Динамические граничные условия при интенсивном испарении

ÓÄÊ 551.575.36(421)
Ã. Í. Âåðáèíñêàÿ, Î. À. Çàãîðîäíÿÿ, Â. Ì. Íóæíûé
Êèåâñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò èìåíè Òàðàñà Øåâ÷åíêî,
Êèåâ, ïðîñïåêò àêàäåìèêà Ãëóøêîâà, 6.
Äèíàìè÷åñêèå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ïðè èíòåíñèâíîì
èñïàðåíèè òåðìîñòàòèðîâàííûõ êàïåëü âîäû â ðÿäå
èíåðòíûõ ãàçîâ. Êîýôôèöèåíò êîíäåíñàöèè âîäû
Ïðåäëîæåí íîâûé ïîäõîä äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîýôôèöèåíòà êîíäåíñàöèè â ñëó÷àå òåðìîñòàòèðîâàíèÿ êàïåëü æèäêîñòè. Äëÿ èñïàðåíèÿ êàïåëü âîäû â øèðîêîì äèàïàçîíå äàâëåíèé â àòìîñôåðó èíåðòíûõ ãàçîâ (ãåëèé, íåîí, àðãîí) çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòà êîíäåíñàöèè ëåæàò â ïðåäåëàõ 0,25-0,32.
Ïðîáëåìà èñïàðåíèÿ êàïåëü æèäêîñòè ÿâëÿåòñÿ âåñüìà ñëîæíîé, ïîñêîëüêó ðåçóëüòèðóþùàÿ èçìåðÿåìàÿ ñêîðîñòü èñïàðåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ðÿäîì íåðàçðûâíî ñâÿçàííûõ ïðîöåññîâ, à èìåííî:
1. êèíåòèêà âûëåòà ìîëåêóë ïàðà ñ ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè çà ñ÷åò òåïëîâûõ ôëþêòóàöèé è èõ ïîïàäàíèå â îêðóæàþùóþ ïàðî-ãàçîâóþ ñðåäó. Ýòîò
ïðîöåññ îïðåäåëÿåòñÿ ñâîéñòâàìè è ñîñòîÿíèåì ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè:
-I èä.èñï. = — dm/dt ≅ (2λ/kT) ns νs exp(-λ/kT) mv,
ãäå λ — ñêðûòàÿ òåïëîòà èñïàðåíèÿ,
ns — êîíöåíòðàöèÿ ìîëåêóë ïàðà íà ïîâåðõíîñòè,
νs — ÷àñòîòà êîëåáàíèé ïîâåðõíîñòíûõ ìîëåêóë,
mv — ìàññà ìîëåêóëû ïàðà;
2. íåçàâèñèìî îò ñêîðîñòè èñïàðåíèÿ èìååò ìåñòî ïîòîê ìîëåêóë ïàðà
ïî íàïðàâëåíèþ ê ïîâåðõíîñòè:
n ïàä = p/(2πmkT)1/2= (Ñ1/ (mv)3/2) (kT/2π)1/2, ãäå
Ñ1 — êîíöåíòðàöèÿ ìîëåêóë ïàðà íà ðàññòîÿíèè íåñêîëüêèõ äëèí ñâîáîäíîãî ïðîáåãà, ò.å. â ∆-ñëîå.
Åñëè êîíäåíñèðóåòñÿ òîëüêî ÷àñòü ìîëåêóë, ñòàëêèâàþùèõñÿ ñ ïîâåðõíîñòüþ, òî ÷èñëî ñêîíäåíñèðîâàâøèõñÿ ìîëåêóë ðàâíî:
n êîíä = n ïàä α,
ãäå α — êîýôôèöèåíò êîíäåíñàöèè.
