Q̃ = O2 , k ∈ N при ν = n + 1, . . . , m, что
является прямым следствием формул (1.2.3) и (1.2.4) из замечания 1.2.2.
Таким образом,
(Bδ (N ) (t) − Aδ(t) − Ag(t)θ(t)) ∗ EN (t) =
= I2 δ(t) −
m
X
Qν
I2 δ(t) + UN (t)θ(t) ,
ν=n+1
поэтому для всякой
w(t) ∈ K+0 (E2 ), удовлетворя обобщенной функции
ющей условию Qν I2 δ(t) + UN (t)θ(t) ∗ w(t) = 0, ν = n + 1, . . . , m,
выполняется
(Bδ (N ) (t) − Aδ(t) − Ag(t)θ(t)) ∗ EN (t) ∗ w(t) = w(t),
65
т. е. первая часть теоремы доказана.
Теперь докажем второе равенство, при этом будем использовать эквивалентый вид фундаментальной оператор-функции
EN (t) = B
+
+∞
X
k−1
(δ(t) + g(t)θ(t))
tkN −1
∗
θ(t)(AB + )k−1 (I2 − Q̃)−
(kN − 1)!

 k=1
pi piX
−k+1 D
n
E
X
X
(j)
(p −k+2−j) ((k−1)N )

−
·, ψi ϕi i
δ
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))k  ,
i=1
k=1
j=1
который можно получить путем тождественного преобразования регу(1)
лярной части с использованием (2.2.8). Так как B ∗ ψi = 0, i = 1, . . . , n
и
(δ(t) + r(t)θ(t))k ∗ (δ(t) + g(t)θ(t)) = (δ(t) + r(t)θ(t))k−1 ,
то
EN (t) ∗ (Bδ (N ) (t) − Aδ(t) − Ag(t)θ(t)) =
+∞
X
tkN −1
k−1
=
(δ(t) + g(t)θ(t)) ∗
θ(t) ∗ δ (N ) (t)B + (AB + )k−1 (I2 − Q̃)B−
(kN
−
1)!
k=1
+∞
X
tkN −1
θ(t)B + (AB + )k−1 (I2 − Q̃)A−
−
(δ(t) + g(t)θ(t)) ∗
(kN − 1)!
k=1


p
p
−k+1
n
i
i
E
X X X D
(j)
(p −k+2−j) (kN )

−
·, B ∗ ψi ϕi i
δ
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))k  +
i=1
n
X
+

k
k=1
j=1
pi piX
−k+1 D
X
(j)
·, A∗ ψi

i=1

k=1
E
(pi −k+2−j) ((k−1)N )
δ
ϕi
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))k−1  =
j=1
= B + (I2 − Q̃)Bδ(t)+
+∞
X
tkN −1
+
(δ(t) + g(t)θ(t)) ∗
θ(t)B + (AB + )k (I2 − Q̃)B−
(kN − 1)!
k=1
k
+∞
X
−
(δ(t) + g(t)θ(t))k ∗
tkN −1
θ(t)B + (AB + )k−1 (I2 − Q̃)A−
(kN − 1)!
k=1


pX
−k+1 D
n
i −1 piX
E
X
(j)
(p −k+2−j) (kN )

−
·, B ∗ ψi ϕi i
δ
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))k  +
i=1
k=1
j=2
pi D
n X
E
X
(p −j+1)
∗ (j)
+
·, A ψi ϕi i
δ(t)+
i=1 j=1
66
n
X
+

(j)
·, A∗ ψi

i=1

−k+1 D
pi piX
X
k=2
E
(pi −k+2−j) ((k−1)N )
ϕi
δ
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))k−1  .
j=1
Используя равенства B + B = I1 − P, (2.2.5), (2.2.6), а также уравнения
(j+1)
(j)
B ∗ ψi
= A∗ ψi , j = 1, . . . , pi − 1, i = 1, . . . , n для A∗ -присоединенных
элементов (см. замечание 1.2.3), получим
EN (t) ∗ (Bδ (N ) (t) − Aδ(t) − Ag(t)θ(t)) = (I1 − P − B + Q̃B)δ(t)+
+∞
X
tkN −1
k
(δ(t) + g(t)θ(t)) ∗
+
θ(t)B + (AB + )k−1 ×
(kN − 1)!
k=1
× (A − AP − AB + Q̃B − A + Q̃A)−
−
n
X

pX
i −k D
i −1 p
X

i=1

(j+1)
·, B ∗ ψi
E
(pi −k+1−j) (kN )
ϕi
δ
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))k  +
k=1 j=1


pX
n
i −1 p
i −k D
E
X
X
(j)
(p −k+1−j) (kN )

+
·, A∗ ψi ϕi i
δ
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))k  +
i=1
k=1 j=1
+
pi D
n X
X
·, A
∗
(j)
ψi
E
(pi −j+1)
ϕi
δ(t) = I1 δ(t),
i=1 j=1
что и завершает доказательство теоремы.
Теорема 2.2.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.2.1 и
*
+
Zt
h0 (t) + UN (t − s)h0 (s)ds, ψν = 0, ν = n + 1, . . . , m,
(2.2.9)
0
тогда задача Коши (2.0.1), (2.0.2) имеет единственное обобщенное решение, и, если
g(t) ∈ C (p−1)N (t ≥ 0), f (t) ∈ C (p−1)N (t ≥ 0; E2 ), p = max pi ,
i=1,...,n
то оно имеет вид

Zt
(t − s)N −1 +

ũ(t) = p(t) +
B (I2 − Q̃)h0 (s)ds +
(N − 1)!
0
t
t−s
Z Z
+
0
(t − s − τ )N −1 +
B UN (τ )(I2 − Q̃)h0 (s)dτ ds−
(N − 1)!
0
67
−
−k+1 D
pi piX
n X
X

((k−1)N )
hk
i=1 k=1
(j)
(t), ψi
E
(pi −k+2−j) 
ϕi
θ(t)−
j=1
−k+1 (k−1)N
pi piX
n X
E
X D ((k−1)N −q)
X
(j)
(p −k+2−j) (q−1)
hk
(0), ψi ϕi i
δ
(t), (2.2.10)
−
j=1
i=1 k=2
q=1
где используются обозначения теоремы 2.2.1 и замечания 2.1.4.
Доказательство. Нетрудно убедиться, что
Zt
*
h0 (t) +
+
UN (t − s)h0 (s)ds, ψν
zν θ(t) =
0
= Qν
I2 δ(t) + UN (t)θ(t) ∗ g̃(t), ν = n + 1, . . . , m,
значит, из условия (2.2.9) следует, что g̃(t) ∈ K+0 (E2 ) принадлежит подклассу обобщенных функций, на котором оператор-функция EN (t), согласно теореме 2.2.1, является фундаментальной для интегро-дифференциального оператора Bδ (N ) (t) − Aδ(t) − Ag(t)θ(t). Но тогда задача Коши
(2.0.1), (2.0.2) имеет единственное обобщенное решение вида
ũ(t) = EN (t) ∗ g̃(t).
Дальнейшее доказательство теоремы — это преобразование последней
свертки в более развернутую форму с учетом введенных ранее обозначений. Эти рассуждения аналогичны изложенным в доказательстве теоремы 2.1.2 предыдущего пункта и из них могут быть получены путем
замены Γ на B + и MN (t) на UN (t).
Замечание 2.2.4. В теореме 2.2.2 условие сильной непрерывности функции f (t) и ее производных до ((p−1)N )-го порядка включительно можно
заменить более слабым:
D
E
(j)
f (t), ψi
∈ C (pi −j)N (t ≥ 0), j = 1, . . . , pi , i = 1, . . . , n,
а обобщенное решение переписать с учетом обозначения
D
E
(j)
ξkji (t) = hk (t), ψi .
Теорема 2.2.3. Пусть выполнены условия теоремы 2.2.1, соотношения
(2.2.9) и
g(t) ∈ C pN (t ≥ 0), f (t) ∈ C pN (t ≥ 0; E2 ), p = max pi ,
i=1,...,n
68
тогда, если
D
(q−1)
hk (0),
(j)
ψi
E
= 0,
q = 1, . . . , kN, k = 1, . . . , pi , j = 1, . . . , pi − k + 1, i = 1, . . . , n,
то задача Коши (2.0.1), (2.0.2) имеет единственное классическое решение вида
Zt
(t − s)N −1 +
u(t) = p(t) +
B (I2 − Q̃)h0 (s)ds+
(N − 1)!
0
t
Z Zt−s
+
0
(t − s − τ )N −1 +
B UN (τ )(I2 − Q̃)h0 (s)dτ ds−
(N − 1)!
0
−k+1 D
pi piX
n X
E
X
((k−1)N )
(j)
(p −k+2−j)
hk
(t), ψi ϕi i
. (2.2.11)
−
j=1
i=1 k=1
Доказательство. Поскольку g(t) ∈ C pN (t ≥ 0), f (t) ∈ C pN (t ≥ 0; E2 ),
p = max pi , то, очевидно, u(t) ∈ C N (t ≥ 0; E1 ). Кроме того, при
i=1,...,n
α = 1, . . . , N, справедлива цепочка равенств
u(α−1) (0) =
=p
(α−1)
(0) −
pi piX
−k+1 D
n X
X
i=1 k=1
((k−1)N +α−1)
hk
(0),
(j)
ψi
E
(pi −k+2−j)
ϕi
=
j=1
= uα−1 ,
так как, в частности,
D
E
(q−1)
(j)
hk (0), ψi
= 0,
q = (k − 1)N + 1, . . . , kN, k = 1, . . . , pi , j = 1, . . . , pi − k + 1, i = 1, . . . , n
и p(α−1) (0) = uα−1 , α = 1, . . . , N . Теперь непосредственно убедимся, что
функция u(t) обращает в тождество уравнение (2.0.1).
Bu(N ) (t) − Au(t) −
Zt
g(t − s)Au(s)ds =
0
= (I2 − Q)(I2 − Q̃)h0 (t) +
Zt
(I2 − Q)UN (t − s)(I2 − Q̃)h0 (s)ds−
0
−
pi piX
−k+1 D
n X
X
i=1 k=1
(kN )
hk (t),
j=1
69
(j)
ψi
E
(pi −k+2−j)
Bϕi
−
− Ap(t) −
Zt
(t − s)N −1
AB + (I2 − Q̃)h0 (s)ds−
(N − 1)!
0
−
Z t Zt−s
0
(t − s − τ1 )N −1
AB + UN (τ1 )(I2 − Q̃)h0 (s)dτ1 ds+
(N − 1)!
0
+
−k+1 D
pi piX
n X
X
i=1 k=1
−
Zt
g(t − s)Ap(s)ds −
0
−
0
Z t Zt−s t−s−τ
Z 1
0
j=1
Z t Zt−s
0
((k−1)N )
hk
(t),
(j)
ψi
E
(pi −k+2−j)
Aϕi
−
(t − s − τ1 )N −1
g(τ1 )AB + (I2 − Q̃)h0 (s)dτ1 ds−
(N − 1)!
0
(t − s − τ1 − τ2 )N −1
g(τ2 )AB + UN (τ1 )(I2 − Q̃)h0 (s)dτ2 dτ1 ds+
(N − 1)!
0
+
*
pi piX
−k+1 Z t
n X
X
i=1 k=1
j=1
+
((k−1)N )
g(t − s)hk
(j)
(s)ds, ψi
(pi −k+2−j)
Aϕi
.
0
Далее воспользуемся соотношением
tN −1
AB + +
UN (t) =
(N − 1)!
Zt
(t − τ1 )N −1
g(τ1 )dτ1 AB + +
(N − 1)!
0
Zt
+
(t − τ1 )N −1
AB + UN (τ1 )dτ1 +
(N − 1)!
0
Z t t−τ
Z 1
+
0
(t − τ1 − τ2 )N −1
g(τ2 )AB + UN (τ1 )dτ2 dτ1
(N − 1)!
0
для резольвенты UN (t) ядра AB +
tN −1
(N −1)!
(1)
+
Rt
0
(t−s)N −1
(N −1)! g(s)ds
, равенства-
ми (2.1.7), (2.1.8) и Bϕi = 0, i = 1, . . . , n, осуществляя преобразования,
аналогичные используемым в замечании 2.1.6 (доказательстве теоремы
2.1.3) предыдущего пункта, получим
Bu(N ) (t) − Au(t) −
Zt
g(t − s)Au(s)ds =
0
70
= (I2 − Q)(I2 − Q̃)h0 (t) −
Zt
QUN (t − s)(I2 − Q̃)h0 (s)ds−
0
− Ap(t) −
Zt
g(t − s)Ap(s)ds−
0
n pX
i −k D
i −1 p
E
X
X
(kN )
(j)
(p −k+2−j)
hk (t), ψi Bϕi i
+
−
i=1 k=1 j=1
pi D
n X
X
+
h0 (t),
(j)
ψi
E
(pi +1−j)
Aϕi
+
i=1 j=1
+
−k+1 D
pi piX
n X
X
i=1 k=2
−
((k−1)N )
hk−1
(t),
E
(pi −k+2−j)
Aϕi
−
j=1
pi piX
−k+1 (k−1)N
n X
X
X D
i=1 k=2
(j)
ψi
(q−1)
hk
(j)
(0), ψi
E
(pi −k+2−j)
g ((k−1)N −q) (t)Aϕi
.
q=1
j=1
Последняя группа слагаемых обнуляется по условию. В ходе доказательства теоремы 2.2.1 было показано, что
m
X
(I2 − Q)(I2 − Q̃) = I2 − Q̃ −
Qν ,
ν=n+1
и
QUN (t)(I2 − Q̃) =
m
X
Qν UN (t).
ν=n+1
(j+1)
Таким образом, в силу условия (2.2.9) и уравнений Bϕi
j = 1, . . . , pi − 1, i = 1, . . . , n, получим
Bu(N ) (t) − Au(t) −
Zt
(j)
= Aϕi ,
g(t − s)Au(s)ds =
0
m
X
= f (t) −
Zt
*
h0 (t) +
ν=n+1
−
n pX
i −1 p
i −k D
X
X
(kN )
hk (t),
+
UN (t − s)h0 (s)ds, ψν
zν −
0
(j)
ψi
E
(p −k+2−j)
Bϕi i
−
(p −k+1−j)
Aϕi i
= f (t),
i=1 k=1 j=1
В заключении отметим, что существование и единственность этого решения является прямым следствием теоремы 2.2.2.
71
Пример 2.2.1. Рассмотрим систему интегро-дифференциальных уравнений вида

Zt




ẍ1 (t) = x2 (t) + sh(t − s)x2 (s)ds + f1 (t),





0




Zt

0 = x1 (t) + sh(t − s)x1 (s)ds + f2 (t),



0




Zt





0 = x1 (t) + x2 (t) + sh(t − s)(x1 (s) + x2 (s))ds + f3 (t);


0
с начальными условиями
x1 (0)
x10
=
,
x2 (0)
x20

ẋ1 (0)
ẋ2 (0)

=
x11
x21
.


1 0
0 1
Здесь E1 = R2 , E2 = R3 , B =  0 0 , A =  1 0 , g(t) = sht,
0 0
1 1
1 0 0
0 1 1
B∗ =
, A∗ =
. Очевидно, что dim N (B) = 1,
0 0 0
1 0 1
dim N (B ∗ ) = 2. Базисными элементами в N (B) и N (B ∗ ) выберем
 
 
0
0
0
и ψ1 =  0  , ψ2 =  1 
ϕ1 =
1
1
0
соответственно, а в качестве векторов биортогональных систем
 
 
1
1
1



γ1 =
и z1 = 0 , z2 = 1  .
1
1
0
Тогда, согласно определению из п. 1.2, пседвообратный для B имеет вид
1
−1
−1
B+ =
.
−1
1
1
Вектор ϕ1 не имеет A-присоединенных элементов, причем z1 = Aϕ1 и
γ1 = A∗ ψ1 . Нетрудно заметить, что


1 0 −1
0
0
0
0  , (·, ψ1 )ϕ1 =
I2 − (·, ψ1 )z1 =  0 1
.
0 0 1
0 0
0
72
Rt
Оператор-функция AB + t + (t − s)g(s)ds
имеет вид
0
AB + t +
Zt
0

−sht
(t − s)g(s)ds =  sht
0
sht
−sht
0

sht
−sht ,
0
ее резольвентой является матрица-функция


− sin t
sin t
sin t
− sin t − sin t ,
U2 (t) =  sin t
0
0
0
а резольвентой ядра (−g(t)) — функция r(t) = −t. Тем самым, обобщенная матрица-функция
(−t + 2 sin t)θ(t)
(t − 2 sin t)θ(t)
(t − 2 sin t)θ(t)
E2 (t) =
(t − 2 sin t)θ(t)
(−t + 2 sin t)θ(t) 2 sin tθ(t) − δ(t)
будет фундаментальной для интегро-дифференциального оператора


δ 00 (t)
−δ(t) − shtθ(t)

0
Bδ 00 (t) − Aδ(t) − Ag(t)θ(t) =  −δ(t) − shtθ(t)
−δ(t) − shtθ(t) −δ(t) − shtθ(t)
на подклассе распределений из K+0 (R3 ) 1 следующего вида:
(u1 (t), u2 (t), u3 (t)) ∈ K+0 (R3 ) : u2 + sin tθ(t) ∗ (u1 − u2 − u3 ) = 0 .
Если, в частности, этому множеству принадлежит функция
 






g̃1 (t)
f1 (t)
x11
x10
g̃(t) =  g̃2 (t)  =  f2 (t)  θ(t) +  0  δ(t) +  0  δ 0 (t),
g̃3 (t)
f3 (t)
0
0
а именно это возможно, когда ∀ t ∈ [0, +∞) справедливо соотношение
Zt
f2 (t) + x11 sin t + x10 cos t +
sin(t − s)(f1 (s) − f2 (s) − f3 (s))ds = 0,
0
то исходная начальная задача имеет обобщенное решение вида
x1 (t)
x̃(t) = E2 (t) ∗ g̃(t) =
θ(t) =
x2 (t)
x10
x
11
=
σ 0 (t) +
σ(t) −
−x10
−x11
1
0
Здесь речь идет о таком классе: K+
(R3 ) = {(u1 (t), u2 (t), u3 (t)) : ui (t) ∈ D+ , i = 1, 2, 3}.
73

Rt

−
 Rt
0

σ(t − s)(−f1 (s) + f2 (s) + f3 (s))ds
Rt
σ(t − s)(f1 (s) − f2 (s))ds − 2 sin(t − s)f3 (s)ds + f3 (t)
0

 θ(t),

0
где σ(t) = 2 sin t − t. Оно станет классическим, если f3 (t) ∈ C 2 (t ≥ 0) и
будут выполнены условия f3 (0) = −x10 − x20 , f˙3 (0) = −x11 − x21 .
В продолжении параграфа рассмотрим случай, когда B — нетеров
оператор положительного индекса (т. е. n > m, см. п. 1.2).
Теорема 2.2.4. Пусть B, A — замкнутые линейные операторы из E1
в E2 , причем
D(B) = D(A) = E1 , D(B) ⊆ D(A),
ядро g(t) : R+ → R — непрерывная функция, оператор B нетеров положительного индекса и имеет полный A-жорданов набор, тогда обоб(1)
щенная оператор-функция вида (2.2.7) с ψi = 0, i = m + 1, . . . , n и
(j)
произвольными функционалами ψi , i = m + 1, . . . , n, j = 1, . . . , pi удовлетворяет условию
(Bδ (N ) (t) − Aδ(t) − Ag(t)θ(t)) ∗ EN (t) ∗ w(t) = w(t), ∀ w(t) ∈ K+0 (E2 ).
Доказательство. Осуществляя преобразования, аналогичные проделанным в доказательстве теоремы 2.2.1, получим
(Bδ (N ) (t) − Aδ(t) − Ag(t)θ(t)) ∗ EN (t) =
(I2 − Q)(I2 − Q̃)δ(t) + Q̃δ(t) − QUN (t)θ(t)(I2 − Q̃) =
= I2 δ(t) − Q(I2 − Q̃)δ(t) − QUN (t)θ(t)(I2 − Q̃).
Далее из леммы 2.2.1, равенств (2.2.1), (1.2.3) и (1.2.4) следует
Q(AB + )k−1 (I2 − Q̃) =
=
m
X

Qq (AB + )k−1 I2 −
q=1
=
m
X
q=1
pi D
n X
X

(j)
·, ψi
E
(pi +1−j) 
Aϕi
=
i=1 j=1


pi D
n
E
X
X
(j)
(p +1−j) 
·, ψi Aϕi i
= O2 , k ∈ N.
Qq (AB + )k−1 
i=m+1 j=1
Тогда, с учетом (2.2.8), получим равенство
(Bδ (N ) (t) − Aδ(t) − Ag(t)θ(t)) ∗ EN (t) = I2 δ(t),
которое и доказывает теорему.
74
Замечание 2.2.5. Аналогичным образом, можно показать равенство
Υ(t) = EN (t) ∗ (Bδ (N ) (t) − Aδ(t) − Ag(t)θ(t)) =


p
−1
n
i
D
E
X X
(j+1)
(j)
(p +1−j) 
= I1 −
·, B ∗ ψi
− A∗ ψi ϕi i
δ(t)−
i=m+1 j=1
−
pX
n
i −k D
i −1 p
X
X
·, B
∗
(j+1)
ψi
∗
−A
i=m+1 k=1 j=1
+∞
X
(j)
ψi
E
(pi −k+1−j) (kN )
ϕi
δ
(t)∗(δ(t)+r(t)θ(t))k −
tkN −1
θ(t)B + (AB + )k−1 ×
−
(δ(t) + g(t)θ(t)) ∗
(kN − 1)!
k=1
k
pX
n
i −1 D
E
X
(p +1−j)
∗ (j+1)
∗ (j)
×
·, B ψi
− A ψi ϕi i
.
i=m+1 j=1
Тем самым, второе условие из определения фундаментальной операторфункции в предположениях теоремы 2.2.4 не выполняется. В этом случае мы можем утверждать только существование обобщенного решения
ũ(t) = EN (t) ∗ g̃(t) задачи Коши (2.0.1), (2.0.2). В развернутом виде при
g(t) ∈ C (p−1)N (t ≥ 0), f (t) ∈ C (p−1)N (t ≥ 0; E2 ) (здесь p = max {q1 ; q2 },
q1 = max pi , q2 = max {pi − 1}), оно представляется формулой
i=1,...,m
i=m+1,...,n

