∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Лекция 11. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ
НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
b
∫ f (x )dx
2) из расходимости интеграла
следует расходи-
a
b
1. Признаки сравнения несобственных интегралов.
2. Абсолютная сходимость.
3. Признаки Дирихле и Абеля.
мость интеграла
a
1. Признаки сравнения несобственных интегралов.
Будем рассматривать случай несобственного интеграла от
функций, определенных на полуинтервале [a; b ) и интегрируемых по Риману на любом отрезке [a;η ] , a ≤ η < b (несобственный интеграл 1-го или 2-го рода)
Лемма 1. Если функция f (x ) неотрицательна на интервале
[a; b ) ,
► Для любого η ∈ [a; b ) имеем
∫ f (x )dx
a
∫ f (x )dx , η ∈ [a; b ) , было ограничено сверху, т.е. чтобы сущестa
вовала такая постоянная c > 0 , что для всех η ∈ [a; b ) выполнялось неравенство
η
∫
Случай 1. Если интеграл
∫
a
∫ g (x )dx
сходится, то согласно лем-
a
η
ме 1 интегралы
∫ g (x )dx , η ∈ [a; b) , ограничены сверху. Значит, и
a
η
интегралы
∫ f (x )dx
также ограничены сверху. По лемме 1 инте-
a
b
грал
∫ f (x )dx сходится.
a
b
Случай 2. Если интеграл
∫ f (x )dx
расходится, то в силу дока-
a
b
f (x )dx ≤ c .
занного 1) интеграл
a
∫ g (x )dx
не может сходится. Если бы он
a
Без доказательства.
Теорема 1 (признак сравнения). Пусть на промежутке
[a; b ) определены две неотрицательные функции f (x ) и g (x ) ,
интегрируемые на каждом конечном отрезке [a;η ] , a ≤ η < b ,
причем ∀x ∈ [a; b ) справедливо 0 ≤ f (x ) ≤ g (x ) . Тогда
b
1) из сходимости интеграла
∫ g (x )dx
a
b
интеграла
b
f ( x )dx ≤ ∫ g ( x )dx .
a
необходимо и достаточно, чтобы множество всех интегралов
η
b
b
b
то для сходимости несобственного интеграла
∫ g (x )dx .
∫ f (x )dx ,
a
219
следует сходимость
b
сходился, то и интеграл
∫ f (x )dx
также сходился бы. Значит,
a
b
интеграл
∫ g (x )dx расходится. ◄
a
Следствие 1 (предельный признак сравнения). Пусть на
промежутке [a; b ) определены две неотрицательные функции
f (x ) и g (x ) , интегрируемые на каждом конечном отрезке
[a;η ] , a ≤ η < b , причем ∀x ∈ [a; b ) g (x ) ≠ 0 , и существует конечный предел
220
lim
x →b
f (x )
= A>0.
g (x )
+∞
∫
1
b
Тогда 1) если интеграл
∫ g (x )dx
dx
3
x2
. Поскольку
сходится и 0 ≤ A < +∞ , то
1
3
x +1
a
b
интеграл
∫ f (x )dx сходится,
1
<
x
+∞
то из сходимости интеграла
a
b
2) если интеграл
∫ g (x )dx
∫ f (x )dx расходится,
f (x )
3) если lim
= 1 , то интегралы
x →b g ( x )
b
∫ g (x )dx
a
и
∫ f (x )dx
+∞
dx
∫ ln x , 2) ∫
0
1
dx
3
x +1
схо-
a
x3 + 1
согласно признаку сравнения
сходится.
b
О п р е д е л е н и е 1. Несобственный интеграл
dx
∫ ln x
с расходящимся ин-
0
dx
. Поскольку ln x = ln(1 + (x − 1)) ~ x − 1 при x → 1 ,
тегралом ∫
x
−
1
0
назы-
a
вается абсолютно сходящимся интегралом, если сходится инb
теграл
∫ f (x ) dx .
ln x
ln (1 + (x − 1))
= lim
=1.
x − 1 x →1
x −1
грала). Несобственный интеграл
∫ f (x )dx
абсолютно сходится
a
тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 существует такое η , что для всех η1 и η 2 , удовлетворяющих условию
η < η1 < b , η < η 2 < b , выполняется неравенство
dx
∫ ln x расходится.
0
2. Сравним данный интеграл со сходящимся интегралом
221
η2
∫ f (x ) dx < ε .
η1
Без доказательства.
1
Значит, интеграл
∫ f (x )dx
b
1
x →1
dx
, ∀x ∈ [1;+∞ )
Теорема 2 (критерий Коши абсолютной сходимости инте-
Р е ш е н и е . 1. Сравним интеграл
lim
3
x2
3
x2
a
.
1
то имеем
dx
1
2. Абсолютная сходимость.
b
дятся или расходятся одновременно.