 îáû÷íûõ óñëîâèÿõ èññëåäîâàíèÿ èñïàðåíèÿ êàïåëü ñèòóàöèÿ ñóùåñòâåííî óñëîæíÿåòñÿ îõëàæäåíèåì èñïàðÿþùåéñÿ êàïëè è îäíîâðåìåííûì ôîðìèðîâàíèåì äâóõ âçàèìîñâÿçàííûõ ñêà÷êî⠗ êîíöåíòðàöèè è òåìïåðàòóðû, ÷òî óñëîæíÿåò àíàëèç è ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññà èñïàðåíèÿ.
34
Äèíàìè÷åñêèå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ [1] è ìàññîâûé êîýôôèöèåíò êîíäåíñàöèè, êîòîðûå òåñíî ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé, óïðàâëÿþò ïåðåõîäîì ìîëåêóë ïàðà â æèäêîñòü, òàêèì îáðàçîì, ÿâëÿÿñü âàæíûì ôàêòîðîì, îïðåäåëÿþùèì ñêîðîñòü èñïàðåíèÿ. Èõ ðîëü ñóùåñòâåííî âîçðàñòàåò ïðè èíòåíñèâíîì èñïàðåíèè â ïåðåõîäíîì ðåæèìå, ãäå âîçíèêàþò îñíîâíûå ïðîòèâîðå÷èÿ. ×òîáû óñòðàíèòü ïðîòèâîðå÷èÿ ïðè èõ àíàëèçå íóæíî, ÷òîáû
ñêîðîñòü èñïàðåíèÿ îïðåäåëÿëàñü ïîòîêîì ìàññû â îòñóòñòâèå ïîòîêà
òåïëà [2].
Âñå âûøåïðèâåäåííûå ïðîöåññû ÿâëÿþòñÿ âçàèìîñâÿçàííûìè, ïîýòîìó
îïèñàòü èõ ÷ðåçâû÷àéíî òÿæåëî. Âîò ïî÷åìó ïîñòðîåíèå ìîäåëè èñïàðåíèÿ
êàïåëü æèäêîñòè â ðàçíûõ óñëîâèÿõ, â îñîáåííîñòè äëÿ ñëó÷àÿ èíòåíñèâíîãî èñïàðåíèÿ, â ðàçíûõ ãàçîâûõ ñðåäàõ, ïðè èçìåíåíèè ñîîòíîøåíèÿ êîíöåíòðàöèé ïàðà è ãàçà, à òàêæå äëÿ ðàçíûõ ñîîòíîøåíèé ìàññû ìîëåêóë ïàðà
è ãàçà, ÿâëÿåòñÿ ÷ðåçâû÷àéíî âàæíîé è ñëîæíîé çàäà÷åé.
Òåðìîñòàòèðîâàíèå èñïàðÿþùåéñÿ êàïëè, êîòîðîå áûëî íàìè ðåàëèçîâàíî ïðè èññëåäîâàíèè ñêîðîñòè èñïàðåíèÿ êàïåëü, ñóùåñòâåííî óïðîñòèëî
çàäà÷ó, ò.ê. òàêèì îáðàçîì áûëî óñòðàíåíî îõëàæäåíèå êàïëè ïðè èñïàðåíèè, è, ñëåäîâàòåëüíî, áûëî óñòðàíåíî âëèÿíèå òåìïåðàòóðíîãî ñêà÷êà íà
ôîðìèðîâàíèå ñêà÷êà êîíöåíòðàöèè.
 äîêëàäå ïðèâîäÿòñÿ ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèÿ ñêîðîñòè èñïàðåíèÿ òåðìîñòàòèðîâàííûõ êàïåëü âîäû â àòìîñôåðå èíåðòíûõ ãàçîâ (ãåëèé, íåîí,
àðãîí) ïðè òåìïåðàòóðàõ 10 0Ñ è 20 0Ñ ïðè âëàæíîñòÿõ 53% è 75% â èíòåðâàëå äàâëåíèé îò 750 äî 10 ìì. ðò. ñò.  ðåçóëüòàòå èçìåðåíèé âû÷èñëÿëàñü
ñêîðîñòü èñïàðåíèÿ êàïëè êàê ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ åå ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè.
