Решения для 8

Error! Reference source not found.
1
2
Электронная физико-техническая школа
Решебник для 8-9 класса
1 Перваячастьзадания
Задача №1
Камень весит 6 кг, еще треть камня и еще половину камня. Сколько весит
камень?
В. 36 кг
А. 24 кг
Б. 10 кг
Г. 48 кг
Решение
Пусть х-вес камня. Составим уравнение: 6+1/3х+1/2х=х, получаем х=36.
Ответ: 36 кг.
Задача №2
В ряд выложены несколько апельсинов, мандаринов, яблок и бананов. Оказалось,
что рядом с фруктом каждого вида можно найти фрукт любого другого вида. Какое
наименьшее число фруктов могло быть выложено?
Б. 8
А. 7
В. 9
Г. 10
Решение
Предположим, что фрукт какого-либо вида встретился один раз. Тогда у него
либо один, либо два соседа. Значит, какой-либо фрукт рядом с ним нельзя будет
найти (так как остается три вида фруктов). Противоречие. Значит, фруктов каждого
вида есть хотя бы по два, то есть всего хотя бы 8 фруктов. Пример, показывающий,
что 8 фруктов может быть: АМЯБАЯМБ.
Ответ: 8.
Задача №3
Найдите наименьшее натуральное число n такое, что в любом множестве из n
натуральных чисел найдутся два числа, сумма или разность которых делится на 7.
Б. 5
А. 4
В. 6
Г. 7
Решение
Среди четырех чисел 1, 2, 3, 7 нет таких, сумма или разность которых делится на
7. Докажем, что среди пяти чисел найдутся два числа с суммой либо разностью,
кратной 7. Разобьем их в группы. Первая группа - числа, делящиеся нацело на 7,
вторая группа – числа, дающие в остатке 1 либо 6 при делении на 7, третья – остаток
2 либо 5, четвертая – остаток 3 либо 4. Какие-либо два попадут в одну группу,
поскольку чисел пять, а групп четыре. Если числа из одной группы имеют один
остаток при делении на 7, то их разность делится на 7, а если разные, то их сумма
делится на 7.
Ответ: n=5.
Задача №4
На шахматной доске стоят 10 шахматных фигур (слоны и ладьи), не бьющих
друг друга. Какое наименьшее количество слонов может быть среди них?
0BРешебник для 8-9 класса
3
В. 4
А. 2
Б. 3
Г. 5
Решение
Если слонов не больше двух, то на доске не менее восьми ладей, не бьющих друг
друга, тогда эти ладьи бьют все клетки – противоречие. Если слонов три, то ладей
семь, но если на доске стоит семь ладей, не бьющих друг друга, то есть только одна
непобитая клетка – в пересечении горизонтали и вертикали, свободных от ладьи.
Значит, слонов не менее четырех.
Пример
Л
Л
Л
С
С
С
С
Л
Л
Л
Ответ: 4 слона.
Задача №5
На какое минимальное число квадратов (не обязательно равных) можно
разрезать прямоугольник размером 5  6?
В. 5
А. 3
Б. 4
Г. 6
Решение
На 5 квадратов - три квадрата 2  2 и два квадрата 3  3. Нетрудным перебором
получаем, что на меньшее число квадратов разрезать нельзя.
Пример
Ответ: 5
4
Электронная физико-техническая школа
2 Втораячастьзадания
Задача №1
В комнате стоят несколько четырехногих стульев и трехногих табуреток. Когда
на всех стульях и табуретках сидит по человеку, в комнате всего 39 ног. Сколько в
комнате стульев и сколько табуреток?
Решение
Пусть х - количество стульев, у - количество табуреток. Составим уравнение:
4х+3у+2(х+у)=39. Следовательно, 6х+5у=39. 39 при делении на 5 дает остаток 4, а 6
при делении на 5 дает остаток 1. Значит х при делении на 5 дает остаток 4. Так как
при х=9 или больше количество ног будет больше чем 39, значит х=4.
Следовательно, 6*4+5у=39 и у=3.
Ответ: 4 стула и 3 табуретки.
Задача №2
В школе два восьмых класса: 8 «А» и 8 «Б», в которых одинаковое число учеников.
Мальчики из 8 «А» составляют 70% всех мальчиков-восьмиклассников, а девочки из
8 «А» - 20% всех девочек-восьмиклассниц. Найдите процент мальчиков в 8 «А».
Решение
Пусть А1, А2 - количество мальчиков в 8 «А» и 8 «Б» соответственно, В1, В2количество девочек в 8 «А» и 8 «Б» соответственно. Составим систему уравнений:
А1+В1=А2+В2;
А1=7/10(А1+А2);
В1=2/10(В1+В2).
Из второго уравнения получим, что А2=3/7А1. Из третьего, что В2=4В1. Подставив
это в первое уравнение, получим 4А1=21В1. Если взять А1+В1=100 => А1=84 и В1=16.
Ответ: 84%.
Задача №3
Вася задумал целое число. Коля умножил его не то на 5, не то на 6. Женя
прибавил к результату Коли не то 5, не то 6. Саша отнял от результата Жени не то 5,
не то 6. В итоге получилось 73. Какое число задумал Вася (перечислите все
возможные варианты)?
