IV. Дифференциальные уравнения

Перечень вопросов, выносимых на государственные экзамены по фундаментальным
дисциплинам для студентов 4 курса
направления 010100.62 Математика
I.
Математический анализ
1. Понятие предела числовой последовательности. Свойства. Достаточное условие
существования предела последовательности. Число е.
2. Понятие предела функции (определение по Коши, по Гейне). Свойства. Первый
замечательный предел. Следствия.
3. Второй замечательный предел. Следствия.
4. Понятие непрерывности функции в точке x0  R1 и на множестве A  R1 .
Свойства. Примеры разрывных функций.
5. Свойства непрерывных функций на отрезке [a, b]. Первая и вторая теоремы
Больцано-Коши и их геометрический смысл.
6. Свойство равномерной непрерывности непрерывной функции на отрезке [a, b], на
компакте (Теорема Кантора).
7. Понятие производной функции и ее геометрический и физический смысл.
Свойства. Примеры.
8. Понятие первообразной функции. Свойства. Примеры. Основные методы
интегрирования.
9. Задачи вычисления площади криволинейной трапеции. Определенный интеграл
Римана. Свойства. Вопросы существования.
10. Задача вычисления площадей криволинейных полос, полуполос. Несобственные
интегралы Римана 1-го и 2-го родов. Вопросы сходимости.
11. Двойные, тройные интегралы. Свойства. Геометрические приложения.
12. Криволинейные интегралы 1-го и 2-го родов. Свойства. Формулы вычисления.
Приложения.
13. Числовые ряды. Необходимое условие сходимости. Признак сравнения.
Предельный признак сравнения. Достаточные условия сходимости.
14. Функциональные ряды. Понятие равномерной сходимости на множестве A  R1 .
Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов.
15. Степенные ряды Тейлора для основных элементарных функций.

16. Производная функции по направлению вектора n и ее геометрический смысл.
Градиент функции. Дивергенция, ротор векторного поля.
II.
Алгебра
17. Определители. Основные свойства. Формулы разложения определителя.
18. Обратные матрицы. Методы вычисления обратной матрицы.
19. Ранг матрицы и способы его вычисления.
20. Критерий положительной определенности вещественной квадратичной формы.
21. Линейные пространства. Линейная зависимость, независимость векторов.
Примеры. Размерность пространства.
22. Линейные преобразования конечномерных векторных пространств. Матрица
линейного преобразования.
23. Собственные векторы, собственные значения линейных преобразований.
24. Евклидовы пространства. Ортонормированный базис.
III.
Геометрия
25. Скалярное произведение векторов. Свойства. Геометрический и механический
смысл.
26. Векторное произведение векторов. Свойства. Геометрический и механический
смысл.
27. Смешанное произведение трех векторов. Свойства. Геометрический смысл.
28. Различные виды уравнения прямой на плоскости. Условие перпендикулярности,
параллельности прямых.
29. Уравнение прямой в пространстве. Условие параллельности прямых.
30. Уравнение плоскости в пространстве. Условия параллельности и
перпендикулярности плоскостей.
31. Окружность, эллипс. Простейшие уравнения. Эксцентриситет.
32. Гипербола. Асимптоты гиперболы. Эксцентриситет гиперболы.
IV.
Дифференциальные уравнения
33. Общие понятия в теории дифференциальных уравнений (частные, общие, особые
решения). Геометрическая интерпретация решения дифференциального
уравнения 1-го порядка. Задачи Коши.
34. Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для
дифференциальных уравнений первого и высших порядков.
35. Особые точки линейной однородной системы дифференциальных уравнений
второго порядка и их классификация.
V.
ТФКП
36. Различные формы представления комплексного числа. Операции над
комплексными числами и их геометрическая интерпретация.
37. Геометрический смысл аргумента и модуля производной.
38. Дробно-линейная функция и соответствующее ей отображение. Круговое
свойство.
39. Функция Жуковского и соответствующее ей отображение.
40. Показательная, логарифмическая функции и соответствующие им отображения.
41. Теорема Коши. Формула Коши.
42. Разложение аналитической функции в ряд Лорана.
43. Поведение аналитической функции в окрестности изолированной особой точки.
Теорема Сохоцкого.
44. Формула вычисления вычета относительно изолированной особой точки.
Применение теории вычетов при вычислении интегралов.
VI.
Функциональный анализ
45. Сравнение числа элементов множеств. Теорема Кантора-Бернштейна и ее
применение. Примеры.
46. Замыкание множества в метрическом пространстве. Свойства замыкания.
47. Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах, свойства.
48. Полные метрические пространства. Принцип вложенных шаров.
49. Принцип сжимающих отображений и его применения.
50. Мера Лебега. Свойства. Измеримость по Жордану. Примеры.
51. Измеримость функции. Сходимость почти всюду и равномерная сходимость
измеримых функций.
52. О двух способах вычисления площади криволинейной трапеции. Способ Лебега.
Интеграл Лебега от простой функции. Свойства.
53. Интеграл Лебега. Основные свойства. Теорема о сравнении интегралов Римана и
Лебега.
54. Предельный переход в интеграле Лебега. Теорема Леви.
55. Функции с ограниченным изменением. Геометрические применения. Свойства.
56. Абсолютно непрерывные функции, свойства.
57. Линейные операторы, функционалы и их непрерывность в нормированных
пространствах. Норма линейного непрерывного оператора.
58. Гильбертовы и банаховы пространства. Изоморфизм гильбертовых пространств.
59. Обратные линейные операторы. Вопросы непрерывности обратного оператора.
Теорема Банаха о гомеоморфизме.
60. Вполне непрерывные операторы, свойства. Теоремы о собственных векторах
вполне непрерывного оператора.
61. Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений и операторных уравнений
второго рода.
VII. Уравнения математической физики
62. Основные типы линейных дифференциальных уравнений второго порядка в
частных производных.
63. Задача Дирихле.
64. Задача Неймана.
65. Задача Коши.
66. Схема метода разделения переменных для решения уравнений в частных
производных.
VIII. Методы оптимизации
67. Методы одномерной оптимизации.
68. Градиентные методы безусловной минимизации.
69. Методы решения задач вариационного исчисления.
70. Задачи оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина.
IX.
Методы вычислений
71. Интерполяционные полиномы Ньютона и Лагранжа.
72. Основные приближенные формулы вычисления определенных интегралов.
73. Приближенные методы нахождения корней уравнения.
74. Метод Эйлера и его модификации для решения задачи Коши.
X.
Теория вероятностей
75. Простейшие приемы вычисления вероятности события. Формула полной
вероятности. Формула Байеса.
76. Повторные испытания. Формула Бернулли. Нормальное распределение.
77. Случайная
величина.
Функция
распределения,
свойства.
Плотность
распределения вероятностей и ее свойства.
78. Основные числовые характеристики случайных величин. Свойства.
79. Свойства характеристической функции распределения вероятностей.
80. Основные свойства цепей Маркова.