Теорема 1 (Безу) Остаток от деления многочлена F(x) на

Ðåøåíèå óðàâíåíèé âûñîêèõ ñòåïåíåé
Ñîñòàâèòåëü: Ïåòðèí Àíäðåé
 ðàìêàõ êóðñà "Ëèíåéíàÿ Àëãåáðà"ñòóäåíòû ÷àñòî ñòàëêèâàþòñÿ ñ ðåøåíèåì óðàâíåíèé âûñîêèõ
ñòåïåíåé. Ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî ñõåì ðåøåíèÿ òàêèõ óðàâíåíèé, íî â äàííîì ëèñòêå áóäåò ïîêàçàíà, íà
íàø âçãëÿä, ñàìàÿ ýôôåêòèâíàÿ è ïðîñòàÿ. Ñõåìà Ãîðíåðà, îñíîâàííàÿ íà òåîðåìå Áåçó, ïîçâîëÿåò çà
ñ÷èòàííûå ñåêóíäû ðåøèòü ñëîæíîå óðàâíåíèå áåç ìó÷èòåëüíûõ ïîäñòàíîâîê è äåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíîâ
"â ñòîëáèê".
Âàæíî íå çàáûâàòü, ÷òî ïðèâåäåííûé ìåòîä äàëåêî íå åäèíñòâåííûé ñïîñîá ïîèñêà êîðíåé âûðàæåíèÿ. Íèæå ìîæíî ïðèâåñòè íåñêîëüêî äðóãèõ ñïîñîáîâ, êîòîðûå â ðàçíûõ ñëó÷àÿõ áûâàþò áîëåå
èëè ìåíåå ïîëåçíûìè
• Ãðóïïèðîâêà (âûíåñåíèå îáùåãî ìíîæèòåëÿ, ôîðìóëû ñîêðàùåííîãî óìíîæåíèÿ, âûäåëåíèå ïîëíîãî êâàäðàòà).
• Ìåòîä íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ.
• Âîçâðàòíûå è ñèììåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ.
• Îäíîðîäíûå óðàâíåíèÿ.
• Íàõîæäåíèå î÷åâèäíîãî êîðíÿ èëè äåëåíèå "óãîëêîì".
 ýòîì ëèñòêå ìû ñêîíöåíòðèðóåìñÿ íà ñîâåðùåíñòâîâàíèè ïîñëåäíåãî ìåòîäà. Íà÷íåì ñ íåáîëüøîé
òåîðèòè÷åñêîé ÷àñòè.
Òåîðåìà 1 (Áåçó)
Îñòàòîê îò äåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíà
ìíîãî÷ëåíà â òî÷êå , ò. å. ÷èñëó
F (x)
íà ëèíåéíûé äâó÷ëåí
x−a
ðàâåí çíà÷åíèþ
F (a).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàçäåëèì ìíîãî÷ëåí F (x) íà (x − a) ñ îñòàòêîì. Ïóñòü îñòàòîê ðàâåí r, òîãäà
äåëåíèå ìíîãî÷ëåí ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí êàê F (x) = (x − a)Q(x) + r, ãäå Q(x) ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè
íèæå, ÷åì F (x). Òåïåðü ïîäñòàâèì x = a: F (a) = (a − a)G(x) + r = r, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Ñëåäñòâèå. Äëÿ òîãî ÷òîáû ìíîãî÷ëåí F (x) äåëèëñÿ íà äâó÷ëåí x˘a, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî,
÷òîáû F (a) = 0, ò. å. ÷òîáû à áûëî êîðíåì ìíîãî÷ëåíà x.
Î÷åíü ÷àñòî ìû îïåðèðóåì ñ ìíîãî÷ëåíàìè, ó êîòîðûõ âñå êîýôôèöèåíòû öåëûå. Òîãäà äåéñòâóå
òåîðåìà 2:
Òåîðåìà 2 (á/ä)
Åñëè âñå êîýôôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíà - öåëûå ÷èñëà, òî êàæäûé åãî ðàöèîíàëüíûé
êîðåíü p/q èìååò ÷èñëèòåëåì p äåëèòåëü ñâîáîäíîãî ÷ëåíà
a0 , à çíàìåíàòåëåì q
- äåëèòåëü ñòàðøåãî
êîýôôèöèåíòà.
Òåïåðü ìû ìîæåì ïåðåéòè íåïîñðåäñòâåííî ê ñõåìå Ãîðíåðà.
Ñõåìà Ãîðíåðà ýòî àëãîðèòì äåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíîâ, çàïèñàííûé äëÿ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ, êîãäà
÷àñòíîå ðàâíî äâó÷ëåíó x˘a.
Ïóñòü P (x) = ax xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 äåëèìîå, Q(x) = bn−1 bn−1 + bn−2 bn−2 + · · · + b0 ÷àñòíîå
(î÷åâèäíî, ÷òî åãî ñòåïåíü ìåíüøå íà îäèí), r îñòàòîê, êîíñòàíòà. Ïî îïðåäåëåíèþ äåëåíèÿ ñ îñòàòêîì
P (x) = Q(x)(x − a) + r, ïîäñòàâëÿÿ â ýòî âûðàæåíèå ïîëó÷èì:
ax xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 = (bn−1 bn−1 + bn−2 bn−2 + · · · + b0 )(x − a) + r
Ðàñêðûâàåì ñêîáêè è ïðèðàâíÿåì êîýôôèöèåíòû ïðè ðàâíûõ ñòåïåíÿõ.
