Лабораторная работа №1 - УрФУ

Министерство образования и науки РФ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Уральский федеральный университет
имени первого президента России Б.Н.Ельцина»
Нижнетагильский технологический институт (филиал)
ФИЗИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ
В трех частях
Часть 1
МЕХАНИКА.
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
Нижний Тагил
2011
1
УДК 537.11
Авторы-составители: А. А. Ходырев, К. И. Корнисик
Научный редактор: канд. физ.-мат. наук, доц. С. Е. Демин
Физический практикум : В 3 ч. Ч. 1. Механика. Молекулярная физика и термодинамика / авт.-сост. А. А. Ходырев, К. И. Корнисик ; М-во
образования и науки РФ ; ФГАОУ ВПО «УрФУ им. первого Президента
России Б.Н.Ельцина», Нижнетагил. технол. ин-т (фил.). – Нижний Тагил :
НТИ (ф) УрФУ, 2011. – 82 c.
Содержит указания к выполнению лабораторных работ по курсу механики, молекулярной физики и термодинамики, относящихся к первой
части общего физического практикума. Каждая лабораторная работа содержит краткие теоретические сведения, описание экспериментальной
установки, рекомендации по проведению эксперимента, контрольные вопросы и пример оформления отчета. Приводятся сведения о погрешностях
измерений, даются указания по математической обработке результатов лабораторных работ.
Предназначено для студентов всех форм обучения всех специальностей.
Библиогр.: 14 назв. Табл. 16. Рис. 19. Прил. 5.
Подготовлено кафедрой «Общая физика».
 Ходырев А. А., Корнисик К. И., составление, 2011
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ............................................................................................................. 4
Общие требования к студентам при проведении лабораторных работ ......... 5
Математическая обработка результатов измерений в лаборатории
физического практикума .................................................................................... 6
Лабораторная работа № 1. Определение плотности твердых тел
правильной геометрической формы ................................................................ 15
Лабораторная работа № 4. Определение коэффициента вязкости
жидкости по методу падающего шарика ....................................................... 30
Лабораторная работа № 7. Определение отношения теплоемкости газа
при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме ........... 42
Лабораторная работа № 8. Определение молярной массы
и плотности газа ................................................................................................ 57
Лабораторная работа № 9. Изучение законов вращательного движения
на маятнике Обербека ....................................................................................... 67
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ............................................................. 81
3
ВВЕДЕНИЕ
Лабораторный практикум занимает важное место в системе вузовской подготовки специалистов и является неотъемлемой частью курса общей физики. К главным задачам практикума по механике, молекулярной
физике и термодинамике можно отнести:
 освоение законов движения тел и их взаимодействия в единстве эксперимента и физической теории;
 ознакомление с современными приборами и другой измерительной
аппаратурой, с принципами их действия;
 получение общих сведений о сложности проведения измерений, точности получаемых величин, источниках вероятных ошибок;
 получение начальных практических навыков работы на экспериментальных установках, ознакомление с основными правилами техники
безопасности при проведении исследований;
 освоение простейших методов статистической обработки экспериментальных данных, овладение культурой записи получаемой информации, представление результатов в виде таблиц и графиков;
 осуществление анализа порядков изучаемых величин, определение
точности и степени достоверности полученных результатов, формулирование выводов по работе.
Лабораторный практикум позволяет организовать систематическую
работу студентов над содержанием курса в процессе подготовки к проведению экспериментов и к зачетам. Поскольку содержание лабораторных
работ охватывает основную часть учебной программы, то студенты, сдавая
допуски и зачеты по каждой лабораторной работе, проходят краткие собеседования практически по всему курсу. Учебная нагрузка студента по каждой лабораторной работе регулируется преподавателем, ведущим занятия
в данной студенческой группе.
4
ОБЩИЕ ТРЕБОВАНИЯ К СТУДЕНТАМ
ПРИ ПРОВЕДЕНИИ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ
Во втором семестре планируется выполнение 5 лабораторных работ,
выполняемых бригадами по два человека по графику, составленному преподавателем. Лабораторное занятие предполагает обязательную предварительную подготовку и включает четыре этапа:
Первый этап – допуск к выполнению эксперимента. Для получения
допуска необходимо:
1) иметь конспект описания работы, включающий основные сведения, необходимые для выполнения работы;
2) знать физический смысл определяемых в работе величин, содержание проверяемого закона или сущность исследуемого явления;
3) знать ход эксперимента и методику обработки полученных результатов.
Второй этап – проведение эксперимента в строгом соответствии с методикой, изложенной в описании работы. Полученные экспериментальные
результаты необходимо предъявить преподавателю непосредственно после
окончания измерений.
Третий этап – обработка результатов эксперимента и оформление
отчета по проделанной работе. Оформленный отчет должен быть представлен преподавателю на следующем, после выполнения работы, занятии.
Четвертый этап – зачет по лабораторной работе.
5
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ
ИЗМЕРЕНИЙ В ЛАБОРАТОРИИ ФИЗИЧЕСКОГО ПРАКТИКУМА
1. Измерение физических величин.
Погрешности измерений
Измерение – нахождение значения физической величины опытным путем при помощи специальных технических средств (приборов, установок).
Все измерения можно разделить на два типа: прямые и косвенные.
Прямым называется измерение, при котором искомое значение получается непосредственно из опытных данных. Например, прямыми являются
измерения массы при помощи весов, длины при помощи линейки и т. д.
Прямое измерение можно представить в виде
y = cx,
где
x – отсчет по шкале;
c – цена деления прибора.
Косвенным называется измерение, при котором искомое значение
величины находят вычислением на основании известной зависимости
между этой величиной и величинами, определяемыми в результате прямых
измерений.
Косвенное измерение можно представить в виде
y = f(x1, x2, x3, …, xn, a, b, c, …),
где
x1, x2, x3, …, xn – результаты прямых измерений;
a, b, c, … – некие константы.
Так, при определении плотности тела цилиндрической формы проводят прямые измерения его массы и размеров. Далее рассчитывают плотность по формуле

4m
,
d 2 h
где m – масса цилиндра;
d – диаметр;
h – высота.
Общей чертой любых измерений является то, что ни одно из них
нельзя выполнить абсолютно точно. Это означает, что результат любого
измерения всегда несколько отличается от истинного значения измеряемой
величины.
Погрешность измерения – это отклонение результата x измерения от
истинного значения x0 измеряемой величины.
6
Классификация погрешностей
Погрешности можно разделить по следующим признакам:
1. По форме представления.
1.1. Абсолютная погрешность Δ – разность между измеренным x
и истинным x0 значениями физической величины
Δ = x – x0
1.2. Относительная погрешность γ – отношение абсолютной погрешности Δ к истинному значению x0 измеряемой величины:


x0
Именно относительная погрешность позволяет нам судить о достоверности результата измерений. В лаборатории физического практикума
при выполнении измерений относительная погрешность не должна превышать 5 % (γ ≤ 5 %).
2. По причинам возникновения.
2.1. Погрешность метода измерения (обусловлена несовершенством
самого метода измерений).
2.2. Погрешность средств измерений (обусловлена техническими недостатками приборов).
2.3. Погрешность отсчитывания (обусловлена округлением показаний приборов).
3. По характеру изменения при повторных измерениях.
3.1. Случайная погрешность – составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом от измерения к измерению.
3.2. Систематическая погрешность – составляющая погрешности измерения, остающаяся неизменной или закономерно меняющейся при повторных измерениях. Часто к ним относят различного рода упрощения
и пренебрежения, округления констант, а также неточность приборов
(например, отставание секундомера или использование неправильно отрегулированных весов).
3.3. Грубые ошибки (промахи) – это измерения, резко отличающиеся
от большинства других подобных измерений. Такие измерения из общего
ряда результатов необходимо выбраковывать и при дальнейших расчетах
не учитывать.
7
2. Оценка границ погрешности результата
прямого измерения
2.1. Оценка границ случайной погрешности прямого измерения
Пусть в некоторой серии опытов получены n значений физической
величины x: x1, x2, ... , xn. Каждое отдельное измерение называют наблюдением; значения x1, x2, ... , xn – результатами наблюдений. В математической
статистике доказывается, что наиболее близким к неизвестному истинному
значению x0 физической величины является среднее арифметическое результатов наблюдений:
x 
x1  x2  ...  xn 1 n
  xi ,
n
n i 1
которое принято называть результатом измерения физической величины x.
Очевидно, что чем большее количество опытов проведено, тем ближе полученное значение x к истинному значению измеряемой величины:
x  x0 только при n → ∞.
Поскольку на практике невозможно провести бесконечного количества наблюдений, то необходимо для конечного числа опытов n оценить
возможное отклонение <x> от x0 . Это делается с применением аппарата
теории математической статистики.
Математической вероятностью P некоторого случайного события
называется предел отношения числа случаев Δn, благоприятных данному
событию к числу всех возможных случаев n, при стремлении последних
к бесконечности
P  lim
n
n
.
n
Математическая вероятность заключена в интервале 0 ≤ P ≤ 1.
dP = f(x)dx – вероятность попадания величины x в диапазон от x до
x + dx (x  [x, x + dx]).
dP
f ( x) 
– функция плотности вероятности.
dx
b
P   f ( x)dx .
a

 f ( x)dx  1 – условие нормировки функции распределения.

