Инверсия m -поверхности в евклидовом пространстве Е п М.А

Инверсия m -поверхности в евклидовом пространстве Е п
УДК 514.75
М.А. Чешкова
Инверсия m-поверхности в евклидовом
пространстве Е п
Так как / — инверсия, то [2]
В евклидовом пространстве Е п рассматриваются две гладкие m-поверхности М , М и диффеоморфизм / : М —>■ М . Исследуется случай,
когда / — инверсия.
Пусть М , М — две гладкие т-поверхности
в евклидовом пространстве Е п , / : М -» М —
диффеоморфизм, F ( M ) — R — алгебра дифференцируемых на М функций, Т ? ( М ) — F — модуль дифференцируемых на М тензорных полей
типа ( q , s ) , д — дифференцирование в Е п .
Формулы
Гаусса-Вейнгартена
поверхности
М имеют вид [1, с. 23]
(3)
Откуда
где X , Y
— связность Леви-Чивита
метрики д { Х , У) =< X , Y > ; а — вторая фундаментальная форма поверхности М , V х —- нормальная связность, А $ € T l ( M ) — симметричный оператор, соответствующий полю £ € T L M ,
Используя уравнения Гаусса-Вейнгартена
(1), получим
где
(2)
Поместим начало координат в центр инверсии. Обозначим через г радиус-вектор точки р 6
М , через г — радиус-вектор точки f ( p ) € М .
Тогда отображение / : М -» М запишется в виде
Дифференциал отображения f определится
из равенства
Имеем
d f { X ) = (X l ) r + I X , X € Т М .
Отображение / индуцирует на М метрику
g { X , Y ) = < d f ( X ) , d f ( Y ) >=
l2g(X,Y) + {Xl){Yl) <r,r> +
1{YI) < X,r > +l(Xl) <Y,r > .
Положим
9
— гессиан функции
/ в связности V.
Так как / — конформное отображение, то [4, с. 18]
(?)
МАТЕМАТИКА
Доказательство. Имеем
Если Xi — главное направление оператора Д.,. т.е.
А Т Х, = kiXi, то
Используя формулы (3),(7), получим утвержде ние
леммы.
Лемма 3. Если f — инверсия, то
т.е. dfXi — главное направление оператора A f .
Следствие. Линии кривизны гиперповерхности
при инверсии переходят в линии кривизны.
Доказательство. Если М,М — гиперповерхности,
то главные направления оператора А Т (А Т ) —
касательные к линиям кривизны поверхности
М(М).
Так как—
орты
нормалей к гипеоповеохностям, то главные кри визны
связаны соотношениями
Доказательство.
Используя леммы 1, 2 и формулу (3), получим
утверждение леммы.
Обозначим через А т оператор Вейнгартена
поверхности М , соответствующий нормали г, а
Если гиперповерхность М имеет главную
через A f оператор Вейнгартена поверхности М,
кривизну кратности р > 1, то она явсоответствующий нормали т.
ляется [5] огибающей g-параметрического (р =
Теорема. Главные направления оператора п — 1 — q)
семейства гиперсфер, т.е. р-каналовая.
А Т при инверсии m-поверхности переходят в
В силу (9) к* имеет тоже кратность р. Если при
главные направления оператора A f .
этом к* ф 0, то М — р-каналовая.
Литература
1. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т.2. М., 1981.
2. Чешкова М.А. К геометрии центральной
проекции n-поверхности в евклидовом пространстве Е п+т //Известия вузов. Мат. 1998. N 6.
разий фигур. Вып. 28. Калининград,
4. Chen B.Y. Geometry of submanifolds and its
applications. Tokyo, 1981.
5. Ведерников В.И. Гиперповерхноспространства семей
матем. сб. 1966. Вып.4.
£' 2n+ i//Дифференциальная геометрия многооб3. ЧешковаМ.А. К геометрии пповерхностей в евклидовом пространстве
ти пространства Евклида, огибающие тпараметрическое семейство гиперсфер //Волж.
10