ũ(t) = Υ(t) ∗ p(t)θ(t) + 
Zt
(t − s)N −1
Γ(I2 − Q̃)h0 (s)ds +
(N − 1)!
0
Z t Zt−s
(t − s − τ )N −1
ΓMN (τ )(I2 − Q̃)h0 (s)dτ ds−
+
(N − 1)!
0 0

pi piX
−k+1 D
n X
E
X
(p −k+2−j) 
((k−1)N )
(j)
θ(t)−
−
hk
(t), ψi ϕi i
i=1 k=1
j=1
pi piX
−k+1 (k−1)N
n X
E
X
X D ((k−1)N −q)
(j)
(p −k+2−j) (q−1)
−
hk
(0), ψi ϕi i
δ
(t), (2.2.12)
i=1 k=2
j=1
q=1
(1)
в которой ψi = 0, i = m + 1, . . . , n, и содержатся произвольные функ(j)
ционалы ψi , j = 2, . . . , pi , i = m + 1, . . . , n. Таким образом, обобщенное
решение не обладает свойством единственности.
Замечание 2.2.6. Если же в условиях теоремы 2.2.4 выбрать входные
данные задачи такими, что g(t) ∈ C pN (t ≥ 0), f (t) ∈ C pN (t ≥ 0; E2 ),
75
p = max {q1 ; q2 }, q1 = max pi , q2 =
i=1,...,m
D
(q−1)
hk (0),
max
i=m+1,...,n
(j)
ψi
E
{pi − 1} и
= 0,
q = 1, . . . , kN, k = 1, . . . , pi , j = 1, . . . , pi − k + 1, i = 1, . . . , m,
(j)
а также положить функционалы ψi , j = 2, . . . , pi , i = m + 1, . . . , n
такими, чтобы выполнялись условия
D
E
D
E
(q−1)
(j)
∗ (k+1)
∗ (k)
hk (0), ψi
= 0, ul−1 , B ψi
− A ψi
= 0,
q = 1, . . . , kN, k = 1, . . . , pi − 1, j = 2, . . . , pi − k + 1, i = m + 1, . . . , n,
l = 1, . . . , N,
то существует классическое решение, которое имеет вид, как в теореме
2.2.3 (см. формулу (2.2.11)). Об единственности этого решения также
утверждать не приходится.
Рассуждения последних двух замечаний сформулируем в виде следующих утверждений.
Теорема 2.2.5. Пусть выполнены условия теоремы 2.2.4, тогда задача
Коши (2.0.1), (2.0.2) имеет обобщенное решение, и, если
g(t) ∈ C (p−1)N (t ≥ 0), f (t) ∈ C (p−1)N (t ≥ 0; E2 ),
то оно имеет вид (2.2.12).
Теорема 2.2.6. Пусть выполнены условия теоремы 2.2.4 и
g(t) ∈ C pN (t ≥ 0), f (t) ∈ C pN (t ≥ 0; E2 ),
тогда, если
D
(q−1)
hk (0),
(j)
ψi
E
= 0,
q = 1, . . . , kN, k = 1, . . . , pi , j = 1, . . . , pi − k + 1, i = 1, . . . , m,
(j)
а функционалы ψi , j = 2, . . . , pi , i = m + 1, . . . , n таковы, что
D
E
D
E
(q−1)
(j)
∗ (k+1)
∗ (k)
hk (0), ψi
= 0, ul−1 , B ψi
− A ψi
= 0,
q = 1, . . . , kN, k = 1, . . . , pi − 1, j = 2, . . . , pi − k + 1, i = m + 1, . . . , n,
l = 1, . . . , N,
то задача Коши (2.0.1), (2.0.2) имеет классическое решение (2.2.11).
76
Замечание 2.2.7. Если в этом параграфе положить m = n, то утверждения, полученные для случаев как отрицательного, так и положительного индексов нетерова оператора B, станут соответствующими утверждениями из предыдущего пункта. Это согласуется с тем, что фредгольмов оператор является нетеровым оператором индекса 0.
Замечание 2.2.8. Представленные здесь результаты согласуются со случаем g(t) ≡ 0, исследованным ранее в [100; 140]
Пример 2.2.2. Рассмотрим систему интегро-дифференциальных уравнений вида

Zt





ẍ1 (t) = x2 (t) + x3 (t) + sh(t − s)(x2 (s) + x3 (s))ds + f1 (t),



0





0 = x1 (t) + x3 (t) +



Zt
sh(t − s)(x1 (s) + x3 (s))ds + f2 (t);
0
с начальными условиями
 


x1 (0)
x10
 x2 (0)  =  x20  ,
x3 (0)
x30

 

ẋ1 (0)
x11
 ẋ2 (0)  =  x21  .
ẋ3 (0)
x31
1
0
0
0
1
1
Здесь E1 = R3 , E2 = R2 , B =
, A =
,
0 0 0
1 0 1
g(t) = sht. Очевидно, что dim N (B) = 2, dim N (B ∗ ) = 1. Базисными
элементами в N (B) и N (B ∗ ) выберем
 
 
0
0
0
ϕ1 =  0  , ϕ2 =  1  , ψ1 =
1
1
0
соответственно, а в качестве векторов биортогональных систем
 
 
1
1
1
γ1 =  0  , γ2 =  1  , z1 =
.
1
1
0
Тогда, согласно определению из п. 1.2, псевдообратный для B имеет вид


1
−1
1 .
B + =  −1
−1
1
77
У вектора ϕ1 нет A-присоединенных элементов, т. е. p1 = 1, и z1 = Aϕ1 .
Длина A-жордановой цепочки элемента ϕ2 равна 2, причем


1
(2)
ϕ2 =  −1  .
−1
В этом случае
0
C1
(2)
=
, ψ2 =
,
0
C2
где C1 и C2 — произвольные постоянные. Далее
−2 sin t 2 sin t
U2 (t) =
,
0
0
(1)
ψ2
а резольвентой ядра (−g(t)) является функция r(t) = −t. Фундаментальная оператор-функция имеет вид


(1 − C1 )σ(t)θ(t)
−(1 + C2 )σ(t)θ(t)
E2 (t) =  (C1 − 1)σ(t)θ(t) − C1 γ(t) (1 + C2 )σ(t)θ(t) − C2 γ(t)  ,
(C1 − 1)σ(t)θ(t)
(1 + C2 )σ(t)θ(t) − γ(t)
где σ(t) = 2 sin t − t, γ(t) = δ(t) − tθ(t). Отсюда легко восстанавливаются
все компоненты обобщенного решения
x̃1 (t) = (1 − C1 )σ 0 (t)x10 + (1 − C1 )σ(t)x11 +
+ (1 − C1 )
Zt
σ(t − s)f1 (s)ds − (1 + C2 )
0
Zt
σ(t − s)f2 (s)ds θ(t);
0
x̃2 (t) = (2(C1 − 1) cos t + 1)x10 + (2(C1 − 1) sin t + t)x11 −
− C1 f1 (t) − C2 f2 (t) + 2(C1 − 1)
Zt
sin(t − s)f1 (s)ds +
0
Zt
+ 2(1 + C2 )
Zt
(t − s)f1 (s)ds+
0
sin(t − s)f2 (s)ds −
0
Zt
(t − s)f2 (s)ds θ(t)−
0
− C1 x11 δ(t) − C1 x10 δ 0 (t);
x̃3 (t) = (C1 − 1)σ 0 (t)x10 + (C1 − 1)σ(t)x11 +
78
+ (C1 − 1)
Zt
σ(t − s)f1 (s)ds + 2(1 + C2 )
0
Zt
sin(t − s)f2 (s)ds+
0
Zt
+ C2
(t − s)f2 (s)ds − f2 (t) θ(t);
0
Это решение окажется классическим, если f1 (t), f2 (t) ∈ C 2 (t ≥ 0) и
будут выполнены условия f2 (0) = −x10 − x30 , f˙2 (0) = −x11 − x31 , а
произвольные постоянные подобраны следующим образом:
C1 = 0, C2 f2 (0) = −x10 − x20 , C2 f˙2 (0) = −x11 − x21 .
2.3
Случай спектральной ограниченности операторного пучка
Пусть B ∈ L(E1 , E2 ), A ∈ Cl(E1 , E2 ). Здесь и далее Cl(E1 , E2 ) будем
обозначать множество линейных замкнутых операторов, плотно определенных в банаховом пространстве E1 и действующих в банахово пространство E2 . В удобных для нас обозначениях приведем некоторые определения, введенные в [64; 159].
Определение 2.3.1. Резольвентным множеством оператора A относительно оператора B (или B-резольвентным множеством оператора A)
называется множество
ρB (A) = µ ∈ C : (µB − A)−1 ∈ L(E2 , E1 ) ,
а оператор-функция (µB − A)−1 называется резольвентой оператора A
относительно оператора B (или B-резольвентой оператора A).
Определение 2.3.2. Оператор-функции
−1
RµB (A) = (µB − A)−1 B и LB
µ (A) = B(µB − A)
называются соответственно правой резольвентой и левой резольвентой
оператора A относительно оператора B (или правой B-резольвентой и
левой B-резольвентой оператора A).
Определение 2.3.3. Оператор A называется спектрально ограниченным относительно оператора B (или (B, σ)-ограниченным), если ∃ a > 0
такое, что {µ ∈ C : |µ| > a} ⊂ ρB (A).
79
Замечание 2.3.1. Пусть Γ = {µ ∈ C : |µ| = r > a}, тогда, как показано
в [64; 159], пара операторов
I
I
1
1
B
P =
Rµ (A)dµ, Q =
LB
µ (A)dµ
2πi
2πi
Γ
Γ
являются проекторами в E1 и E2 соответственно, порождают разложения этих пространств в прямые суммы
E1 = E10 ⊕ E11 = N (P ) ⊕ R(P ), E2 = E20 ⊕ E21 = N (Q) ⊕ R(Q).
Действия операторов B и A расщепляются, при этом A0 : E10 → E20 и
B1 : E11 → E21 непрерывно обратимы, A1 : E11 → E21 ограничен,
QB = BP, QA = AP.
p
Замечание 2.3.2. Если ∃ p ∈ {0} ∪ N такое, что (A−1
0 B0 ) 6= O1 , но
p+1
(A−1
= O1 , то бесконечно удаленная точка является несуществен0 B0 )
но особой точкой (либо устранимой особой точкой при p = 0, либо
полюсом порядка p ∈ N) B-резольвенты оператора A. В этом случае,
согласно [64; 159], (B, σ)-ограниченный оператор A называется (B, p)ограниченным.
Теорема 2.3.1. Пусть B, A — линейные операторы, B ∈ L(E1 , E2 ),
A ∈ Cl(E1 , E2 ), ядро g(t) : R+ → R — непрерывная функция, оператор B
необратим и A спектрально ограничен относительно B, тогда интегро-дифференциальный оператор Bδ (N ) (t) − Aδ(t) − Ag(t)θ(t) имеет на
классе K+0 (E2 ) фундаментальную оператор-функцию вида
EN (t) =
B1−1
+∞
X
(A1 B1−1 )k−1 Q(δ(t)
k−1
+ g(t)θ(t))
k=1
−
+∞
X
tkN −1
∗
θ(t)−
(kN − 1)!
q −1
(qN )
(A−1
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))q+1 ,
0 B0 ) A0 (I2 − Q)δ
q=0
здесь и далее r(t) — резольвента ядра (−g(t)), степени обобщенных
функций понимаются в смысле операции свертки (см. теорему 2.1.1).
Доказательство. Согласно определению 1.4.1, требуется проверить два
равенства:
(Bδ (N ) (t) − Aδ(t) − Ag(t)θ(t)) ∗ EN (t) = I2 δ(t),
EN (t) ∗ (Bδ (N ) (t) − Aδ(t) − Ag(t)θ(t)) = I1 δ(t),
где I1 , I2 — тождественные операторы в E1 и E2 соответственно. Справедлива цепочка равенств
80
(Bδ (N ) (t) − Aδ(t) − Ag(t)θ(t)) ∗ EN (t) =
= Bδ (N ) (t) − A(δ(t) + g(t)θ(t)) ∗ EN (t) =
=
BB1−1
+∞
X
−B
(A1 B1−1 )k Q(δ(t)
k=1
+∞
X
tkN −1
+ g(t)θ(t)) ∗
θ(t) + BB1−1 Qδ(t)−
(kN − 1)!
k
q −1
((q+1)N )
(A−1
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))q+1 −
0 B0 ) A0 (I2 − Q)δ
q=0
−
−
+
AB1−1
+∞
X
(A1 B1−1 )k−1 Q(δ(t)
tkN −1
+ g(t)θ(t)) ∗
θ(t)+
(kN − 1)!
k
k=1
+∞
X
q −1
(qN )
+A
(A−1
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))q =
0 B0 ) A0 (I2 − Q)δ
q=0
+∞
X
tkN −1
k
k
=
(A1 B1 ) Q(δ(t) + g(t)θ(t)) ∗
θ(t) + Qδ(t)−
(kN
−
1)!
k=1
+∞
X
q −1
((q+1)N )
(A−1
B0
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))q+1 −
0 B0 ) A0 (I2 − Q)δ
q=0
+∞
X
tkN −1
k
k
θ(t)+
−
(A1 B1 ) Q(δ(t) + g(t)θ(t)) ∗
(kN
−
1)!
k=1
+∞
X
q −1
((q+1)N )
B0
(A−1
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))q+1 +
0 B0 ) A0 (I2 − Q)δ
q=0
+ AA−1
0 (I2 − Q)δ(t) = Qδ(t) + (I2 − Q)δ(t) = I2 δ(t).
Учитывая QB = BP и QA = AP , второе равенство также докажем
непосредственными вычислениями, а именно
EN (t) ∗ (Bδ (N ) (t) − Aδ(t) − Ag(t)θ(t)) =
= EN (t) ∗ Bδ (N ) (t) − A(δ(t) + g(t)θ(t)) =
=
B1−1
−
+∞
X
(A1 B1−1 )k BP (δ(t)
k=1
+∞
X
tkN −1
+ g(t)θ(t)) ∗
θ(t) + B1−1 BP δ(t)−
(kN − 1)!
k
q −1
((q+1)N )
(A−1
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))q+1 −
0 B0 ) A0 B(I1 − P )δ
q=0
−
B1−1
+∞
X
(A1 B1−1 )k−1 AP (δ(t) + g(t)θ(t))k ∗
k=1
81
tkN −1
θ(t)+
(kN − 1)!
+∞
X
q −1
(qN )
+
(A−1
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))q+1 =
0 B0 ) A0 A(I1 − P )δ
=
q=0
+∞
X
B1−1
(A1 B1−1 )k−1 A1 P (δ(t)
k=1
+∞
X
−
tkN −1
+ g(t)θ(t)) ∗
θ(t) + P δ(t)−
(kN − 1)!
k
q+1
(A−1
(I1 − P )δ ((q+1)N ) (t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))q+1 −
0 B0 )
q=0
−
B1−1
+∞
X
tkN −1
+ g(t)θ(t)) ∗
θ(t)+
(kN − 1)!
(A1 B1−1 )k−1 A1 P (δ(t)
k
k=1
+
+∞
X
q+1 −1
(A−1
A0 A(I1 − P )δ ((q+1)N ) (t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))q+1 +
0 B0 )
q=0
+ A−1
0 A(I1 − P )δ(t) = P δ(t) + (I1 − P )δ(t) = I1 δ(t).
Таким образом, теорема доказана.
Замечание 2.3.3. Если в теореме 2.3.1 дополнительно предположить,
что ∞ — несущественно особая точка точка B-резольвенты оператора
A, то
EN (t) =
B1−1
+∞
X
(A1 B1−1 )k−1 Q(δ(t) + g(t)θ(t))k−1 ∗
k=1
−
p
X
tkN −1
θ(t)−
(kN − 1)!
q −1
(qN )
(A−1
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))q+1 ,
0 B0 ) A0 (I2 − Q)δ
q=0
где p ∈ {0} ∪ N из замечания 2.3.2.
Замечание 2.3.4. Эквивалентным видом фундаментальной операторфункции является следующий:
tN −1
∗ (I2 δ(t) + PN (t)θ(t))Q−
(N − 1)!
p
X
q −1
(qN )
−
(A−1
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))q+1 , (2.3.1)
0 B0 ) A0 (I2 − Q)δ
EN (t) = B1−1
q=0
где PN (t) — резольвента ядра
A1 B1−1
tN −1
(N −1)!
+
Rt
0
(t−s)N −1
(N −1)! g(s)ds
, которая
является операторно-функциональным рядом, равномерно сходящимся
по норме пространства L(E2 ) на любом компакте [0, T ], причем имеет
82
место оценка
kMN (t)kL(E2 ) ≤ CeCT ,
t
R
N −1
N −1
(t−s)
здесь C = A1 B1−1 L(E2 ) · max (Nt −1)! + (N −1)! g(s)ds, а также станt∈[0, T ]
0
дартное резольвентное равенство
tN −1
A1 B1−1 +
PN (t) =
(N − 1)!
Zt
(t − τ1 )N −1
g(τ1 )dτ1 A1 B1−1 +
(N − 1)!
0
Zt
+
(t − τ1 )N −1
A1 B1−1 PN (τ1 )dτ1 +
(N − 1)!
0
t−τ
t
Z Z 1
+
0
(t − τ1 − τ2 )N −1
g(τ2 )A1 B1−1 PN (τ1 )dτ2 dτ1 (2.3.2)
(N − 1)!
0
Теорема 2.3.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.3.1 и ∞ является несущественно особой точкой B-резольвенты оператора A, тогда
задача Коши (2.0.1), (2.0.2) имеет единственное обобщенное решение,
и, если
g(t) ∈ C pN (t ≥ 0), f (t) ∈ C pN (t ≥ 0; E2 ),
то оно имеет вид

Zt
(t − s)N −1 −1

B Qh0 (s)ds +
ũ(t) = p(t) +
(N − 1)! 1
0
Z t Zt−s
+
0
−
0
p
X
(t − s − τ )N −1 −1
B1 PN (τ )Qh0 (s)dτ ds−
(N − 1)!

(qN )
q −1

(A−1
0 B0 ) A0 (I2 − Q)hq+1 (t) θ(t)−
q=0
−
p
N X
X
q+1
(A−1
ωj−1[q+1] δ (qN +N −j) (t),
0 B0 )
j=1 q=0
где используются обозначения замечаний 2.1.4 и 2.3.4,
ωj−1[q] =
p
X
(kN +j−1)
k −1
(A−1
0 B0 ) A0 (I2 − Q)hk+q+1
k=0
j = 1, . . . , N, q = 0, . . . , p.
83
(0),
Доказательство. В условиях теоремы 2.3.1 и (B, p)-ограниченности оператора A фундаментальная оператор-функция имеет вид (2.3.1), тогда,
в силу замечания 1.4.1, единственным обобщенным решением задачи Коши (2.0.1), (2.0.2) является распределение
ũ(t) = EN (t) ∗ g̃(t).
Используя обобзначения, восстановим явный вид этого решения
ũ(t) = EN (t) ∗ g̃(t) = p(t)θ(t) + EN (t) ∗ h0 (t)θ(t).
Теперь подсчитаем свертку EN (t) ∗ h0 (t)θ(t). Справедлива цепочка равенств
tN −1
EN (t) ∗ h0 (t)θ(t) =
∗ B1−1 (I2 δ(t) + PN (t)θ(t))Q ∗ h0 (t)θ(t)−
(N − 1)!
p
X
q −1
(qN )
−
(A−1
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))q+1 ∗ h0 (t)θ(t) =
0 B0 ) A0 (I2 − Q)δ
q=0
 t
Z
(t − s)N −1 −1

=
B Qh0 (s)ds +
(N − 1)! 1
0
Z t Zt−s
+
0

(t − s − τ )N −1 −1
B1 PN (τ )Qh0 (s)dτ ds θ(t)−
(N − 1)!
0
−
p
X
q −1
(qN )
(A−1
(t) ∗ hq+1 (t)θ(t).
0 B0 ) A0 (I2 − Q)δ
q=0
Рассмотрим теперь последнюю группу слагаемых. Поскольку выполняются условия гладкости
g(t) ∈ C pN (t ≥ 0), f (t) ∈ C pN (t ≥ 0; E2 ),
имеет место равенство
δ (qN ) (t) ∗ hq+1 (t)θ(t) =


q = 0,
h1 (t)θ(t),
qN
=
P
(qN )
(qN −k)

