05.13.18 на диссертацию Копытова Никиты Павловича специальиости Математическое моделирование, численные
advertisement
Отзыв официальиого оппонента на диссертацию Копытова Никиты Павловича «Равномерное распределеllие точек lIа новерхиостях и его приме­ lIение в исследоваllИЯХ CTPYKTYPHO-lIеОДIIОРОДНЫХ сред», представленную на соискание ученой степеllН KallдllдaTa физико-математических наук но специальиости 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и КОМП.lJексы программ. Задача теоретического исследования и разработка численных методов определения равномерного распределения на поверхностях и кривых в ко­ нечномерном пространстве относитея к области стохастической геометрии, "1.ежащеЙ на стыке геометрии и теории вероятностей. Математический аппа­ рат стохастической геометрии включает в себя дифференциальную и инте­ гральную геометрию, геометрические вероятности, математическую стати­ стику. Данное напраВ"1.ение актуально, используется в фундаментальных и прикладных исследованиях. Количество публикаций, посвященных данному направлению исследований, постоянно растет. В стохастической геометрии щироко применяются статистические ме­ тоды ИСС"1.едования многоэлементных геометрических объектов путём их стохастического моделирования. Можно вьщелить три основных направления в развитии стохастиче­ ской геометрии: - теоретическое направление, изучающее геометрические процессы, инвариантность их относительно группы преобразований, действующих в рассматриваемом пространстве; - статистическое направление, изучающее критерии сorласия рас­ сматриваемой реализации с выбранной стохастической моделью, а также ме­ тоды статистического оценивания параметров модели; 1 - прикладное направление, занимающееся созданием статистической математической модели, численных мгоритмов и программ для вычисления параметров в задачах астрофизики, археологии, биологии и Т.д. Основные результаты, полученные Копытовым Н.П., состоят в сле­ дующем: 1. Создан метод определения равномерного распределения точек для широкого класса гладких регулярных поверхностей в конечномер­ ном евклидовом нространстве, обобщающий известные ранее ре­ зультаты; 2. Разработан метод статистического моделирования (метод Монте Карло) равномерного раепреде_lения для гладких регулярных по­ верхностей в евклидовом пространстве конечной размерности, разработан ЧИС_lенный мгоритм для его вычисления на основе обобщенного метода Неймана, проведена про верка достоверности получаемых резуш,татов с помощью критерия квадрат» с анмитическими соответствующими согласия «хи­ результатами, со­ ставлены КОМlшексы про грамм. Приведены примеры вычисления равномерного распределения точек на поверхностях в трёхмерном евклидовом пространстве - геликоиде, торе, ленте Мёбиуса, бу­ тылке Клейна, представляющие собой нетривиальные топологиче­ ские объекты. В четырехмерном евклидовом пространстве полу­ чено статистическое моделирование равномерного распределения точек на поверхности трехмерной единичной гиперсферы или рав­ номерного распреде.lения группы вращений трехмерного евклидо­ во пространства. Рассмотрена задача моделирования равномерного распределения ТОчек на гладких кривых, задаваемых в параметри­ ческом виде, в конечномерном евклидовом пространстве. 3. Рассмотрены ранее нриложения разработанного автором обобщающего известные методы статистического моделирования точек равномерно распредеJ1еннЫХ на глмких регулярных поверхностях 2 или кривых в конечномерном евклидовом пространстве. Изложен­ ные автором приложения в биологии и текстурном анализе пред­ ставляют собой самостоятельный научный и практический инте­ рес. Разработана статистическая модель расположения армирую­ щих волокон в оболочечных конструкциях. Моделирование осу­ ществляется таким образом, что центры волокон подчиняются равномерному распределению на поверхности оболочки, а оси представляют собой векторы к оБО.l0чке плоскости, распределен­ ные равномерно. Оболочка моделируется в виде параболоида вращения. Создание таких конструкций позволяет достичь ло­ кально трансверсально-изотропных механических свойств в мате­ риале. При распределении такого типа волокон на плоскости или волокон с преимущественными ориентациями позволяет модели­ ровать текстуру при армировании композитов для создания мате­ риалов с требуемыми свойствами. Автором разработана новая ста­ тистическая моде.1Ь, получено её численное решение и проведен сравнительный анализ результатов вычислений с ранее известным аналитическим решением задачи из области биологии. Это задача об оценивании непокрытой части вирусной частицы, имеюшей форму шара, атакованной антителами. При моде.lировании ис­ пользуется равномерное распределение расположения антитела на поверхности среды и равномерное распределение части сферы, ос­ тающейся непокрытой шарообразной вирусной частицей. По­ строена статистическая модель и получено решение задачи об оп­ ределении текстурных параметров ортотропного поликристалли­ ческого материала кубической симметрии по известной фупкции распределения ориентаций. Таким образом, Копытовым нл. разработан общий эффективный ме­ тод для моделирования равномерного распределения для гладких регулярных поверхностей в евклидовом пространстве конечной размерности. Получепы з новые статистические модели, ЧИС.lенные алгоритмы и комплексы про грамм для решения ряда прикладных задач в биологии, текстурном анализе. Текст диссертации написан понятны:vI языком, содержит БОЛЫllое ко­ личество интересных рисунков, показывающих владение автором не только дифференциальной геометрией, математической статистикой, численными методами, но и программированием, компьютерной графикой. Основные результаты опубликованы в работах, из них 14 3 статьи в научных периодических изданиях, рекомендованных ВАК дЛЯ пуб.1икации результатов диссертационных исследований. Автореферат соответствует диссертации. Работа Копытова Н.П. является законченным научным исследовани­ ем, представ.1ЯЮЩИМ собой существенный вклад в развитие фундаменталь­ ных И прикладных задач. Диссертация Копытова Никиты Павловича «Равномерное распределе­ ние точек на поверхностях и его применение в исследованиях структурно­ неоднородных сред» удовлетворяет требованиям ВАК, предъяв.lяемым к диссертациям, а её автор заслуживает присуждение ученой степени кандида­ та физико-математических наук по специа.1ЬНОСТИ 05.13.18 математическое моделирование, численные методы и комплексы про грамм. Официа.1ЬНЫЙ оппонент, профессор кафедры «Прикладная ма­ тематикю) факультета «Эксперимен­ тальная и теоретическая физика» ФГАОУ ВПО «национшIыlйй иссле­ довательский ядерный университет «МИФИ», г. Москва, ~, доктор физико-математических науТ' профессор Савелова Татьяна Ивановна }\дрее: 115409.h10СК~Кauuирекое ПОДПl<1СЬ Заместитель нач:алы,.,. I до'ументационного I o6€c~"" НIi1ЯУ МИФИ 4