Без доказательства.
Примеры. Исследовать на сходимость интегралы
1
∫
1
a
1)
+∞
следует, что интеграл
b
грал
1
расходится и 0 < A ≤ +∞ , то инте-
a
∫
=
3
b
Теорема 3. Если несобственный интеграл
∫ f (x )dx
a
но сходится, то он сходится.
222
абсолют-
b
► Если несобственный интеграл
∫
f (x )dx абсолютно сходит-
a
ся, то по теореме 2 для любого ε > 0 существует такое η , что
для всех η1 и η 2 , удовлетворяющих условию η < η1 < b ,
η < η 2 < b , выполняется неравенство
η2
∫ f (x ) dx < ε .
+∞
∫
1
sin xdx
сходится.
x
2. Из неравенства
1 − cos 2 x
2
следует, что для любого η > 1 выполняется неравенство
sin x ≥ sin 2 x =
η
η1
∫
Тогда
η2
+∞
Интеграл
η1
Интеграл
b
∫ f (x )dx сходится. ◄
∫
Замечание. Обратное верно не всегда.
+∞
Пример. Исследовать на сходимость интегралы 1)
∫
1
2)
∫
sin x dx
x
1
sin xdx
,
x
1
sin xdx
d (cos x )
cos x
⎛1⎞
=−
=−
+ cos xd ⎜ ⎟ =
x
x
x 1 1
⎝ x⎠
1
1
∞
∫
∫
1
+∞
∫
+∞
∫
1
1
+∞
грал
dx
∫ x2
∫
1
+∞
dx
∫ x2
сходится, то инте-
1
cos x
dx абсолютно сходится. Следовательно, интеграл
x2
223
+∞
∫
1
+∞
∫
1
sin 2 x
dx =
x2
sin 2 x
dx
x2
сходящийся, α = 2 > 1 .
Значит, интеграл
cos x
1
≤ 2 и интеграл
2
x
x
∞
1
+∞
cos x
dx .
x2
1
грал
∫
d (sin 2 x ) 1 sin 2 x
1
=
+
x
2 x 1 2
sin 2 x
sin 2 x
1
dx сходится, поскольку
≤ 2 и инте2
2
x
x
x
+∞
= cos1 − ∫
Поскольку
+∞
1
1
= − sin 2 +
2
2
и интеграл
+∞
∫
cos 2 xdx
сходится, поскольку
x
+∞
Р е ш е н и е . 1. Имеем
+∞
∫
cos 2 xdx 1
=
x
2
.
η
1 dx 1 cos 2 xdx
.
−
2 ∫1 x 2 ∫1
x
dx
расходится.
x
1
+∞
a
η
≥
∫
1
+∞
В силу критерия Коши для сходимости интеграла, интеграл
+∞
x
1
η2
∫ f (x )dx < ∫ f (x ) dx < ε .
η1
sin x dx
sin x dx
x
расходится.
3. Признаки Дирихле и Абеля.
Теорема 4 (признак Дирихле). Пусть на полуоси x ≥ a
1)функция f (x ) непрерывна и имеет ограниченную первообразную,
2)функция
g (x )
непрерывно
дифференцируема
и
224
lim g (x ) = 0 .
+∞
∫
x → +∞
+∞
Тогда интеграл
∫ f (x )g (x )dx сходится.
1
sin x arctg xdx
xp
сходится.
a
+∞
Пример. Исследовать на сходимость интеграл
∫
1
Вопросы для самоконтроля
sin xdx
,
xp
p > 1.
Р е ш е н и е . Функция f (x ) = sin x имеет ограниченную пер1
вообразную F ( x ) = − cos x , а функция g (x ) = p , p > 1 , убывает
x
1
при x → +∞ , т.е. lim p = 0 . Согласно признаку Дирихле интеx → +∞ x
1. Сформулируйте и докажите признак сравнения для неотрицательных функций.
2. Сформулируйте предельный признак сравнения для неотрицательных функций.
3. Какой несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся?
4. Сформулируйте признаки Дирихле и Абеля сходимости
несобственных интегралов.
+∞
sin xdx
сходится.
xp
1
Теорема 5 (признак Абеля). Пусть на полуоси x ≥ a
грал
∫
1)функция f (x ) непрерывна и интеграл
+∞
∫ f (x )dx сходится,
a
2)функция g (x ) непрерывно дифференцируема, ограничена и
монотонна.
+∞
Тогда интеграл
∫ f (x )g (x )dx сходится.
a
Пример.
Исследовать
на
сходимость
интеграл
+∞
sin x arctg xdx
, p > 1.
xp
1
∫
+∞
Р е ш е н и е . Интеграл
∫
1
sin xdx
, p > 1 , сходится, а функция
xp
g (x ) = arctg x ограничена и монотонна. В силу признака Абеля
интеграл
225
226