h
(t)θ(t)
+
hq+1 (0)δ (k−1) (t), q = 1, . . . , p;
 q+1
k=1
а, значит,
p
X
(qN )
(A0−1 B0 )q A−1
(t) ∗ hq+1 (t)θ(t) =
0 (I2 − Q)δ
q=0
84
p
X
(qN )
q −1
=
(A−1
0 B0 ) A0 (I2 − Q)hq+1 (t)θ(t)+
q=0
p
qN
X
X
(qN −k)
−1
q −1
hq+1 (0)δ (k−1) (t).
+
(A0 B0 ) A0 (I2 − Q)
q=1
k=1
Осуществим преобразование сингулярной составляющей
p
qN
X
X
(qN −k)
−1
q −1
hq+1 (0)δ (k−1) (t) =
(A0 B0 ) A0 (I2 − Q)
q=1
k=1
=
−1
(A−1
0 B0 )A0 (I2
− Q)
2 −1
+ (A−1
0 B0 ) A0 (I2 − Q)
+
+
N
X
k=1
2N
X
(N −k)
h2
(0)δ (k−1) (t)+
(2N −k)
h3
(0)δ (k−1) (t)+
k=1
3N
X (3N −k)
3 −1
+ (A−1
B
)
A
(
I
−
Q)
h4
(0)δ (k−1) (t) + . . . +
0
2
0
0
k=1
pN
X
(pN −k)
−1
p −1
+ (A0 B0 ) A0 (I2 − Q)
hp+1 (0)δ (k−1) (t) =
k=1
p−1
N
XX
(kN +j−1)
−1
k −1
= (A0 B0 )
(A−1
(0)δ (N −j) (t)+
0 B0 ) A0 (I2 − Q)hk+2
j=1 k=0
p−2
N X
X
(kN +j−1)
−1
2
k −1
+ (A0 B0 )
(A−1
(0)δ (2N −j) (t)+
0 B0 ) A0 (I2 − Q)hk+3
j=1 k=0
p−3
N X
X
(kN +j−1)
−1
3
k −1
(A0 B0 )
(A−1
(0)δ (3N −j) (t) + . . . +
0 B0 ) A0 (I2 − Q)hk+4
j=1 k=0
p−1
(A−1
0 B0 )
N X
1
X
(kN +j−1)
k −1
(A−1
0 B0 ) A0 (I2 − Q)hk+p
(0)δ ((p−1)N −j) (t)+
j=1 k=0
+
p
(A−1
0 B0 )
N
X
(j−1)
(pN −j)
A−1
(t).
0 (I2 − Q)hp+1 (0)δ
j=1
−1
p
p+1
Учитывая тот факт, что (A−1
= O1 , получим
0 B0 ) 6= O1 , а (A0 B0 )
последним равенством следующее
85
p
qN
X
X
(qN −k)
−1
q −1
hq+1 (0)δ (k−1) (t) =
(A0 B0 ) A0 (I2 − Q)
q=1
k=1
= (A−1
0 B0 )
2
+ (A−1
0 B0 )
p
N X
X
(kN +j−1)
j=1 k=0
p
N X
X
(kN +j−1)
k −1
(A−1
0 B0 ) A0 (I2 − Q)hk+2
k −1
(A−1
0 B0 ) A0 (I2 − Q)hk+3
(0)δ (N −j) (t)+
(0)δ (2N −j) (t)+
j=1 k=0
p
N X
X
(kN +j−1)
k −1
−1
3
(A−1
(0)δ (3N −j) (t) + . . . +
+ (A0 B0 )
0 B0 ) A0 (I2 − Q)hk+4
j=1 k=0
p
N X
X
(kN +j−1)
k −1
−1
p−1
(A−1
(0)δ ((p−1)N −j) (t)+
+ (A0 B0 )
0 B0 ) A0 (I2 − Q)hk+p
j=1 k=0
p
N X
X
(kN +j−1)
−1
p
k −1
+ (A0 B0 )
(A−1
(0)δ (pN −j) (t).
0 B0 ) A0 (I2 − Q)hk+p+1
j=1 k=0
Теперь, с учетом обозначения
ωj−1[q]
p
X
(kN +j−1)
k −1
=
(A−1
(0),
0 B0 ) A0 (I2 − Q)hk+q+1
k=0
j = 1, . . . , N, q = 0, . . . , p,
получим
p
X
q −1
(A−1
0 B0 ) A0 (I2
q=1
− Q)
qN
X
(qN −k)
hq+1
k=1
(N −j)
= (A−1
0 B0 )ωj−1[1] δ
(0)δ (k−1) (t) =
2
(2N −j)
(t) + (A−1
(t)+
0 B0 ) ωj−1[2] δ
3
(3N −j)
p−1
+ (A−1
(t) + . . . + (A−1
ωj−1[p−1] δ ((p−1)N −j) (t)+
0 B0 ) ωj−1[3] δ
0 B0 )
p
N X
X
−1
p
(pN −j)
q+1
+ (A0 B0 ) ωj−1[p] δ
(t) =
(A−1
ωj−1[q+1] δ (qN +N −j) (t).
0 B0 )
j=1 q=0
Таким образом, теорема доказана.
Теорема 2.3.3. Пусть выполнены условия теоремы 2.3.1, ∞ является
несущественно особой точкой B-резольвенты оператора A и
g(t) ∈ C (p+1)N (t ≥ 0), f (t) ∈ C (p+1)N (t ≥ 0; E2 ),
тогда, если
ωj−1[q] = 0, j = 1, . . . , N, q = 0, . . . , p,
86
то задача Коши (2.0.1), (2.0.2) имеет единственное классическое решение вида
Zt
u(t) = p(t) +
(t − s)N −1 −1
B Qh0 (s)ds+
(N − 1)! 1
0
Z t Zt−s
+
0
(t − s − τ )N −1 −1
B1 PN (τ )Qh0 (s)dτ ds−
(N − 1)!
0
−
p
X
(qN )
q −1
(A−1
0 B0 ) A0 (I2 − Q)hq+1 (t),
q=0
где используются обозначения замечаний 2.1.4 и 2.3.4,
p
X
ωj−1[q] =
(kN +j−1)
k −1
(A−1
0 B0 ) A0 (I2 − Q)hk+q+1
(0),
k=0
j = 1, . . . , N, q = 0, . . . , p.
Доказательство. Пусть g(t) ∈ C (p+1)N (t ≥ 0), f (t) ∈ C (p+1)N (t ≥ 0; E2 ),
тогда u(t) ∈ C N (t ≥ 0; E1 ). Покажем, что функция u(t) обращает в
тождество уравнение (2.0.1). Действительно,
Bu(N ) (t) − Au(t) −
Zt
g(t − s)u(s)ds =
0
= Bp(N ) (t) + BB1−1 Qh0 (t) +
Zt
BB1−1 PN (t − s)Qh0 (s)ds−
0
−B
p
X
(qN +N )
q −1
(A−1
0 B0 ) A0 (I2 − Q)hq+1
(t)−
q=0
− Ap(t) −
Zt
(t − s)N −1
AB1−1 Qh0 (s)ds−
(N − 1)!
0
−
Z t Zt−s
0
(t − s − τ1 )N −1
AB1−1 PN (τ1 )Qh0 (s)dτ1 ds+
(N − 1)!
0
+A
p
X
(qN )
q −1
(A−1
0 B0 ) A0 (I2 − Q)hq+1 (t)−
q=0
87
−
−
Zt
g(t − s)Ap(s)ds −
0
Z t Zt−s t−s−τ
Z 1
0
0
Z t Zt−s
0
(t − s − τ1 )N −1
g(τ1 )AB1−1 Qh0 (s)ds−
(N − 1)!
0
(t − s − τ1 − τ2 )N −1
g(τ2 )AB1−1 PN (τ1 )Qh0 (s)dτ2 dτ1 ds+
(N − 1)!
0
+A
p
X
q −1
(A−1
0 B0 ) A0 (I2 − Q)
q=0
= Bp
(N )
Zt
(qN )
g(t − s)hq+1 (s)ds =
0
Zt
(t) + Qh0 (t) +
(t − s)N −1
PN (t − s) −
A1 B1−1 −
(N − 1)!
0
−
−
Zt−s
0
t−s
Z
(t − τ1 − s)N −1
g(τ1 )A1 B1−1 dτ1 −
(N − 1)!
(t − τ1 − s)N −1
A1 B1−1 PN (τ1 )dτ1 −
(N − 1)!
0
−
Zt−s t−τ
Z 1 −s
0

(t − τ1 − τ2 − s)N −1
g(τ2 )A1 B1−1 PN (τ1 )dτ2 dτ1  Qh0 (s)ds−
(N − 1)!
0
− Ap(t) −
Zt
g(t − s)Ap(s)ds−
0
− AA−1
0 B0
p
X
(qN +N )
q −1
(A−1
0 B0 ) A0 (I2 − Q)hq+1
(t)+
q=0
+A

p
X
(qN )
q −1

(A−1
0 B0 ) A0 (I2 − Q) hq+1 (t) +
q=0
Zt

(qN )
g(t − s)hq+1 (s)ds .
0
Принимая во внимание p(N ) (t) ≡ 0 и резольвентное соотношение (2.3.2),
получим
Bu(N ) (t) − Au(t) −
Zt
g(t − s)u(s)ds =
0
88
= Qh0 (t) − Ap(t) −
Zt
g(t − s)Ap(s)ds−
0
−A
p
X
(qN +N )
q+1 −1
(A−1
A0 (I2 − Q)hq+1
0 B0 )
(t)+
q=0


+ AA−1
0 (I2 − Q) h1 (t) +
Zt

g(t − s)h1 (s)ds +
0

Zt
p
X
(qN )
q −1
 (qN )
+A
(A−1
g(t − s)hq+1 (s)ds .
0 B0 ) A0 (I2 − Q) hq+1 (t) +
q=1
0
p+1
= O1 ,
Теперь, используя равенства (2.1.7) и (2.1.8), а также (A−1
0 B0 )
имеем
Bu(N ) (t) − Au(t) −
Zt
g(t − s)u(s)ds =
0
= Qh0 (t) + (I2 − Q)h0 (t) − Ap(t) −
Zt
g(t − s)Ap(s)ds−
0
−A
p
X
q −1
(qN )
(A−1
(t)+
0 B0 ) A0 (I2 − Q)hq
q=1
+A
p
X
"
q −1
(qN )
(A−1
(t) +
0 B0 ) A0 (I2 − Q) hq
q=1
qN
X
#
(k−1)
hq+1 (0)g (qN −k) (t) .
k=1
Далее, очевидно,
Bu(N ) (t) − Au(t) −
Zt
g(t − s)u(s)ds =
0
= f (t) − A
p
X
q −1
(A−1
0 B0 ) A0 (I2
q=1
− Q)
qN
X
(k−1)
hq+1 (0)g (qN −k) (t).
k=1
Для последних слагаемых имеет место представление
p
X
q=1
q −1
(A−1
0 B0 ) A0 (I2
− Q)
qN
X
(k−1)
hq+1 (0)g (qN −k) (t) =
k=1
89
=
p
N X
X
q+1
(A−1
ωj−1[q+1] g (qN +N −j) (t),
0 B0 )
j=1 q=0
которое было показано в теореме 2.3.2, где вместо g(t) фигурировала
δ(t). Таким образом, если ωj−1[q] = 0 при всех j = 1, . . . , N, q = 1, . . . , p,
то, очевидно, функция u(t) является решением уравнения (2.0.1).
Далее непосредственно найдем производные функции u(t) до N − 1
порядка включительно в точке t = 0. Имеем следующие равенства:
p
X
(qN )
q −1
u(0) = u0 −
(A−1
0 B0 ) A0 (I2 − Q)hq+1 (0),
q=0
0
u (0) = u1 −
p
X
(qN +1)
q −1
(A−1
0 B0 ) A0 (I2 − Q)hq+1
q=0
(N −1)
u
(0) = uN −1 −
p
X
(0),
...,
(qN +N −1)
q −1
(A−1
0 B0 ) A0 (I2 − Q)hq+1
(0),
q=0
или
u(j−1) (0) = uj−1 − ωj−1[0] , j = 1, . . . , N.
Если ωj−1[0] = 0, j = 1, . . . , N , то функция u(t) удовлетворяет начальным условиям (2.0.2).
Пример 2.3.1. Рассмотрим пример 2.1.1 с точки зрения теории полугрупп операторов с ядрами. Рассмотрим систему интегро-дифференциальных уравнений вида

Zt





ẍ1 (t) = x1 (t) + x2 (t) − sin(t − s)(x1 (s) + x2 (s))ds + f1 (t),



0





0 = x2 (t) −



Zt
sin(t − s)x2 (s)ds + f2 (t);
0
с начальными условиями
x1 (0)
x10
ẋ1 (0)
x11
.
,
=
=
x20
ẋ2 (0)
x21
x2 (0)
1
0
1
1
,A=
, g(t) = − sin t. ОчеЗдесь E1 = E2 = R2 , B =
0 0
0 1
видно, что ρB (A) = {µ ∈ C : µ 6= 1}, значит, оператор A спектрально
ограничен относительно B (в качестве константы a в определении 2.3.3
90
можно выбрать любое действительное
число,
превосходящее единицу),
−1
1
1
причем (µB − A)−1 = 1−µ
. Проекторы
0
µ−1
1 0
1 −1
P =
, Q=
0 0
0
0
таковы, что N (P ) = span {e2 }, R(P
{e1 }, N (Q) = span {e1 + e2 },
) = span
1
0
R(Q) = span {e2 }, где e1 =
, e2 =
, тогда
0
1
0 0
1 0
1 1
1 0
B0 =
, B1 =
, A0 =
, A1 =
.
0 0
0 1
0 1
0 1
Так как A0−1 B0 = O, то p = 0, т. е. оператор A является (B, 0)-ограниченным
(см. замечание 2.3.2). Далее легко восстановить вид оператор-функции
A1 B1−1
Zt
t+
(t − s)g(s)ds =
sin t
0
0
sin t
,
0
и ее резольвенты
P2 (t) =
t
0
0
t
.
Резольвентой (−g(t)) является функция r(t) = t. Таким образом,
3
3
(t + t3! )θ(t) −(t + t3! )θ(t)
.
E2 (t) =
0
−δ(t) − tθ(t)
Поскольку
g̃(t) =
g̃1 (t)
g̃2 (t)
=
f1 (t)
f2 (t)
θ(t) +
x11
0
δ(t) +
x10
0
δ 0 (t),
обобщенное решение имеет вид
x1 (t)
x̃(t) = E2 (t) ∗ g̃(t) =
θ(t) =
x2 (t)
x11 t3
x10
x11
x10 t2
=
+
t+
+
+
0
0
0
0
2!
3!

 t
R
(t−s)3
(t − s) + 3! )(f1 (s) − f2 (s))ds 

0

 θ(t).
+

Rt
−f2 (t) − (t − s)f2 (s)ds
0
91
Если f2 (t) ∈ C 2 (t ≥ 0) и будут выполнены условия
f2 (0) = −x20 , f˙2 (0) = −x21 ,
то решение совпадет с классическим.
2.4
Случай секториальной ограниченности операторного
пучка
Пусть B ∈ L(E1 , E2 ), A ∈ Cl(E1 , E2 ).
Определение 2.4.1. Пусть µ0 , µ1 , . . . , µp ∈ ρB (A), тогда операторp
p
Q
Q
B
LB
(A)
=
(A) =
RµBq (A) и LB
функции R(µ,p)
µq (A) называются
(µ,p)
q=0
q=0
соответственно правой (B, p)-резольвентой и левой (B, p)-резольвентой
оператора A. Здесь использованы обозначения ρB (A) и RµBq (A), LB
µq (A)
из определений 2.3.1 и 2.3.2 предыдущего пункта.
Определение 2.4.2. Оператор A называется секториальным с числом
p ∈ {0} ∪ N относительно оператора B (короче, (B, p)-секториальным),
если
а) существуют постоянные a ∈ R и Θ ∈ π2 , π такие, что сектор
B
Sa,Θ
(A) = {µ ∈ C : |arg(µ − a)| < Θ, µ 6= a} ⊂ ρB (A);
B
(A)
б) существует константа K ∈ R+ такая, что ∀ µ0 . µ1 , . . . , µp ∈ Sa,Θ
выполняется
K
B
B
max R(µ,p) (A)
.
, L(µ,p) (A)
≤ p
Q
L(E1 )
L(E2 )
|µq − a|
q=0
Замечание 2.4.1. Без ограничения общности в предыдущем определеB
нии можно положить a = 0, тогда сектор S0,Θ
(A) следует обозначать
B
SΘ (A).
Определение 2.4.3. Оператор A называется сильно (B, p)-секториальным справа, если он (B, p)-секториален и ∀ λ, µ0 . µ1 , . . . , µp ∈ SΘB (A)
выполняется оценка
const(v)
B
−1
, ∀ v ∈ D(A).
R(µ,p) (A)(λB − A) Av ≤
p
Q
E1
|λ|
|µq |
q=0
92
Определение 2.4.4. Оператор A называется сильно (B, p)-секториальным слева, если он (B, p)-секториален и существует всюду плотный в E2
линеал A такой, что ∀ λ, µ0 . µ1 , . . . , µp ∈ SΘB (A) выполняется оценка
const(w)
−1 B
, ∀ w ∈ A.
A(λB − A) L(µ,p) (A)w ≤
p
Q
E2
|λ|
|µq |
q=0
Определение 2.4.5. Оператор A называется сильно (B, p)-секториальным, если он сильно (B, p)-секториален слева и
const
−1 B
,
≤
(λB − A) L(µ,p) (A)
p
Q
L(E2 ,E1 )
|λ|
|µq |
q=0
при любых λ, µ0 . µ1 , . . . , µp ∈ SΘB (A).
Замечание 2.4.2. Сильно (B, p)-секториальный оператор A является
также сильно (B, p)-секториальным справа.
Замечание 2.4.3. Пусть A является (B, p)-секториальным оператором,
|µ|→+∞
контур γ ∈ SΘB (A) такой, что |arg µ| −−−−−→ Θ, тогда, как показано
в [64; 159], оператор-функции
Z
Z
1
1
B
µt
Rµ (A)e dµ, F(t) =
RµB (A)eµt dµ,
U(t) =
2πi
2πi
γ
γ
являются аналитическими и равномерно ограниченными разрешающими полугруппами операторов. Причем, если A сильно (B, p)-секториален
справа (слева), то существует единица полугруппы U(t) (F(t)), т. е. предельный оператор
P = lim U(t) (Q = lim F(t)),
t→+0
t→+0
где предельный переход понимается в смысле нормы пространства E1
(E2 ). Операторы P и Q являются проекторами в E1 и E2 соответственно,
порождают разложения этих пространств в прямые суммы
E1 = E10 ⊕ E11 = N (P ) ⊕ R(P ), E2 = E20 ⊕ E21 = N (Q) ⊕ R(Q).
Действия операторов B и A расщепляются, причем A0 : E10 → E20 имеет
ограниченный обратный, B0 : E10 → E20 и B1 : E11 → E21 ограничены,
−1
0
0
A−1
0 B0 ∈ L(E1 ) и B0 A0 ∈ L(E2 ) нильпотентны со степенью нильпотентности не выше числа p. Если оператор A сильно (B, p)-секториален, то
B1 : E11 → E21 непрерывно обратим,
QB = BP, QA = AP.
93
Справедлива теорема
Теорема 2.4.1. Пусть B, A — линейные операторы, B ∈ L(E1 , E2 ),
A ∈ Cl(E1 , E2 ), ядро g(t) : R+ → R — непрерывная функция, оператор
B необратим и A сильно (B, p)-секториален, тогда интегро-дифференциальный оператор Bδ (N ) (t)−Aδ(t)−Ag(t)θ(t) имеет на классе K+0 (E2 )
фундаментальную оператор-функцию вида
B1−1
EN (t) =
+∞
X
(A1 B1−1 )k−1 Q(δ(t) + g(t)θ(t))k−1 ∗
k=1
−
p
X
tkN −1
θ(t)−
(kN − 1)!
q −1
(qN )
(A−1
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))q+1 ,
0 B0 ) A0 (I2 − Q)δ
q=0
здесь и далее r(t) — резольвента ядра (−g(t)), степени обобщенных
функций понимаются в смысле операции свертки (см. теорему 2.1.1).
Доказательство. Согласно определению 1.4.1, требуется проверить два
равенства:
(Bδ (N ) (t) − Aδ(t) − Ag(t)θ(t)) ∗ EN (t) = I2 δ(t),
EN (t) ∗ (Bδ (N ) (t) − Aδ(t) − Ag(t)θ(t)) = I1 δ(t),
где I1 , I2 — тождественные операторы в E1 и E2 соответственно. Справедлива цепочка равенств
(Bδ (N ) (t) − Aδ(t) − Ag(t)θ(t)) ∗ EN (t) =
= Bδ (N ) (t) − A(δ(t) + g(t)θ(t)) ∗ EN (t) =
=
BB1−1
+∞
X
−B
(A1 B1−1 )k Q(δ(t)
k=1
p
X
tkN −1
θ(t) + BB1−1 Qδ(t)−
+ g(t)θ(t)) ∗
(kN − 1)!
k
q −1
((q+1)N )
(A−1
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))q+1 −
0 B0 ) A0 (I2 − Q)δ
q=0
−
−
AB1−1
+∞
X
(A1 B1−1 )k−1 Q(δ(t)
tkN −1
+ g(t)θ(t)) ∗
θ(t)+
(kN − 1)!
k
k=1
p
X
q −1
(qN )
+A
(A−1
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))q =
0 B0 ) A0 (I2 − Q)δ
q=0
+∞
X
tkN −1
=
(A1 B1 )k Q(δ(t) + g(t)θ(t))k ∗
θ(t) + Qδ(t)−
(kN
−
1)!
k=1
p
X
q −1
((q+1)N )
B0
(A−1
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))q+1 −
0 B0 ) A0 (I2 − Q)δ
q=0
94
+∞
X
tkN −1
(A1 B1 ) Q(δ(t) + g(t)θ(t)) ∗
−
θ(t)+
(kN
−
1)!
k=1
p
X
+ B0
k
k
q −1
((q+1)N )
(A−1
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))q+1 +
0 B0 ) A0 (I2 − Q)δ
q=0
+ AA−1
0 (I2 − Q)δ(t) = Qδ(t) + (I2 − Q)δ(t) = I2 δ(t).
Учитывая QB = BP и QA = AP , второе равенство также докажем
непосредственными вычислениями, а именно
EN (t) ∗ (Bδ (N ) (t) − Aδ(t) − Ag(t)θ(t)) =
= EN (t) ∗ Bδ (N ) (t) − A(δ(t) + g(t)θ(t)) =
=
+∞
X
B1−1
−
(A1 B1−1 )k BP (δ(t)
k=1
p
X
tkN −1
+ g(t)θ(t)) ∗
θ(t) + B1−1 BP δ(t)−
(kN − 1)!
k
q −1
((q+1)N )
(A−1
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))q+1 −
0 B0 ) A0 B(I1 − P )δ
q=0
B1−1
−
+∞
X
(A1 B1−1 )k−1 AP (δ(t) + g(t)θ(t))k ∗
k=1
p
X
(qN )
(A0−1 B0 )q A−1
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))q+1 =
0 A(I1 − P )δ
+
= B1−1
tkN −1
θ(t)+
(kN − 1)!
q=0
+∞
X
(A1 B1−1 )k−1 A1 P (δ(t) + g(t)θ(t))k ∗
k=1
p
X
−
tkN −1
θ(t) + P δ(t)−
(kN − 1)!
q+1
(A−1
(I1 − P )δ ((q+1)N ) (t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))q+1 −
0 B0 )
q=0
−
B1−1
+∞
X
(A1 B1−1 )k−1 A1 P (δ(t)
k=1
+
tkN −1
θ(t)+
+ g(t)θ(t)) ∗
(kN − 1)!
k
p
X
q+1 −1
(A−1
A0 A(I1 − P )δ ((q+1)N ) (t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))q+1 +
0 B0 )
q=0
+ A−1
0 A(I1 − P )δ(t) = P δ(t) + (I1 − P )δ(t) = I1 δ(t).
Таким образом, теорема доказана.
Теорема 2.4.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.4.1, тогда задача
Коши (2.0.1), (2.0.2) имеет единственное обобщенное решение, и, если
g(t) ∈ C pN (t ≥ 0), f (t) ∈ C pN (t ≥ 0; E2 ),
95
то оно имеет вид

Zt
(t − s)N −1 −1

ũ(t) = p(t) +
B Qh0 (s)ds +
(N − 1)! 1
0
Z t Zt−s
+
0
0
−
p
X
(t − s − τ )N −1 −1
B1 PN (τ )Qh0 (s)dτ ds−
(N − 1)!

