Занимательная физика. Радуга.

Физика радуги.
Радуга у всех на виду – она обычно наблюдается в виде двух окрашенных дуг, причем в верхней дуге цвета
располагаются сверху вниз от фиолетового до красного, а в нижней дуге наоборот – от красного до фиолетового.
Многие считают, будто находящиеся в воздухе капли воды действуют подобно призме, разлагая белый свет
Солнца в оптический спектр. Но ведь, когда наблюдается радуга, Солнце-то светит в спину и находится по
«эту», а не по «ту» сторону призмы! Дисперсия здесь, действительно, имеет важное значение, но только ею
объяснить возникновение радуги невозможно.
Рассмотрим две дождевые капли (рис. 1, а и 1, б), в первой из которых происходит однократное, а во второй
двукратное отражение света. Учтем также, что падающий белый свет имеет сложный спектр, состоящий из семи монохроматических составляющих. При этом показатель преломления зависит от длины волны. Будем считать, что входящий в каплю луч параллелен поверхности Земли.
y
y
i
r
r
r
x
x
r
r
i
r
φ
r
φ
Рис. 1, а
i
Рис. 1, б
Траекторию луча внутри сферы можно проследить, пользуясь известным законом отражения и преломления. Введем следующие обозначения: i – угол падения, r – угол преломления, δ – угол отклонения и φ – угол,
под которым луч света приходит на Землю к наблюдателю. Из рисунка 1 видно, что при первом преломлении
луча у входа в сферу (как и при выходе из нее) угол отклонения равен i – r. При каждом последующем отражении он увеличивается на π – 2r . Если число отражений внутри сферы равно N (порядок радуги), то δ = 2(i – r) +
N(π – 2r) = 2i + Nπ – 2(N + 1)r. Так как sin i = n sin r , тогда δ = 2i + Nπ – 2(N + 1)arcsin(n -1 sin i ). По построению
φ = π – δ . Как видно φ зависит от длины волны, так как показатель преломления является функцией длины
волны.
Считая радиус сферы равным единице, в декартовой системе имеем sin i = y. Рассмотрим некоторый малый
интервал изменения координаты y (прицельного параметра): y, y + dy. Величина интенсивности света dI, падающего на каплю в этом интервале прицельного параметра, пропорциональна dy. Эта же интенсивность света
рассеивается каплей в угловом интервале dφ. Следовательно, интенсивность рассеянного каплей света, приходящаяся на единицу угла рассеяния, может быть выражена как:
I(φ)
 d 
= 
 dy 
1
То есть нули производной соответствуют максимальным значениям интенсивности. По правилам диффеd d di
ренцирования сложной функции
, отсюда найдем экстремальные значения i и соответствующие


dy
di dy
им значения φ.
Например, для радуги первого порядка (N = 1) для красной (n = 1,331) и фиолетовой (n = 1,343) составляющей спектра имеем iкр= 590 31’, iф = 580 49’ и соответственно φкр= 420 22’, φф= 400 38’. Разность этих значений
(≈20) и определяет угловую ширину наблюдаемой радуги. Нетрудно видеть, что геометрическое место источников, посылающих красное излучение наблюдателю, соответствует конусу с углом раствора φкр. От той же капли
фиолетовое излучение уйдет к наблюдателю под меньшим углом φ ф, таким образом, цвета располагаются сверху вниз от красного до фиолетового.
У радуги второго порядка (N = 2) φкр= 500 21’, φф= 530 28’, т.е. φкр< φф и фиолетовый цвет для нее является
внешним, а красный – внутренним. Радуги более высоких порядков практически не наблюдаются из-за слабой
интенсивности.
Таким образом, эффект радуги обусловлен тем, что под определенными углами возникают максимумы интенсивности рассеянного света и для разных цветов положения этих максимумов не перекрываются.
По материалам Соросовского
образовательного журнала и журнала
«Физика в школе».