8
Очень часто при измерениях физических величин распределение результатов наблюдений подчиняется так называемому нормальному распределению (распределению Гаусса1):
  x  x0 2 
1
f ( x) 
exp 

2 2 
2

График этой зависимости представлен на рис. 1.
Рис. 1. Распределение Гаусса
Параметр  называется средним квадратичным отклонением (он характеризует разброс значений), а D =  2 – дисперсией распределения.
P( x) 
x0  x
 f ( x)dx
– доверительная вероятность.
x0  x
Рис. 2. Доверительная вероятность
x0 = x ± Δx = x ± k  – доверительный интервал,
где k – коэффициент надежности.
1
Карл Гаусс (1777–1855), немецкий математик, астроном и физик.
9
В зависимости от коэффициента надежности, доверительная вероятность принимает различные значения:
k = 1,
P = 0,6827;
k = 2,
P = 0,9545;
k = 3,
P = 0,9975.
Для нахождения σ необходимо провести бесконечно большое число
наблюдений и построить f(x). В реальных условиях число наблюдений конечно, поэтому можно найти лишь приближенную оценку  . Эта оценка
называется средним квадратичным отклонением среднего арифметического:
 xi 
n
Sx 
S
x
x
i 1

2
n(n  1)
  только при достаточно большом числе наблюдений (n > 30),
что в условиях учебной лаборатории не реально.
В этом случае используют распределение Стьюдента2 (1908 г.) для
малого числа n наблюдений.
Согласно результатам этой теории, доверительная граница x случайной погрешности измерения может быть найдена по формуле
 x  t P ,n S x ,
где tP, n – коэффициент Стьюдента, зависящий от числа опытов n и величины требуемого уровня достоверности результатов P (в лабораториях физического практикума принята величина P = 0,95).
Значения коэффициентов Стьюдента для доверительной вероятности
P = 0,95 указаны в табл. 1.
n
t0,95; n
2
12,7
3
4,30
4
3,18
5
2,77
6
2,57
7
2,45
8
2,36
9
2,31
Таблица 1
10
2,26
2.2. Оценка границ систематической погрешности прямого измерения
Иногда модуль и знак систематической погрешности известны. В
этом случае легко внести в показания приборов соответствующую поправку. Однако чаще встречаются такие систематические погрешности, модуль
и знак которых неизвестны. Такие погрешности называются неисключенными систематическими погрешностями и должны быть оценены.
2
Уильям Сили Госсет (1876–1937), английский статистик, работал под псевдонимом «Стьюдент».
10
Основной вклад в систематическую погрешность дают:
1) предел основной погрешности прибора осн;
2) погрешность отсчитывания отсч;
3) погрешность метода м.
Предел основной погрешности прибораосн, как правило, указывается
в его паспорте. Эта погрешность определяется неточностью самого прибора. Кроме того, для ряда приборов указывается класс точности прибора.
Класс точности δ показывает, сколько процентов от верхнего предела измерений составляет основная погрешность:

осн
 100 %
xmax
Зная  и xmax, также можно найти осн.
У электроизмерительных приборов класс точности указывается на
шкале. Существуют следующие классы точности электроизмерительных
приборов:
 = 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0
Приведем пример. Пусть имеется миллиамперметр класса точности
 = 1,0 с пределом измерения Imax = 100 мА. С помощью миллиамперметра
измерен ток I = 20 мА. Предел основной погрешности осн равен
осн   I max

1,0 %
 100 мА 
 1 мА .
100 %
100 %
Относительная погрешность измерения тока

осн
1 мА

 5 %.
I
20 мА
Погрешность отсчитывания отсч равна половине цены наименьшего
деления шкалы прибора:
c
отсч  .
2
Эта погрешность является систематической только при однократных
измерениях, при многократных измерениях она является случайной, т. е.
при n > 1 отсч пренебрегают.
Погрешность метода м необходимо учитывать лишь если она является существенной и задана в методичке.
11
Учитывая эти составляющие, доверительную границу  x неисключенной систематической погрешности можно записать в виде
2
2
 x  1,1 осн
 отсч
 м2 .
2.3. Оценка границ полной погрешности результата прямого измерения
После определения доверительных границ случайной и систематической погрешностей необходимо оценить границы Δx полной погрешности
результата прямого измерения. Для этого необходимо сравнить доверительную границу  x систематической погрешности и среднее квадратичное
отклонение S<x> результата измерений. Здесь возможны следующие случаи.

1.
Если x  0,8 , то систематической погрешностью, по сравнеSx
нию со случайной, пренебрегают и принимают, что граница полной погрешности равна случайной погрешности Δx =  x .
2.
Если
x
 8,0 , то случайной погрешностью, по сравнению
Sx
с систематической, пренебрегают и принимают, что граница полной погрешности равна систематической погрешности Δx =  x .
3.
Если 0,8 
x
 8,0 , то необходимо учитывать обе составляSx
ющих погрешностей. При этом доверительную границу полной погрешности результата оценивают по формуле
 x   2x  2x .
Примечания: 1. Проверку указанного в п. 1–3 критерия студент должен сделать
самостоятельно. В зависимости от получившегося значения, способ для оценки полной
погрешности прямого измерения студент выбирает сам.
2. Варианты записей, предлагаемые в методических указаниях по лабораторным
работам, не являются единственно возможными (как правило, в описаниях работ указан
только третий случай).
После определения границы погрешности результата измерения
окончательный результат записывается в виде
X = <x> ±Δx , P = 0,95.
12
Граница погрешности результата измерения округляется до одной
значащей цифры. При этом точность записей <x> и Δx должны совпадать,
т. е. последняя значащая цифра в них должна быть в одном и том же разряде.
Рассмотрим пример. Пусть путем многократного взвешивания была определена масса исследуемого тела <m> = 21,372 г с погрешностью
Δm = 0,014 г.
Сначала округлим погрешность измерения массы до одной значащей
цифры Δm = 0,01 г (получили точность до сотых долей грамма), затем до
того же разряда (т. е. до сотых) округляем среднее значение результата измерения <m> = 21,37 г. Окончательный результат записываем в виде
m = (21,37 ± 0,01) г,
P = 0,95.
3. Оценка границ погрешностей косвенного измерения
Пусть косвенное измерение искомой величины Y находятся по результатам прямых измерений x1, x2, …, xn при помощи известной зависимости
Y = f(x1, x2, …, xn).
(1)
Наиболее вероятным значением Y следует считать значение <y>, которое получится, если в формулу (1) подставить средние значения аргументов x1, x2, …, xn:
Y = <y> = f(<x1>, <x2>, …, <xn>).
Если x1, x2, …, xn являются независимыми друг от друга, то доверительная граница относительной погрешности γ измерения величины Y оценивается по формуле
 ln f  

 
 xi  .
y
i 1  xi

y
2
n
Только после этого вычисляют границу абсолютной погрешности результата измерения величины Y:
Y   y .
Окончательный результат косвенного измерения записывают в виде
Y = <y> ±ΔY , P = 0,95.
13
Пример. В лабораторной работе №1 плотность  твердого тела цилиндрической формы определяется согласно формуле

4m
(2)
2
d h ,
где m – масса цилиндра;
d – диаметр цилиндра;
h – высота цилиндра.
Прологарифмируем выражение (2):
ln   ln 4  ln m  ln   2 ln d  ln h .
Найдем частные производные от этого выражения по всем переменным:

ln    1 ;



ln    1 .
h
h

ln   1 ;
m
m

ln    2 ;
d
d
Запишем формулу для относительной погрешности результата измерения плотности:


 m      d   h  .
 