(qN )
q −1

(A−1
0 B0 ) A0 (I2 − Q)hq+1 (t) θ(t)−
q=0
p
N X
X
q+1
−
(A−1
ωj−1[q+1] δ (qN +N −j) (t), (2.4.1)
0 B0 )
j=1 q=0
где используются обозначения замечаний 2.1.4 и 2.3.4,
ωj−1[q] =
p
X
(kN +j−1)
k −1
(A−1
0 B0 ) A0 (I2 − Q)hk+q+1
(0),
k=0
j = 1, . . . , N, q = 0, . . . , p.
Доказательство этого утверждения полностью повторяет рассуждения
теоремы 2.3.2. Поскольку нам известна фундаментальная оператор-функция, то единственным обобщенным решением задачи Коши (2.0.1), (2.0.2)
является распределение
ũ(t) = EN (t) ∗ g̃(t).
Так как вид EN (t) в теоремах 2.3.1 и 2.4.1 совпадают с точностью до обозначений (разумеется, в эти обозначения мы вкладываем разный смысл,
который отражен во вспомогательном материале каждого из пунктов),
то дальнейшее доказательство — раскрытие соответствующей свертки
имеет полную аналогию с доказательством теоремы 2.3.2 и производится с учетом обозначений для p(t), hk (t), введенных еще в замечании 2.1.4,
и пояснений к ним.
Теорема 2.4.3. Пусть выполнены условия теоремы 2.4.1 и
g(t) ∈ C (p+1)N (t ≥ 0), f (t) ∈ C (p+1)N (t ≥ 0; E2 ),
тогда, если
ωj−1[q] = 0, j = 1, . . . , N, q = 0, . . . , p,
то задача Коши (2.0.1), (2.0.2) имеет единственное классическое решение вида
96
Zt
u(t) = p(t) +
(t − s)N −1 −1
B Qh0 (s)ds+
(N − 1)! 1
0
Z t Zt−s
+
0
(t − s − τ )N −1 −1
B1 PN (τ )Qh0 (s)dτ ds−
(N − 1)!
0
−
p
X
(qN )
q −1
(A−1
0 B0 ) A0 (I2 − Q)hq+1 (t), (2.4.2)
q=0
где используются обозначения замечаний 2.1.4 и 2.3.4,
p
X
(kN +j−1)
k −1
(A−1
(0),
ωj−1[q] =
0 B0 ) A0 (I2 − Q)hk+q+1
k=0
j = 1, . . . , N, q = 0, . . . , p.
2.5
Случай радиальной ограниченности операторного пучка
Пусть B ∈ L(E1 , E2 ), A ∈ Cl(E1 , E2 ).
Определение 2.5.1. Оператор A называется радиальным с числом
p ∈ {0} ∪ N относительно оператора B (короче, (B, p)-радиальным), если
а) существует постоянная a ∈ R такая, что ∀ µ > a ⇒ µ ∈ ρB (A);
б) существует константа K ∈ R+ такая, что ∀ µ0 . µ1 , . . . , µp ∈ (a, +∞),
∀ n ∈ N выполняется
n n K
B
B
max R(µ,p) (A) , L(µ,p) (A) .
≤ p
Q
L(E1 )
L(E2 )
n
(µq − a)
q=0
B
Обозначения R(µ,p)
(A), LB
(µ,p) (A) введены в определении 2.4.1 предыдущего пункта.
Замечание 2.5.1. Не ограничивая общности, в определении 2.5.1 можно
считать a = 0.
Определение 2.5.2. Оператор A называется сильно (B, p)-радиальным
справа, если он (B, p)-радиален и ∀ λ, µ0 . µ1 , . . . , µp ∈ R+ выполняется
оценка
const(v)
B
−1
, ∀ v ∈ D(A).
R(µ,p) (A)(λB − A) Av ≤ Q
p
E1
λ
µq
q=0
97
Определение 2.5.3. Оператор A называется сильно (B, p)-радиальным
слева, если он (B, p)-радиален и существует всюду плотный в E2 линеал
A такой, что ∀ λ, µ0 . µ1 , . . . , µp ∈ R+ выполняется оценка
const(w)
−1 B
, ∀ w ∈ A.
A(λB − A) L(µ,p) (A)w ≤
p
Q
E2
µq
λ
q=0
Определение 2.5.4. Оператор A называется сильно (B, p)-радиальным,
если он сильно (B, p)-радиален слева и
const
−1 B
,
≤
(λB − A) L(µ,p) (A)
p
Q
L(E2 ,E1 )
λ
µq
q=0
при любых λ, µ0 . µ1 , . . . , µp ∈ R+ .
Замечание 2.5.2. Сильно (B, p)-радиальный оператор A является также сильно (B, p)-радиальным справа.
Замечание 2.5.3. Пусть A является (B, p)-радиальным оператором, тогда оператор-функции
n
+∞ n p+2
µt X t
µt
p+1
B
µ
− p+1
B
p+1
U(t) = e
(Rµ (A))
= e p+1 ((µRµ (A)) −I1 ) ,
n! p + 1
n=0
n
+∞ n p+2
X
µt
B
p+1
µ
t
− I2 )
p+1
p+1 ((µLµ (A))
F(t) = e
(LB
(A))
=
e
,
µ
n!
p
+
1
n=0
являются равномерно ограниченными и сильно непрерывными разрешающими полугруппами операторов. Причем, если A сильно (B, p)-радиален справа (слева), то в сильной топологии существует предельный оператор
p+1
P = lim (µRµB (A))p+1 (Q = lim (µLB
),
µ (A))
µt
− p+1
µ→+∞
µ→+∞
который является проектором в E1 (E2 ). Проекторы P и Q порождают
разложения этих пространств в прямые суммы
E1 = E10 ⊕ E11 = N (P ) ⊕ R(P ), E2 = E20 ⊕ E21 = N (Q) ⊕ R(Q).
Действия операторов B и A расщепляются, причем A0 : E10 → E20 имеет
ограниченный обратный. Если к тому же оператор A сильно (B, p)-ра0
диален, то существует B1−1 ∈ L(E21 , E11 ) и A−1
0 B0 ∈ L(E1 ) является нильпотентным оператором со степенью нильпотентности не выше числа p,
QB = BP, QA = AP.
98
Далее последовательно сформулируем утверждения о виде фундаментальной оператор-функции интегро-дифференциального оператора,
о существовании и единственности обобщенного и классического решений начальной задачи (2.0.1), (2.0.2). Поскольку доказательства этих теорем имееют ту же технику, что и в предыдущих двух пунктах, ограничимся здесь только формулировкой соответствующих утверждений.
Теорема 2.5.1. Пусть B, A — линейные операторы, B ∈ L(E1 , E2 ),
A ∈ Cl(E1 , E2 ), ядро g(t) : R+ → R — непрерывная функция, оператор B
необратим и A сильно (B, p)-радиален, тогда интегро-дифференциальный оператор Bδ (N ) (t) − Aδ(t) − Ag(t)θ(t) имеет на классе K+0 (E2 ) фундаментальную оператор-функцию вида
EN (t) =
B1−1
+∞
X
(A1 B1−1 )k−1 Q(δ(t) + g(t)θ(t))k−1 ∗
k=1
−
p
X
tkN −1
θ(t)−
(kN − 1)!
q −1
(qN )
(A−1
(t) ∗ (δ(t) + r(t)θ(t))q+1 ,
0 B0 ) A0 (I2 − Q)δ
q=0
здесь и далее r(t) — резольвента ядра (−g(t)), степени обобщенных
функций понимаются в смысле операции свертки (см. теорему 2.1.1).
Теорема 2.5.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.5.1, тогда задача
Коши (2.0.1), (2.0.2) имеет единственное обобщенное решение, и, если
g(t) ∈ C pN (t ≥ 0), f (t) ∈ C pN (t ≥ 0; E2 ),
то оно имеет вид

Zt
(t − s)N −1 −1
ũ(t) = p(t) +
B Qh0 (s)ds +
(N − 1)! 1
0
Z t Zt−s
+
0
−
0
p
X
(t − s − τ )N −1 −1
B1 PN (τ )Qh0 (s)dτ ds−
(N − 1)!

(qN )
q −1

(A−1
0 B0 ) A0 (I2 − Q)hq+1 (t) θ(t)−
q=0
−
p
N X
X
q+1
(A−1
ωj−1[q+1] δ (qN +N −j) (t),
0 B0 )
j=1 q=0
где используются обозначения замечаний 2.1.4 и 2.3.4,
p
X
(kN +j−1)
k −1
ωj−1[q] =
(A−1
(0),
0 B0 ) A0 (I2 − Q)hk+q+1
k=0
99
j = 1, . . . , N, q = 0, . . . , p.
Теорема 2.5.3. Пусть выполнены условия теоремы 2.5.1 и
g(t) ∈ C (p+1)N (t ≥ 0), f (t) ∈ C (p+1)N (t ≥ 0; E2 ),
тогда, если
ωj−1[q] = 0, j = 1, . . . , N, q = 0, . . . , p,
то задача Коши (2.0.1), (2.0.2) имеет единственное классическое решение вида
Zt
u(t) = p(t) +
(t − s)N −1 −1
B Qh0 (s)ds+
(N − 1)! 1
0
Z t Zt−s
+
0
(t − s − τ )N −1 −1
B1 PN (τ )Qh0 (s)dτ ds−
(N − 1)!
0
−
p
X
(qN )
q −1
(A−1
0 B0 ) A0 (I2 − Q)hq+1 (t), (2.5.1)
q=0
где используются обозначения замечаний 2.1.4 и 2.3.4,
ωj−1[q] =
p
X
(kN +j−1)
k −1
(A−1
0 B0 ) A0 (I2 − Q)hk+q+1
k=0
j = 1, . . . , N, q = 0, . . . , p.
100
(0),
Глава 3
Интегро-дифференциальные
уравнения в банаховых
пространствах с фредгольмовым
оператором
при старшей производной
В этой главе приведены результаты исследования задачи Коши
LN (u(t)) = f (t), u(0) = u0 , u0 (0) = u1 , . . . , u(N −1) (0) = uN −1 .
(1.4.1)
Напомним вид левой части уравнения
LN (u(t)) = Bu(N ) (t) − AN −1 u(N −1) (t) − . . . −
− A1 u0 (t) − A0 u(t) −
Zt
k(t − s)u(s)ds.
0
Такая задача в главе 1 уже была изучена при условии непрерывной обратимости оператора B (см. п. 1.4), а теперь будет рассмотрен случай
фредгольмова оператора. Как и везде выше, к исследованию однозначной разрешимости поставленной задачи применяется конструкция фундаментальной оператор-функции. Принципиальное отличие этого класса интегро-дифференциальных уравнений от изученного во второй главе состоит в наличии всех слагаемых группы младших производных,
а также в том, что ядро интегральной части имеет более общий вид.
Значит, здесь мы будем иметь дело с обобщенной жордановой структурой, а работа с ней обычно сопряжена с определенными техническими трудностями. В связи с этим, к доказательству основной теоремы
(о виде фундаментальной оператор-функции интегро-дифференциального оператора LN (δ(t))) был разработан подход, который существенно снижает громоздкость выкладок. Впервые он был применен в [89] к
101
исследованию вырожденных дифференциальных операторов третьего и
четвертого порядков (при работе с обобщенными A1 , A0 - и A2 , A1 , A0 жордановыми наборами, т. е. относительно полиномиальных оператор2
функций A(t) = A1 + A0 t и B(t) = A2 + A1 t + A0 t2 ), а затем в [86]
адаптирован для интегральных и интегро-дифференциальных операторов высоких порядков. Суть этой методики состоит в последовательном
доказательстве пяти вспомогательных операторно-функциональных соотношений, использование которых делает тривиальным доказательство
основной теоремы.
В этой главе доказана теорема о явном виде фундаментальной оператор-функции интегро-дифференциального оператора LN (δ(t)), получены условия существования и единственности обобщенного и классического решений начальной задачи. Представленные результаты опубликованы в работах [51; 52; 54; 56; 58; 86; 87].
3.1
Фундаментальная оператор-функция вырожденного
интегро-дифференциального оператора LN (δ(t))
Теорема 3.1.1. Пусть B, AN −1 , . . . , A1 , A0 — замкнутые линейные
операторы из E1 в E2 , k(t) — однопараметрическое семейство класса
C ∞ (t ≥ 0) операторов с аналогичными свойствами и областью определения D(k), не зависящей от t, причем
D(B) =
N
\
D(Ak−1 ) ∩ D(k) = E1 , D(B) ⊆
k=1
N
\
D(Ak−1 ) ∩ D(k),
k=1
k(t) сильно непрерывна на D(k), а оператор B фредгольмов и имеет
полный обобщенный жорданов набор относительно оператор-функции
tN −2
FN (t) = AN −1 + AN −2 t + · · · + A1
+
(N − 2)!
tN −1
+ A0
+
(N − 1)!
Zt
(t − s)N −1
k(s)ds,
(N − 1)!
0
тогда интегро-дифференциальный оператор LN (δ(t)) имеет на классе
0
K+ (E2 ) фундаментальную оператор-функцию вида
EN (t) = Γ
tN −1
θ(t) ∗ (I2 δ(t) + RN (t)θ(t)) ∗ (I2 δ(t) + NN (t)θ(t)) ∗ G(t),
(N − 1)!
102
здесь Γ — оператор Треногина – Шмидта, RN (t) и NN (t) — резольn
P
(p )
венты ядер FN (t)Γ и (− Qi RN i (t)) соответственно, функция G(t)
i=1
задается следующим образом:
pi D
n X
E
X
(j)
G(t) = ((I2 − Q)δ(t) −
·, ψi zi δ (pi +1−j) (t)),
i=1 j=1
n
o
(j)
∗
ψi , i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , pi — полный обобщенный FN
(t)-жорданов
набор оператора B ∗ .
Доказательству теоремы 3.1.1 предпошлем вспомогательное утверждение.
Лемма 3.1.1. Если выполнены условия теоремы 3.1.1, то
E
(D
(k+1)
·, ψi
zi , k = 1, . . . , pi − 1,
(k−1)
1◦ . Qi RN (0) =
Qi ,
k = pi ;
2◦ . (I2 − Q)δ(t) ∗ (I2 δ(t) + NN (t)θ(t)) ∗ G(t) = (I2 − Q)δ(t);
(p )
3◦ . (Qi RN i (t)θ(t) + Qi δ(t)) ∗ (I2 δ(t) + NN (t)θ(t)) = Qi δ(t);
4◦ . QRN (t)θ(t) ∗ (I2 δ(t) + NN (t)θ(t)) ∗ G(t) = −Qδ(t);
5◦ . G(t) ∗ LN (δ(t)) =
n
P
(p )
= (I2 δ(t) +
Qi RN i (t)θ(t)) ∗ (I2 δ(t) − FN (t)Γθ(t)) ∗ B̃δ (N ) (t).
i=1
Доказательство. Последовательно докажем пять этих равенств.
1◦ . Справедливо соотношение
(k−1)
RN
(k−1)
(t) = FN
(k−3)
(k−2)
0
(t)Γ + RN
(0)FN (t)Γ + · · · +
Zt
(k−2)
(k−1)
+ RN (0)FN (t)Γ + RN (t − s)FN (s)Γds, (3.1.1)
(t)Γ + RN (0)FN
0
которое получается из
RN (t) = FN (t)Γ +
Zt
RN (t − s)FN (s)Γds
0
простым дифференцированием по t. Тогда при k = 1 и k = 2, с уче∗
том формулы (1.1.3) для FN
(t)-присоединенных элементов (см. п. 1.1),
получим
103
D
E
∗ (1)
∗
Qi RN (0) = Qi FN (0)Γ = ·, Γ (FN (0)) ψi zi =
= h·,
Γ∗ l1∗ (ψi )i zi
D
E
(2)
= ·, ψi zi
и
0
0
Qi RN
(0) = Qi FN
(0)Γ + RN (0)FN (0)Γ =
D
E
∗ (1)
∗ (2) ∗
0
= ·, Γ (FN (0)) ψi + (FN (0)) ψi
zi =
= h·,
Γ∗ l2∗ (ψi )i zi
D
E
(3)
= ·, ψi zi
соответственно. Далее с помощью (3.1.1) и (1.1.3) индукцией по k легко
доказать, что
(k−1)
Qi RN (0) = h·, Γ∗ lk∗ (ψi )i zi .
Требуемое при k = 1, . . . , pi − 1 получается из (1.1.3), а при k = pi — из
равенств γi = lp∗i (ψi ) (см. замечание 1.1.4) и (1.1.1).
2◦ . Так как (I2 − Q)zi = 0, i = 1, . . . , n, то имеют место соотношения
(I2 − Q)δ(t) ∗ NN (t)θ(t) = O2 ,
pi D
n X
E
X
(j)
(I2 − Q)δ(t) ∗
·, ψi zi δ (pi +1−j) (t) = O2 ,
i=1 j=1
где O2 — нулевой оператор в пространстве E2 , которые в совокупности
со свойством идемпотентности проектора I2 − Q, доказывают 2◦ .
3◦ . Используя Qi Qj = δij Qi , а также естественное соотношение
NN (t)θ(t) = −
n
X
(p )
Qk RN k (t)θ(t) ∗ (I2 δ(t) + NN (t)θ(t)),
k=1
для резольвенты NN (t), равенство 3◦ установим следующим образом:
(p )
(Qi RN i (t)θ(t) + Qi δ(t)) ∗ (Iδ(t) + NN (t)θ(t)) =
n
X
(p )
= Qi δ(t) ∗ (I2 δ(t) +
Qk RN k (t)θ(t)) ∗ (I2 δ(t) + NN (t)θ(t)) =
k=1
= Qi δ(t) ∗ (I2 δ(t) + NN (t)θ(t) − NN (t)θ(t)) = Qi δ(t).
4◦ . Последовательно применяя доказанные ранее 1◦ , 3◦ , а затем
D
E
(j+1)
zk , ψi
= 0, j = 1, . . . , pi − 1
из замечания 1.1.5 и легко проверяемые проекторные соотношения
Qi (I2 − Q) = O2 , Qi zj = δij zi ,
104
покажем требуемое тождественными преобразованиями, а именно:
QRN (t)θ(t) ∗ (I2 δ(t) + NN (t)θ(t)) ∗ G(t) =
n
X
=
Qi RN (t)θ(t) ∗ δ (pi ) (t) ∗ (I2 δ(t) + NN (t)θ(t)) ∗
tpi −1
θ(t) ∗ G(t) =
(p
−
1)!
i
i=1
pi D
n E
X
X
(pi )
(j)
(pi +1−j)
=
Qi RN (t)θ(t) + Qi δ(t) +
·, ψi zi δ
(t) ∗
i=1
j=2
pi −1
t
θ(t) ∗ G(t) =
(pi − 1)!
pi D
n E
X
X
(j)
(pi +1−j)
=
Qi δ(t) +
·, ψi zi δ
(t) ∗
∗ (I2 δ(t) + NN (t)θ(t)) ∗
i=1
j=2
pk D
n X
X
E
tpi −1
(j)
(pk −pi +1−j)
θ(t) −
·, ψk zk δ
(t) =
∗ (I2 − Q)
(pi − 1)!
k=1 j=1
p
n
i
E
D
E
X XD
tj−1
(1)
(j)
θ(t) − ·, ψi zi δ(t)−
=
·, ψi zi
(j − 1)!
i=1 j=2
pi D
E
X
tj−1
(j)
−
θ(t) = −Qδ(t),
·, ψi zi
(j
−
1)!
j=2
5◦ . Справедлива цепочка равенств
G(t) ∗ LN (δ(t)) = G(t) ∗ (Bδ(t) − FN (t)θ(t)) ∗ δ (N ) (t) =
pi D
n X
E
X
∗ (j)
= Bδ(t) − (I2 − Q)FN (t)θ(t) −
·, B ψi zi δ (pi −1−j) (t)+
i=1 j=1
+
pi D
n X
X
·,
(j)
ψi
E
zi δ
(pi −1−j)
(t) ∗ FN (t)θ(t) ∗ δ (N ) (t),
i=1 j=1
в последнее из которых подставим выражение
(p +1−j)
δ (pi −1−j) (t) ∗ FN (t)θ(t) = FN i
(p −j−1)
+ FN i
(p −j)
(t)θ(t) + FN i
(0)δ(t)+
0
(0)δ 0 (t) + . . . + FN
(0)δ (pi −j−1) (t) + FN (0)δ (pi −j) (t),
а затем приведем подобные слагаемые относительно производных δ(t).
В результате этих преобразований, с учетом уравнений для определения
∗
FN
(t)-присоединенных векторов (см. определение 1.1.1), получим
G(t) ∗ LN (δ(t)) = B̃δ(t) − (I2 − Q)FN (t)θ(t)+
105
+
pi D
n X
X
·,
(j)
ψi
E
(p +1−j)
zi FN i
(t)θ(t)
∗ δ (N ) (t) =
i=1 j=1
= I2 δ(t) − FN (t)Γθ(t) + QFN (t)Γθ(t)+
pi D
n X
E
X
(j)
(pi +1−j)
+
·, ψi zi FN
(t)Γθ(t) ∗ B̃δ (N ) (t).
i=1 j=1
Далее с использованием 1◦ и
RN (t) = FN (t)Γ +
Zt
RN (t − s)FN (s)Γds,
0
находим
pi D
n X
E
X
(j)
(p +1−j)
(t)Γθ(t) =
QFN (t)Γθ(t) +
·, ψi zi FN i
i=1 j=1
=
n
X
(p −1)
(p )
Qi FN i (t)Γ + RN (0)FN i
(p −2)
0
(t)Γ + RN
(0)FN i
(t)Γ + . . . +
i=1
(p −2)
0
+RN i (0)FN
(t)Γ
=
n
X
Qi
(p )
RN i (t)
−
i=1
=
+
Zt
(p −1)
RN i (0)FN (t)Γ
(p )
RN i (t
0
n
X
θ(t) =
− s)FN (s)Γds θ(t) =
(p )
Qi RN i (t)θ(t) ∗ (I2 δ(t) − FN (t)Γθ(t)),
i=1
что и завершает доказательство равенства 5◦ и всей леммы.
Доказательство теоремы 3.1.1. В соответствии с определением фундаментальной оператор-функции, требуется установить равенства
LN (δ(t)) ∗ EN (t) = I2 δ(t), EN (t) ∗ LN (δ(t)) = I1 δ(t).
Раскрывая первую свертку, получим
LN (δ(t)) ∗ EN (t) =
tN −1
θ(t) ∗ (I2 δ(t) + RN (t)θ(t))∗
(N − 1)!
∗ (I2 δ(t) + NN (t)θ(t)) ∗ G(t) =
= ((I2 − Q)δ(t) − FN (t)Γθ(t)) ∗ (I2 δ(t) + RN (t)θ(t))∗
= LN (δ(t)) ∗ Γ
106
∗ (I2 δ(t) + NN (t)θ(t)) ∗ G(t) =
=
I2 δ(t) − Qδ(t) ∗ (I2 δ(t) + RN (t)θ(t)) ∗
∗ (I2 δ(t) + NN (t)θ(t)) ∗ G(t) =
= (I2 − Q)δ(t) − QRN (t)θ(t)) ∗ (I2 δ(t) + NN (t)θ(t)) ∗ G(t).
Отсюда, в силу 2◦ и 4◦ ,
LN (δ(t)) ∗ EN (t) = (I2 − Q)δ(t) + Qδ(t) = I2 δ(t).
Для доказательства второго равенства воспользуемся соотношением
5 из леммы 3.1.1.
◦
EN (t) ∗ LN (δ(t)) =
tN −1
θ(t) ∗ (I2 δ(t) + RN (t)θ(t))∗
(N − 1)!
∗ (I2 δ(t) + NN (t)θ(t)) ∗ G(t) ∗ LN (δ(t)) =
=Γ
tN −1
θ(t) ∗ (I2 δ(t) + RN (t)θ(t)) ∗ (I2 δ(t) + NN (t)θ(t))∗
(N − 1)!
n
X
(p )
∗ (I2 δ(t) +
Qi RN i (t)θ(t)) ∗ (I2 δ(t) − FN (t)Γθ(t)) ∗ B̃δ (N ) (t) =
=Γ
i=1
tN −1
θ(t) ∗ B̃δ (N ) (t) = I1 δ(t).
=Γ
(N − 1)!
Таким образом, теорема 3.1.1 доказана.
3.2
Обобщенное и классическое решения вырожденного
интегро-дифференциального уравнения в фредгольмовым
оператором при старшей производной
Вернемся к исследованию поставленной задачи (1.4.1). Как уже было показано ранее (см. замечание 1.4.3), в пространстве распределений
она допускает представление
LN (δ(t)) ∗ ũ(t) = g̃(t),
здесь g̃(t) ∈ K+0 (E2 ) задается формулой
g̃(t) = f (t)θ(t) + (BuN −1 − AN −1 uN −2 − . . . − A1 u0 )δ(t)+
107
(1.4.2)
+ (BuN −2 − AN −1 uN −3 − . . . − A2 u0 )δ 0 (t) + . . . +
+ (Bu1 − AN −1 u0 )δ (N −2) (t) + Bu0 δ (N −1) (t).
Поскольку вид фундаментальной оператор-функции интегро-дифференциального оператора LN (δ(t)) известен, справедлива
Теорема 3.2.1. Пусть выполнены условия теоремы 3.1.1, тогда задача
Коши (1.4.1) имеет единственное обобщенное решение вида
ũ(t) = E(t) ∗ g̃(t).
Замечание 3.2.1. Принимая во внимание вид обобщенной операторфункции E(t), полученный в теореме 3.1.1, и распределения g̃(t), становится понятно, что в условиях этой теоремы обобщенное решение ũ(t)
представляет собой сумму регулярной и сингулярной составляющих. Последняя имеет точечный носитель и представляет собой линейную комбинацию δ-функции Дирака и ее производных до некоторого порядка
(который, кстати, зависит от длин обобщенных жордановых цепочек).
Применяя методику работы [76] 1 , можно конкретизировать структуру
обобщенного решения, не пребегая к прямому раскрытию многократной
свертки. Обобщенное решение начальной задачи (1.4.1) имеет вид:
ũ(t) = E(t) ∗ g̃(t) = v(t)θ(t) +
+1−j
n pX
i −N pi −N
X
X
i=1 j=1
где функция v(t) в случае
D
(j)
f (t), ψi
ci
(k) (j−1)
(t),
[k+j+N −1] ϕi δ
k=1
E
∈ C pi −j+1 (t ≥ 0), i = 1, . . . , n,
j = 1, . . . , pi , принадлежит классу C(t ≥ 0; E1 ) ∩ C N (t > 0; E1 ), удовлетворяет интегро-дифференциальному уравнению
LN (v(t)) = f (t) +
+1−j
n pX
i −N pi −N
X
X
i=1 j=1
ci
[k+j+N −1] k
(j−1)
(k)
(t)ϕi ,
k=1
и начальным условиям
v
(j−1)
(0) = uj−1 +
n pi −N
X
X+j
i=1
ci
(k)
[k+N −j] ϕi ,
j = 1, . . . , N.
k=1
Коэффициенты ci [j] ∈ R, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , pi , определяются единственным образом по формулам
ci
[j]
=−
piX
−j+1 D
h
(pi −j−k+1)
(0),
(k)
ψi
E
, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , pi ,
k=1
1
Подход, о котором идет речь, наиболее доступным образом изложен в пособии [92].
108
N −1
здесь h(t) = f (t) − LN (p(t)), p(t) = u0 + u1 t + . . . + uN −1 (Nt −1)! .
Докажем этот факт. Действительно,
LN (δ(t)) ∗ ũ(t) =
+1−j
n pX
i −N pi −N
X
X
ci
= LN (δ(t)) ∗ v(t)θ(t) +
i=1 j=1
(k) (j−1)
(t)
[k+j+N −1] ϕi δ
=
k=1
= LN (v(t))θ(t) + Bv
(0) − AN −1 v
(0) − . . . − A1 v(0) δ(t)+
+ Bv (N −2) (0) − AN −1 v (N −3) (0) − . . . − A2 v(0) δ 0 (t) + . . . +
(N −1)
(N −2)
+ (Bv 0 (0) − AN −1 v(0)) δ (N −2) (t) + Bv(0)δ (N −1) (t)+
+ LN (δ(t)) ∗
+1−j
n pX
i −N pi −N
X
X
i=1 j=1
ci
(k) (j−1)
(t).
[k+j+N −1] ϕi δ
k=1
Заметим, что
Bv(0) = Bu0 +
n pi −N
X+1
X
i=1
ci
(k)
[k+N −1] Bϕi ,
k=1
Bv 0 (0) − AN −1 v(0) = Bu1 − AN −1 u0 +
+
n pi −N
X
X+2
i=1
(k)
ci [k+N −2] Bϕi
n pi −N
X
X+1
−
i=1
k=1
ci
(k)
[k+N −1] AN −1 ϕi ,
k=1
...,
Bv (N −2) (0) − AN −1 v (N −3) (0) − . . . − A2 v(0) =
= BuN −2 − AN −1 uN −3 − . . . − A2 u0 +
+
n pX
i −1
X
(k)
ci [k+1] Bϕi
−
i=1 k=1
n pX
i −2
X
ci
(k)
[k+2] AN −1 ϕi
− ...−
i=1 k=1
−
n pi −N
X
X+1
i=1
ci
(k)
[k+N −1] A2 ϕi ,
k=1
Bv (N −1) (0) − AN −2 v (N −3) (0) − . . . − A1 v(0) =
= BuN −1 − AN −1 uN −2 − . . . − A1 u0 +
+
pi
n X
X
i=1 k=1
(k)
ci [k] Bϕi
−
n pX
i −1
X
i=1 k=1
109
ci
(k)
[k+1] AN −1 ϕi
− ...−
−
n pi −N
X
X+1
i=1
ci
(k)
[k+N −1] A1 ϕi ,
k=1
а также воспользуемся представлением
LN (δ(t)) = δ (N ) (t) ∗ (Bδ(t) + FN (t)θ(t))
(вид оператор-функции FN (t) см. в теореме 3.1.1), тогда
LN (δ(t)) ∗ ũ(t) = f (t)θ(t)+
+
+1−j
n pX
i −N pi −N
X
X
i=1 j=1
ci
[k+j+N −1] k
(j−1)
(k)
(t)ϕi θ(t)+
k=1
+ (BuN −1 − AN −1 uN −2 − . . . − A1 u0 )δ(t)+
+ (BuN −2 − AN −1 uN −3 − . . . − A2 u0 )δ 0 (t) + . . . +
+ (Bu1 − AN −1 u0 )δ (N −2) (t) + Bu0 δ (N −1) (t)+
−j+1
n X
N piX
X
(k)
+
ci [k+j−1] Bϕi δ (j−1) (t)−
i=1
−
j=1
k=1
−j+1
N piX
X
ci
(k) (j−2)
(t)−
[k+j−1] FN (0)ϕi δ
j=2
−
k=1
−j+1
N piX
X
ci
j=3
piX
−j+1
j=N −1
k=1
−
−j+1
N piX
X
j=N
+1−j
n pX
i −N pi −N
X
X
i=1 j=1
− ...−
k=1
N
X
−
+
(k) (j−3)
0
(t)
[k+j−1] FN (0)ϕi δ
ci
+
(k)
(j−2)
ci [k+j−1] FN (0)ϕi δ(t)
k=1
ci
(k)
(j−3)
(0)ϕi δ 0 (t)−
[k+j−1] FN
[k+j+N −1]
(k)
(k)
Bϕi δ (j+N −1) (t) − FN (0)ϕi δ (j+N −2) (t)−
k=1
(j+N −3)
(k)
0
− FN
(0)ϕi δ (j+N −3) (t) − . . . − FN
X
+1−j
n pX
i −N pi −N
X
(j+N −2)
(k)
− FN
(0)ϕi δ(t) −
ci
i=1 j=1
(k)
(0)ϕi δ 0 (t)−
(j+N −1)
(k)
(t)ϕi .
[k+j+N −1] FN
k=1
(N )
Принимая во внимание очевидное равенство FN (t) = k(t) и вид распределения g̃(t), получим
110
LN (δ(t)) ∗ ũ(t) = g̃(t) +
pi piX
−j+1
n X
X
j=1
i=1
−
pi piX
−j+1
X
ci
ci
(k) (j−1)
(t)−
[k+j−1] Bϕi δ
k=1
(k) (j−2)
(t)−
[k+j−1] FN (0)ϕi δ
j=2
−
k=1
pi piX
−j+1
X
ci
j=3
−
k=1
piX
−j+1
pi
X
j=N −1
−
(k) (j−3)
0
(t)
[k+j−1] FN (0)ϕi δ
= g̃(t) +
(j−3)
(k)
(0)ϕi δ 0 (t)−
[k+j−1] FN
k=1
−j+1
pi piX
X
j=N
ci
− ...−
(j−2)
(k)
ci [k+j−1] FN (0)ϕi δ(t)
=
k=1
pi piX
−j+1
n X
X
i=1 j=1
(k)
ci [k+j−1] Bϕi − lk−1 (ϕi ) δ (j−1) (t),
k=1
а затем и требуемое, так как последняя группа слагаемых зануляется,
в силу существования обобщенного полного FN (t)-жорданова набора.
Здесь введены следующие обозначения
lk−1 (ϕi ) =
k−1
X
(k−1−q)
FN
(q)
(0)ϕi , k = 2, . . . , pi ,
q=1
причем l0 (ϕi ) = 0.
Замечание 3.2.2. Если в доказанной формуле обобщенного решения
положить ci [j] = 0, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , pi , то она примет вид
ũ(t) = v(t)θ(t),
D
E
(j)
где функция v(t) при f (t), ψi
∈ C pi −j+1 (t ≥ 0), i = 1, . . . , n,
j = 1, . . . , pi , принадлежит классу C(t ≥ 0; E1 ) ∩ C N (t > 0; E1 ), удовлетворяет рассматриваемому интегро-дифференциальному уравнению
и исходным начальным условиям, т. е. является классическим решением
задачи Коши (1.4.1). Таким образом, справедлива
Теорема 3.2.2. Пусть выполнены условия теоремы 3.1.1 и
D
E
(j)
f (t), ψi
∈ C pi −j+1 (t ≥ 0), i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , pi ,
111
тогда, если
piX
−j+1 D
(pi −j−k+1)
h
(0),
(k)
ψi
E
= 0, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , pi ,
k=1
то задача Коши (1.4.1) имеет единственное классическое решение.
Замечание 3.2.3. Полученные в этой главе результаты согласуются со
случаем k(t) ≡ O, т. е. когда LN (δ(t)) — дифференциальный оператор
высокого порядка. Особую ценность этот факт имеет с точки зрения
приложений: делает возможным исследование моделей, описываемых не
только интегро-дифференциальными, но и дифференциальными уравнениями в частных производных (высокого порядка по времени). С теоретической точки зрения доказанные теоремы могут трактоваться как
обобщение результатов для полных дифференциальных уравнений высоких порядков. Однако, несмотря на «угрожающую» общность, полученные результаты имеют свою область применимости и ограничения,
которые описаны в следующих замечаниях.
Замечание 3.2.4. Из доказанных в этой главе утверждений не могут
быть получены результаты для однозначной разрешимости задачи Коши (2.0.1), (2.0.2), рассмотренной в предыдущей главе, формальными
предположениями AN −1 , AN −2 , . . . , A1 = O, A0 = A и k(t) = g(t)A.
Если говорить более общо, из этих утверждений мы не сможем получить результатов для уравнений при AN −1 = O или AN −1 , AN −2 = O
или и т. д. AN −1 , AN −2 , . . . , A0 , k(0), k 0 (0), . . . , k (q) = O. Другими словами, если оператор-функция FN (t) имеет в точке t = 0 нуль какого-либо
конечного порядка. В таком случае неясным становится вопрос о жордановой структуре вырожденного оператора B: попросту непонятно каким
образом выстраиваются обобщенные жордановы цепочки относительно
оператор-функции FN (t) с таким свойством. Тем самым, вопрос существования и единственности решения задачи Коши
Bu(N ) (t) − Au(t) −
Zt
k(t − s)u(s)ds = f (t), u(k−1) (0) = uk−1 , k = 1, . . . , N
0
с фредгольмовым оператором B при N ≥ 2 (случай N = 1 изучен в [96])
на сегодняшний день остается открытым. Эта задача решена в частном
случае отсутствия присоединенных элементов у нулей оператора B [50].
С той же самой проблемой мы столкнемся при исследовании сверточного
112
интегрального уравнения
Bu(t) −
Zt
k(t − s)u(s)ds = f (t),
0
с фредгольмовым оператором B, ядро которого имеет в точке t = 0
нуль некоторого конечного порядка. Таким образом, наши утверждения
верны при дополнительном предположении: оператор-функция FN (t) не
имеет простого или кратного нуля в точке t = 0.
Замечание 3.2.5. Родственной или даже более общей по отношению к
этой будет ситуация, когда соответствующие операторы не равны нулю,
но их ядра не пустые и являются подмножествами нуль-пространства
N (B). Такие случаи нередко встречаются в приложениях. Работа по решению указанных проблем продолжается автором в настоящее время.
113
Глава 4
Задачи линейной
термовязкоупругости
В этой главе рассмотрим некоторые приложения полученных абстрактных результатов. Приведем примеры конкретных реализаций рассматриваемых до сих пор абстрактных начальных задач. Будем при этом
придерживаться следующих обозначений.
• t — положительная действительная переменная, играющая в рассматриваемых задачах роль времени;
• x̄ = (x1 , x2 , . . . , xM ) — M -мерный вектор, компоненты которого
обозначают пространственные координаты;
• Ω — ограниченное односвязное множество пространства RM с границей ∂Ω класса C ∞ ;
Также будем пользоваться обозначениями для функциональных пространств
• L2 (Ω) — пространство Лебега, состоящее из вещественных функций
суммируемых по Лебегу с квадратом на множестве Ω, c нормой