Решение
Заметим, что Женя и Саша прибавили и отняли разные числа, так как в
противном случае получается, что 73 - это результат вычислений Коли, но 73 не
делится ни на 5, ни на 6. Значит, результат вычислений Коли либо 73+6-5=74, либо
73+5-6=72. Число 74 не делится ни на 5, ни на 6, значит, Коля получил число 72. 72 не
делится на 5, следовательно, Коля умножал на 6. Из этого получаем, что Вася
задумал число 72:6=12.
Ответ: 12.
0BРешебник для 8-9 класса
5
Задача №4
Маша выписывает последовательно на доску по возрастанию все числа, в
которых число четных цифр равно числу нечетных цифр. Какое число выпишет
Маша сорок шестым?
Решение
В каждом из чисел четное число знаков. Среди 90 двузначных чисел ровно 45
удовлетворяют условию. Минимальное четырехзначное число, удовлетворяющее
условию, 1001, его Маша и выпишет на 46 шаге.
Ответ: 1001.
Задача №5
Найдите значение выражения 20132 – 20122 + 20112 –… – 22 + 12.
Решение
Разбиваем числа на группы 20132 и 20122, 20112 и 20102, … , 32 и 22, 1. Применяем
формулу разности квадратов в каждой группе А2-В2=(А-В)*(А+В). В каждой группе
множитель (А-В)=1. Получим, что значение выражения равно сумме первых 2013
натуральных чисел. Сумма первых 2013 чисел равна 2013*(2013+1)/2 по формуле
суммы первых n членов арифметической прогрессии.
Ответ: 2027091.
6
Электронная физико-техническая школа
3 Третьячастьзадания
Задача №1
На прямой отмечено пять различных точек. Середины всевозможных отрезков с
концами в отмеченных точках окрашены в красный цвет. Каким может быть
наименьшее число красных точек?
Решение
Можно считать, что крайними точками являются числа 0 и 1 на числовой
прямой, остальные три точки соответствуют числам a, b, c и 0  a  b  c  1. Числа
a b c 1 a 1 b 1 c 1
,
,
,
,
,
,
попарно различные и соответствуют серединам
2 2 2 2
2
2
2
отрезков.
Пример
Отметим точки 0, ¼, ½, ¾, 1. Середин отрезков с концами в отмеченных точках
будет ровно 7.
Ответ: 7.
Задача №2
У 10 девочек было по 10 конфет. Каждая девочка подарила несколько конфет другим
(конфеты, полученные в подарок, девочки оставляют себе). В результате у всех девочек
оказалось разное число конфет. Докажите, что какая-то из девочек подарила конфет не
меньше, чем у нее их оказалось в конце.
Решение
Допустим противное. Если у девочки осталось 5 или меньше конфет, то она
заведомо подарила не меньше 5 конфет (т.е. не меньше, чем осталось). Поскольку у
всех оказалось разное количество конфет, то общее число конфет будет не менее
6+7+…+15=105. Противоречие.
Задача №3
Пусть О – точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD, Р – вторая
точка пересечения окружности, проходящей через А, О, В с прямой ВС. Докажите,
что прямая АР касается окружности, проходящей через точки А, О, D.
Решение
ABCD – параллелограмм, значит, CBO  ODA . Пусть Р вторая точка
пересечения окружности с ВС. Тогда PAO  PBO как опирающиеся на одну
дугу. Поскольку получили, что PAO  ODA , АР – касательная (по обратной
теореме об угле между касательной и хордой).
0BРешебник для 8-9 класса
7
Задача №4
В каждой клетке таблицы 2013  2013 стоит число «+1» или «-1». Докажите, что
сумма произведений по всем строкам и всем столбцам таблицы не может быть равна
нулю.
Решение
Если сумма произведений по всем строкам и всем столбцам таблицы равна нулю,
то число произведений, равных 1, равно числу произведений, равных 1 и равно
2013. Но если перемножить все эти произведения, то должно получиться «+1», так
как каждое число в таблице участвует в этом произведении два раза. Противоречие.
Задача №5
Отрезок длиной 1000 полностью накрыт отрезками длиной 10. Найти
наибольшее возможное количество отрезков длины 10, если известно, что после
удаления любого из них отрезок длины 1000 не будет накрыт полностью.
Решение
Занумеруем отрезки длины 10 натуральными числами в порядке следования.
Если n-ый и (n + 2)–ой отрезки пересекаются, то (n + 1) можно удалить.
Следовательно, отрезки с различными нечётными номерами не пересекаются. На
отрезке длины 1000 нельзя расположить больше 99 непересекающихся отрезков
длины 10, значит, этих отрезков не больше 198. Расположим 198 отрезков так, чтобы
их центры образовывали арифметическую прогрессию, первый член которой равен
5, а 198-ой — 995. Между n-ым и (n + 2)-ым отрезками остаётся зазор, который
накрывается только (n + 1)-ым отрезком. Поэтому никакой из 198 отрезков нельзя
удалить.
Ответ: 198.
8
Электронная физико-техническая школа