Приложения производной и дифференциала

1) Масса (в граммах) в тонком неоднородном стержне распределяется по закону m  l   4l  6l  9
( l - расстояние от начала стержня до любой его точки в см). Найдите плотность стержня на расстоянии 2 см от
начала стержня.
2

  l   m  l    4l 2  6l  9   8l  6
  2   8  2  6  10 (г/см)
2) Тело массой 4 кг движется прямолинейно по закону x  t   t  t  1 ( x - расстояние от начала координат
в метрах, t - время в секундах). Найдите кинетическую энергию тела через 5 секунд после начала движения.
2
E t  
mv 2  t 
2

v  t   x  t    t 2  t  1  2t  1
m   2t  1
E t  
2
2
4   2  5  1
E 5 
 242 (Дж)
2
2
3) На сколько увеличится при нагревании объём куба, ребро которого равно 10 см, если удлинение ребра
куба равно 0,03 см ?
Обозначим:
x - ребро куба;
x - изменение длины ребра куба.
Объём куба можно представить как функцию
V  x  x 3 .
Поскольку изменение ребра куба мало, приближённое вычисление изменения объёма куба через
дифференциал функции V  x  даст достаточно точный результат.
Полагаем
x0  10 , тогда x  0, 03 .
 
 
  3  10 2   0, 03  9 (см ).
x 10
x 0 ,03

V  dV  x 3  x  3 x 2  x
V
3
Ответ: V  9 см3.
1 4) На сколько увеличится при нагревании объём шара, радиус которого равен 10 см, если удлинение
радиуса шара равно 0,02 см ?
Обозначим:
x - радиус шара;
x - изменение радиуса шара.
Объём куба можно представить как функцию
4
V  x   x 3 .
3
Поскольку изменение ребра куба мало, приближённое вычисление изменения объёма шара через
дифференциал функции V  x  даст достаточно точный результат.
Полагаем
x0  10 , тогда x  0, 02 .
4

V  dV    x 3   x  4 x 2  x
3

V
x 10
x 0 ,02
 4  10 2  0, 02  8  25, 133 (см3).
Ответ: V  25, 133 см3.
5) Найти, на сколько увеличится площадь квадрата при увеличении его стороны на 0,01 см, если сторона
квадрата равна 5 см.
Обозначим:
x - сторона квадрата;
x - изменение стороны квадрата.
Площадь квадрата можно представить как функцию S  x   x .
2
Поскольку изменение стороны квадрата мало, приближённое вычисление изменения площади квадрата
через дифференциал функции S  x  даст достаточно точный результат.
Полагаем x0  5 , тогда x  0, 01 .
 

S  dS  x 2  x  2 x  x
S
Ответ:
x5
x 0 ,01
 2  5  0, 01  0, 1 (см2).
S  0, 1 см2.
2 6) На прямолинейном отрезке AB , соединяющем два источника света: A (силой p ) и B (силой q ), найти
точку M , освещаемую слабее всего, если AB  a . (Освещённость обратно пропорциональна квадрату
расстояния от источника света.)
Освещённость в точке
M от источника A составляет s A 
освещённость в точке M от источника B составляет s B 
p
x2
q
;
a  x 2
.
Суммарное освещение в точке M :
s  x  s A  s B 
p

q
a  x 2
Найдём экстремумы функции s  x  на промежутке  0 ; a  .
x
2
q
2p
2q
2 
3
 p

 px 2  q  a  x 
 2 px 3  2q  a  x    1   3 
s  x    2 
2
a  x 
a  x 3
x
x
s  x   0


2p

2q
a  x 3
q
p
 3
3
a  x
x
a  x 3  q x 3
p
x
3
ax 3
3

0
q
x
p
q
x x  a
p
 q

x   3  1  a
 p

a
x

q
1 3 
p

Найденная точка является точкой минимума функции, т.к. из формулы s  x  
p
x
2

q
a  x 2
видно, что в
момент начала удаления от любого источника освещённость от него резко падает, в то время как доля
освещённости от другого источника прибывает сначала медленно.
Ответ: освещённость слабее всего будет в точке, удалённой от источника a на расстояние x 
a

q
1 3 
p

.
3 7) Линеаризовать функцию f  x , y , z   e
5 x 6 y
 x yz
 sin 
 в окрестности точки M 0  6 ; 5 ; 1 .
5


Линеаризовать функцию f  x , y , z  в окрестности точки M 0  x0 , y0 , z0  - значит приближённо представить
её в виде:
f  x , y , z   f  x0 , y0 , z0  
df
dx
M0
 x  x0  
df
dy
 y  y0  
M0
df
dz
M0
 z  z 0 
Значение функции f  x , y , z  в точке M 0 :

f  6 ; 5 ; 1  e 5 6
65
 6  5  1 
0
 sin 
  e  sin 0  1  0  1
5


Частные производные функции f  x , y , z  :
df  x , y , z   5 x 6 y
 x  y  z  
 x yz
5 x 6 y 1
 e
 sin 
  cos 
   5e

dx
5
5
5

 x



df  x , y , z   5 x 6 y
 x  y  z  
 x yz
5 x 6 y 1
 e
 sin 
  cos 
   6e

5
5
5
dy

 y



df  x , y , z   5 x 6 y
1
 x  y  z  
 x yz
 e
 sin 
    cos 

5
5
dz

 x 5



Частные производные функции f  x , y , z  в точке M 0 :
df
dx
df
dy
df
dz

65
1
1 26
 6  5  1 
  cos 
5 
5
5
5 5



65
1
1 31
 6  5  1 
  cos 
6 
5
5
5 5


 5  e 5 6
M0
 6  e 5 6
M0

M0
1
 6  5  1  1
 cos 

5
5

 5
Линеаризованное представление функции f  x , y , z   e
5 x 6 y
M 0  6 ; 5 ; 1 :
 x yz
 sin 
 в окрестности точки
5


26
31
1
  x  6     y  5     z  1 
5
5
5
26
26  6 31
31  5 1
1
 1
x

y
 z 
5
5
5
5
5
5
26
31
1

x
y  z 1
5
5
5
f  x, y , z  1
Ответ: f  x , y , z  
26
31
1
x
y  z 1.
5
5
5
4