 12
Z
ku(x̄)kL (Ω) =  u2 (x̄)dx̄
2
Ω
и скалярным произведением
hu(x̄), v(x̄)iL2 (Ω) =
Z
u(x̄)v(x̄)dx̄;
Ω
• H l (Ω) (или W2l (Ω)) — пространство Соболева вещественных l раз
непрерывно дифференцируемых по совокупности переменных на множестве Ω функций, причем каждая частная производная функции
114
имеет предел при стремлении x̄ к любой граничной точке области
Ω. Норма и скалярное произведение в таком пространстве задаются
соответственно

 21
Z
Z
X
ku(x̄)kH l (Ω) =  u2 (x̄)dx̄ +
(Dα u(x̄))2 dx̄
1≤|α|≤l Ω
Ω
и
hu(x̄), v(x̄)iH l (Ω) =
Z
u(x̄)v(x̄)dx̄ +
◦
Dα u(x̄)Dα v(x̄)dx̄,
1≤|α|≤l Ω
Ω
здесь Dα u(x̄) =
X Z
∂ |α| u(x1 , x2 ,..., xM )
,
α
α
α
∂x1 1 ∂x2 2 ...∂xMM
|α| = α1 + α2 + · · · + αM ;
◦
• L2 (Ω) и H l (Ω) — замкнутые множества пространств L2 (Ω) и H l (Ω)
соответственно, которые состоят из функций, обращающихся в нуль
◦
на ∂Ω (или вблизи ∂Ω). Известно, что множество H l (Ω) плотно в
L2 (Ω).
Рассмотрим однородную граничную задачу
∆φ(x̄) = λφ(x̄), x̄ ∈ Ω,
(4.0.1)
φ(x̄)|x̄∈∂Ω = 0.
(4.0.2)
M 2
P
∂ φ
. Введем обозначение σ(∆)
Здесь ∆ — оператор Лапласа ∆φ(x̄) =
∂x2
i=1
i
для спектра задачи (4.0.1), (4.0.2). Известно, что σ(∆) представляет собой счетное множество, состоящее из вещественных чисел λ < 0, которое не имеет точек сгущения. Каждому собственному числу λ соответствует конечное число d(λ) линейно независимых собственных функций
φλi (x̄) ∈ C ∞ (Ω), i = 1, . . . , d(λ), где d(λ) — кратность собственного числа λ. Совокупность всех φλi (x̄), λ ∈ σ(∆), i = 1, . . . , d(λ) образует базис
◦
сепарабельного гильбертова пространства L2 (Ω), ортонормированный в
смысле его скалярного произведения. Оператор ∆ − λ является самосопряженным в L2 (Ω), а, значит, фредгольмовым в этом пространстве при
любом фиксированном λ ∈ σ(∆). Если же λ ∈
/ σ(∆) (λ — регулярная точка оператора ∆), т. е. однородная задача Дирихле (4.0.1), (4.0.2) имеет
◦
только нулевые решения, то ∆ − λ непрерывно обратим в L2 (Ω). Изложенные здесь факты о собственных значениях и собственных функциях
оператора Лапласа можно найти непосредственно или извлечь из более
общих утверждений, приведенных в монографии [43, Гл. I–III, с. 25–290].
115
4.1
Движение вязкоупругой жидкости Кельвина – Фойгта
В цилиндрической области R+ × Ω рассмотрим интегро-дифференциальное уравнение вида
∂
(ν − ∆) u(t, x̄) − ∆u(t, x̄) −
∂t
Zt
k1 (t − τ )∆u(τ, x̄)dτ = f (t, x̄),
0
которое возникает при изучении динамики наследственно упругих тел
[115], в частности, оно является линейной составляющей уравнения, описывающего течение вязкоупругих жидкостей Кельвина – Фойгта [59]. Вещественная постоянная ν отлична от нуля, k1 (t) ∈ C ∞ (t ≥ 0). Для этого
уравнения поставим задачу Коши – Дирихле, т. е. зададим начальное
u(t, x̄)|t=0 = u0 (x̄), x̄ ∈ Ω
и однородное граничное
u(t, x̄)|x̄∈∂Ω = 0, t ∈ R+ ∪ {0}
условия. Данную задачу редуцируем к начальной задаче (2.0.1), (2.0.2)
при N = 1, полагая
◦
E1 = L2 (Ω), E2 = L2 (Ω), B = ν − ∆, A = ∆, g(t) = k1 (t),
◦
D(B) = D(A) =H l+2 (Ω)
Пусть ν ∈ σ(∆), тогда функции φνi (x̄), i = 1, . . . , d(ν) образуют базис
пространства нулей фредгольмова оператора B. В качестве элементов
базиса N (B ∗ ) выберем следующие функции
1
ψi (x̄) = φνi (x̄), x̄ ∈ Ω, i = 1, . . . , d(ν).
ν
Справедлива цепочка равенств
Z
hAϕi , ψj i = ∆φνi (x̄)ψj (x̄)dx̄ =
Ω
Z
=
φνi (x̄)φνj (x̄)dx̄ = δij , i, j = 1, . . . , d(ν),
Ω
которая означает, что длины всех A-жордановых цепочек равны единице.
Следствием из теоремы 2.1.2 является следующее утверждение.
116
Следствие 4.1.1. Пусть ν ∈ σ(∆) и
Z
f (t, x̄)φνi (x̄)dx̄ ∈ C(t ≥ 0), i = 1, . . . , d(ν),
Ω
тогда исследуемая задача Коши – Дирихле имеет единственное обобщенное решение, определяемое формулой
ũ(t, x̄) = u(t, x̄)θ(t) =

Zt−s
Zt d(λ)
X X

1
=
1+
pλ (τ )dτ aλi (s)dsφλi (x̄) −
u0 (x̄) +
ν
−
λ
i=1
λ∈σ(∆)
λ6=ν
0
0
d(ν) −
1X
aνi (t) +
ν i=1
где pλ (t) — резольвента ядра
λ
ν−λ
Zt

p(t − s)aνi (s)ds φνi (x̄) θ(t),
0
Rt
(1+ k1 (s)ds), λ ∈ σ(∆), λ 6= ν, p(t) —
0
резольвента ядра (−k1 (t)), функция aλi (t), λ ∈ σ(∆), i = 1, . . . , d(λ)
задается следующим образом:
Z Zt
aλi (t) =
f (t, x̄) + λ 1 + k1 (s)ds u0 (x̄) φλi (x̄)dx̄.
0
Ω
Из теоремы 2.1.3 вытекает
Следствие 4.1.2. Пусть ν ∈ σ(∆) и
Z
f (t, x̄)φνi (x̄)dx̄ ∈ C 1 (t ≥ 0), i = 1, . . . , d(ν),
Ω
тогда, если выполнены соотношения
Z f (0, x̄) + νu0 (x̄) φνi (x̄)dx̄ = 0, i = 1, . . . , d(ν),
Ω
то исследуемая задача Коши – Дирихле имеет единственное решение
1
◦
u(t, x̄) ∈ C (t ≥ 0; L2 (Ω)) из следствия 4.1.1.
Cформулируем аналогичные утверждения и для регулярного случая, когда ν ∈
/ σ(∆), т. е. оператор ν − ∆ непрерывно обратим.
117
Следствие 4.1.3. Пусть ν ∈
/ σ(∆), тогда исследуемая задача Коши –
Дирихле имеет единственное обобщенное решение, определяемое формулой
ũ(t, x̄) = u(t, x̄)θ(t) =

d(λ)
X X
= u0 (x̄) +
λ∈σ(∆) i=1
1
ν−λ
где pλ (t) — резольвента ядра
Zt 
Zt−s
1+
pλ (τ )dτ aλi (s)dsφλi (x̄) θ(t),
0
0
λ
ν−λ
(1 +
Rt
k1 (s)ds), λ ∈ σ(∆), функция
0
aλi (t), λ ∈ σ(∆), i = 1, . . . , d(λ) задается следующим образом:
Zt
Z aλi (t) =
f (t, x̄) + λ 1 + k1 (s)ds u0 (x̄) φλi (x̄)dx̄.
0
Ω
Следствие 4.1.4. Пусть ν ∈
/ σ(∆) и f (t, x̄) ∈ C(t ≥ 0; L2 (Ω)), тогда исследуемая задача Коши – Дирихле имеет единственное решение
◦
u(t, x̄) ∈ C 1 (t ≥ 0; L2 (Ω)) из следствия 4.1.3.
Эти утверждения являются прямыми следствиями теорем 2.1.5 и
2.1.6, сформулированных в п. 2.1.
P
Замечание 4.1.1. Здесь и далее всюду знак «
» в формулах обобλ∈σ(∆)
щенных и классических решений предполагает суммирование в порядке
возрастания абсолютных значений собственных чисел λ ∈ σ(∆).
4.2
Поперечные колебания пластины с памятью
Рассмотрим следующую начально-краевую задачу
Zt
∂2
(µ − ∆) 2 u(t, x̄) + ∆2 u(t, x̄) − k2 (t − τ )∆2 u(τ, x̄)dτ = f (t, x̄),
∂t
0
u(t, x̄)|t=0
t > 0, x̄ ∈ Ω,
∂
= u0 (x̄),
u(t, x̄) = u1 (x̄), x̄ ∈ Ω, u(t, x̄)|x̄∈∂Ω = 0,
∂t
t=0
которая при M = 2 и f (t, x1 , x2 ) ≡ 0 описывает поперечные колебания
вязкоупругой пластины [115]. Функция u(t, x1 , x2 ) задает прогиб пластины, число µ представляет собой нелинейное соотношение между ее постоянными механическими характеристиками, а k2 (t) отражает реологические свойства (ползучесть).
118
Выбирая
◦
E1 = L2 (Ω), E2 = L2 (Ω), B = µ − ∆, A = −∆2 , g(t) = −k2 (t),
◦
D(B) = D(A) =H l+4 (Ω),
сведем данную задачу к начальной задаче (2.0.1), (2.0.2) при N = 2.
В регулярном случае справедливы утверждения
Следствие 4.2.1. Пусть µ ∈
/ σ(∆), тогда исследуемая задача Коши –
Дирихле имеет единственное обобщенное решение, определяемое формулой
"
ũ(t, x̄) = u(t, x̄)θ(t) = u0 (x̄) + u1 (x̄)t+
d(λ)
+
X X
λ∈σ(∆) i=1
1
µ−λ
Z t Zt−s
0

