10–11 классы 1. Найдите все такие простые числа p, что ни при

10–11 классы
1. Найдите все такие простые числа p, что ни при каком натуральном n число nn+1 + (n + 1)n не
делится на p.
2. В графе c 2n вершинами (n > 2) выбрано 2n − n полных подграфов попарно различных размеров.
Докажите, что к одному из этих подграфов можно добавить вершину так, чтобы он остался полным.
3. Множество натуральных чисел a1 , a2 , . . . , an , не превосходящих 2n , назовем хорошим, если суммы
элементов всех его подмножеств различны по модулю 2n (сумму пустого подмножества считаем равной
0). Сколько существует хороших множеств?
4. Непостоянные многочлены f1 (x), f2 (x), . . . , fk (x) таковы, что
f1 (f2 (x)) = f2 (f3 (x)) = · · · = fk−1 (fk (x)) = fk (f1 (x)).
Докажите, что если k нечетно, то все многочлены f1 (x), f2 (x), . . . , fk (x) равны.
5. В клетках квадрата 99 × 99 расставлены попарно различные вещественные числа. Клетчатый
прямоугольник, лежащий в этом квадрате, называется шельфом, если каждое число в этом прямоугольнике меньше каждого числа, стоящего в клетке, граничащей с этим прямоугольником по стороне
или углу. Найдите наибольшее возможное число шельфов.
6. Найдите все функции f : (0, +∞) → (0, +∞) такие, что f (x + f (y)) = yf (xy + 1).
7. Рассмотрим все слова длины 100, состоящие их букв A, B, C. Пусть среди них ровно a слов,
содержащих как четное число фрагментов AB, так и четное число фрагментов AC. Пусть среди них
ровно b слов, содержащих как нечетное число фрагментов AB, так и нечетное число фрагментов AC.
Чему равно a − b?
8. Пусть n > 3 – натуральное число. Вещественные числа a0 , a1 , . . . , an таковы, что для любых
четырех (не обязательно различных) неотрицательных целых чисел p, r, s, t, сумма которых равна n,
выполняется равенство
ap as + ar at = ap+r ar+s .
Известно, что a1 = 1. Найдите наибольшее возможное значение a2 .
9. Пусть ABC – треугольник, в котором AC 6= BC, AB < AC, а K – его описанная окружность.
Касательная к K в точке A пересекает прямую BC в точке D. Пусть K1 – окружность, касающаяся K
и отрезков AD и BD. Обозначим M точку, в которой K1 касается BD. Докажите, что AC = M C тогда
и только тогда, когда AM – биссектриса угла DAB.
10. Четырехугольник ABCD является одновременно вписанным и описанным. Вписанная окружность касается его сторон AB и CD в точках X и Y соответственно. Перпендикуляры, восставленные
к сторонам AB и CD в точках A и D соответственно, пересекаются в точке U , перпендикуляры к ним
же в точках X и Y пересекаются в точке V , и, наконец, в точках B и C – в точке W . Докажите, что
U , V , W лежат на одной прямой.