Íà ðèñ.1 ïðåäñòàâëåíà çàâèñèìîñòü ñêîðîñòè èñïàðåíèÿ êàïåëü âîäû îò
êîýôôèöèåíòà äèôôóçèè â ðàçíûõ ãàçàõ ïðè òåìïåðàòóðå ñðåäû 10 0Ñ è âëàæíîñòè 75%.
Ðèñ.1. Çàâèñèìîñòü ñêîðîñòè èñïàðåíèÿ îò êîýôôèöèåíòà äèôôóçèè
â ðàçíûõ ãàçàõ ïðè Ò=10 °Ñ è âëàæíîñòè 75%
35
Ýêñïåðèìåíòàëüíûå ðåçóëüòàòû ñâèäåòåëüñòâóþò î òîì, ÷òî ïðè âûñîêèõ è ñðåäíèõ çíà÷åíèÿõ äàâëåíèÿ â ðàçíûõ ãàçàõ ïðè îäèíàêîâûõ çíà÷åíèÿõ êîýôôèöèåíòà äèôôóçèè ñêîðîñòè èñïàðåíèÿ ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàþò (ïðè
D ≅ 5,0 ñì2/ñåê.), ÷òî â ðàçíûõ ãàçàõ ñîîòâåòñòâóåò: â ãåëèè — 125 ìì. ðò. ñò.,
â íåîíå — 65 ìì. ðò. ñò., â àðãîíå — 35 ìì. ðò. ñò.
 äàëüíåéøåì êàðòèíà ñóùåñòâåííî ìåíÿåòñÿ, è ïðè ìèíèìàëüíûõ çíà÷åíèÿõ äàâëåíèÿ íóæíû ñóùåñòâåííî ðàçíûå êîýôôèöèåíòû äèôôóçèè äëÿ
òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü îäèíàêîâûå ñêîðîñòè èñïàðåíèÿ. Ýòî ñâèäåòåëüñòâóåò
î òîì, ÷òî ñêîðîñòü èñïàðåíèÿ è êîýôôèöèåíò äèôôóçèè ñîâìåñòíî ôîðìèðóþò ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ, îïðåäåëÿþùåå îòâîä ìîëåêóë ïàðà îò ïîâåðõíîñòè êàïëè.
Èç ýêñïåðèìåíòàëüíûõ çíà÷åíèé ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè áûëè âû÷èñëåíû çíà÷åíèÿ êîíöåíòðàöèè ïàðà Ñ1, ñîîòâåòñòâóþùèå
äèíàìè÷åñêèì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì, îïðåäåëÿþùèì îòâîä ïàðà îò ïîâåðõíîñòè äèôôóçèîííûì ìåõàíèçìîì, èç ôîðìóëû: dS/dt = 8πD(C1-C∞)St/ρ, ãäå
St — ïîïðàâêà Ñòåôàíà. Èç ðèñ. 2 âèäíî, ÷òî Ñ1= f(dS/dt) — ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü Ñ1, íà êîòîðóþ õîðîøî óëîæèëèñü âñå çíà÷åíèÿ, âû÷èñëåííûå èç ýêñïåðèìåíòàëüíî èçìåðåííîé ñêîðîñòè èñïàðåíèÿ âî âñåõ ãàçàõ âî âñåì èññëåäîâàííîì äèàïàçîíå äàâëåíèé.
Ðèñ. 2. Çàâèñèìîñòü ñ1 îò ñêîðîñòè èñïàðåíèÿ â ðàçíûõ ãàçàõ
ïðè òåìïåðàòóðàõ 10 °Ñ è 20 °Ñ, âëàæíîñòü 53%
Ýêñïåðèìåíòàëüíûå äàííûå ïîçâîëÿþò ïðîâåñòè ñðàâíåíèå âû÷èñëåííîãî
êîýôôèöèåíòà êîíäåíñàöèè â ðàçíûõ ìîäåëÿõ.
Íà÷íåì ñ òðàäèöèîííîé ìîäåëè Ôóêñà, êîòîðàÿ îïèñûâàåòñÿ ôîðìóëîé:
dS/dt = 8πD(C0–C∞)St/ (D/rνα) +1)ρ.
Èç ðèñ. 3 âèäíî, ÷òî äëÿ àðãîíà ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ çàâèñèìîñòü ñêîðîñòè èñïàðåíèÿ îò âûëè÷èíû îáðàòíîãî äàâëåíèÿ (êðèâàÿ 3) ñóùåñòâåííî îòêëîíÿåòñÿ îò îò êðèâîé, ïîñòðîåííîé ïî çíà÷åíèÿì, âû÷èñëåííûì ïî ôîð36
ìóëå Ìàêñâåëëà (1) è ïðàêòè÷åñêè ïîëíîñòüþ ñîâïàäàåò ñ êðèâîé, ïîñòðîåííîé ïî çíà÷åíèÿì, âû÷èñëåííûì èç ôîðìóëû Ôóêñà äëÿ α= 0.008. Àíàëîãè÷íàÿ ñèòóàöèÿ íàáëþäàåòñÿ äëÿ èñïàðåíèÿ êàïåëü âîäû â äðóãèõ ãàçàõ.
Ðèñ. 3. Çàâèñèìîñòè ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ ïîâåðõíîñòè òåðìîñòàòèðîâàíûõ êàïåëü
âîäû îò 1/ð, èñïàðÿþùèõñÿ â àòìîñôåðå àðãîíà ïðè t=10 C è âëàæíîñòè 75%:
1.ðàñ÷èòàííàÿ ïî ôîðìóëå Ìàêñâåëëà; 2. ñ ïîïðàâêîé Ôóêñà ïî ôîðìóëå;
3. åêñïåðèìåíòàëüíàÿ çàâèñèìîñòü.
Òåïåðü ðàññìîòðèì âû÷èñëåíèå êîýôôèöèåíòà êîíäåíñàöèè â ìîäåëè,
ïðåäëîæåííîé íàìè.
Èñïàðåíèå òåðìîñòàòèðîâàííûõ êàïåëü ñóùåñòâåííî óïðîñòèëî àíàëèç,
ò.ê. â ýòîì ñëó÷àå îòñóòñòâóåò îõëàæäåíèå êàïëè, è òàêèì îáðàçîì, åãî âëèÿíèå íà ôîðìèðîâàíèå ñêà÷êà êîíöåíòðàöèè. Ïðè ïîñòîÿííîé òåìïåðàòóðå
ñêîðîñòü òàê íàçûâàåìîãî èäåàëüíîãî èñïàðåíèÿ îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé ïðàêòè÷åñêè âî âñåì äèàïàçîíå äàâëåíèé. Ïðè óìåíüøåíèè äàâëåíèÿ ñêîðîñòü
èñïàðåíèÿ ñóùåñòâåííî óâåëè÷èâàåòñÿ, à Ñ1=((dS/dt)ρ/(8ðDSt)+C∞) (dS/dt ðàñòåò ìåäëåííåå, ÷åì çíàìåíàòåëü).  òàêîé ñèòóàöèè ìîæíî çàïèñàòü äëÿ äâóõ
çíà÷åíèé äàâëåíèÿ îêðóæàþùåé ïàðî-ãàçîâîé ôàçû:
–J1 = J èäåàëüíîå èñïàðåíèå – α J 1 ïàäàþùèõ ìîëåêóë
–J2 = J èäåàëüíîå èñïàðåíèå – α J 2 ïàäàþùèõ ìîëåêóë
∆ J = α (J 1 ïàäàþùèõ ìîëåêóë – J 2 ïàäàþùèõ ìîëåêóë)
α = ∆ J/∆ J ïàäàþùèõ ìîëåêóë
Êîíöåíòðàöèÿ ïàäàþùèõ ìîëåêóë âû÷èñëÿëàñü èç çíà÷åíèé Ñ1, ò.ê. ìû
ïðåäïîëàãàåì, ÷òî èìåííî Ñ1 îòâå÷àåò çà îòâîä ïàðà îò ïîâåðõíîñòè, à ñëåäîâàòåëüíî îïðåäåëÿåò ÷èñëî ìîëåêóë, ñòàëêèâàþùèõñÿ ñ ïîâåðõíîñòüþ.