1 + (t − s − τ )qλ (τ ) bλi (s)dτ dsφλi (x̄) θ(t),
0
где qλ (t) — резольвента ядра
λ2
µ−λ
Rt
(−t + (t − s)k2 (s)ds), λ ∈ σ(∆), функ0
ция bλi (t), λ ∈ σ(∆), i = 1, . . . , d(λ) задается следующим образом:
Z Zt
bλi (t) =
f (t, x̄) − λ2 1 + k2 (s)ds u0 (x̄)−
0
Ω
− λ2 t +
Zt
(t − s)k2 (s)ds u1 (x̄) φλi (x̄)dx̄.
0
Следствие 4.2.2. Пусть µ ∈
/ σ(∆) и f (t, x̄) ∈ C(t ≥ 0; L2 (Ω)), тогда исследуемая задача Коши – Дирихле имеет единственное решение
◦
u(t, x̄) ∈ C 2 (t ≥ 0; L2 (Ω)) из следствия 4.2.1.
Если µ ∈ σ(∆), то, как указано выше, оператор B = µ − ∆ фредгольмов, в силу самосопряженности на L2 (Ω). Положим базисом в N (B ∗ )
n
od(µ)
1
множество функций − µ2 φβi (x̄)
, заданных на Ω, тогда
i=1
Z
1
hAϕi , ψj i = 2 ∆2 φµi (x̄)φµj (x̄)dx̄ = δij , i, j = 1, . . . , d(µ),
µ
Ω
что означает равенство единице длин всех жордановых цепочек.
119
Следствие 4.2.3. Пусть µ ∈ σ(∆) и
Z
f (t, x̄)φµi (x̄)dx̄ ∈ C(t ≥ 0), i = 1, . . . , d(µ),
Ω
тогда исследуемая задача Коши – Дирихле имеет единственное обобщенное решение, определяемое формулой
"
ũ(t, x̄) = u(t, x̄)θ(t) = u0 (x̄) + u1 (x̄)t+
+
d(λ)
X X
λ∈σ(∆) i=1
λ6=µ
1
µ−λ
Z t Zt−s
0
1 + (t − s − τ )qλ (τ ) bλi (s)dτ dsφλi (x̄)−
0
Zt
d(µ) −
1 X
bµi (t) +
µ2 i=1
где qλ (t) — резольвента ядра
λ2
µ−λ

q(t − s)bµi (s)ds φµi (x̄) θ(t),
0
Rt
(−t+ (t−s)k2 (s)ds), λ ∈ σ(∆), λ 6= µ,
0
q(t) — резольвента ядра k2 (t), функция bλi (t), λ ∈ σ(∆), i = 1, . . . , d(λ)
задается следующим образом:
Z Zt
bλi (t) =
f (t, x̄) − λ2 1 + k2 (s)ds u0 (x̄)−
0
Ω
− λ2 t +
Zt
(t − s)k2 (s)ds u1 (x̄) φλi (x̄)dx̄.
0
Следствие 4.2.4. Пусть µ ∈ σ(∆) и
Z
f (t, x̄)φµi (x̄)dx̄ ∈ C 2 (t ≥ 0), i = 1, . . . , d(µ),
Ω
тогда, если выполнены соотношения
Z f (0, x̄) − µ2 u0 (x̄) φνi (x̄)dx̄ = 0,
Ω
Z ∂f
2
(0, x̄) + k2 (0)f (0, x̄) − µ u1 (x̄) φνi (x̄)dx̄ = 0,
∂t
Ω
120
i = 1, . . . , d(µ),
то исследуемая задача Коши – Дирихле имеет единственное решение
◦
u(t, x̄) ∈ C 2 (t ≥ 0; L2 (Ω)) из следствия 4.2.3.
4.3
Вязкоупруго-динамическое состояние среды
Рассмотрим еще одну начально-краевую задачу
(α − ∆)utt − β∆ut − ∆u +
Zt
k3 (t − τ )∆u(τ, x̄)dτ = f (t, x̄),
0
t > 0, x̄ ∈ Ω,
u|t=0 = u0 (x̄), ut |t=0 = u1 (x̄), x̄ ∈ Ω, u|x̄∈∂Ω = 0,
возникающую при изучении вязкоупругих процессов [115]. Постоянные
α, β ∈ R отличны от нуля, k3 (t) ∈ C ∞ (t ≥ 0).
Выбрав пространства E1 , E2 , а также области определения операторов B = α − ∆, A1 = β∆, A0 = ∆, k(t) = −k3 (t)∆, как в примере 4.1, и, предполагая α ∈ σ(∆), сведем данную задачу к задаче
Коши (1.4.1) при N = 2. Базисными элементами ядра оператора B ∗
1
положим αβ
φαi (x̄), i = 1, . . . , d(α). Тогда hA1 ϕi , ψj i = δij , т. е. длины
всех обобщенных жордановых цепочек относительно оператор-функции
Rt
F2 (t) = A1 + A0 t + (t − τ )k(τ )dτ равны единице. Прямыми следствиями
0
теорем 3.2.1 и 3.2.2 являются следующие утверждения.
Следствие 4.3.1. Пусть α ∈ σ(∆) и
Z
f (t, x̄)φαi (x̄)dx̄ ∈ C(t ≥ 0), i = 1, . . . , d(α),
Ω
тогда исследуемая Коши – Дирихле задача имеет единственное обобщенное решение
"
ũ(t, x̄) = u(t, x̄)θ(t) = u0 (x̄) + u1 (x̄)t+
+
d(λ)
X X
λ∈σ(∆) i=1
λ6=α
1
α−λ
Z t Zt−s
0
1 + (t − s − τ )rλ (τ ) cλi (s)dτ dsφλi (x̄)−
0
121
−
d(α) Z t 1 X
αβ i=1
где rλ (t) — резольвента ядра
r(t) — резольвента ядра

Zt−s
1+
r(τ )dτ cαi (s)dsφαi (x̄) θ(t),
0
0
λ
α−λ (β+t−
− β1
+
1
β
Rt
Rt
(t−s)k3 (s)ds), λ ∈ σ(∆), λ 6= α,
0
k3 (s)ds, функция cλi (t), λ ∈ σ(∆),
0
i = 1, . . . , d(λ) задается следующим образом:
Z Zt
cλi (t) =
f (t, x̄) + λ 1 − k3 (s)ds u0 (x̄)+
0
Ω
Zt
+ λ β + t − (t − s)k3 (s)ds u1 (x̄) φλi (x̄)dx̄.
0
Следствие 4.3.2. Пусть α ∈ σ(∆) и
Z
f (t, x̄)φαi (x̄)dx̄ ∈ C 1 (t ≥ 0), i = 1, . . . , d(α),
Ω
тогда, если выполнены соотношения
Z
(f (0, x̄) + αu0 (x̄) + αβu1 (x̄))φαi (x̄) dx̄ = 0, i = 1, . . . , d(α),
Ω
то исследуемая задача Коши – Дирихле имеет единственное решение
◦
u(t, x̄) ∈ C 2 (t ≥ 0; L2 (Ω)) из следствия 4.3.1.
В регулярном случае к исследованию однозначной разрешимости
поставленной задачи применимы теоремы 1.4.2 и 1.4.3 из п. 1.4.
Следствие 4.3.3. Пусть α ∈
/ σ(∆), тогда исследуемая задача Коши –
Дирихле имеет единственное обобщенное решение
"
ũ(t, x̄) = u(t, x̄)θ(t) = u0 (x̄) + u1 (x̄)t+
d(λ)
+
X X
λ∈σ(∆) i=1
1
α−λ
Z t Zt−s
0

1 + (t − s − τ )rλ (τ ) cλi (s)dτ dsφλi (x̄) θ(t),
0
где rλ (t) — резольвента ядра
λ
α−λ (β
Rt
+ t − (t − s)k3 (s)ds), λ ∈ σ(∆),
0
функция cλi (t), λ ∈ σ(∆), i = 1, . . . , d(λ) задается следующим образом:
122
Z Zt
cλi (t) =
f (t, x̄) + λ 1 − k3 (s)ds u0 (x̄)+
0
Ω
Zt
+ λ β + t − (t − s)k3 (s)ds u1 (x̄) φλi (x̄)dx̄.
0
Следствие 4.3.4. Пусть α ∈
/ σ(∆) и f (t, x̄) ∈ C(t ≥ 0; L2 (Ω)), тогда исследуемая задача Коши – Дирихле имеет единственное решение
◦
u(t, x̄) ∈ C 2 (t ≥ 0; L2 (Ω)) из следствия 4.3.3.
4.4
Поперечные колебания диссипативной пластины
Начально-краевая задача вида
∂
∂2
(γ − ∆) 2 u(t, x̄) − ∆ u(t, x̄) + ∆2 u(t, x̄) = f (t, x̄), t > 0, x̄ ∈ Ω,
∂t
∂t
∂
u(t, x̄) = u1 (x̄), x̄ ∈ Ω, u(t, x̄)|x̄∈∂Ω = 0,
u(t, x̄)|t=0 = u0 (x̄),
∂t
t=0
в случае M = 2 и f (t, x1 , x2 ) ≡ 0 описывает поперечные колебания диссипативной пластины с учетом термальных эффектов [147]. Здесь γ 6= 0.
Положив операторные коэффициенты B = γ − ∆, A1 = ∆, A2 = −∆2 и
◦
◦
ядро k(t) ≡ O определенными на H l+4 (Ω), а E1 = L2 (Ω), E2 = L2 (Ω),
сведем исходную задачу к (1.4.1) при N = 2. При γ ∈ σ(∆) в N (B ∗ )
базисными функциями выберем γ1 φγi (x̄), i = 1, . . . , d(γ). Нетрудно убедиться, что фредгольмов оператор B имеет полный жорданов набор относительно оператор-функции F2 (t) = A1 + A0 t, состоящий только из его
нулей φγi (x̄), i = 1, . . . , d(γ). Справедливы утверждения
Следствие 4.4.1. Пусть γ ∈ σ(∆) и
Z
f (t, x̄)φγi (x̄)dx̄ ∈ C(t ≥ 0), i = 1, . . . , d(γ),
Ω
тогда исследуемая задача Коши – Дирихле имеет единственное обобщенное решение
ũ(t, x̄) = u(t, x̄)θ(t) =
"
d(γ) Z
X
= u0 (x̄) + u1 (x̄) −
u1 (x̄)φγi (x̄)dx̄φγi (x̄) t+
i=1 Ω
123
+
d(λ)
X X
λ∈σ(∆) i=1
λ6=γ
−
1
γ
1
γ−λ
Z t Zt−s
0
t
XZ Z
0
d(γ)
i=1 0
1 + (t − s − τ )mλ (τ ) dλi (s)dτ dsφλi (x̄)−
eγ(t−s)

f (s, x̄) − γ 2 u0 (x̄) φγi (x̄)dx̄dsφγi (x̄) θ(t),
Ω
λ
(1 − λt), λ ∈ σ(∆), λ 6= γ, функция
где mλ (t) — резольвента ядра γ−λ
dλi (t), λ ∈ σ(∆), i = 1, . . . , d(λ) задается следующим образом:
Z dλi (t) =
f (t, x̄) − λ2 u0 (x̄) + λu1 (x̄) − λ2 tu1 (x̄) φλi (x̄)dx̄.
Ω
Следствие 4.4.2. Пусть γ ∈ σ(∆) и
Z
f (t, x̄)φγi (x̄)dx̄ ∈ C 1 (t ≥ 0), i = 1, . . . , d(γ),
Ω
тогда, если выполнены соотношения
Z
f (0, x̄) − γ 2 u0 (x̄) + γu1 (x̄))φγi (x̄ dx̄ = 0, i = 1, . . . , d(γ),
Ω
то исследуемая задача Коши – Дирихле имеет единственное решение
◦
u(t, x̄) ∈ C 2 (t ≥ 0; L2 (Ω)) из следствия 4.4.1.
Соответственно при γ ∈
/ σ(∆) оператор B непрерывно обратим, и
следствиями теорем 1.4.2 и 1.4.3 являются следующие утверждения.
Следствие 4.4.3. Пусть γ ∈
/ σ(∆), тогда исследуемая задача Коши –
Дирихле имеет единственное обобщенное решение
"
ũ(t, x̄) = u(t, x̄)θ(t) = u0 (x̄) + u1 (x̄)t+
d(λ)
+
X X
λ∈σ(∆) i=1
1
γ−λ
Z t Zt−s
0

1 + (t − s − τ )mλ (τ ) dλi (s)dτ dsφλi (x̄) θ(t),
0
λ
где mλ (t) — резольвента ядра γ−λ
(1 − λt), λ ∈ σ(∆), функция dλi (t),
λ ∈ σ(∆), i = 1, . . . , d(λ) задается следующим образом:
Z dλi (t) =
f (t, x̄) − λ2 u0 (x̄) + λu1 (x̄) − λ2 tu1 (x̄) φλi (x̄)dx̄.
Ω
124
Следствие 4.4.4. Пусть γ ∈
/ σ(∆) и f (t, x̄) ∈ C(t ≥ 0; L2 (Ω)), тогда исследуемая задача Коши – Дирихле имеет единственное решение
◦
u(t, x̄) ∈ C 2 (t ≥ 0; L2 (Ω)) из следствия 4.4.3.
Замечание 4.4.1. Вид функции mλ (t) в формулах решений может быть
уточнен, он, очевидно, зависит от фиксированного значения γ и от λ как
параметра. В частности, для всех λ ∈ σ(∆) таких, что λ < γ − 41 , имеем
√
√
λ
λ
4γ
−
4λ
−
1
λ
4γ
−
4λ
−
1
λ
t
e 2(γ−λ) cos
t + Aλ sin
t .
mλ (t) =
γ−λ
2(γ − λ)
2(γ − λ)
В случае λ > γ − 14 , λ 6= γ, получим
√
√
λ
λ
λ
1
−
4γ
+
4λ
λ
1
−
4γ
+
4λ
t
mλ (t) =
e 2(γ−λ) ch
t + Bλ sh
t .
γ−λ
2(γ − λ)
2(γ − λ)
И, наконец, mλ (t) = 4λe2λt (1 + λt) при λ = γ − 41 . Здесь использованы
обозначения
p
1
1
√
Aλ =
− 4γ − 4λ + 1 ,
2
4γ − 4λ + 1
p
1
1
√
Bλ =
+ 1 − 4γ + 4λ .
2
1 − 4γ + 4λ
4.5
Продольные колебания упругого стержня с учетом инерции
Рассмотрим следующую задачу:
∂
∂2
(λ − ∆) 2 u(t, x̄) − a(∆ − λ00 ) u(t, x̄) − b(∆ − λ000 )u(t, x̄) = f (t, x̄),
∂t
∂t
∂
u(t, x̄)|t=0 = u0 (x̄),
u(t, x̄) = u1 (x̄), x̄ ∈ Ω, u(t, x̄)|x̄∈∂Ω = 0,
∂t
t=0
которая при M = 1 моделирует продольные колебания упругого стержня [28], при этом неизвестная функция u(t, x) задает продольные перемещения, а заданная f (t, x) — силовую нагрузку, действительные и отличные от нуля коэффициенты λ0 , λ00 , λ000 , a и b — постоянные механические
характеристики. Полагая
0
◦
E1 = L2 (Ω), E2 = L2 (Ω),
B = λ0 − ∆, A1 = a(∆ − λ00 ), A0 = b(∆ − λ000 ), k(t) = O,
125
◦
D(B) = D(A1 ) = D(A0 ) = D(k) =H l+2 (Ω),
сведем рассматриваемую задачу к (1.4.1) при N = 2. Ранее в [28] эта
задача была исследована при условии λ0 ∈ σ(∆), λ0 = λ00 , λ0 6= λ000 . Применяемый подход не позволял рассмотреть случай λ0 ∈ σ(∆), λ0 6= λ00 .
Этот случай изучен автором в [49] и представлен ниже. Справедливы
следующие утверждения.
Следствие 4.5.1. Пусть λ0 ∈ σ(∆), причем λ0 6= λ00 и
Z
f (t, x̄)φλ0 i (x̄)dx̄ ∈ C(t ≥ 0), i = 1, . . . , d(λ0 ),
Ω
тогда исследуемая задача Коши – Дирихле имеет единственное обобщенное решение
ũ(t, x̄) = u(t, x̄)θ(t) =
"
d(λ0 ) Z
X
= u0 (x̄) + u1 (x̄) −
u1 (x̄)φλ0 i (x̄)dx̄φλ0 i (x̄) t+
i=1 Ω
+
−
d(λ)
X X
1
λ0 − λ
λ∈σ(∆) i=1
λ6=λ0
d(λ0 ) Z t Z
1 X
ω 0 i=1
0
ω 000
− ωλ0
λ0
e
0
Z t Zt−s
1 + (t − s − τ )nλ (τ ) eλi (s)dτ dsφλi (x̄)−
0
(t−s)

f (s, x̄) + ωλ000 u0 (x̄) φλ0 i (x̄)dx̄dsφλ0 i (x̄) θ(t),
Ω
где ωλ0 = a(λ − λ00 ), ωλ00 = b(λ − λ000 ), λ ∈ σ(∆), nλ (t) — резольвента ядра λ0 1−λ (ωλ0 − ωλ00 t), λ ∈ σ(∆), λ 6= λ0 , функция eλi (t), λ ∈ σ(∆),
i = 1, . . . , d(λ) задается следующим образом:
Z 00
0
00
eλi (t) =
f (t, x̄) + ωλ u0 (x̄) + ωλ u1 (x̄) + ωλ tu1 (x̄) φλi (x̄)dx̄.
Ω
Следствие 4.5.2. Пусть λ0 ∈ σ(∆), причем λ0 6= λ00 и
Z
f (t, x̄)φλ0 i (x̄)dx̄ ∈ C 1 (t ≥ 0), i = 1, . . . , d(λ0 ),
Ω
тогда, если выполнены соотношения
Z
(f (0, x̄) + ωλ000 u0 (x̄) + ωλ0 0 u1 (x̄))φλ0 i (x̄) dx̄ = 0, i = 1, . . . , d(λ0 ),
Ω
126
то исследуемая задача Коши – Дирихле имеет единственное решение
◦
u(t, x̄) ∈ C 2 (t ≥ 0; L2 (Ω)) из следствия 4.5.1.
Следствие 4.5.3. Пусть λ0 ∈
/ σ(∆), тогда исследуемая задача Коши –
Дирихле имеет единственное обобщенное решение
"
ũ(t, x̄) = u(t, x̄)θ(t) = u0 (x̄) + u1 (x̄)t+
d(λ)
+
X X
λ∈σ(∆) i=1
1
γ−λ
Z t Zt−s
0

1 + (t − s − τ )nλ (τ ) eλi (s)dτ dsφλi (x̄) θ(t),
0
где ωλ0 = a(λ − λ00 ), ωλ00 = b(λ − λ000 ), λ ∈ σ(∆), nλ (t) — резольвента
ядра λ0 1−λ (ωλ0 − ωλ00 t), λ ∈ σ(∆), функция eλi (t), λ ∈ σ(∆), i = 1, . . . , d(λ)
задается следующим образом:
Z 00
0
00
eλi (t) =
f (t, x̄) + ωλ u0 (x̄) + ωλ u1 (x̄) + ωλ tu1 (x̄) φλi (x̄)dx̄.
Ω
Следствие 4.5.4. Пусть λ0 ∈
/ σ(∆) и f (t, x̄) ∈ C(t ≥ 0; L2 (Ω)), тогда исследуемая задача Коши – Дирихле имеет единственное решение
◦
u(t, x̄) ∈ C 2 (t ≥ 0; L2 (Ω)) из следствия 4.5.3.
4.6
Колебания термоупругой пластины
Начально-краевая задача
(∆ − α2 )uttt − k∆(∆ − α1 )utt − γ∆2 ut + k∆3 u = f (t, x̄), t > 0, x̄ ∈ Ω,
u|t=0 = u0 (x̄), ut |t=0 = u1 (x̄), utt |t=0 = u2 (x̄), x̄ ∈ Ω,
u|x̄∈∂Ω = 0,
где α1 , α2 , γ, k отличны от нуля и α1 6= α2 , описывает при M = 2
и f (t, x1 , x2 ) ≡ 0 колебания термоупругой пластины [143] и допускает
редукцию к задаче Коши (1.4.1) для вырожденного интегро-дифференциального уравнения третьего порядка, если выбрать пространства E1 и
E2 , как в предыдущем примере, а областью определения операторных ко◦
эффициентов и ядра — множество H l+6 (Ω). В случае α2 ∈ σ(∆) элементами базиса N (B ∗ ) положим функции kα2 (α12 −α1 ) φα2 i (x̄), i = 1, . . . , d(α2 ),
тогда, очевидно, что hA2 ϕi , ψj i = δij , т. е. длины всех жордановых цепочек равны единице.
127
Следствие 4.6.1. Пусть α2 ∈ σ(∆), причем α2 6= α1 и
Z
f (t, x̄)φα2 i (x̄)dx̄ ∈ C(t ≥ 0), i = 1, . . . , d(α2 ),
Ω
тогда исследуемая задача Коши – Дирихле имеет единственное обобщенное решение
"
t2
ũ(t, x̄) = u(t, x̄)θ(t) = u0 (x̄) + u1 (x̄)t + u2 (x̄) +
2
d(λ)
X X
+
λ∈σ(∆) i=1
λ6=α2
−
1
λ − α2
1
kα2 (α2 − α1 )
Z t Zt−ξ
0
(t − ξ − η)2
(t−ξ−η)+
vλ (η) yλi (ξ)dηdξφλi (x̄)−
2
0
t−ξ
d(α2 ) Z t Z
X
i=1 0