     2
  

 m      d   h 
2
2
2
2
Найдем границу абсолютной погрешности результата измерения плотности:
    .
Окончательный результат запишем в виде
 = <  > ±Δρ кг/м3, P = 0,95.
В заключение отметим, что окончательные результаты оценки погрешностей записываются с точностью до одной значащей цифры, а все промежуточные вычисления
величин θx, S<x>,  x и Δx необходимо проводить с точностью не более двух значащих
цифр.
14
Лабораторная работа № 1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
ПРАВИЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ
1. Плотность тела
В данной работе определяется плотность твердых тел. Плотностью
однородного тела называется физическая величина, численно равная массе
единицы его объема:
m
 ,
(1)
V
где m – масса тела,
V – объем тела.
Как видно из формулы (1), для нахождения плотности тела необходимо знать его массу и объем. Масса определяется взвешиванием на весах.
Так как тела, исследуемые в работе, имеют правильную геометрическую
форму, то для определения объема достаточно измерить их линейные размеры и произвести соответствующие вычисления.
2. Масштабная линейка и нониус
Для определения линейных размеров существуют различные приборы. Ниже рассмотрено устройство используемых в лабораторной работе
приборов: штангенциркуля и микрометра, а также порядок выполнения
ими измерений.
При измерении длины масштабной линейкой можно вполне точно
определить содержащееся в измеряемой длине целое число миллиметров,
но доли миллиметра точно определить нельзя.
Для отсчета десятых и сотых долей миллиметров масштабную линейку снабжают дополнительным устройством, называемым нониусом.
Применение нониуса основано на способности человеческого глаза точнее
оценивать совпадение штрихов, нежели расстояние между несовпадающими штрихами. Нониус представляет собой маленькую линейку, свободно
передвигающуюся вдоль масштабной линейки.
Нониус разделен на некоторое число делений n с таким расчетом,
чтобы его длине на масштабной линейке соответствовало число делений
линейки либо на единицу меньше (n – 1) для одного типа (рис. 1, a), либо
на 9 единиц больше (2n – 1) для другого типа нониусов (рис. 1, б).
15
Рис. 1. Схема устройства нониусов двух типов:
1 – масштабная линейка, 2 – нониус
Таким образом, линейный размер одного деления нониуса оказывается несколько меньше одного (рис.1, а), либо двух (рис.1, б) делений
масштабной линейки.
Разность между линейным размером одного (рис.1, а) или двух
(рис.1, б) делений масштабной линейки и линейным размером одного деления нониуса, называется точностью нониуса или его постоянной.
Если а – линейный размер одного наименьшего деления масштабной
линейки, b – линейный размер одного деления нониуса и n – число делений нониуса, то для нониуса первого типа (рис.1, а) имеем nb = (n – 1)a,
откуда его точность
a b 
a
,
n
(2)
для нониуса второго типа (рис.1, б) nb = (2n – 1)a, откуда точность нониуса
a
(2a  b)  .
n
(3)
Следовательно, точность нониуса численно равна отношению величины наименьшего деления масштабной линейки к числу делений нониуса.
На рис. 1, а и 1, б изображены нониусы, точность которых равна 1/10
деления масштаба. Бывают нониусы с точностью 1/5, 1/25, 1/50 и 1/100 деления масштаба.
Измерение длины какого-либо тела (образца) масштабной линейкой
с нониусом производится следующим образом. Масштаб прикладывается
16
своим нулевым делением к одному краю образца (рис. 2), а к другому подводится нулевое деление нониуса. Отсчитывают целое число делений
масштабной линейки, находящееся слева от нуля нониуса (на рис. 2 – три
деления). Затем смотрят, какое деление нониуса сливается в одну линию
с делением масштабной линейки. Номер совпавшего деления нониуса (на
рис. 2 – 6-е деление) умножают на точность нониуса (1/10) и получают
дробную часть длины образца (6/10). Окончательный результат измерения
равен сумме найденных величин – 3,6 деления. Таким образом, прежде чем
пользоваться нониусом, нужно знать его точность.
Рис. 2. Измерение длины образца масштабной линейкой с нониусом:
1 – образец, 2 – масштабная линейка, 3 – нониус
3. Штангенциркуль
Для измерения линейных размеров тел чаще пользуются не простой
масштабной линейкой, а особым прибором – штангенциркулем. Штангенциркуль (рис. 3) представляет собой масштабную линейку (с делениями
через 1 или 0,5 мм), на конце которой имеется клювовидный выступ A.
На линейку надета скользящая обойма с прорезью, снабженная выступом В. На скосе прорези обоймы нанесены деления нониуса. Когда выступы масштабной линейки и обоймы сдвинуты вплотную друг к другу,
нулевые деления масштаба и нониуса совпадают. Кроме того, штангенциркуль обычно снабжен дополнительными выступами A' и B', позволяющими определять внутренние размеры предмета (например, внутренний
диаметр трубок). У некоторых штангенциркулей на масштабную линейку
надет еще хомутик с микровинтом 6 и винтом 3. Для измерения размеров
предмета его помещают между выступами A и B, закрепляют хомутик винтом 3 и с помощью микровинта 6 зажимают предмет (без больших усилий)
так, чтобы он не выпадал из выступов. Затем винтом 2 зажимают обойму
и отсчитывают длину по масштабной линейке и нониусу, как указано выше (рис. 2). Предел основной погрешности штангенциркулей равен точно17
сти их нониусов (ГОСТ 166–89). Так, если точность нониуса равна 0,1 мм,
то погрешность измерения равна ±0,1 мм.
Рис. 3. Общий вид штангенциркуля:
1 – обойма, 2 и 3 – винты обоймы и хомутика, 4 – масштабная линейка,
5 – хомутик, 6 – микровинт, 7 – нониус
4. Микрометр
Для измерения малых наружных размеров с точностью до 0,01 мм
применяется микрометр. Основной частью его является микрометрический
винт (рис. 4), который применяется также в целом ряде приборов: сферометрах, компараторах, инструментальных микроскопах и др.
Микрометрический винт состоит из винтовой пары (гайка-болт) с малым шагом винта.
Устройство микрометрического винта основано на том, что линейное
перемещение винта прямо пропорционально величине шага и углу поворота:
lh

,
2
где l – линейное перемещение винта;
 – угол поворота винта в радианах;
18
(4)
h – шаг винта – смещение барабана вдоль линейной шкалы за один
оборот.
Рис. 4. Принципиальная схема измерения малых линейных размеров (а)
и примеры отсчета с помощью микрометрического инструмента (б и в):
(L1 = (5,00 + 0,27) мм = 5,27 мм; L2 = (5,50 + 0,25) мм = 5,75 мм)
Из рис. 4, а видно, что при движении точки A по винтовой линии
с небольшим углом подъема , ее малые линейные перемещения l в осевом
направлении значительно легче и точнее измерять, отсчитывая их угловое
перемещение. С этой целью на окружности отсчетного барабана нанесены
деления (рис.4, б), позволяющие отсчитывать малые линейные перемещения винта. Для измерения числа целых оборотов служит линейная шкала.
Пусть h – шаг винта, n – число делений, на которое разделен барабан.
Тогда цена деления микрометрического инструмента, соответствующая
его повороту на одно деление барабана, равная отношению шага винта
к числу делений круговой шкалы, называется точностью:
l
h
.
n
(5)
Например, если шаг винта h = 0,5 мм, а число делений на барабане
n = 50, то точность круговой шкалы
l
0,5
 0,01 мм/дел.
50
Размер L предмета, измеряемый микрометрическим инструментом,
определяется расстоянием от края скоса барабана до нулевого деления линейной шкалы инструмента. Следовательно, длина предмета с точностью
до 0,5 деления отсчитывается по линейной шкале, а десятые и сотые доли
миллиметра – по круговой шкале барабана. Примеры отсчета указаны на
рис. 4, б и в.
19
Микрометр (рис. 5) состоит из скобы 1, на которой крепятся основные детали, неподвижной пятки 2, вращающегося шпинделя 3 с микровинтом, стопорного винта 4 для закрепления шпинделя, гильзы 5 с линейной
(основной) шкалой 6, барабана 8 с круговой шкалой 7, колпачка 9 для
крепления барабана на шпинделе и трещотки 10, служащей для равномерного нажатия шпинделя на измеряемый образец.
Линейная шкала 6 на гильзе 5, деления которой нанесены через 1 мм,
представляет собой две шкалы, сдвинутые относительно друг друга на
0,5 мм и разделенные прямой линией. В результате этого нижняя шкала
делится верхней шкалой пополам. Скошенный край барабана 8 разделен на
50 делений и при вращении движется поступательно вдоль линейной шкалы микрометра, смещаясь при этом на 0,5 мм за 1 оборот.
Рис. 5. Общий вид микрометра:
1 – скобка, 2 – пятка, 3 – шпиндель, 4 – стопорный винт,
5 – гильза, 6 – линейная шкала, 7 – шкала барабана,
8 – барабан, 9 – колпачок, 10 – трещотка
Перед работой с микрометром необходимо проверить правильность
установки нуля. Для этого необходимо, вращая барабан при помощи трещотки, привести в соприкосновение шпиндель с пяткой. При правильной
установке нуля, скошенный край барабана должен проходить через нуль
линейной шкалы, а нуль круговой шкалы барабана – совпадать с горизонтальной линией основной шкалы. (Установка нуля производится дежурным лаборантом).
Измерения с помощью микрометра производятся в следующем порядке. Предмет помещают между пяткой 2 и шпинделем 3 и, вращая барабан при помощи трещотки 10, доводят шпиндель до упора о поверхность
предмета, сигналом чего служат щелчки трещотки. По линейной шкале
против скошенного края барабана отсчитывают целое число делений
20
с точностью до 0,5 мм. Десятые и сотые доли миллиметра отсчитывают по
делению круговой шкалы, оказавшемуся против горизонтальной линии основной шкалы, как это было указано выше (см. рис 4, б и в).
Так как с помощью микрометра можно измерить с точностью до
0,01 мм, то в качестве систематической погрешности при однократном измерении (а также при многократных измерениях, дающих одно и то же
значение) принимают половину этой величины, т. е. ±0,005 мм (ГОСТ
6507–60).
5. Взвешивание тела
Масса тела в данной работе определяется взвешиванием на технических весах.
Технические весы состоят из пластмассового основания 1 (рис. 6), на
котором крепится колонка весов 2. Сверху на колонке располагается основная часть весов – равноплечее коромысло 3, имеющее в середине призму 4, опирающуюся на стальную подушку 5.
Рис. 6. Технические весы:
1 – основание, 2 – колонка, 3 – коромысло, 4,6 – призмы, 5 – стальная подушка,
7 – сережки, 8 – чашки, 9 – стрелка, 10 – шкала, 11 – арретир
21
На концах коромысла на одинаковых расстояниях от середины
призмы 4 находятся еще две призмы 6, на которых с помощью сережек 7
подвешены две чашки 8.
К центру коромысел прикреплена длинная стрелка 9, фиксирующая
отклонение коромысла от положения равновесия по шкале 10.
Для освобождения движущихся частей весов существует арретир,
рукоятка 11 которого расположена в нижней части основания весов.
При работе с весами необходимо соблюдать следующие правила:
1. Взвешивать на весах только такие тела, вес которых не превышает предельную нагрузку весов (указывается на коромысле весов).
2. Класть на чашки весов или снимать с них взвешиваемые тела и разновески можно только тогда, когда весы арретированы.
3. Взвешиваемый груз следует класть на левую чашку весов, а разновески
на правую, при этом центр тяжести грузов и разновесок должен находиться посередине чашек.
4. Разновески следует брать только пинцетом. Разновески могут занимать
только два положения: в футляре и на правой чашке весов.
5. Освобождать и арретировать весы следует плавно и без толчков.
6. Не следует освобождать коромысло весов сразу полностью, пока весы
еще не вполне уравновешены; его следует освобождать лишь настолько,
чтобы можно было определить, какая из чашек легче. После каждой
«пробы» весы снова арретируют и добавляют или снимают разновески.
7. При полностью освобожденном коромысле амплитуда колебаний
стрелки должна быть не менее 3–4 делений.
8. После взвешивания весы сразу арретируются, а груз и разновески снимаются с чашек.
Существуют различные методы взвешивания. В данной работе применяется метод простого взвешивания – на одной чашке. Рекомендуется
следующая последовательность операций.
1) Определение нулевой точки ненагруженных весов . Нулевая точка (нуль, точка равновесия) весов – это то отделение шкалы,
против которого останавливается стрелка весов после прекращения колебаний.
Вследствие затухания колебаний последовательные отклонения
стрелки от нулевой точки уменьшаются. Поэтому взяв полусумму делений
n1 и n2, против которых стрелка останавливается в двух последовательных
крайних положениях, мы не получим истинного положения нулевой точки.
Необходимо взять нечетное число максимальных отклонений стрелки. В
нашей работе рекомендуется взять два отклонения (n1 и n3) влево и одно
отклонение (n2) – вправо.
22
Если нулевое деление шкалы находится посередине шкалы, то отклонение стрелки влево считается отрицательными, а вправо – положительными.
Тогда нулевая точка весов:
n1  n3
 n2
2
.
n0 
2
Пример 1. Пусть n1 = – 5 дел., n2 = 2 дел., n3 = – 4,5 дел. Тогда
5  4,5
2
2
n0 
 1,375  1 (дел.) .
2
т. е. нулевая точка весов находится слева от нуля шкалы. Здесь учитывается, что ошибка при взвешивании принимается равной цене деления весов. Поэтому результат округляется до целого значения.
Пример 2. Пусть n1 = –3 дел., n2 = 5 дел., n3 = –2,5 дел. Тогда
3  2,5
5
2
n0 
 1,125  1 (дел.) ,
2
т. е. нулевая точка весов находится справа от нуля шкалы.
2) Определение нулевой точки нагруженных весов . Взвешиваемое тело положить на левую чашку весов, уравновесить его разновесками и способом, описанным выше, определить нулевую точку n0
нагруженных весов. Записать массу разновесок, лежащих на чашке весов.
3) Определение цены деления нагруженных весов . Цена
деления весов – это нагрузка, вызывающая отклонение стрелки на одно деление шкалы. Эта величина зависит от нагрузки, поэтому ее определяют
при нагруженных весах. К разновескам, уравновешивающим взвешиваемое тело, добавить перегрузок в m0 = 20÷50 мг и вновь по качаниям стрелки определить нулевую точку n0".
Величина |n0" – n0'| дает число делений, на которое стрелка отклоняется от первоначального положения равновесия n0' под действием дополнительной нагрузки m0. Разделив эту нагрузку m0 на |n0" – n0'|, получим цену деления a.
4) Определение массы взвешиваемого тела . Умножив цену
деления на разность n0' – n0, где n0' – нулевая точка нагруженных весов (без
23
перегрузки), n0 – нулевая точка ненагруженных весов, получим добавку,
которую, в зависимости от знака n0' – n0 нужно прибавить (n0' – n0 > 0) или
отнять (n0' – n0 < 0) от массы разновесок, лежащих на чашке весов, чтобы
получить истинное значение массы взвешиваемого тела.
Пример 1. Пусть n0 = 1 дел., n0' = 5 дел., a = 4 мг/дел.
a (n0' – n0) = 4 (5 – 1) = 16 (мг).
Чтобы найти массу тела, к массе разновесок, лежащих на чашке весов, нужно прибавить 16 мг.
Пример 2. Пусть n0 = 1 дел., n0' = –6 дел., a = 4 мг/дел.
a (n0' – n0) = 4(–6 – 1) = –28 (мг).
Чтобы найти массу тела, от массы разновесок на чашке весов нужно отнять 28 мг.
Погрешность отсчитывания при взвешивании принимается равной цене деления
весов.
6. Порядок выполнения работы
В нашей работе объектами измерения служат цилиндрические тела,
изготовленные из различных материалов. Если объем цилиндра
V
d 2 h
,
4
(6)

4m
,
d 2 h
(7)
то формула (1) примет вид
где m – масса цилиндра;
d – диаметр образца;
h – высота образца.
Из формулы (7) видно, что для определения плотности цилиндра
необходимо знать его высоту, диаметр и массу. Высоту измеряют штангенциркулем, а диаметр – микрометром. Так как высота и диаметр
могут
в разных местах оказаться неодинаковыми, то их измерения следует производить не менее пяти раз каждое. Для этого нужно при измерении высоты цилиндр поворачивать вокруг оси, а диаметр измерять в разных местах
по высоте цилиндра. Результаты измерений записывают в таблицы отчета
(см. приложение). Среднее из полученных значений высоты и диаметра
принимают за величину, наиболее близкую к истинной.
24
Наконец, взвешиванием на технических весах определяют массу цилиндра и цену деления шкалы весов.
При проведении расчетов помните, что погрешность Δ  окончательного результата записывается с точностью до одной значащей цифры,
а промежуточные погрешности S,  ,  , γ – с точностью до двух значащих
цифр (значащие цифры приближенного числа – все его цифры, кроме нулей, стоящих в начале числа).
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте цель работы.
2. Перечислите основные измерительные операции и их последовательность.
3. Выведите формулу плотности для образца, имеющего цилиндрическую
форму.
4. Что такое нониус? Как он устроен?
5. Что называется постоянной нониуса и как ее определить? Какова единица ее измерения?
6. Как определить цену деления на барабане микрометра?
7. Как проверить правильность установки нуля микрометра?
8. Какова последовательность операций по определению длины, диаметра и массы образца?
9. Что называют нулевой точкой весов и как ее определяют?
10. Какова последовательность операций при взвешивании тела на технических весах?
11. Как находят абсолютную ошибку при взвешивании на технических весах?
25
ПРИЛОЖЕНИЕ
Пример оформления титульного листа
Министерство образования и науки РФ
ФГАОУ ВПО «Уральский федеральный университет»
имени первого президента России Б.Н. Ельцина»
Нижнетагильский технологический институт (филиал)
Кафедра общей физики
ОТЧЕТ
по лабораторной работе № 1
«Определение плотности твердых тел
правильной геометрической формы»
Студент(ка)_____________________
Группа_________________________
Дата___________________________
Проверил_______________________
Нижний Тагил
2011
26
Пример оформления отчета
1. Расчетная формула:

4m ,
d 2 h
где  – плотность материала; m – масса цилиндра; d – диаметр цилиндра;
h – высота цилиндра.
2. Средства измерения и их характеристики:
Таблица 1
Предел
Наименование
Предел измерений
Цена
Класс
основной посредства измерения
или номинальное деления точнои его номер
значение
шкалы
сти
грешности осн
Весы технические № …..
Штангенциркуль № …..
Микрометр № …..
3. Результаты измерений:
3.1. Измерение массы образца:
Нулевая точка ненагруженных весов: n0 = ……… делений;
Нулевая точка нагруженных весов: n 0 = …….. делений;
Нулевая точка перегруженных весов: n 0 = …….. делений;
Масса образца m = ..... г.
Перегрузка: m0 = ..... мг.
Отклонение стрелки при перегрузке на |n0"– n0'| = ..... дел.
m0
Цена деления весов: a 
= ..... мг.
n0  n0
Основная погрешность в определении массы:
осн  a n0  n0 = ..... мг.
Абсолютная погрешность в определении массы:
m = m =
ОТСЧ  ОСН = ..... г,
2
2
где отсч – погрешность отсчитывания, равная половине цены деления весов.
3.2. Измерение диаметра образца:
di, мм
Таблица 2
(di – d  ) , мм2
(di – d  ), мм
2
n
 d i  d  2  .....мм 2
d  = ..... мм
i 1
27
Среднее квадратичное отклонение:
n
(d i   d  ) 2

i 1
S d  
n(n 1)
= ..... мм.
Граница случайной погрешности:
d  t ( P, n)S d  = ..... мм,
где t(P, n) – коэффициент Стьюдента.
Граница неисключенной систематической погрешности:
d = осн = ..... мм.
Граница полной погрешности результата измерения диаметра:
2
= ..... мм.
 2d  осн
Δd =
Результат измерения диаметра:
d  = ..... мм,
Δd = ..... мм, P = 0,95
3.3. Измерение высоты образца:
Таблица 3
(hi – h ) , мм2
(hi – h ), мм
hi, мм
2
n
(hi   h ) 2 = ..... мм2

i 1
h = ..... мм
Среднее квадратичное отклонение:
n
S  h 
(hi   h ) 2

i 1
n(n 1)
= ..... мм.
Граница случайной погрешности:
h  t ( P, n)S h = ..... мм.
Граница неисключенной систематической погрешности:
28
 h = осн = ..... мм.
Граница полной погрешности результата измерения высоты:
2
= ..... мм.
 2h   осн
Δh =
Результат измерения высоты:
h = ..... мм,
Δh = ..... мм, P = 0,95
4. Расчет искомой величины в СИ:

4m = ..... кг/м3.
d 2h
5. Оценка границы относительной погрешности результата измерения плотности:

 m      d   h  = .....
 
 
  2
  

 m      d   h 
2

2
2
2
6. Оценка границы абсолютной погрешности результата измерения плотности:
   = ..... кг/м3,
P = 0,95.
7. Окончательный результат:
     = (……. ± ……)·103 кг/м3, P = 0,95.
8. Выводы.
29
Лабораторная работа № 4
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ
ПО МЕТОДУ ПАДАЮЩЕГО ШАРИКА
1. Основные теоретические сведения
Вязкостью или внутренним трением называется особое свойство
жидкости и газа, заключающееся в том, что при перемещении одной части
жидкости или газа относительно другой возникает сила, направленная
против скорости этого относительного движения.
Рис. 1. Объяснение вязкости
Возникновение этой силы можно объяснить так: пусть жидкость или
газ движутся вдоль какой-либо твердой пластины ab (рис.1) в направлении, указанном стрелкой. Это направление мы примем за Ox, а перпендикулярное ему направление за ось Oy.
Молекулы жидкости (или газа), непосредственно прилегающие к пластинке, прилипают к ней вследствие сил притяжения, действующих между
ними и молекулами материала пластины. Значит, скорость этого слоя окажется равной нулю, скорость молекул следующего слоя уже отлична от
нуля, т. к. тормозящее действие пластины на этот слой меньше. Но скорость молекул этого слоя меньше, чем в слое еще более удаленном. На более удаленные от пластины слои жидкости (или газа) действие самой пластины уже ничтожно мало, но зато большую роль играет взаимодействие
между молекулами самой жидкости. Благодаря этому взаимодействию на
каждый слой жидкости со стороны нижележащего слоя действует тормозящая сила. В то же время со стороны вышележащего слоя на него действует ускоряющая сила.
30
Таким образом, оказывается, что всю толщину жидкости (или газа)
можно рассматривать как составленную из множества слоев, скорости которых различны и меняются от нуля у самого нижнего слоя до некоторой
максимальной скорости у самого верхнего слоя.
Благодаря тепловому движению молекулы жидкости (или газа) переходят из одного слоя в другой, перенося с собой некоторый импульс m :
молекулы из более медленно движущегося слоя переходят в слой с большей скоростью и, таким образом, уменьшают его импульс, а значит
и скорость. Наоборот, молекулы из более быстрых слоев, переходя в слой,
движущийся с меньшей скоростью, увеличивают импульс, а значит и скорость последнего. В жидкостях, которыми мы в дальнейшем будем заниматься, главную роль играет не тепловое молекулярное движение, а силы
взаимодействия между молекулами. Если речь идет о газе, то главной причиной вязкости является тепловое движение молекул газа.
Если мы возьмем какое-либо сечение жидкости AB, перпендикулярное направлению ее движения (рис. 1), то вдоль оси Oy скорости слоев
жидкости будут увеличиваться по мере удаления от пластины, вдоль которой происходит движение.
Сила F внутреннего трения (или вязкости), как впервые показал
Ньютон, пропорциональна площади S соприкосновения слоев жидкости,
а также градиенту скорости вдоль оси Oy, т. е. вдоль направления, перпендикулярного движению жидкости. Напомним, что градиент скорости равен
d
изменению скорости на каждой единице длины, т. е. в нашем случае
.
dy
Формулу для силы F можно поэтому записать так:
F  S
d
.
dy
(1)
Здесь  – коэффициент пропорциональности, различный для разных
жидкостей. Именно этот коэффициент определяет вязкие свойства данной
жидкости. Называется он коэффициентом динамической вязкости или проd
сто вязкостью. Смысл его ясен из формулы (1). Если градиент скорости
dy
paвен единице (это значит, что на каждой единице длины вдоль оси y скорость изменяется на единицу), и S = 1, то  = F, т. е. коэффициент вязкости
равен силе, действующей на каждую единицу площади соприкосновения
слоев при градиенте скорости (в направлении, перпендикулярном движению) равном единице.
Из уравнения (1) видно, что размерность коэффициента вязкости
31
  ML1T 1 .
В системе СИ динамический коэффициент вязкости измеряется
Нс
в паскаль-секундах (1 Па·с = 1 2 ).
м
В системе СГС единица измерения динамического коэффициента
вязкости названа в честь французского физика Ж. Л. М. Пуазейля пуазом
г
и имеет размерность 1 П  1
 0,1 Па  с .
см  с
Возникновение вязкости у газов обусловлено переносом импульса
упорядоченного движения молекул газа из слоя в слой при их тепловом
движении. Он определяется, главным образом, силами межмолекулярного
взаимодействия. Так как молекулы жидкости расположены на близком
расстоянии друг от друга, то силы притяжения между ними значительны,
они и обуславливают большую вязкость жидкости. Кроме сил притяжения
между молекулами существуют и силы отталкивания, препятствующие
сближению молекул. Совместное действие этих сил приводит к тому, что
для каждой молекулы существует положение равновесия, около которого
она колеблется в течение некоторого времени (~ 10–10 с), называемого временем оседлости. По истечении этого времени молекула перемещается
в новое положение равновесия на расстояние ~ 10–10 м.
Возможность изменения положения молекул приводит к их подвижности и, следовательно, к текучести , которая является величиной, обратной вязкости
1
 .

При повышении температуры T энергия колебательного движения
молекул возрастает, уменьшается время оседлости и коэффициент вязкости резко падает. Зависимость  от T выражается следующим образом:
  Ae

W
kT
,
(2)
где A – коэффициент, зависящий от рода жидкости;
 – плотность жидкости;
k – постоянная Больцмана;
e – основание натуральных логарифмов;
ΔW – энергия активации, т. е. та энергия, которую необходимо сообщить молекуле, чтобы она смогла преодолеть связь с соседними молекулами и переместиться в новое положение равновесия.
32
Из формулы (2) видно, что с ростом температуры жидкости коэффициент вязкости уменьшается по экспоненциальному закону, т. е. очень быстро.
2. Измерение вязкости жидкости
Вязкость жидкости имеет большое значение для практических целей.
Например, без знания вязкости нельзя рассчитать энергию, необходимую
для перекачивания жидкости по трубам (нефти в нефтепроводах, воды
в водопроводах), рассчитать смазку машин. Вязкость расплавленного шлака играет важную роль в мартеновском и доменном процессах. Иногда измерение вязкости позволяет судить о готовности некоторых продуктов
производства.
Таким образом, измерение вязкости жидкости относится к числу
очень важных измерений.
Из многочисленных методов определения вязкости в настоящей работе используется один из наиболее
простых – метод Стокса. Он основан на измерении скорости шарика, падающего в исследуемой жидкости.
Шарик изготовлен из материала, хорошо смачиваемого
жидкостью, поэтому к его поверхности «прилипает»
концентрический слой жидкости, неподвижный относительно шарика. Между этим слоем, движущимся со
скоростью шарика, и остальной (неподвижной) жидкостью возникает сила внутреннего трения F, направленная против скорости шарика, т. е. вверх (рис. 2). Эта сила тем больше, чем больше скорость шарика.
Рис. 2. Движение
Как показал Стокс, сила внутреннего трения F,
шарика
действующая на шарик малого размера, при его падев жидкости
нии в жидкости прямо пропорциональна скорости его
падения υ, радиусу шарика r и зависит от динамического коэффициента
вязкости  :
F  6 r ,
(3)
где  – коэффициент вязкости жидкости;
r – радиус шарика;
 – скорость падения шарика.
На движущийся в жидкости шарик действуют еще две силы:
сила

тяжести F1 , направленная вертикально вниз, и сила Архимеда F2 , направленная вверх.
33
Сила тяжести
F1  mg 
d 3
1 g ,
6
d 3
d 3
где m 
– объем шарика, d – его диаметр,
1 – масса шарика,
6
6
1 – плотность материала, из которого сделан шарик.
Сила Архимеда
d 3
F2 
2 g ,
6
где 2 – плотность жидкости.
Так как сначала скорость шарика быстро нарастает, то вместе с ней
нарастает и сила трения F . Должен наступить момент, когда равнодействующая
 
 всех сил, действующих на шарик, станет равной нулю:
F1  F2  F  0 . Тогда шарик будет падать равномерно c постоянной скоростью . Переходя в последнем равенстве от векторных величин к скалярным, получаем F1  F2  F или
d 3
d 3
1 g 
2 g  6 r ,
6
6
(4)
откуда коэффициент вязкости равен
d 2 g (1   2 )
,

18
(5)
где d – диаметр шарика;
1 – плотность материала шарика;
2 – плотность жидкости;
υ – скорость установившегося движения шарика в жидкости;
g – ускорение свободного падения.
Все величины, входящие в формулу (5), могут быть непосредственно измерены или рассчитаны,
а скорость, установившегося движения шарика, необходимо определить
опытным путем.
34
3. Описание установки и вывод расчетной формулы
Для определения скорости  падения шарика
служит установка, схематически изображенная на
рис. 3.
На массивной стойке 1 установлен высокий
цилиндрический стеклянный сосуд 2 (сосуд Стокса),
наполненный доверху исследуемой жидкостью.
Сверху сосуд закрыт крышкой 3, в которой имеется
отверстие 4. На стеклянном сосуде нанесены две
метки a и b. Сосуд установлен вертикально. Это необходимо для того, чтобы падающий шарик двигался
приблизительно вдоль оси цилиндра.
Зная расстояние L между метками a и b и время
 , в течение которого шарик проходит это расстояние, найдем скорость его падения:

L
.

(6)
Подставляя найденное значение скорости в
уравнение (5), окончательно получим формулу для
определения коэффициента динамической вязкости
жидкости:
Рис. 3. Сосуд Стокса
d 2 (1   2 )g
.

18L
(7)
4. Порядок выполнения работы
1. Диаметр каждого шарика (в данной работе их дается три) измерьте
микрометром. Измерять диаметр каждого шарика следует в трех разных
направлениях и взять его среднее значение. Результаты измерений занесите в табл. 2.
2. Массу каждого шарика определите с помощью торсионных весов.
Результаты наблюдений занесите в табл. 3.
3. Зная средние диаметр и массу шариков, рассчитайте их среднюю
плотность 1 по формуле
35
1 
6m
d
3
,
(8)
где m – средняя масса шариков,
d – средний диаметр шариков.
4. Плотность жидкости 2 определите с помощью ареометра, который погружен в небольшой цилиндрический сосуд, наполненный той же
жидкостью, что и сосуд Стокса. При этом нужно следить, чтобы ареометр
находился приблизительно на оси сосуда, а не вблизи его стенок.
5. Определение скорости падения шарика производится следующим
образом. Шарик опускается в жидкость через отверстие 4. В тот момент,
когда он проходит верхнюю метку a, пускают в ход секундомер (метка a
расположена в таком месте сосуда, где движение шарика может считаться
уже равномерным). Когда шарик, падая, проходит метку b, секундомер
останавливают и, таким образом, определяют время падения шарика между метками. Измерив расстояние ab = L линейкой, находят скорость падеL
ния шарика по формуле   .

ВНИМАНИЕ! При наблюдении за движением шарика (в момент пуска и остановки секундомера) глаз нужно располагать перпендикулярно
шкале.
6. Вычислите динамический коэффициент вязкости шариков по
формуле (7).
7. Рассчитайте систематические и случайные погрешности при измерении вязкости жидкости.
Контрольные вопросы
1. Что называется вязкостью?
2. В чем различие механизма вязкости в жидкости и газе?
3. В чем сущность метода Стокса?
4. В чем физический смысл коэффициента вязкости?
5. В каких единицах измеряется коэффициент вязкости?
6. Как изменяется с температурой динамический коэффициент вязкости?
7. Выведите расчетную формулу для вычисления вязкости по методу
Стокса.
8. Как определяется скорость падения шариков?
9. Какие силы действуют на шарик во время его движения в жидкости?
10. Как определяются плотности жидкости и материала шариков?
36
ПРИЛОЖЕНИЕ
Пример оформления титульного листа
Министерство образования и науки РФ
ФГАОУ ВПО «Уральский федеральный университет»
имени первого президента России Б.Н. Ельцина»
Нижнетагильский технологический институт (филиал)
Кафедра общей физики
ОТЧЕТ
по лабораторной работе № 4
«Определение коэффициента вязкости жидкости
по методу падающего шарика»
Студент(ка)_____________________
Группа_________________________
Дата___________________________
Проверил_______________________
Нижний Тагил
2011
37
Пример оформления отчета
1. Расчетная формула:

где 1 
d 2 g (1   2 ) ,
18
6 m
– плотность материала шариков;
3
 d
ρ2– плотность жидкости;
d – среднее значение диаметра шариков;
g – ускорение свободного падения;
m – среднее значение массы шарика;
 – скорость установившегося движения шарика в жидкости.
2. Эскиз установки.
3. Средства измерения и их характеристики:
Установка № ..... для определения вязкости жидкости.
Исследуемая жидкость – вакуумное масло.
Таблица 1
Наименование
средства измерения
и его номер
Предел
измерения или
номинальное
значение меры
Предел
Цена деления
Класс
основной пошкалы
точности
грешности осн
Торсионные весы №.....
Микрометр №.....
Секундомер №.....
Шкалы:
минутная
секундная
Линейка
Ареометр № .....
Термометр № .....
4. Результаты измерений:
4.1. Измерение диаметра шариков:
di, мм
Таблица 2
(di – d  )2, мм2
(di – d  ), мм
n
  di   d  
d  = ..... мм
i 1
38
2
 .....
мм2
Среднее квадратичное отклонение:
n
 (di   d  ) 2
i 1
S d  
n(n  1)
= ..... мм.
Граница случайной погрешности:
d  t ( P, n)S d  = ..... мм,
где t(P,n) – коэффициент Стьюдента.
Граница неисключенной систематической погрешности:
d = осн = ..... мм.
Граница полной погрешности результата измерения диаметра:
Δd =
2
= ..... мм.
 2d  осн
Результат измерения диаметра:
d  = ..... мм,
Δd = ..... мм,
4.2. Измерение массы шариков:
P = 0,95.
Таблица 3.
(mi – m ) , г2
2
(mi – m ), г
mi, г
 mi 
n
m = ..... г
i 1
Среднее квадратичное отклонение:
n
S m 
 (mi   m )2
i 1
n(n  1)
= ..... г.
Граница случайной погрешности:
m  t ( P, n)S m = ..... г,
где t(P,n) – коэффициент Стьюдента.
Граница неисключенной систематической погрешности:
m = осн = ..... г.
Граница полной погрешности результата измерения массы:
39
m
2
=…г
2
 2m  2m = ..... г.
Δm =
Результат измерения массы:
m = ..... г,
Δm = ..... г,
P = 0,95.
4.3. Определение скорости установившегося движения шариков:
Расстояние между метками:
L = ..... мм.
Измерение времени и скорости движения шариков:
 i, с
i, мм/с
  = ..... с
  = ..... мм/с
Таблица 4
(υi –   ) , (мм/с)2
2
(i –   ), мм/с
n
i    

i 1
2
 ..... (мм/c)2
Среднее квадратичное отклонение:
n
S   
( i    ) 2

i 1
n(n 1)
= ..... мм/с.
Граница случайной погрешности:
ε  t ( P,n)S  = ..... мм/с,
где t(P,n) – коэффициент Стьюдента.
Ввиду того, что граница неисключенной систематической погрешности  значительно меньше , границу абсолютной погрешности результата измерения скорости,
установившегося движения шарика Δ, считаем приблизительно равной : (Δ ≈ ).
Граница полной погрешности результата измерения установившейся скорости
шарика:
Δ ≈  = ..... мм/с.
Результат измерения скорости:
  = ..... мм/с,
Δ = ..... мм/с, P = 0,95.
4.4. Измерение плотности жидкости:
2 = ..... г/см3.
Граница систематической погрешности измерения плотности жидкости:
3
2
2
2    1,1 ОСН  ОТСЧ = ………..г/см , P = 0,95.
2
40
4.5. Измерение температуры жидкости:
t = ..... ˚С.
Граница систематической погрешности измерения температуры:
2
2
= ..... ˚С, P = 0,95.
t  t  1,1 осн
 отсч
5. Расчет искомой величины:
5.1. Расчет плотности материала шариков:
1 
6 m = ..... кг/м3.
3
d
5.2. Расчет вязкости жидкости:

d 2 g (1   2 ) = ..... Па·с.
18
6. Расчет границ погрешностей:
6.1. Расчет границы абсолютной погрешности результата измерения плотности
материала шариков:
2
2
 m   d 
3
  3
 = ..... кг/м .
1  1 
 

 m   d 
6.2. Расчет границы абсолютной погрешности результата измерения вязкости
жидкости:




2
2
2
 d   1   2     2
= ….
2

 d                 
 1
2
2

  1
6.3. Расчет границы абсолютной погрешности результата измерения вязкости:
   = ..... Па·с.
7. Окончательный результат:
Вязкость жидкости при температуре t = ..... ˚С
      (.....  .....) Па  с ,
8. Выводы.
41
P = 0,95.
Лабораторная работа № 7
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ТЕПЛОЕМКОСТИ ГАЗА
ПРИ ПОСТОЯННОМ ДАВЛЕНИИ К ТЕПЛОЕМКОСТИ ПРИ
ПОСТОЯННОМ ОБЪЕМЕ
1. Основные теоретические сведения
Теплоемкостью тела называется физическая величина, численно
равная количеству тепла, которое необходимо сообщить телу, чтобы повысить его температуру на один кельвин.
Теплоемкость единицы массы называется удельной теплоемкостью,
а теплоемкость одного моля вещества – молярной теплоемкостью. Таким
образом,
Q
,
c
m  dT
Q
,
(1)
Cm 
  dT
где c и Cm – удельная и молярная теплоемкости;
δQ – количество теплоты;
dT – приращение температуры;
m – масса тела;
m

– количество вещества;
M
M – молярная масса вещества.
Величина теплоемкости вещества в общем случае зависит от условий нагревания и температуры.
Рассмотрим теплоемкости идеального газа при его изобарном
и изохорном нагревании.
Из первого начала термодинамики следует, что при изобарном процессе (p = const), подведенное к газу тепло расходуется на увеличение его
внутренней энергии и на совершение работы против внешних сил:
δQ = dU + δA.
Изменение внутренней энергии идеального газа равно
dU 
m i
R  dT .
M2
42
Элементарная работа газа при равновесном изобарном расширении
равна
dAp  pdV 
m
RdT .
M
Таким образом,
Q 
m i

R  1dT .
M 2 
(2)
Из формул (1) и (2) получается выражение для молярной теплоемкости идеального газа при постоянном давлении:
i2
i

Cmp    1 R 
R,
2
2 
(3)
где i – число степеней свободы молекул газа;
R – молярная газовая постоянная.
При изохорном нагревании газа (V = const) его работа против внешних сил равна нулю (δAp = p·dV = 0), все подведенное тепло идет на приращение внутренней энергии газа (δQ = dU) и молярная теплоемкость равна
CmV 
i
R.
2
(4)
Таким образом, теплоемкость идеального газа не зависит от температуры, определяется только числом степеней свободы молекул газа и является функцией процесса.
Из выражений (3) и (4) следует, что отношение теплоемкости Cmp
к теплоемкости CmV равно

Cmp
CmV

i2
.
i
(5)
Величину γ называют коэффициентом Пуассона или показателем
адиабаты. Определение величины γ важно потому, что она входит в уравнения, описывающие адиабатные процессы и процессы, близкие к ним,
такие как распространение звука, течение газов со звуковыми и сверхзвуковыми скоростями и т. п.
43
Зная число степеней свободы молекул однокомпонентного газа,
легко рассчитать коэффициент γ. Однако для смеси газов расчет осложняется тем, что нужно знать процентное содержание каждого газа в смеси.
Поэтому практически удобнее не производить вычисления, а определять
коэффициент γ непосредственно на опыте.
Целью настоящей работы является определение коэффициента Пуассона γ воздуха весьма простым экспериментальным методом Клемана–
Дезорма (1819 г.).
2. Метод Клемана–Дезорма
Метод Клемана–Дезорма по определению коэффициента Пуассона γ
базируется на измерении давления газа в одном и том же сосуде последовательно проходящего через три состояния: из первого во второе газ переходит адиабатно, из второго в третье – изохорно. Рассмотрим это более
подробно.
В стеклянный баллон нагнетается воздух до давления p1, которое
превышает атмосферное давление p0 на небольшую величину p', т. е.
p1 = p0 + p' и p' << p0. После установления термодинамического равновесия
с окружающей средой температура в баллоне будет T1.
Таким образом, начальное состояние газа (состояние 1 на рис. 1)
определяется параметрами: p1, V1, T1.
Рис. 1. Схема термодинамических процессов
Затем баллон на короткое время при помощи крана K1 (рис. 2) соединяют с атмосферой, при этом давление в баллоне падает до значения p2,
равного атмосферному: p2 = p0
Этот процесс расширения газа происходит достаточно быстро, поэтому теплообменом с окружающей средой через стенки баллона можно
пренебречь и считать процесс адиабатным. Воздух в баллоне перейдет
44
(рис.1) в состояние 2 с параметрами p2, V2, T2, причем V1 < V2 и T1 > T2. Будем считать, что V2 – это объем баллона. При адиабатном расширении
часть воздуха выходит в атмосферу, поэтому необходимо иметь в виду, что
V1 – это объем воздуха в состоянии 1, несколько меньший объема баллона
(на величину, которую занимает воздух при давлении p1, вышедший в атмосферу при открывании крана).
Связь между состояниями 1 и 2 определяется уравнением Пуассона:


p1V1  p2V2 p1V1  p2V2 ,
с другой стороны
p1V1 p2V2
.

T1
T2
Отсюда легко получается зависимость между давлением и температурой газа в этих состояниях:
 p1 
 
 p2 
 1

T 
  1  .
 T2 
(6)
В дальнейшем, после закрытия клапана, воздух в баллоне изохорно
нагревается до температуры окружающей среды T1, а давление повысится
до значения p3, которое превысит атмосферное p0 на небольшую величину
p'', т. е. воздух переходит (рис. 1) в состояние 3 с параметрами p3, V3, T3,
при этом p3 = p0 + p'' и p'' << p0.
Связь между состояниями 2 и 3 находится из уравнения изохорного
процесса
p2 p3
.

T2 T1
(7)
Из формул (6) и (7) с учетом того, что p1 = p0 + p', а p3 = p0 + p'' получается:
 1
p 
  3  ;
 p2 
 1
 p  p 
 ;
  0
p
0


 1

p 
 .
 1 
p
0 

 p1 
 
 p2 
 p0  p  


p
0



p 
1 

p
0 



45

Так как p' << p0 и p'' << p0, то разлагая оба двучлена в ряд и ограничиваясь членами первого порядка, получаем
1  (   1)
откуда:

p
p
1  ,
p0
p0
p
.
p  p
(8)
Давления p' и p'' измеряются с помощью жидкостного манометра.
Учитывая, что давление столба жидкости пропорционально плотности жидкости  и высоте столба h, p' и p'' можно выразить следующим
образом:
p  gh1
,
p  gh2
(9)
где g – ускорение свободного падения.
Подставляя равенство (9) в формулу (8), получим расчетную формулу для определения коэффициента Пуассона γ:

h1
.
h1  h2
(10)
3. Работа при адиабатном процессе
В данной лабораторной работе также определяется работа при адиабатном расширении газа на участке кривой 1–2 (рис. 1)
Адиабатным называется процесс, происходящий без теплообмена с
окружающей средой (Q = 0).
Из первого начала термодинамики для адиабатного процесса
(Q = 0 = ΔU + A) следует, что
A  U 
m i
R(T1  T2 ) ,
M2
(11)
т. е. газ, адиабатно расширяясь, совершает работу против внешних сил за
счет уменьшения своей внутренней энергии, при этом его температура
уменьшается, что видно из формулы (11) (A > 0, поэтому T1 > T2).
В формуле (11) работа адиабатного расширения газа определена через изменение температуры. Однако в этом процессе меняется не только
46
температура, но и давление и объем. Выразим работу через изменение этих
параметров.
m
i2
Учитывая формулу (6), а также p1V1  RT1 , и  
получим
M
i
 1


 T2  p1V1   p0   
m i

A
RT1 1   
1  
,



M2
T


1
p

p

1 
 
  0

или, заменяя p1 = p0 + p' и p2 = p0, находим
 1


 p0  pV1   p0   
A
1
.
  1   p0  p  


(12)
(13)
Принимая во внимание, что p' << p0, разложим выражение, стоящее
в скобках, в ряд и, ограничиваясь первыми слагаемыми ряда, имеем
 1
 
 p0



p

p
 0


1
 1
 

p
1 

p
0 


p0
1
.

  1 p p0  (   1) p
1
 p0
Тогда формула (13) примет вид
A

( p0  p)V1 
p0
( p0  p)V1 p
.
1



  1  po  (   1) p  p0  (   1) p
Учитывая, что p' = ρgh1 и p' << p0, можно пренебречь членом p2V1
в числителе и (γ – 1)p' – в знаменателе последнего выражения, и окончательно получим расчетную формулу работы при адиабатном расширении
газа в рассматриваемом случае:
A
gh1V1
,

(14)
где V1 – первоначальный объем газа, который хотя и меньше объема баллона (V2), но на небольшую величину. Поэтому при расчете работы за величину V1 можно принимать объем баллона. Величина  – плотность жидкости (воды) в манометре.
47
4. Описание установки
Установка (рис. 2) состоит из стеклянного баллона (Б), U-образного
манометра (М), крана (К1), соединяющего баллон с атмосферой, секундомера (на рис. не показан) и крана (К2), который соединяет баллон с насосом для нагнетания воздуха в баллон. Одно колено жидкостного (водяного) U-образного манометра открыто, а другое соединено с баллоном, поэтому, когда баллон соединен с атмосферой, уровни жидкости в обоих коленах одинаковы.
Рис. 2. Эскиз установки
5. Порядок выполнения работы
1. Перед работой необходимо проверить, нет ли утечки воздуха из
баллона, для этого с помощью насоса медленно нагнетают в баллон воздух
до давления больше атмосферного примерно на 250–350 мм водяного
столба. Давление измеряется по разности уровней в коленах манометра.
Так как при этом воздух в баллоне несколько нагревается, то следует
подождать 5–6 мин., пока установится тепловое равновесие. После этого,
если показания манометра не изменяются (нет утечки воздуха), записывают значение h1, соответствующее состоянию 1.
2. Затем открывают кран К1, соединяя баллон с атмосферой; воздух
при этом выходит из баллона со слабым свистом, и как только он прекратится, кран закрывают.
Предполагается, что этот процесс соответствует адиабате 1–2 на
рис.1. Давление воздуха в баллоне к моменту закрытия крана (состояние 2)
равно внешнему атмосферному. Через некоторое время после закрытия
крана газ по изохоре перейдет в состояние 3 и, казалось бы, измерив h2 по
манометру, можно по формуле (10) рассчитать коэффициент . Однако
48
описанный способ является довольно грубым, что сказывается на точности
определения коэффициента Пуассона  .
Дело в том, что все предыдущие рассуждения справедливы только
при условии, что переход газа из состояния 1 в состояние 2 является равновесным адиабатным процессом.
В действительности этот процесс нельзя считать адиабатным,
т. к. стенки баллона не являются идеальным теплоизолятором; пока клапан
открыт, тепло частично поступает внутрь баллона и нагревает газ. Было бы
более правильным считать этот процесс политропическим, что соответствовало бы кривой, расположенной выше адиабаты на рис.1.
Далее, в условиях опыта процесс нельзя считать и равновесным.
Равновесный процесс – это бесконечно медленный процесс (в нашем случае – быстрый!), при котором в любой момент времени давление и температура в разных точках системы одинаковы. Это требование также не выполняется: температура около стенок баллона будет несколько выше, чем
внутри его, а давление около открытого крана будет несколько ниже, чем
в других местах.
Поэтому, учитывая неадиабатность и, главное, неравновесность процесса между состояниями 1 и 2, мы получаем не значение h2, которое
необходимо для расчета  , а некоторое другое значение h2', при этом h2'
будет тем меньше, чем больше время  , в течение которого из баллона выпускается воздух. В предельном случае при большой выдержке  температуры вне и внутри баллона могут сравняться, и после закрытия клапана
давление в баллоне не изменится, т. е. h2' будет равно нулю.
Установлено, что между h2 и h2', достаточно хорошо выполняется
следующая зависимость:
h2  h2e  a
или
ln h2  ln h2  a ,
(15)
где a – константа, зависящая от параметров установки и условий опыта;
 – время, в течение которого выпускается из баллона воздух (открыт
клапан).
Формула (15) позволяет по экспериментальным значениям h2', полученным из опыта, определить h2, а затем и более точно рассчитать  .
На рис. 3 представлен график зависимости (15), из которого видно,
что повторив опыт несколько раз (при одной и той же величине h1) с различным временем  , можно путем экстраполяции определить h2.
49
Рис. 3. Экспериментальная зависимость ln h2 ()
Таким образом, второй этап опыта (пункт 2) следует проводить
в следующем порядке:
а) Соединить баллон при помощи крана К1 с атмосферой на 5 с, после чего кран закрыть. Время определяется по секундомеру.
б) Выждать пока давление перестанет меняться (2–3 мин) и сделать
отсчет разности уровней манометра (h2').
в) Операции а) и б) повторить со временем  соединения баллона с атмосферой: 9, 13, 17, 21, 25 с. При этом максимальное время  должно быть выбрано так, чтобы соответствующая ему разность уровней h2'
была значительно больше ошибки манометра осн.
Необходимо следить за тем, чтобы начальное превышение давления
h1 в баллоне перед открытием крана К1 в каждом опыте было почти одним и тем же. С этой целью исходное давление достигается осторожным
нагнетанием воздуха в баллон насосом, соединенным с краном К2.
Значения  h2  и среднеквадратичное отклонение S h2  находят графическим способом. На миллиметровой бумаге размером не менее страницы школьной тетради в координатах ln h2' –  наносят экспериментальные
точки (х) и по ним проводят прямую 1 (рис. 4).
50
Рис. 4. Пример построения графика
Значение ln h2 находят экстраполяцией полученной прямой на ось
ln h2' при  = 0. Через крайние точки, лежащие ниже и выше прямой 1 проводят параллельно ей прямые 2 и 3 до пересечения их с осью ln h2'. Выбрав максимальные значения Δln h2 (+Δln h2 или – Δln h2), в нашем случае
равное 0,06, производят расчет S h2  по формуле
S h2    ln h  h  .
2
2
(16)
Работа адиабатного расширения воздуха вычисляется по формуле
(14). Значение показателя адиабаты  берется из эксперимента. Все величины, входящие в формулу (14), нужно выразить в СИ. Порядок оформления отчета приведен в приложении.
51
Контрольные вопросы
1. Что называется удельной теплоемкостью вещества? Молярной теплоемкостью? Какая связь между ними?
2. Теплоемкость – это функция состояния или функция процесса? Чему
равны молярные теплоемкости идеальных газов при изопроцессах?
3. Какое практическое значение имеет определение отношения теплоемкостей газа
Cp
CV
?
4. Какой процесс называется адиабатным?
5. Какова связь между параметрами P,V и T при адиабатном процессе?
6. В чем состоит опыт Клемана–Дезорма?
7. Изобразите график процессов, соответствующих данному опыту и укажите, через какие состояния проходит газ во время опыта.
8. От каких параметров зависит внутренняя энергия идеального газа?
9. Как формулируется первое начало термодинамики? Какой вид оно
имеет для изопроцессов?
10. Как подсчитать работу адиабатного процесса (графически и аналитически)?
11. Опишите ход опыта по определению отношения теплоемкостей газа.
52
ПРИЛОЖЕНИЕ
Пример оформления титульного листа
Министерство образования и науки РФ
ФГАОУ ВПО «Уральский федеральный университет»
имени первого президента России Б.Н. