НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ МИФИ
Факультет экспериментальной и теоретической физики
Утверждено
Ученым советом факультета «ЭТФ»
протокол № ____ от ____________
ПРОГРАММА
ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ – СОБЕСЕДОВАНИЯ
ДЛЯ МАГИСТЕРСКОЙ ПРОГРАММЫ
«МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ»
НАПРАВЛЕНИЕ ПОДГОТОВКИ
010400 (01.04.02) «ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА»
МОСКВА, 2014г.
1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Вступительный экзамен по магистерской программе «Методы математической
физики и математическое моделирование» включает в себя пять блоков дисциплин:
Теоретические дисциплины:

обыкновенные дифференциальные уравнения;

теория функций комплексного переменного,

дополнительные главы математического анализа.
Дисциплины специализации:

теория разностных схем,

уравнения математической физики.
Вступительное собеседование по программе «Методы математической физики и
математическое моделирование» осуществляется в письменной форме в виде вопросов
(тестов и задач) по перечисленным темам дисциплин.
Билет для собеседования включает в себя 50% вопросов по теоретическим
дисциплинам и 50% по остальным разделам.
Оценка выставляется по 100-балльной системе. Неудовлетворительной оценкой
является оценка от 1 до 20 баллов.
2. СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ ВСТУПИТЕЛЬНОГО СОБЕСЕДОВАНИЯ
I. Обыкновенные дифференциальные уравнения
1. Нормальная система дифференциальных уравнений. Задача Коши.
2. Нормальная система линейных дифференциальных уравнений. Метод вариации
постоянных. Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка.
3. Структура решения линейной однородной системы дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами. Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с
постоянными коэффициентами.
4. Теоремы существования и единственности. Понятие о непродолжаемых решениях.
5. Зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных условий.
6. Приближенные методы решения задачи Коши.
7. Поведение траекторий линейной однородной системы дифференциальных уравнений
второго порядка с постоянными действительными коэффициентами.
8. Понятие устойчивости решения нормальной системы дифференциальных уравнений.
Устойчивость тривиального решения линейной однородной системы дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами. Теоремы Ляпунова об устойчивости.
II. Уравнения математической физики
1. Основные
уравнения
математической
физики.
Классификация
линейных
дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка с двумя
независимыми переменными.
2. Постановка краевых задач и задачи Коши. Корректно и некорректно поставленные
задачи.
3. Решение краевых задач для уравнений гиперболического и параболического типов
методом Фурье.
4. Понятие обобщенных функций,  - функция и ее свойства.
5. Метод функций Грина решения краевых задач и задачи Коши для уравнений
параболического типа.
6. Принцип максимума и минимума для решений уравнений теплопроводности.
Корректность задачи Коши.
7. Гармонические функции и их основные свойства. Метод функций Грина решения
краевых задач для уравнений эллиптического типа. Единственность решения краевых задач.
8. Решение задачи Коши для волнового уравнения в одномерном, двумерном и
трехмерном случае. Непрерывная зависимость решения задачи Коши от начальных данных.
9. Потенциалы и их основные свойства. Применение потенциалов к решению краевых
задач.
10.Цилиндрические функции. Асимптотические представления цилиндрических функций.
Ортогональные многочлены. Сферические функции.
III. Функции комплексного переменного
1. Понятие аналитической функции. Условия Коши-Римана. Непрерывные ветви
обратных функций. Примеры римановых поверхностей.
2. Интегральная теорема Коши. Интеграл типа Коши. Бесконечная дифференцируемость
аналитической функции. Теорема Морера. Теорема Вейерштрасса о равномерно сходящихся
рядах аналитических функций.