1 + (t − ξ − η)v(η) yα2 i (s)dηdξφα2 i (x̄) θ(t),
0
2
λ
где vλ (t) — резольвента ядра λ−α
(k(λ − λ1 ) + γλt − kλ2 t2 ), λ ∈ σ(∆),
2
2
λ 6= α2 , v(t) — резольвента ядра α2α−α
(− γk + α2 t), функция yλi (t),
1
λ ∈ σ(∆), i = 1, . . . , d(λ) задается следующим образом:
Z 2
t
yλi (t) =
f (t, x̄) + λ k(λ − λ1 ) + γλt − kλ2
u2 (x̄)+
2
Ω
+ λ2 γ − kλt u1 (x̄) − kλ3 u0 (x̄) φλi (x̄)dx̄.
Следствие 4.6.2. Пусть α2 ∈ σ(∆), причем α2 6= α1 и
Z
f (t, x̄)φα2 i (x̄)dx̄ ∈ C 1 (t ≥ 0), i = 1, . . . , d(α2 ),
Ω
тогда, если выполнены соотношения
Z f (0, x̄) − kα23 u0 (x̄) + γα22 u1 (x̄) + kα2 (α2 − α1 )u2 (x̄) φα2 i (x̄)dx̄ = 0,
Ω
i = 1, . . . , d(α2 ),
то исследуемая задача Коши – Дирихле имеет единственное решение
3
◦
u(t, x̄) ∈ C (t ≥ 0; L2 (Ω)) из следствия 4.6.1.
Когда α2 ∈
/ σ(∆), т. е. B непрерывно обратим, из теорем вытекают
следующие утверждения 1.4.2 и 1.4.3.
128
Следствие 4.6.3. Пусть α2 ∈
/ σ(∆), тогда исследуемая задача Коши –
Дирихле имеет единственное обобщенное решение
"
t2
ũ(t, x̄) = u(t, x̄)θ(t) = u0 (x̄) + u1 (x̄)t + u2 (x̄) +
2
+
d(λ)
X X
λ∈σ(∆) i=1
λ6=α2
1
λ − α2
Z t Zt−ξ
0
(t − ξ − η)2
(t−ξ−η)+
vλ (η) yλi (ξ)dηdξφλi (x̄),
2
0
2
λ
где vλ (t) — резольвента ядра λ−α
(k(λ − λ1 ) + γλt − kλ2 t2 ), λ ∈ σ(∆),
2
функция yλi (t), λ ∈ σ(∆), i = 1, . . . , d(λ) задается следующим образом:
Z 2
t
u2 (x̄)+
yλi (t) =
f (t, x̄) + λ k(λ − λ1 ) + γλt − kλ2
2
Ω
+ λ2 γ − kλt u1 (x̄) − kλ3 u0 (x̄) φλi (x̄)dx̄.
Следствие 4.6.4. Пусть α2 ∈
/ σ(∆) и f (t, x̄) ∈ C(t ≥ 0; L2 (Ω)) тогда, исследуемая задача Коши – Дирихле имеет единственное решение
◦
u(t, x̄) ∈ C 3 (t ≥ 0; L2 (Ω)) из следствия 4.6.3.
4.7
Колебания термоупругой пластины в нестационарном
тепловом поле
Следующая задача
τ (∆ − α3 )utttt + (∆ − α2 )uttt − ∆((τ γ + k)∆ − kα1 )utt −
− γ∆2 ut + k∆3 u = f (t, x̄), t > 0, x̄ ∈ Ω,
u|t=0 = u0 (x̄), ut |t=0 = u1 (x̄), utt |t=0 = u2 (x̄), uttt |t=0 = u3 (x̄), x̄ ∈ Ω,
u|x̄∈∂Ω = 0,
моделирует при M = 2 и f (t, x1 , x2 ) ≡ 0 колебания термоупругой пластины в нестационарном тепловом поле, распространяющемся по закону
Каттанео – Вернотте [143; 152]. Заметим, что в случае равенства нулю
так называемого релаксационного параметра τ рассматриваемое уравнение становится уравнением из примера 4.6.
◦
Выбрав в качестве E1 и E2 пространства L2 (Ω) и L2 (Ω) соответ◦
ственно, а облатью определения операторных коэффициентов H l+6 (Ω),
129
сведем данную задачу Коши – Дирихле к начальной задаче (1.4.1) при
N = 4 и k(t) = O. Как следствия теорем 3.2.1, 3.2.2, 1.4.2 и 1.4.3 справедливы следующие утверждения.
Следствие 4.7.1. Пусть α3 ∈ σ(∆), причем α3 6= α2 и
Z
f (t, x̄)φα3 i (x̄)dx̄ ∈ C(t ≥ 0), i = 1, . . . , d(α3 ),
Ω
тогда исследуемая задача Коши – Дирихле имеет единственное обобщенное решение
"
t3
t2
ũ(t, x̄) = u(t, x̄)θ(t) = u0 (x̄) + u1 (x̄)t + u2 (x̄) + u2 (x̄) +
2
6
+
d(λ)
X X
λ∈σ(∆) i=1
λ6=α3
1
τ (λ − α3 )
Z t Zt−ξ
0
(t − ξ − η)2
+
2
0
(t − ξ − η)3
+
wλ (η) zλi (ξ)dηdξφλi (x̄)−
6
t−ξ
d(α3 ) Z t Z
X
1
−
(t − ξ − η)+
α3 − α2 i=1
0 0
(t − ξ − η)2
w(η) zα3 i (s)dηdξφα3 i (x̄) θ(t),
+
2
2
3
1
(α2 − λ + χλ t + γλ2 t2 − kλ3 t6 ),
где wλ (t) — резольвента ядра τ (λ−α
3)
λ ∈ σ(∆), λ 6= α3 , причем χλ = λ (τ γ + k)λ − kα1 , w(t) — резольвента
1
2
3 t2
ядра α3 −α
(χ
+
γα
t
−
kα
α
3
3
3
2 ), функция zλi (t), λ ∈ σ(∆), i = 1, . . . , d(λ)
2
задается следующим образом:
Z 2
3
t
t
f (t, x̄) + α2 − λ + χλ t + γλ2 − kλ3
u3 (x̄)+
zλi (t) =
2
6
Ω
2
t
+ χλ + γλ2 t − kλ3
u2 (x̄) + λ2 γ − kλt u1 (x̄) − kλ3 u0 (x̄) φλi (x̄)dx̄.
2
Следствие 4.7.2. Пусть α3 ∈ σ(∆), причем α3 6= α2 и
Z
f (t, x̄)φα3 i (x̄)dx̄ ∈ C 1 (t ≥ 0), i = 1, . . . , d(α3 ),
Ω
тогда, если выполнены соотношения
130
Z f (0, x̄) − kα33 u0 (x̄) + γα32 u1 (x̄) + χα3 u2 (x̄)+
Ω
+ (α2 − α3 )u3 (x̄) φα3 i (x̄)dx̄ = 0, i = 1, . . . , d(α3 ),
то исследуемая задача Коши – Дирихле имеет единственное решение
◦
u(t, x̄) ∈ C 4 (t ≥ 0; L2 (Ω)) из следствия 4.7.1.
Следствие 4.7.3. Пусть α3 ∈
/ σ(∆), тогда исследуемая задача Коши –
Дирихле имеет единственное обобщенное решение
"
t3
t2
ũ(t, x̄) = u(t, x̄)θ(t) = u0 (x̄) + u1 (x̄)t + u2 (x̄) + u2 (x̄) +
2
6
+
d(λ)
X X
λ∈σ(∆) i=1
Z t Zt−ξ
(t − ξ − η)2
+
2
0 0
(t − ξ − η)3
+
wλ (η) zλi (ξ)dηdξφλi (x̄) θ(t)
6
1
τ (λ − α3 )
2
3
1
где wλ (t) — резольвента ядра τ (λ−α
(α2 − λ + χλ t + γλ2 t2 − kλ3 t6 ),
3)
λ ∈ σ(∆), причем χλ = λ (τ γ + k)λ − kα1 , функция zλi (t), λ ∈ σ(∆),
i = 1, . . . , d(λ) задается следующим образом:
Z 3
2
3t
2t
− kλ
u3 (x̄)+
zλi (t) =
f (t, x̄) + α2 − λ + χλ t + γλ
2
6
Ω
2
2
3t
2
3
+ χλ + γλ t − kλ
u2 (x̄) + λ γ − kλt u1 (x̄) − kλ u0 (x̄) φλi (x̄)dx̄.
2
Следствие 4.7.4. Пусть α3 ∈
/ σ(∆) и f (t, x̄) ∈ C(t ≥ 0; L2 (Ω)), тогда исследуемая задача Коши – Дирихле имеет единственное решение
◦
u(t, x̄) ∈ C 4 (t ≥ 0; L2 (Ω)) из следствия 4.7.3.
131
Заключение
Исследование различных технических и природных динамических
процессов зачастую связано с необходимостью решать начально-краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Поскольку текущее состояние описываемой системы определяется не только стартовым состоянием (начальными условиями) и внешними возмущениями (свободной функцией), но и всей ее эволюцией от старта до
момента наблюдения, то наиболее подходящими математическими объектами для описания процессов функционирования подобных систем являются интегро-дифференциальные уравнения в частных производных.
В современной математической науке наиболее часто встречаются работы, посвященные, как правило, исследованию каких-либо конкретных
уравнений такого типа. Особый интерес представляют уравнения, не разрешенные относительно старшей производной по времени, так называемые, уравнения соболевского типа. С самых общих позиций соответствующие начально-краевые задачи удается решать редукцией к вырожденным интегро-дифференциальным уравнениям (начальным задачам
для них) в абстрактных пространствах. Как известно, классическое решение начальной задачи для сингулярного интегро-дифференциального
уравнения существует не при всех входных данных: операторных коэффициентах, ядре интегральной части, свободной функции и начальных условиях Коши. В связи с этим, первичным в подобных задачах
является вопрос существования и единственности этого решения. Не менее важно для приложений построение самого решения. Один из наиболее эффективных методов решения начальных задач для вырожденных
линейных интегро-дифференциальных уравнений состоит в расширении
класса достаточно гладких функций, в котором рассматривается задача,
до распределений со значениями в банаховых пространствах. Удобным
инструментом построения обобщенного решения является конструкция
фундаментальной оператор-функции вырожденного интегро-дифференциального оператора, которая является аналогом классического понятия
фундаментального решения (функции влияния). Она позволяет решать
триединую проблему: доказывать однозначную разрешимость начальной
задачи в классе распределений с ограниченным слева носителем, вос132
станавливать обобщенное решение (как свертку фундаментальной оператор-функции с правой частью уравнения), а также получать условия
существования и единственности классического решения задачи Коши (в
классе функций конечной гладкости). Одно из очевидных преимуществ
этой техники заключается в том, что она обходит трудности непосредственного построения классического решения. Универсальность методики состоит в ее применимости к различным типам вырождения. В частности, фундаментальная оператор-функция показала свою эффективность в исследовании случаев фредгольмовости и нетеровости главной
части уравнения, а также спектральной, секториальной и радиальной
ограниченности соответствующих операторных пучков.
В представленной монографии указанная идея распространяется на
классы абстрактных интегро-дифференциальных уравнений произвольного высокого порядка N . В этом направлении получены следующие
результаты:
1. Доказаны теоремы о виде фундаментальной оператор-функции интегро-дифференциального оператора специального вида в банаховых
пространствах в условиях фредгольмовости и нетеровости главной
части, а также спектральной, секториальной и радиальной ограниченности операторного пучка. В этих предположениях получены условия существования и единственности обобщенного и классического решений начальной задачи для соответствующего вырожденного
интегро-дифференциального уравнения в банаховых пространствах;
2. Построена фундаментальная оператор-функция интегро-дифференциального оператора высокого порядка с фредгольмовым операторным коэффициентом при старшей производной. На этой основе доказана однозначная разрешимость соответствующей задачи Коши в
классах распределений и функций конечной гладкости;
3. Получены условия однозначной разрешимости и формулы решений
начально-краевых задач о движении вязкоупругой жидкости, колебаниях пластины с памятью, упругого стержня с учетом инерции,
термоупругой пластины в нестационарном тепловом поле и др.
133
Библиографический список
[1] Азизов Т. Я. Операторный подход к исследованию гидродинамической модели Олдройта / Т. Я. Азизов, Н. Д. Копачевский,
Л. Д. Орлова // Мат. заметки. – 1999. – Т. 65, № 6. – С. 924–928.
[2] Белов И. И. Задача Коши для линейных нагруженных интегродифференциальных уравнений типа Вольтерра с вырожденной
матрицей при производной / И. И. Белов // Краевые задачи. –
Иркутск : Иркут. гос. ун-т, 1997. – С. 99–102.
[3] Бояринцев Ю. Е. Методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю. Е. Бояринцев. – Новосибирск : Наука, 1988. – 160 с.
[4] Бояринцев Ю. Е. Линейные и нелинейные алгебро-дифференциальные системы / Ю. Е. Бояринцев. – Новосибирск : Наука,
2000. – 233 с.
[5] Булатов М. В. Об интегро-дифференциальных системах с вырожденной матрицей перед производной / М. В. Булатов // Дифференц. уравнения. – 2002. – Т. 38, № 5. – С. 692–697.
[6] Булатов М. В. Численное решение интегро-дифференциальных систем с вырожденной матрицей перед производной многошаговыми
методами / М. В. Булатов, Е. В. Чистякова // Дифференц. уравнения. – 2006. – Т. 42, № 9. – С. 1248–1255.
[7] Булатов М. В. Об одном семействе вырожденных интегродифференциальных уравнений / М. В. Булатов, Е. В. Чистякова // Журн. вычисл. математики и матем. физики. – 2011. – Т. 51,
№ 9. – С. 1665–1673.
[8] Бухгейм А. Л. Обратные задачи восстановления памяти /
А. Л. Бухгейм, Н. И. Калинина // Докл. РАН. – 1997. – Т. 354,
№ 6. – С. 727–729.
[9] Бухгейм А. Л. Глобальная сходимость метода Ньютона в обратных
задачах восстановления памяти / А. Л. Бухгейм, Н. И. Калинина // Сиб. мат. журн. – 1997. – Т. 38, № 5. – С. 1018–1033.
134
[10] Бухгейм А. Л. Два метода в обратной задаче определения памяти / А. Л. Бухгейм, Н. И. Калинина, В. Б. Кардаков // Сиб. мат.
журн. – 2000. – Т. 41, № 4. – С. 767–776.
[11] Вайнберг М. М. Интегро-дифференциальные уравнения /
М. М. Вайнберг // Итоги науки. Сер. Математический анализ. Теория вероятностей. Регулирование. 1962. – М. : ВИНИТИ,
1964. – С. 5–37.
[12] Вайнберг М. М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг, В. А. Треногин. – М. : Наука, 1969. – 528 с.
[13] Васильев В. В. Решение одного класса линейных интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра / В. В. Васильев // Тр.
Иркут. гос. ун-та. Сер. мат. – 1968. – Т. 26. – С. 3–17.
[14] Васильев В. В. К вопросу о решении задачи Коши для одного класса линейных интегро-дифференциальных уравнений / В. В. Васильев // Изв. вузов. Математика. – 1961. – № 4. – С. 8–24.
[15] Васильев В. В. Решение задачи Коши для одного класса линейных
интегро-дифференциальных уравнений / В. В. Васильев // Докл.
АН СССР. – 1955. – Т. 100, № 5. – С. 849–852.
[16] Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике / В. С. Владимиров. – М. : Наука, 1979. – 320 с.
[17] Власов В. В. Разрешимость и спектральный анализ интегродифференциальных уравнений, возникающих в теплофизике и акустике / В. В. Власов, Н. А. Раутиан, А. C. Шамаев // Докл. РАН. –
2010. – Т. 434, № 1. – C. 12–15.
[18] Власов В. В. Спектральный анализ и корректная разрешимость
абстрактных интегродифференциальных уравнений, возникающих в теплофизике и акустике / В. В. Власов, Н. А. Раутиан,
А. С. Шамаев // Современная математика. Фундаментальные направления. – 2011. – Т. 39. – С. 36–65.
[19] Вольтерра В. Теория функционалов и интегральных и интегродифференциальных уравнений / В. Вольтерра. – М. : Наука,
1982. – 304 c.
[20] Габов С. А. Новые задачи математической теории волн / С. А. Габов. – М. : Физматлит, 1998. – 448 с.
[21] Гаевский Х. Нелинейные операторные уравнения и операторные
дифференциальные уравнения / Х. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас. – М. : Мир, 1978. – 338 с.
135
[22] Гельфанд И. М. Обобщенные функции и действия над ними /
И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов. – М. : Физматгиз, 1959. – 470 с. –
(Сер. «Обобщенные функции». Вып. 1).
[23] Гражданцева Е. Ю. Фундаментальные оператор-функции вырожденных дифференциальных операторов высокого порядка в банаховых пространствах : дис. ... канд. физ.-мат. наук : 01.01.02 /
Е. Ю. Гражданцева. – ИГУ. – Иркутск, 2005. – 119 с.
[24] Далецкий Ю. М. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. М. Далецкий, М. Г. Крейн. –
М. : Наука, 1970. – 535 с.
[25] Демиденко Г. В. Уравнения и системы уравнений, не разрешенные
относительно старшей производной / Г. В. Демиденко, С. В. Успенский. – Новосибирск : Науч. кн., 1998. – 438 с.
[26] Егоров И. Е. Неклассические дифференциально-операторные
уравнения / И. Е. Егоров, С. Г. Пятков, С. В. Попов. – Новосибирск : Наука, 2000. – 336 с.
[27] Завалищин С. Т. Импульсные процессы: модели и приложения /
С. Т. Завалищин, А. Н. Сесекин. – М. : Наука, 1991. – 256 с.
[28] Замышляева А. А. Фазовые пространства одного класса линейных
уравнений соболевского типа второго порядка / А. А. Замышляева // Вычисл. технологии. – 2003. – Т. 8, № 4. – С. 45–54.
[29] Замышляева А. А. Неполные линейные уравнения соболевского
типа высокого порядка / А. А. Замышляева // Деп. ВИНИТИ. –
1998. – № 2001-В98. – 33 с.
[30] Иванов В. К. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи / В. К. Иванов, И. В. Мельникова, А. И. Филинков. – М. : Физматлит, 1995. – 384 с.
[31] Ильюшин А. А. Основы математической теории термовязкоупругости / А. А. Ильюшин, Б. Е. Победря. – М. : Наука, 1970. – 280 с.
[32] Иосида К. Функциональный анализ / К. Иосида. – М. : Изд-во
ЛКИ, 2007. – 624 с.
[33] Калашников А. С. Классы единственности для интегро-дифференциальных уравнений с операторами Вольтерра типа свертки /
А. С. Калашников // Функцион. анализ и его приложения. –
1979. – Т. 13, № 2. – С. 83–84.
136
[34] Кожанов А. И. Краевые задачи для уравнений математической
физики нечетного порядка / А. И. Кожанов. – Новосибирск : Издво Новосиб. гос. ун-та, 1990. – 130 с.
[35] Копачевский Н. Д. Интегро-дифференциальные уравнения Вольтерра в гильбертовом пространстве : спец. курс лекций / Н. Д. Копачевский. – Симферополь : ФЛП «Бондаренко О. А.», 2012. –
152 с.
[36] Копачевский Н. Д. О спектральной задаче, связанной с интегродифференциальным уравнением второго порядка / Н. Д. Копачевский // Учен. зап. Таврического нац. ун-та им. В. И. Вернадского. Сер. Математика. Механика. Информатика и Кибернетика. –
2003. – Т. 16, № 1. – С. 139–152.
[37] Копачевский Н. Д. Операторные методы в линейной гидродинамике. Эволюционные и спектральные задачи / Н. Д. Копачевский,
С. Г. Крейн, Нго Зуй Кан. – М. : Наука, 1989. – 416 с.
[38] Коробова О. В. Матричные фундаментальные оператор-функции
вырожденных операторно-дифференциальных систем : дис. ...
канд. физ.-мат. наук : 01.01.02 / О. В. Коробова. – ИГУ. – Иркутск, 2009. – 154 с.
[39] Крейн С. Г. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах / С. Г. Крейн, Н. И. Чернышев. –
Новосибирск : Ин-т математики СО АН СССР, 1979. – 18 с. –
(Препринт № 4).
[40] Крейн С. Г. О полноте системы решений интегрального уравнения
Вольтерра с особенностью / С. Г. Крейн, И. В. Сапронов // Докл.
РАН. – 1997. – Т. 35, № 4. – С. 450–452.
[41] Лаврентьев М. М. Обратные задачи и специальные операторные
уравнения первого рода / М. М. Лаврентьев // Международный
конгресс математиков в Ницце, 1970. Доклады советских математиков. – М. : Наука, 1972. – С. 130–136.
[42] Лаврентьев М. М. Теория операторов и некорректные задачи /
М. М. Лаврентьев, Л. Я. Савельев. – Новосибирск : Изд-во Ин-та
математики им. С. Л. Соболева, 2010. – 912 с.
[43] Ладыженская О. А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа / О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева. – М. :
Наука, 1973. – 576 с.
137
[44] Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа /
А. Г. Свешников, А. Б. Альшин, М. О. Корпусов, Ю. Д. Плетнер. –
М. : Физматлит, 2007. – 736 с.
[45] Логинов Б. В. Обобщенная жорданова структура в теории ветвления / Б. В. Логинов, Ю. Б. Русак // Прямые и обратные задачи
для дифференциальных уравнений в частных производных и их
приложения. – Ташкент : ФАН, 1978. – С. 133–148.
[46] Магницкий Н. А. Асимптотика решений интегрального уравнения
Вольтерра 1 рода / Н. А. Магницкий // Докл. АН СССР. – 1983. –
Т. 269, № 1. – С. 29–32.
[47] Об одном семействе решений системы Власова–Максвелла и их
устойчивости / Ю. А. Марков, Г. А. Рудых, Н. А. Сидоров,
А. В. Синицын // Мат. моделирование. – 1990. – Т. 2, № 12. –
С. 88–101.
[48] Орлов С. С. О разрешимости интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра с фредгольмовым оператором в главной части /
С. С. Орлов // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. – 2012. –
Т. 5, № 3. С. 73–93.
[49] Орлов С. С. Начально-краевые задачи для неклассических уравнений математической теории упругости / С. С. Орлов // Современ.
технологии. Систем. анализ. Моделирование. – 2011. – Т. 29, № 1. –
С. 21–29.
[50] Орлов С. С. Вырожденное интегро-дифференциальное уравнение
в банаховых пространствах и его приложения / С. С. Орлов //
Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. – 2010. – Т. 3, № 1. –
С. 54–60.
[51] Орлов С. С. Непрерывные решения вырожденного интегро-дифференциального уравнения второго порядка в банаховых пространствах / С. С. Орлов // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. – 2009. – Т. 2, № 1. – С. 328–332.
[52] Орлов С. С. Фундаментальная оператор-функция сингулярного
интегро-дифференциального оператора второго порядка в банаховых пространствах / С. С. Орлов // Материалы Междунар. Рос.Абхаз. симп. «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». – Нальчик : НИО КБНЦ РАН, 2009. –
С. 296–298.
138
[53] Орлов С. С. Задача Коши – Дирихле для интегро-дифференциального уравнения вязко-упругости. Регулярный случай / С. С. Орлов // Труды VI Междунар. конф. студентов и молодых ученых
«Перспективы развития фундаментальных наук». – Томск : Издво ТПУ, 2009. – Т. 2. – С. 625–628.
[54] Орлов С. С. Обобщенное и классическое решения вырожденного интегро-дифференциального уравнения в банаховых пространствах / С. С. Орлов // Материалы Всерос. молодеж. науч. конф.
«Современные проблемы математики и механики». – Томск : Издво ТГУ, 2010. – С. 154–157.
[55] Орлов С. С. Задача Коши – Дирихле для линейного интегро-дифференциального уравнения вязкоупругости / С. С. Орлов // Материалы конф. «Ляпуновские чтения & презентации информационных технологий». – Иркутск : РИО ИДСТУ СО РАН, 2009. –
С. 40.
[56] Орлов С. С. Задача Коши для вырожденного интегро-дифференциального уравнения высокого порядка в банаховых пространствах / С. С. Орлов // Материалы конф. «Ляпуновские чтения
& презентации информационных технологий». – Иркутск : РИО
ИДСТУ СО РАН, 2010. – С. 34.
[57] Орлов С. С. Интегро-дифференциальное уравнение продольных колебаний вязко-упругого стержня: разрешимость начальнокраевых задач и их точные решения / С. С. Орлов // Труды Томского гос. ун-та. Сер. физ.-мат. : Актуальные проблемы механики
сплошных сред и небесной механики. – 2012. – Т. 282. – С. 123–126.
[58] Орлов С. С. Задача Коши для интегро-дифференциального уравнения второго порядка в банаховых пространствах с фредгольмовым оператором при старшей производной / С. С. Орлов //
Тез. докл. молодеж. Междунар. науч. шк.-конф. «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач». – Новосибирск : Изд-во Ин-та математики им. С. Л. Соболева СО РАН,
