Задания для подготовки к экзамену 1 курс 1 семестр

Задания для подготовки к экзамену
По математике для 1 курса
Тема: Вычисление производной функции.
Задание 1.
Применяя формулы вычисления производной вычислить производные следующих
функций:
1
́ − 3);
1.1 у = (2𝑥
1.2 𝑦 = (3𝑥 + 2);
1.3 𝑦 = (−2 + 3𝑥);
𝑥
1.5 у = 𝑥15 ;
1.6 𝑦 = 𝑥 −4
1
1.8 y=2𝑥 4 ;
1.9 y=2𝑥 −3;
1.4 𝑦 = (3 + 4)
1.7 𝑦 = 7 𝑥 7 ;
1
3
5
1.10 y= ;
1.11 y= 6 ;
1.12 y= 3 ;
𝑥
𝑥
𝑥
Задание 2: Найдите производные функций, применяя первое правило
дифференцирования: (𝒇 ± 𝒈)′ = 𝒇′ ± 𝒈′
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 0,5 𝑥 8 + 𝑥 3
1
2) f(x) =2𝑥 − 𝑥 2 +3 𝑥 3 ;
1
3) 𝑓(𝑥) = 5 𝑥 5 − 3√𝑥 + 3;
4) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑡𝑔𝑥;
5) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 3𝑥 + 0,1;
Задание 3: Найдите производные функций, применяя второе правило
дифференцирования: (𝒇 ∙ 𝒈)′ = 𝒇′ ∙ 𝒈 + 𝒇 ∙ 𝒈′
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 𝑐𝑜𝑠 𝑥.
2) 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 ∙ 𝑙𝑛𝑥;
3) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ (𝑥 − 2);
4) 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 ∙ (𝑥 5 − 5);
5) 𝑓(𝑥) = (3𝑥 − 2) ∙ 𝑐𝑜𝑠6𝑥.
Задание 4: Найдите производные функций, применяя третье правило
𝒇
дифференцирования: (𝒈) ′ =
1) 𝑓(𝑥) =
2) 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 +2
𝑥−1
2𝑥−1
𝑥2
𝑒𝑥
𝒇′ ∙𝒈−𝒇∙𝒈′
𝒈𝟐
;
;
3) 𝑓(𝑥) = 2𝑥+1 ;
𝑠𝑖𝑛𝑥
4) 𝑓(𝑥) = 3𝑥+1 ;
2𝑥+1
5) 𝑓(𝑥) =
;
𝑥
Задание 5: Найдите производные сложных функций.
1) 𝑓(𝑥) = √5𝑥 + 2;
2) 𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 3)6 ;
3) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 (4𝑥 + 𝜋);
4) 𝑓(𝑥) = (6𝑥 − 1) ∙ 𝑠𝑖𝑛6𝑥.
𝑐𝑜𝑠3 𝑥
5) 𝑓(𝑥) = x2 .
Задания для самоконтроля: Найдите производные функций
1) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 4 − 𝑥 + 4;
2) 𝑓(𝑥) = 2𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ 𝑒 𝑥 ;
1
3𝑥+2
3) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 ;
4) 𝑓(𝑥) = (3𝑥 + 2)5 ;
5) 𝑓(𝑥) = (5𝑥 − 2) ∙ 𝑐𝑜𝑠5𝑥.
Найти значения обратных тригонометрических функций:
1
√3
; arccos ( ) ;
2
2
√3
arc𝑐𝑜𝑠 + arctg√3;
2
√2
1. arcsin
2.