3. Разложение функций в ряд Тейлора. Теорема единственности. Понятие аналитического
продолжения.
4. Разложение функции, аналитической в кольце, в ряд Лорана. Классификация
изолированных особых точек. Вычеты. Основная теорема о вычетах и ее приложения.
Принцип аргумента.
5. Преобразование Лапласа и его основные свойства.
6. Понятие конформного отображения. Дробно-линейная функция и другие элементарные
функции.
7. Теорема
Римана.
Принцип
соответствия
границ.
Принцип
симметрии.
(Без
доказательства).
IV. Дополнительные главы математического анализа
1. Понятие метрического пространства. Полное метрическое пространство. Понятие
компакта. Свойства непрерывных функций на компакте.
2. Линейное нормированное пространство. Гильбертово пространство. Понятие ряда
Фурье вектора по ортонормированной системе векторов в гильбертовом пространстве.
Полные ортонормированные системы векторов.
3. Понятие ограниченного линейного функционала на линейном нормированном
пространстве.
4. Понятие
линейного оператора
(ограниченного,
неограниченного)
в
линейном
нормированном пространстве. Норма ограниченного линейного оператора.
5. Понятие сопряженного оператора в конечномерном евклидовом пространстве.
Существование ортонормированного базиса из собственных векторов у самосопряженного
оператора.
6. Простейшая вариационная задача. Экстремум функционала. Вариация функционала.
Необходимое условие экстремума. Уравнение Эйлера.
V. Теория разностных схем
1. Основные понятия теории разностных схем.
2. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных
уравнений.
3. Численные методы решения краевой задачи для обыкновенных дифференциальных
уравнений.
4. Численные методы решения смешанной краевой задачи для уравнений в частных
производных на примере волнового уравнения и уравнения теплопроводности.
5. Примеры исследования устойчивости разностных схем с помощью признака Неймана.
ПРИМЕРЫ БИЛЕТОВ
для проведения собеседования.
Билет 1.
1. Представимость решения линейной однородной системы дифференциальных уравнений в
виде линейной комбинации решений фундаментальной системы решений.
2. Решение задачи Коши для волнового уравнения в одномерном случае. Непрерывная
зависимость решения задачи Коши от начальных данных.
3.
Составить
разностную
схему
для
соответствующую шаблону
уравнения
теплопроводности
2
u
2  u
a 2
t
 x
, и исследовать ее устойчивость с помощью
спектрального признака Неймана.
Билет 2.
1. Решение линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений методом
вариации постоянных.
2. Вариация функционала в линейном нормированном пространстве. Необходимое условие
экстремума функционала.
3.
Составить
разностную
схему
соответствующую шаблону
для
уравнения
переноса
u
u
a
 0  a  0
t
x
, и исследовать ее устойчивость с помощью
спектрального признака Неймана.
ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ВСТУПИТЕЛЬНОМУ СОБЕСЕДОВАНИЮ
1
2
3
Н.Н. Калиткин, Е.А. Альшина. Численные методы: Книга 1. Численный анализ – М:
«Академия», 2013, 304 с.
Н.Н. Калиткин, П.В. Корякин. Численные методы: Книга 2. Методы математической
физики – М: «Академия», 2013, 304 с.
А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. Уравнения математической физики – М: МГУ, Наука
4
5
6
7
8
9
10
– 2004, 798 с.
А.П. Карташев, Б.Л. Рождественский. Обыкновенные дифференциальные уравнения
и основы вариационного исчисления – М.: Наука,1980.
А.П. Карташев, Б.Л. Рождественский. Математический анализ – М.: Наука, 2007.
М.А. Лаврентьев, Б.Т. Шабат. Методы теории функций комплексного переменного –
М.: Лань, 2002.
В.Ф. Формалев, Д.Л. Ревизников. Численные методы. М: Физматлит, 2004, 400с.
И.Б. Петров, А.И. Лябанов. Лекции по вычислительной математики – М.: Бином,
2009, 532 с.
Л.С. Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения – М.: Наука, 1974.
В.Я. Арсенин. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука,
1974, 1984.
Руководитель программы
«Методы математической физики и
математическое моделирование»,
по направлению 010400 (01.04.02)
«Прикладная математика и информатика»,
профессор
Н.А. Кудряшов