2009. – С. 74.
[59] Осколков А. П. Начально-краевые задачи для уравнений движений жидкостей Кельвина – Фойгта и Олдройта / А. П. Осколков //
Тр. МИАН СССР. – 1988. – Т. 179. – С. 126–164.
[60] Победря Б. Е. Численные методы в теории упругости и пластичности / Б. Е. Победря. – М. : Изд-во МГУ, 1995. – 366 с.
139
[61] Прилепко А. И. Метод полугрупп решения обратных, нелокальных и неклассических задач. Прогноз-управление и прогнознаблюдение эволюционных уравнений. I / А. И. Прилепко // Дифференц. уравнения. –– 2005. –– Т. 41, № 11. –– С. 1560–1571.
[62] Русак Ю. Б. Некоторые соотношения между жордановыми наборами оператор-функции и сопряженной к ней / Ю. Б. Русак //
Изв. АН УзССР. Сер. физ.-мат. – 1972. – № 2. – С. 15–19.
[63] Свешников А. Г. Нелинейный функциональный анализ и его приложения к уравнениям в частных производных / А. Г. Свешников,
А. Б. Альшин, М. О. Корпусов. – М. : Науч. мир, 2008. – 400 с.
[64] Свиридюк Г. А. К общей теории полугрупп операторов / Г. А. Свиридюк // Успехи мат. наук. – 1994. – Т. 49, № 4. – С. 47–74.
[65] Сидоров Д. Н. О разрешимости систем интегральных уравнений Вольтерра первого рода с кусочно-непрерывными ядрами /
Д. Н. Сидоров // Изв. вузов. Математика. – 2013. – № 1. – С. 62–
72.
[66] Сидоров Н. А. Об обобщенных решениях интегральных уравнений в задаче идентификации нелинейных динамических моделей /
Н. А. Сидоров, Д. Н. Сидоров // Автоматика и телемеханика. –
2009. – № 4. – С. 41–47.
[67] Сидоров Н. А. Теория индекса в задаче ветвления решений системы Власова – Максвелла / Н. А. Сидоров, А. В. Синицын // Мат.
моделирование. – 1999. – Т. 11, № 9. – С. 83–100.
[68] Сидоров Н. А. Исследование точек бифуркации и нетривиальных
ветвей решений стационарной системы Власова – Максвелла /
Н. А. Сидоров, А. В. Синицын // Мат. заметки. – 1997. – Т. 62,
№ 2. – С. 268–292.
[69] Сидоров Н. А. О ветвлении решений системы Власова – Максвелла / Н. А. Сидоров, А. В. Синицын // Сиб. мат. журн. – 1996. –
Т. 37, № 6. – С. 1368–1379.
[70] Сидоров Н. А. О нетривиальных решениях и точках бифуркации
системы Власова – Максвелла / Н. А. Сидоров, А. В. Синицын //
Докл. РАН. – 1996. – Т. 349, № 1. – С. 26–28.
[71] Сидоров Н. А. Об одном семействе решений системы Власова –
Максвелла и их устойчивости / Н. А. Сидоров, Г. А. Рудых,
А. В. Синицын // Мат. моделирование. – 1991. – Т. 4, № 1. – С. 88–
101.
140
[72] Сидоров Н. А. О некоторых нестандартных решениях двухчастичной системы Власова – Максвелла / Н. А. Сидоров, Г. А. Рудых,
А. В. Синицын // Докл. АН СССР. – 1989. – Т. 307, № 6. – С. 1354–
1357.
[73] Сидоров Н. А. О разветвляющихся стационарных решениях двухчастичной системы Власова – Максвелла / Н. А. Сидоров, Г. А. Рудых, А. В. Синицын // Докл. АН СССР. – 1989. – Т. 304, № 5. –
С. 1109–1112.
[74] Сидоров Н. А. О стационарных решениях системы Власова –
Максвелла / Н. А. Сидоров, Г. А. Рудых, А. В. Синицын // Докл.
АН СССР. – 1988. – Т. 303, № 3. – С. 594–597.
[75] Сидоров Н. А. Обобщенные решения вырожденных дифференциальных и интегральных уравнений в банаховых пространствах /
Н. А. Сидоров, М. В. Фалалеев // Метод функций Ляпунова в
анализе динамики систем. – Новосибирск : Наука, 1988. – С. 308–
318.
[76] Сидоров Н. А. Обобщенные решения дифференциального уравнения с фредгольмовым оператором при производной / Н. А. Сидоров, М. В. Фалалеев // Дифференц. уравнения. – 1987. – Т. 23,
№ 4. – С. 726–728.
[77] Сидоров Н. А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений с вырождением / Н. А. Сидоров, О. А. Романова // Дифференц. уравнения. –
1983. – Т. 19, № 9. – С. 1516–1626.
[78] Сидоров Н. А. Об одном классе уравнений Вольтерра с вырождением в банаховых пространствах / Н. А. Сидоров // Сиб. мат.
журн. – 1983. – Т. 21, № 2. – С. 202–203.
[79] Сидоров Н. А. Решение задачи Коши для одного класса интегродифференциальных уравнений с аналитическими нелинейностями / Н. А. Сидоров // Дифференц. уравнения. – 1968. – Т. 4,
№ 7. – С. 1309–1316.
[80] Стахеева О. А. Локальная разрешимость одного класса линейных
уравнений с памятью / О. А. Стахеева // Вестн. ЧелГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. – 2009. – Вып. 11, № 20. –
С. 70–76.
[81] Стахеева О. А. Разрешимость вырожденных линейных эволюционных уравнений с памятью / О. А. Стахеева // Тез. докл. IV
141
Междунар. конф. «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического
образования», посвящ. 90-летию со дня рождения чл.-корр. РАН,
акад. Европ. акад. наук Л. Д. Кудрявцева. – M: Изд-во РУДН,
2013. – С. 247–248.
[82] Треногин В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногин. – М. :
Физматлит. – 2007. – 488 с.
[83] Трубин В. Г. Решение одного вырождающегося интегродифференциального уравнения / В. Г. Трубин // Дифференц. и интегр.
уравнения / Иркут. гос. ун-т им. А. А. Жданова. – 1978. – Вып. 5. –
С. 94–101.
[84] Ушаков Е. И. Статическая устойчивость электрических систем /
Е. И. Ушаков. – Новосибирск : Наука, 1988. – 273 с.
[85] Фалалеев М. В. Обобщенные решения вырожденных интегро-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах и их приложения / М. В. Фалалеев, С. С. Орлов // Тр. Ин-та математики
и механики УрО РАН. – 2012. – Т. 18, № 4. –– С. 286–297.
[86] Фалалеев М. В. Вырожденные интегро-дифференциальные операторы высоких порядков в банаховых пространствах и их приложения / М. В. Фалалеев, С. С. Орлов // Изв. вузов. Математика. –
2011. – № 11. – С. 68–79.
[87] Фалалеев М. В. Интегро-дифференциальные уравнения с вырождением в банаховых пространствах и их приложения в математической теории упругости / М. В. Фалалеев, С. С. Орлов // Изв.
Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. – 2011. – Т. 4, № 1. – С. 118–
134.
[88] Фалалеев М. В. Вырожденные интегро-дифференциальные уравнения специального вида в банаховых пространствах и их приложения / М. В. Фалалеев, С. С. Орлов // Вестн. ЮУрГУ. Мат. моделирование и программирование. – 2011. – Вып. 7, № 4. – С. 100–
110.
[89] Фалалеев М. В. Вырожденные дифференциальные уравнения высоких порядков специального вида в банаховых пространствах и
их приложения / М. В. Фалалеев, А. В. Красник, С. С. Орлов //
Сиб. журн. индустр. математики. – 2010. – Т. 13, № 3. – С. 126–139.
[90] Фалалеев М. В. Задача Коши – Дирихле для уравнения колебаний термоупругой плластины / М. В. Фалалеев, С. С. Орлов //
142
Современ. технологии. Системн. анализ. Моделирование. – 2010. –
Т. 26, № 2. – С. 138–143.
[91] Фалалеев М. В. Начально-краевые задачи для интегро-дифференциальных уравнений вязкоупругости / М. В. Фалалеев, С. С. Орлов // Обозрение прикладн. и пром. математики. – 2010. – Т. 17,
Вып. 4. – С. 597–600.
[92] Фалалеев М. В. Обобщенные функции и действия над ними: учеб.метод. пособие / М. В. Фалалеев. – Иркутск : Изд-во ИГУ, 2011. –
108 с.
[93] Фалалеев М. В. Абстрактная задача прогноз-управление с вырождением в банаховых пространствах / М. В. Фалалеев // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. – 2010. – Т. 3, № 1. – С. 126–132.
[94] Фалалеев М. В. Теория фундаментальных оператор-функций вырожденных интегро-дифференциальных операторов в банаховых
пространствах : дисс. ... док-ра физ.-мат. наук : 01.01.02 / М. В. Фалалеев. – ИГУ. – Иркутск, 2008. – 238 с.
[95] Фалалеев М. В. Фундаментальная оператор-функция вырожденного уравнения теплопроводности в банаховых пространствах /
М. В. Фалалеев // Докл. РАН. – 2007. – Т. 416, № 6. – С. 745–749.
[96] Фалалеев М. В. О приложениях теории фундаментальных
оператор-функций вырожденных интегро-дифференциальных
операторов в банаховых пространствах / М. В. Фалалеев //
Неклассические уравнения математической физики. – Новосибирск: Изд-во Ин-та математики им. С. Л. Соболева, 2007. –
С. 283–297.
[97] Фалалеев М. В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в условиях секториальности
и радиальности / М. В. Фалалеев // Изв. вузов. Математика. –
2006. – № 10. – С. 68–75.
[98] Фалалеев М. В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в условиях спектральной
ограниченности / М. В. Фалалеев, Е. Ю. Гражданцева // Дифференц. уравнения. – 2006. – Т. 42, № 6. – С. 769–774.
[99] Фалалеев М. В. Фундаментальные оператор-функции вырожденных дифференциальных и дифференциально-разностных операторов с нетеровым оператором в главной части в банаховых пространствах / М. В. Фалалеев, Е. Ю. Гражданцева // Сиб. мат.
журн. – 2005. – Т. 46, № 6. – С. 1393–1406.
143
[100] Фалалеев М. В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в банаховых пространствах /
М. В. Фалалеев // Сиб. мат. журн. – 2000. – Т. 41, № 5. – С. 1167–
1182.
[101] Фалалеев М. В. Задача Коши для вырожденных интегро-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах / М. В. Фалалеев // Вестн. ЧелГУ. Сер. 3, Математика. Механика. Информатика. – 1999. – № 2. – C. 126–136.
[102] Федоров В. Е. О локальной разрешимости линейных эволюционных уравнений с памятью / В. Е. Федоров, О. А. Стахеева // Вестн. ЮУрГУ. Мат. моделирование и программирование. –
2008. – Вып. 2, № 27. – С. 104–109.
[103] Чистяков В. Ф. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем / В. Ф. Чистяков, А. А. Щеглова. – Новосибирск :
Наука, 2003. – 320 с.
[104] Чистякова Е. В. О свойствах разностных схем для вырожденных
интегро-дифференциальных систем индекса 1 / Е. В. Чистякова //
Журн. вычисл. математики и матем. физики. – 2009. – Т. 49, № 9. –
С. 1579–1588.
[105] Шароглазов В. С. К решению задачи Коши для линейных систем
интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра с вырожденной матрицей при производной / В. С. Шароглазов // Дифференц. и интегр. уравнения / Иркут. гос. ун-т им. А. А. Жданова. –
1980. – Вып. 7. – С. 98–106.
[106] Шишкин Г. А. Решение линейных интегро-дифференциальных
уравнений с переменными коэффициентами : дисс. ... канд. физ.мат. наук: 01.01.02 / Г. А. Шишкин. – Иркут. гос. ун-т им.
А. А. Жданова. – Иркутск, 1972. – 134 с.
[107] Шкиль Н. И. Асимптотические методы в дифференциальных и
интегро-дифференциальных уравнениях / Н. И. Шкиль, А. Н. Вороной, В. Н. Лейфура. – Киев : Вища школа, 1985. – 248 с.
[108] Янушаускас А. И. Граничные задачи для эллиптических уравнений в частных производных и интегро-дифференциальные уравнения / А. И. Янушкаускас. – Иркутск : Изд-во Иркут. гос. ун-та,
1997. – 168 с.
[109] Arendt W. Integrated Solutions of Volterra Integrodifferential
Equations and Applications / W. Arendt, H. Kellermann // Pitman
144
Research Notes in Mathematics Series. – Vol. 190. – Harlow: Longman
Scientific & Technical, 1989. – P. 21–51.
[110] Balachandran K. Controllability of Sobolev-Type Semilinear
Integrodifferential Systems in Banach Spaces / K. Balachandran
R. Sakthivel // Appl. Math. Lett. – 1999. – Vol. 12. – P. 63—71.
[111] Balachandran K. Nonlinear Integrodifferential Equation of Sobolev
Type with Nonlocal conditions in Banach Spaces / K. Balachandran,
D. G. Park, Y. C. Kwun // Comm. Korean Math. Soc. – 1999. –
Vol. 14, N 1. – P. 223–231.
[112] Barbu V. Semilinear Integro-Differential Equations in Hilbert Space /
V. Barbu, M. A. Malik // J. Math. Anal Appl. – 1979. – Vol. 67. –
P. 452–475.
[113] Bloom F. Ill-Posed Problems for Integrodifferential Equations in
Mechanics and Electromagnetic Theory / F. Bloom. – Philadelphia :
Society for Industrial and Applied Mathematics, 1981. – 222 p.
[114] Bu S. Q. Solutions of Second Order Degenerate Integro-Differential
Equations in Vector-Valued Function Spaces / S. Q. Bu, G. Cai //
Sci. China Math. – 2013. – Vol. 56, N 5. – P. 1059–1072.
[115] Cavalcanti M. M. Existence and Uniform Decay for a Non-Linear
Viscoelastic Equation with Strong Damping / M. M. Cavalcanti,
V. N. Domingos Cavalcanti, J. Ferreira // Math. Meth. Appl. Sci. –
2001. – Vol. 24. – P. 1043–1053.
[116] Chen G. Semigroups and Integral Equations / G. Chen,
R. C. Grimmer // J. Integral Equations. – 1980. – Vol. 2. – P. 133–154.
[117] Crandall M. G. An Abstract Nonlinear Volterra lntegrodifferential
Equation / M. G. Crandall, S.-O. Londen, J. A. Nohel // J. Math.
Anal Appl. – 1978. – Vol. 64. – P. 701–735.
[118] Da Prato G. Linear Integro-Differential Equations in Banach Spaces /
G. Da Prato, M. Iannelli // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. – 1980. –
Vol. 62. – P. 207—219.
[119] Da Prato G. Linear Abstract Integro-Differential Equations of
Hyperbolic Type in Hilbert Spaces / G. Da Prato, M. Iannelli //
Rend. Sem. Mat. Padova. – 1980. – Vol. 62. – P. 191–206.
[120] Dolezal V. Dynamics of Linear Systems / V. Dolezal. – Prague :
Асadem. Publ., 1964. – 224 p.
145
[121] Falaleev M. V. Asymptotic Expansions of Continuous Solutions
of System of Volterra Integral Equations of the First Kind /
M. V. Falaleev // Сomputerized Tomography: Proceedings of the
Fourth International Symposium, Novosibirsk, Russia, August 10–14,
1993. – Utrecht : VSP, 1995. – P. 155–157.
[122] Fattorini H. O. Second Order Linear Differential Equations in Banach
Spaces / H. O. Fattorini. – Amsterdam : Elsevier Science Ltd, 1985. –
328 p.
[123] Favini A. Degenerate Differential Equations in Banach Spaces /
A. Favini, A. Yagi. – N. Y. ; Basel ; Hong Kong : Marcel Dekker
Inc., 1999. – 313 p.
[124] Favini A. Singular Integro-Differential Equations of Parabolic Type /
A. Favini, A. Lorenzi, H. Tanabe // Adv. Diff. Eqs. – 2002. – Vol. 7. –
P. 769–798.
[125] Favini A. Identification Problem for Singular Integro-Differential
Equatons of Parabolic Type I / A. Favini, A. Lorenzi // Dynamics of
Continuous, Discrete and Impulsive Systems. Series A: Mathematical
Analysis. – 2005. – Vol. 12. – P. 303–328.
[126] Gao H. Class of Nonlinear Degenerate Integrodifferential Control
Systems / H. Gao, P. Lei, B. Zhang // J. Control Optim. – 2004 –
Vol. 43. – P. 986–1010.
[127] Grasselli M. An Inverse Hyperbolic Integrodifferential Problem Arising
in Geophysics. I / M. Grasselli, S. I. Kabanikhin, A. Lorenzi //
Siberian Math. J. – 1992. – Vol. 33, N 3. – P. 415–426.
[128] Grimmer R. C. Resolvent Operators for Integral Equations in Banach
Spaces / R. C. Grimmer // Trans. Amer. Math. Soc. – 1982. –
Vol. 273. – P. 333–349.
[129] Guidetti D. Volterra Integrodifferential Equations of Parabolic Type
of Higher Order in Time in Lp -Spaces / D. Guidetti // Rend. Sem.
Mat. Univ. Padova. – 2000. – Vol. 103. – P. 65–111.
[130] Gurtin M. E. A General Theory of Heat Conduction with Finite Wave
Speeds / M. E. Gurtin, A. C. Pipkin // Arch. Rational Mech. Anal. –
1968. – Vol. 31. – P. 113–126.
[131] Hannsgen K. B. The Resolvent Kernel of an Integrodifferential
Equation in Hilbert Space / K. B. Hannsgen // SIAM J. Math. Anal. –
1976. – Vol. 7. – P. 481–490.
146
[132] Ianniello M. G. Boltzmann’s "Nachwirkung" and Heredetary
Mechanics / M. G. Ianiello, G. Israel // Proceedings of the
International Symposium on Ludwig Boltzmann. – Vienna : Verlag
der Osterreichischen Akademie der Wissenschaften, 1993. – P. 113–
133.
[133] Janno J. Global Existence for a Hyperbolic Integrodifferential Inverse
Problem / J. Janno // Forum. Math. – 1996. – Vol. 8. – P. 303–317.
[134] Kabanihin S. I. Identification Problems of Wave Phenomena: Theory
and Numerics / S. I. Kabanihin, A. Lorenzi. – Utrecht : VSP, 1999. –
342 p.
[135] Kozhanov A. I. Composite Type Equations and Inverse Problems /
A. I. Kozhanov. – Utrecht ; Boston ; Koln ; Tokyo : VSP, 1999. –
171 p.
[136] Lizama C. Maximal Regularity for Degenerate Differential Equations
with Infinite Delay in Periodic Vector-Valued Function Spaces /
C. Lizama, R. Ponce // Proc. of the Edinburgh Math. Soc. – 2013. –
Vol. 56, N 3. – P. 853–871.
[137] Lord M. E. Existence and Uniqueness of Sobolev Type
Integrodifferential Equations / M. E. Lord // Appl. Math. Comp. –
1978. – Vol. 4. – P. 253–263.
[138] Lorenzi A. Fredholm-Type Results for Integro-Differential
Identification Parabolic Problems / A. Lorenzi, A. I. Prilepko // Dif.
Int. Eqs. – 1993. – Vol. 6. – P. 535–552.
[139] Lorenzi A. Global Existence Results for First-Ofder Integrodifferential
Identification Problem / A. Lorenzi, A. I. Prilepko // Rend. Sem. Mat.
Univ. Padova. – 1996. – Vol. 96. – P. 51–84.
[140] Lyapunov – Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and
Applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsyn and M. Falaleev. –
Dordrecht : Kluwer Acad. Publ., 2002. – 548 p.
[141] Miller R. K. Well-Posedness and Stability of Linear Volterra
Integrodifferential Equations in Abstract Spaces / R. K. Miller,
R. L. Wheeler // Funkcial. Ekvac. – 1978. – Vol. 21. – P. 279–305.
[142] Munoz Rivera J. E. Decay rates of solutions to thermoviscoelastic
plates with memory / J. E. Munoz Rivera, R. K. Barreto // IMA J.
Appl. Math. – 1998. – Vol. 60. – P. 263–283.
147
[143] Munoz Rivera J. E. Regularizing Properties and Propagations
of Singularities for Thermoelastic Plates / J. E. Munoz Rivera,
L. H. Fatori // Math. Meth. Appl. Sci. – 1998. – Vol. 21. – P. 797–821.
[144] Nashed M. Z. Generalized Inverses and Applications / M. Z. Nashed. –
New York ; San Francisco ; London : Academic Press, 1976. – 1055 p.
[145] Oka H. Second Order Linear Volterra Equations Governed by a Sine
Family / H. Oka // J. Int. Eqs Appl. – 1996. – Vol. 8. – P. 447–456.
[146] Oka H. Second Order Linear Volterra Integrodifferential Equations /
H. Oka // Semigroup Forum. – 1996. – Vol. 53. – P. 25–43.
[147] On Exponential Stability for Von Karman Equations in the Presence
of Thermal Effects / E. Bisognin, V. Bisognin, G. Perla Menzala,
E. Zuazua // Math. Meth. Appl. Sci. – 1998. – Vol. 21. – P. 393–
416.
[148] Pandolfi L. The Controllability of the Gurtin–Pipkin Equations: a
Cosine Operator Approach / L. Pandolfi // Appl. Math. Optim. –
2005. – Vol. 52. – P. 143–165.
[149] Ponce R. Bounded Solutions to Evolution Equations in Banach
Spaces / R. Ponce // Ph. D. Mathematics. The University of Santiago,
Chile (USACH). – Santiago, 2011. – 87 p.
[150] Prilepko A. I. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical
Physics / A. I. Prilepko, D. G. Orlovsky, I. A. Vasin. – Bassel ; N. Y.:
Marcel Dekker Inc., 2000. – 709 p.
[151] Pyatkov S. G. Operator Theory. Nonclassical Problems /
S. G. Pyatkov. – Utrecht ; Boston ; Koln ; Tokyo : VSP, 2002. – 216 p.
[152] Racke R. Asymptotic Behavior of Solutions in Linear 2- or 3-d
Thermoelasticity with Second Sound / R. Racke // Quart. Appl.
Math. – 2003. – Vol. 61. – P. 409–441.
[153] Sathya R. Controllability of Sobolev-Type Neutral Stochastic Mixed
Integrodifferential Systems / R. Sathya, K. Balachandran // European
J. Math. Sci. – 2012. – Vol. 1, N 1. – p. 68–87.
[154] Sidorov N. A. Generalized Solutions of Volterra Integral Equations of
the First Kind / N. A. Sidorov, M. V. Falaleev, D. N. Sidorov // Bull.
Malaysian Math. Sci. Soc. – 2006. – Vol. 29, N 2. – P. 101–109.
[155] Steady-State Solutions of the Vlasov – Maxwell System and Their
Stability / Yu. Markov, G. Rudykh, N. Sidorov, A. Sinitsyn,
148
D. Tolstonogov // Acta. Appl. Math. – 1992. – Vol. 28, N 3. – P. 253–
293.
[156] Strutt J. W. (Baron Rayleigh) The Theory of Sound, Two volumes:
Vol. 1 / J. W. Strutt. – N. Y.: Co Dover Publications, 1945. – 480 p.
[157] Showalter R. E. The Sobolev Equations I / R. E. Showalter // Appl.
Anal. – 1975. – Vol. 5, N 1. – P. 15–22.
[158] Showalter R. E. The Sobolev Equations II / R. E. Showalter // Appl.
Anal. – 1975. – Vol. 5, N 2. – P. 81–99.
[159] Sviridyuk G. A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate
Semigroups of Operators / G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov. – Utrecht ;
Boston ; Koln ; Tokyo : VSP, 2003. – 216 p.
[160] Webb G. F. Abstract Volterra Integrodifferential Equations and a
Class of Reaction-Diffusion Equations / G. F. Webb // Lecture Notes
Math. – 1979. – Vol. 737. – P. 295–303.
149
Научное издание
Орлов Сергей Сергеевич
Обобщенные решения
интегро-дифференциальных
уравнений высоких порядков в
банаховых пространствах
ISBN 978-5-9624-1030-2
Печатается в авторской редакции
Компьютерный набор и верстка автора
Макет подготовлен в системе LaTeX
Дизайн обложки: П. О. Ершов
Темплан 2014 г. Поз. 36
Подписано к печати 02.09.2014. Формат 60×90 1/16
Уч.-изд. л. 9,4. Усл. печ. л. x,x. Тираж 100 экз. Заказ 137
ИЗДАТЕЛЬСТВО ИГУ
664003, Иркутск, бульвар Гагарина, 36