3. arcsin
− arcctg(−√3);
2
√2
);
2
√3
4. arccos(−
arcsin (−
√3
);
2
5. arccos ( ) ;
2
6. 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 (−
1. cosx =
2. 𝑐𝑡𝑔𝑥 −
√3
;
2
1
√3
1
);
√3
Решить уравнения:
= 0;
3. 2𝑠𝑖𝑛𝑥 = √2;
𝜋
4. 2𝑐𝑜𝑠 (2𝑥 + ) − 1 = 0;
3
5. 𝑡𝑔2 𝑥 + 𝑡𝑔𝑥 = 0
√3
;
2
6. sinx =
7. 𝑐𝑡𝑔𝑥 = −
1
√3
;
8. 3𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 3 = 0;
𝜋
9. tg (𝑥 − ) = 1;
4
2
10.с𝑡𝑔 𝑥 − 2с𝑡𝑔𝑥 = 0
11.cosx =
12.𝑐𝑡𝑔𝑥 −
√3
;
2
1
√3
= 0;
13.2𝑠𝑖𝑛𝑥 = √2;
𝜋
14.2𝑐𝑜𝑠 (2𝑥 + ) − 1 = 0;
3
15.sinx =
16.𝑡𝑔𝑥 =
√2
;
2
1
;
√3
17.2𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 2 = 0;
𝜋
1
18.cos (𝑥 − ) = ;
3
√3
− ;
3
2
19.ctgx =
20.2𝑠𝑖𝑛𝑥 − 1 = 0
2
21.𝑠𝑖𝑛4𝑥 = 0;
𝜋
22.4𝑠𝑖𝑛 (𝑥 + ) − 2√3 = 0
3
𝑥
23.𝑠𝑖𝑛 −
2
√3
2
= 0;
Решить неравенство методом интервалов:
 (2х − 1)(х + 3)(2х + 4) > 0

(2x−4)(x+2)
3x−1
≤0
 (х − 1)(х + 2)(х − 4) < 0
 x 2 + 4x − 5 ≥ 0
Применение производной функции.
Задание 1. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции 𝑓(𝑥) =
1
(3𝑥 − 1)5 в точке с абсциссой х 0 = 1 .
5
Задание 2. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции f(x)=
1 4
𝑥 − 2𝑥 2 +3 в точке с абсциссой х 0 = 3 .
4
Задание 3. Найдите уравнение касательной к графику функции
f(x)= 𝑥 3 +3𝑥 2 - 2 в точке с абсциссой х 0 = - 2 .
Задание 4. Тело движется по закону 𝑥(𝑡) = 2𝑡 2 − 3𝑡 − 3. Найдите скорость и
ускорение в момент времени t, в какой момент времени тело остановится. Чему
равно ускорение в момент времени 2 с.?
Задание 5. Тело движется по закону 𝑥(𝑡) = sin 3𝑡. Найдите скорость тела в момент
𝜋
времени t= 3 .
Задание 6. 1) Дана функция: 𝑓(𝑥) =
1
𝑥 2 +1
𝑥
4
. Найдите ее критические точки.
2) Дана функция: 𝑓(𝑥) = 4 𝑥 − 𝑥 2 + 3. Найдите ее критические точки.
Задание 7. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
1. 𝑓(𝑥) = 0,5𝑥 4 − 𝑥 2 .
2. 𝑓(𝑥) = √3𝑥 − 2.
3.
Задание 8. Найдите точки экстремума функции:
1. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥;
2. 𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥 2 − 𝑥;
3. 𝑦 = 3𝑥 − 𝑥 3 + 3.
3
Задания для самоконтроля.
1. Найти угловой коэффициент касательной проведенной к кривой 𝑦 = √𝑥 − 2+3𝑥 3 в
точке касания М(1;1).
2. Составить уравнение касательной проведенной к кривой 𝑦 = 𝑥 3 − 2𝑥 + 3 в точке с
абсциссой 𝑥0 = 2.
𝑥3
3. Найти тангенс угла наклона касательной проведенной к кривой 𝑦 = 3 в точке с
абсциссой 𝑥0 = 0.1
4. Точка движется прямолинейно по закону x(t)= 2𝑡 3 + 𝑡 2 − 5. Найти скорость в
момент времени 𝑡 = 2. В какой момент времени тело остановится.
5. Точка движется прямолинейно по закону x(t)= 3𝑡 4 + 4𝑡 3 − 1. Найти ускорение в
момент времени 𝑡 = 1.
6. Найдите точки экстремума функции 𝑦 = 3𝑥 − 𝑥 3 + 3.
Задание. Исследовать функцию и построить график
1. 𝑦 = 𝑥 3 − 𝑥;
2.
𝑦 = 𝑥 2 − 5𝑥 − 6;
3.
𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 1;
4. 𝑦 = 𝑥 + 𝑥 3 ;
5. 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥;
6.
𝑦 = 𝑥 2 + 3𝑥 − 2;
7. 𝑦 = 3𝑥 − 2𝑥 2 ;
8. 𝑦 = 𝑥 3 − 8;
9. 𝑦 = 4𝑥 2 + 2𝑥 − 2;
10. 𝑦 = 𝑥 3 + 2𝑥 2 ;
4