Òàêèì îáðàçîì, ÷èñòàÿ óáûëü (-dm/dt) îïðåäåëÿåòñÿ èäåàëüíûì èñïàðåíèåì ìèíóñ α J ïàäàþùèõ ìîëåêóë, íî îòðàæåííûå ìîëåêóëû ó÷àñòâóþò â ôîðìèðî37
âàíèè Ñ1, êîòîðîå îïðåäåëÿåò îòâîä ïàðà îò ïîâåðõíîñòè è çàâèñèò îò êîýôôèöèåíòà êîíäåíñàöèè âîäû.
 ïðîöåññå ýêñïåðèìåíòà ìû èçìåðÿåì ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ìàññû (ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè) êàïëè, Ñ1 è J ïàäàþùèõ ìîëåêóë âû÷èñëÿåì èç ýêñïåðèìåíòàëüíûõ çíà÷åíèé ñêîðîñòè èñïàðåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ìû èçáàâèëèñü îò íåîáõîäèìîñòè âû÷èñëÿòü êèíåòè÷åñêóþ ñêîðîñòü èñïàðåíèÿ, ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîòîðîé ñîäåðæèò ðÿä ñïîðíûõ ïàðàìåòðîâ, è èñïîëüçîâàíèÿ Ñ0,
çíà÷åíèå êîòîðîé äëÿ ôîðìèðîâàíèÿ ñêîðîñòè èñïàðåíèÿ òàêæå íå îïðåäåëåíî îäíîçíà÷íî.
Åùå äå Áóð (3) îòìå÷àë, ÷òî åñëè ïðîèñõîäèò îòðàæåíèå ìîëåêóë îò ïîâåðõíîñòè, òî ìàêñèìàëüíàÿ ñêîðîñòü èñïàðåíèÿ ïðè ëþáîé òåìïåðàòóðå íå
ÿâëÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííîé ìåðîé äàâëåíèÿ íàñûùåííîãî ïàðà (ò.å. Ñ0). Ïîýòîìó íóæíî îñòîðîæíî èñïîëüçîâàòü ïîïðàâêè ê ôîðìóëå Ìàêñâåëëà, ñîäåðæàùèå Ñ0 — êîíöåíòðàöèþ íàñûùåííîãî ïàðà ïðè òåìïåðàòóðå ïîâåðõíîñòè (êàê â ñëó÷àå ñ ïîïðàâêîé Ôóêñà).
Òàêèì îáðàçîì, ìû áóäåì âû÷èñëÿòü êîýôôèöèåíò êîíäåíñàöèè, íå èñïîëüçóÿ çíà÷åíèÿ Ñ0 è äðóãèõ ñïîðíûõ âåëè÷èí. Ò.ê. óðàâíåíèå äèôôóçèè íå
ïîäâåðãàåòñÿ ñîìíåíèþ, òî âåëè÷èíó Ñ1 ìîæíî îïðåäåëÿòü èç ýêñïåðèìåíòàëüíûõ çíà÷åíèé ñêîðîñòè èñïàðåíèÿ.
 ðàìêàõ ïðåäëîæåííîé íàìè ìîäåëè áûëè âû÷èñëåíû êîýôôèöèåíòû
êîíäåíñàöèè äëÿ èñïàðåíèÿ â ãåëèè, íåîíå è àðãîíå â ðàçëè÷íûõ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ óñëîâèÿõ. Ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ íàõîäÿòñÿ â ïðåäåëàõ 0,25-0,32.
Òàêèå çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòà êîíäåíñàöèè õîðîøî ñîãëàñóþòñÿ ñ ðåçóëüòàòàìè, ïîëó÷åííûìè äëÿ ìîäåëè, îñíîâàííîé íà ðåøåíèè êèíåòè÷åñêîãî
óðàâíåíèÿ Áîëüöìàíà [4] è ïðîâåðåííîé ñ èñïîëüçîâàíèåì íàøèõ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ.
Âûâîäû
1. Íàìè áûëî ýêñïåðèìåíòàëüíî óñòàíîâëåíî:
– ôîðìèðîâàíèå äèíàìè÷åñêîãî ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ — êîíöåíòðàöèè ïàðîâ èñïàðÿþùåãîñÿ âåùåñòâà, êîòîðàÿ çàâèñèò îò ñêîðîñòè èñïàðåíèÿ;
– èçìåðåíèÿ ïðîâîäèëèñü â îòñóòñòâèå ïîòîêà òåïëà çà ñ÷åò èñïàðåíèÿ
êàïëè;
– êîýôôèöèåíò êîíäåíñàöèè, âû÷èñëåííûé ñîãëàñíî íîâîé ìîäåëè, íà
ïîðÿäîê ïðåâûøàåò çíà÷åíèÿ, âû÷èñëåííûå ïî ôîðìóëå Ôóêñà.
Àâòîðû âûðàæàþò áëàãîäàðíîñòü ïðîô. Ìàëüíåâó Âàäèìó Íèêîëàåâè÷ó çà ó÷àñòèå â îáñóæäåíèè ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ.
Ëèòåðàòóðà
1. M.E. Widder, U.M. Titulaer The kinetic boundary layer around an absorbing
sphere and the growth of small droplets, Journal of Statistical Physics, vol. 55,
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38
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2001.
Ã. Ì. Âåðáèíñüêà, Î. À. Çàãîðîäíÿ, Â. Ì. Íóæíèé
Äèíàì³÷í³ ãðàíè÷í³ óìîâè ïðè ³íòåíñèâíîìó âèïàðîâóâàíí³
òåðìîñòàòîâàíèõ êðàïëèí âîäè â àòìîñôåð³ ³íåðòíèõ ãàç³â.
Êîåô³ö³ºíò êîíäåíñàö³¿ âîäè
ÀÍÎÒÀÖ²ß
Çàïðîïîíîâàíî íîâèé ï³äõ³ä äî îá÷èñëåííÿ êîåô³ö³ºíòà êîíäåíñàö³¿ äëÿ
âèïàäêó òåðìîñòàòîâàíèõ êðàïëèí ð³äèíè. Äëÿ âèïàðîâóâàííÿ êðàïëèí âîäè
ó øèðîêîìó ä³àïàçîí³ çíà÷åíü òèñêó â àòìîñôåðó ³íåðòíèõ ãàç³â (ãåë³é, íåîí,
àðãîí) çíà÷åííÿ êîåô³ö³ºíòà êîíäåíñàö³¿ çíàõîäÿòüñÿ â ìåæàõ 0,25-0,32.
G. Verbinskaya, Î. Zagorodnya, V. Nuzhnyi
Dynamical boundary conditions for intensive evaporation of thermostatted
liquid droplets in atmosphere of inert gases.
Condensation coefficient of water
SUMMARY
A new approach to calculation of condensation coefficient of thermostatted
liquid droplets has been suggested. For evaporation of thermostatted water droplets
in atmosphere of various inert gases (helium, neon, argon) in a wide range of
pressure the condensation coefficient are established to be within 0.25-0.32.
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