Êîýôôèöèåíòû ïðè
îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ
an = bn−1
an−1 = bn−2 − abn−1
...
ai = bi−1 − abi
...
a0 = r − ab0
Âûðàæåíèå êîýôôèöèåíòîâ bi
÷åðåç êîýôôèöèåíòû ai
bn−1 = an
bn−2 = abn−1 + an−1
...
bi−1 = abi + ai
...
r = ab0 + a0
Äëÿ óäîáñòâà äàííóþ òàáëèöó ïðèíÿòî çàïèñûâàòü â ñòðî÷êå â ñëåäóþùåì âèäå:
1
Ðåøåíèå óðàâíåíèé âûñîêèõ ñòåïåíåé
a
an
bn−1 = an
...
...
Ñîñòàâèòåëü: Ïåòðèí Àíäðåé
...
bk
bk−1
ak
= abk + ak
...
...
a0
r = ab0 + a0
Åñëè íàì äàíû {a0 . . . an } è {b0 . . . bn } ÷èñëà, òî åñëè ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ÷èñëî à ÿâëÿåòñÿ
íàøèì êîðíåì, òî ìû çàïèñûâàåì åãî ñëåâà â òàáëèöó, çàòåì ñíîñèì ïåðâûé ýëåìåíò òàáëèöû, à äëÿ
êàæäîãî ýëåìåíòà äî êîíöà ìû óìíîæàåì ïðåäûäóùèé ýëåìåíò ñòðîêè íà a è ïðèáàâëÿåì ê ñòðîêå.
Åñëè â êîíöå (â îñòàòêå íà äåëåíèå íà à) ìû ïîëó÷èëè 0, òî òîãäà ÷èñëî ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ, à
ïîëó÷èâøèåñÿ ýëåìåíòû ñòðîêè êîýôôèöèåíòàìè ïåðåä ñîîòâåòñòâóþùèìè x, ñìåùåííûìè íà îäèí
âëåâî.
×òîáû ïîíÿòü ìåõàíèçì ðàáîòû ýòîé ïðîñòîé ñõåìû íåîáõîäèìî ïðèâåñòè ïðèìåð.
Ïðèìåð 1
Äîïóñòèì, íà êîíòðîëüíîé íåîáõîäèìî áûñòðî ðåøèòü óðàâíåíèå x3 − 2x2 − 5x + 6 = 0. Äëÿ ýòîãî,
Äåéñòâèå 1:, çàïèñûâàåì êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ â òàáëè÷êó.
1
-2
-5
6
Äåéñòâèå 2: íàõîäèì ïðåäïîëîæèòåëüíûå êîðíè. Îíè ðàâíû äåëèòåëÿì ñâîáîäíîãî ÷ëåíà, òî åñòü
±1, ±2, ±3, ±6.
Äåéñòâèå 3: ïðîâåðÿåì î÷åâèäíûå êîðíè, ê ïðèìåðó 1. Çàïèñûâàåì åãî â òàáëèöó.
Êîíå÷íî, ïðîâåðèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè ÷èñëî 1 êîðíåì óðàâíåíèÿ, ìîæíî ïðîñòîé ïîäñòàíîâêîé (â äàííîì
ñëó÷àå 1 − 2 − 6 + 6 = 0 äåéñòâèòåëüíî êîðíü), íî òðóäíîñòè íà÷èíàþòñÿ êîãäà ïðîâåðÿþòñÿ áîëüøèå
êîðíè è âîçâîäÿòñÿ â âûñîêèå ñòåïåíè. Ïîýòîìó âåðíåìñÿ ê àëãîðèòìó.
1
-2
-5
6
-5
6
1
Äåéñòâèå 4: ñíîñèì ëåâîå çíà÷åíèå òàáëèöû âíèç.
1
1
1
-2
Äåéñòâèå 5: çàïîëíÿåì òàáëèöó, óìíîæàÿ ïðåäûäóùèé ñòîëáåö íà ïðîâåðÿåìîå ÷èñëî è ïðèáàâëÿÿ
ñòîëáåö.
1
-2
1 • 1 − 2 = −1
...
1
1
1
1
1
-2
-1
-5
-6
-5
6
6
0
×òî îçíà÷àåò ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò?  ïîñëåäíåé ñòðî÷êå ïîëó÷èëñÿ 0. Îñòàòîê îò äåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíà íà x − 1 ðàâåí íóëþ, òî åñòü 1 ýòî êîðåíü íàøåãî óðàâíèÿ! Äåéñòâèòåëüíî, íåòðóäíî ïðîâåðèòü,
÷òî x3 − 2x2 − 5x + 6 = (x − 1)(x2 − x − 6)
Òåïåðü ïîñìîòðèì íà ïîëó÷èâíþñÿ ñòðîêó. Ìû ìîæåì, êîíå÷íî, ðåøèòü êâàäðàòíîå óðàâíåíèå ñàìè,
íî äëÿ íàãëÿäíîñòè äîâåäåì ðåøåíèå äî êîíöà. Ñòðîêà - ýòî íîâûå êîýôôèöèåíòû ïåðåä x, ïîýòîìó
ìû ìîæåì îïÿòü, íå âûõîäÿ èç òàáëèöû ðåøèòü ýòî óðàâíåíèå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íîâûé êîðåíü 3.
Çàïèøåì òàáëèöó.
1 -2 -5 6
1 1 −1 -6 0
3
Îïÿòü ñíîñèì ïåðâûé êîýôôèöèåíò è óìíîæàåì ïðåäûäóùèé ñòîëáåö íà 3 è ïðèáàâëÿåì âåðõíåå
çíà÷åíèå. Âàæíî íå çàïóòàòüñÿ, ÷òî òåïåðü íàñ íå èíòåðåñóåò ïåðâàÿ ñòðîêà, è âû÷èòàåì ìû òîëüêî
÷èñëà èõ íîâîé ñòðîêè! Äëÿ íàãëÿäíîñòè îò÷åðòèì äâóìÿ ïðÿìûìè.
2
Ðåøåíèå óðàâíåíèé âûñîêèõ ñòåïåíåé
Ñîñòàâèòåëü: Ïåòðèí Àíäðåé
1
3
1
1
1
-2
−1
2
-5
-6
0
6
0
Îïÿòü óñïåõ!  ïîñëåäíåì ñòîëáöå íîëü, çíà÷èò òðè - ýòî êîðåíü óðàâíåíèÿ! Ïîñëåäíèé êîðåíü
ðàâåí äâóì, è òàáëèöà çàêàí÷èâàåòñÿ.
1
3
2
1
1
1
1
-2
−1
2
0
-5
-6
0
6
0
Ìû ðåøèëè óðàâíåíèå x3 − 2x2 − 5x + 6 = 0. Åãî êîðíè 1, 2 è 3.
Ïðèìåð 2
Ðåøèì áîëåå ñëîæíîå óðàâíåíèå: 2x4 + x3 − 35x2 − 88x − 60 = 0. Òóò íàì ìîæåò íå ïîâåñòè, è êàêèå-òî
êîðíè ìû íå óãàäàåì. Äàâàéòå ïîïðîáóåì x = −1
-1
2
2
1
-1
-35
-34
-88
-54
-60
-6
Ïîñëåäíèé ñòîëáåö íå 0, ïîýòîìó −1 íå êîðåíü. Ïîïðîáóåì âûáðàòü äðóãîé, ê ïðèìåðó −2.
-1
-2
2
2
2
1
-1
-3
-35
-34
-29
-88
-54
-30
-60
-6
0
Óñïåõ, −2 ýòî êîðåíü. Ïðîäîëæàåì ðàáîòàòü ñ íîâîé òàáëèöåé. Ïîïðîáóåì 1.
-1
-2
1
2
2
2
2
1
-1
-3
-1
-35
-34
-29
-30
-88
-54
-30
-60
-60
-6
0
2
2
2
2
2
1
-1
-3
-1
7
-35
-34
-29
-30
6
-88
-54
-30
-60
0
-60
-6
0
2
2
2
2
2
2
1
-1
-3
-1
7
3
-35
-34
-29
-30
6
0
-88
-54
-30
-60
0
-60
-6
0
1 ýòî íå êîðåíü. Ïîïðîáóåì êîðåíü 5.
-1
-2
1
5
5 ýòî êîðåíü. Ïîïðîáóåì êîðåíü −2.
-1
-2
1
5
-2
Îòëè÷íî! È ïîñëåäíèé êîðåíü, êàê âèäíî, −3/2. Èòàê, ìû ðåøèëè óðàâíåíèå 2x4 +x3 −35x2 −88x−60 = 0
íàìíîãî ïðîùå, ÷åì åñëè áû ìû äåëèëè â ñòîëáèê.
Ïðèìåðû äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ
Ïðèìåðû ïðåäëàãàþòñÿ ðåøèòü ñàìîñòîÿòåëüíî ïðè ïîìîùè ñõåìû Ãîðíåðà. Ýòî ÍÅ äîïîëíèòåëüíûé
ëèñòî÷åê, áàëëû çà ýòî íå ïðèñóæäàþòñÿ.
Çàäà÷à 1 x3 + 2x2 − 40x + 64 = 0
Çàäà÷à 2 x4 − 6x3 + 7x2 + 18 = 0
3
Ðåøåíèå óðàâíåíèé âûñîêèõ ñòåïåíåé
Çàäà÷à
Çàäà÷à
Çàäà÷à
Çàäà÷à
3
4
5
6
Ñîñòàâèòåëü: Ïåòðèí Àíäðåé
x5 − 12x4 + 56x3 − 128x2 + 144x − 64 = 0
x5 + 3x4 − 11x3 − 51x2 − 62x − 24 = 0
3x3 + 10x2 + x − 6 = 0
48x4 − 248x3 + 27x2 + 63x + 10 = 0
4