05.13.18 на диссертацию Копытова Никиты Павловича специальиости Математическое моделирование, численные

реклама
Отзыв официальиого оппонента
на диссертацию Копытова Никиты Павловича
«Равномерное распределеllие точек lIа новерхиостях и его приме­
lIение в исследоваllИЯХ CTPYKTYPHO-lIеОДIIОРОДНЫХ сред», представленную
на соискание ученой степеllН KallдllдaTa физико-математических наук но
специальиости
05.13.18 -
Математическое моделирование, численные
методы и КОМП.lJексы программ.
Задача теоретического исследования и разработка численных методов
определения
равномерного распределения
на поверхностях
и
кривых в
ко­
нечномерном пространстве относитея к области стохастической геометрии,
"1.ежащеЙ на стыке геометрии и теории вероятностей. Математический аппа­
рат стохастической геометрии включает в себя дифференциальную и инте­
гральную
геометрию,
геометрические
вероятности,
математическую стати­
стику. Данное напраВ"1.ение актуально, используется в фундаментальных и
прикладных исследованиях. Количество публикаций, посвященных данному
направлению исследований, постоянно растет.
В стохастической геометрии щироко применяются статистические ме­
тоды ИСС"1.едования многоэлементных геометрических объектов путём
их
стохастического моделирования.
Можно вьщелить три основных направления в развитии стохастиче­
ской геометрии:
-
теоретическое
направление,
изучающее
геометрические
процессы,
инвариантность их относительно группы преобразований, действующих в
рассматриваемом пространстве;
-
статистическое
направление,
изучающее
критерии
сorласия
рас­
сматриваемой реализации с выбранной стохастической моделью, а также ме­
тоды статистического оценивания параметров модели;
1
- прикладное направление, занимающееся созданием статистической
математической модели, численных мгоритмов и программ для вычисления
параметров в задачах астрофизики, археологии, биологии и Т.д.
Основные результаты, полученные Копытовым Н.П., состоят в сле­
дующем:
1. Создан
метод определения равномерного распределения точек для
широкого класса гладких регулярных поверхностей в конечномер­
ном евклидовом нространстве, обобщающий известные ранее ре­
зультаты;
2. Разработан
метод статистического моделирования (метод Монте
Карло) равномерного раепреде_lения для гладких регулярных по­
верхностей
в
евклидовом
пространстве
конечной размерности,
разработан ЧИС_lенный мгоритм для его вычисления на основе
обобщенного метода Неймана, проведена про верка достоверности
получаемых
резуш,татов
с
помощью
критерия
квадрат» с анмитическими соответствующими
согласия
«хи­
результатами, со­
ставлены КОМlшексы про грамм. Приведены примеры вычисления
равномерного распределения точек на поверхностях в трёхмерном
евклидовом пространстве
-
геликоиде, торе, ленте Мёбиуса, бу­
тылке Клейна, представляющие собой нетривиальные топологиче­
ские объекты. В четырехмерном евклидовом пространстве полу­
чено статистическое моделирование равномерного распределения
точек на поверхности трехмерной единичной гиперсферы или рав­
номерного распреде.lения группы вращений трехмерного евклидо­
во пространства. Рассмотрена задача моделирования равномерного
распределения ТОчек на гладких кривых, задаваемых в параметри­
ческом виде, в конечномерном евклидовом пространстве.
3. Рассмотрены
ранее
нриложения разработанного автором обобщающего
известные
методы
статистического
моделирования
точек
равномерно распредеJ1еннЫХ на глмких регулярных поверхностях
2
или кривых в конечномерном евклидовом пространстве. Изложен­
ные автором приложения в биологии и текстурном анализе пред­
ставляют собой самостоятельный научный и практический инте­
рес. Разработана статистическая модель расположения армирую­
щих волокон в оболочечных конструкциях. Моделирование осу­
ществляется таким образом, что
центры
волокон подчиняются
равномерному распределению на поверхности оболочки, а оси
представляют собой векторы к оБО.l0чке плоскости, распределен­
ные равномерно. Оболочка
моделируется в виде параболоида
вращения. Создание таких конструкций
позволяет достичь ло­
кально трансверсально-изотропных механических свойств в мате­
риале. При распределении такого типа волокон на плоскости или
волокон с преимущественными ориентациями позволяет модели­
ровать текстуру при армировании композитов для создания мате­
риалов с требуемыми свойствами. Автором разработана новая ста­
тистическая моде.1Ь, получено её численное решение и проведен
сравнительный анализ результатов вычислений с ранее известным
аналитическим решением задачи из области биологии. Это задача
об оценивании непокрытой части вирусной частицы, имеюшей
форму шара, атакованной антителами. При моде.lировании ис­
пользуется равномерное распределение расположения антитела на
поверхности среды и равномерное распределение части сферы, ос­
тающейся
непокрытой
шарообразной
вирусной
частицей.
По­
строена статистическая модель и получено решение задачи об оп­
ределении текстурных параметров ортотропного поликристалли­
ческого материала кубической симметрии по известной фупкции
распределения ориентаций.
Таким образом, Копытовым нл. разработан общий эффективный ме­
тод для моделирования равномерного распределения для гладких регулярных
поверхностей в евклидовом пространстве конечной размерности. Получепы
з
новые статистические модели, ЧИС.lенные алгоритмы и комплексы про грамм
для решения ряда прикладных задач в биологии, текстурном анализе.
Текст диссертации написан понятны:vI языком, содержит БОЛЫllое ко­
личество
интересных рисунков, показывающих владение автором не только
дифференциальной геометрией, математической статистикой, численными
методами, но и программированием, компьютерной графикой.
Основные результаты опубликованы в
работах, из них
14
3
статьи в
научных периодических изданиях, рекомендованных ВАК дЛЯ пуб.1икации
результатов диссертационных исследований.
Автореферат соответствует диссертации.
Работа Копытова Н.П. является законченным научным исследовани­
ем, представ.1ЯЮЩИМ собой существенный вклад в развитие фундаменталь­
ных И прикладных задач.
Диссертация Копытова Никиты Павловича «Равномерное распределе­
ние точек на поверхностях и его применение в исследованиях структурно­
неоднородных сред» удовлетворяет требованиям
ВАК, предъяв.lяемым к
диссертациям, а её автор заслуживает присуждение ученой степени кандида­
та физико-математических наук по специа.1ЬНОСТИ
05.13.18
математическое
моделирование, численные методы и комплексы про грамм.
Официа.1ЬНЫЙ оппонент, профессор кафедры «Прикладная ма­
тематикю) факультета «Эксперимен­
тальная и теоретическая физика» ФГАОУ ВПО «национшIыlйй иссле­
довательский ядерный университет «МИФИ», г. Москва,
~, доктор физико-математических науТ' профессор
Савелова Татьяна Ивановна }\дрее: 115409.h10СК~Кauuирекое
ПОДПl<1СЬ
Заместитель нач:алы,.,.
I до'ументационного
I
o6€c~""
НIi1ЯУ МИФИ
4
Скачать