Решение задач. а b ...

Решение задач.
3. Пусть а1 а 2 ...а п  данное число и b1b2 ...bn  число с переставленными цифрами. Тогда
а1+a2+…+an= b1+b2+…+bn.
Если сумма этих двух чисел равна 999
...
9 , то число цифр в исходном числе п=1999 и
1999
выполняются равенства:
а1+ b1=a2+b2 =…=an+bn=9. Тогда имеем:
2(а1+a2+…+an)=( а1+a2+…+an)+( b1+b2+…+bn)=(а1+ b1)+( a2+b2)+…+(
an+bn)=999…9
Получившееся равенство противоречиво, т.к. в левой его части четное число, а в правой
нечетное. Утверждение доказано.
4. Если из квадрата числа п+1 вычесть квадрат соседнего меньшего числа, то получим:
(п+1)2п2=2п+1, где пN. Число 7 должно быть представлено в виде 7=2п+1, тогда п=3.
Искомые числа 9 и 16.
Если из квадрата числа п+2 вычесть квадрат числа, меньшего п+2 на 2, то получим:
(п+1)2п2=4п+4. Число 7 не представимо в таком виде. Число 7 не представимо также в виде
(п+3)3п2 и т.д.  ответ единственный.
5. Ответ: 75, 50, 750 и 71, 73, 731.
6. Т.к. 60775=55111317, то возможные трехзначные числа 325 и 187, 221 и 275 и так как
595=5717, то возможные двузначные числа 35 и 17. Условию удовлетворяют числа 325 и 187.
 325 и 187.
7. S = 21 - сумма всех чисел от 1 до 6. Если а и b стоят на противоположных гранях, то S - a - b
должно делиться как на а, так и на b. Если а = 6, то 15 - b делится на 6, то есть против 6 стоит 3.
Если а = 5, то 16 - b делится на 5, значит b = 1 (6 уже занято). Наконец, если а = 4, то 17 - b
делится на 4, что невозможно, так как числа 1 и 5 уже заняты. Ответ: нет.
8. Если сложить пары чисел на противоположных гранях и эти три суммы перемножить,
получится сумма в вершинах. 70 раскладывается в произведение единственным способом:
2х5х7, откуда искомая сумма 2 + 5 + 7 =14.
9. Пусть а3 - 1 = 2к. Но а3 - 1 = (а - 1)(а2 + а + 1). Так как а2 + а + 1 нечетно при любом
натуральном а и не равно единице, этот множитель не является степенью двойки.
Противоречие.
Содержание:
Числа с заданными свойствами. Натуральные числа.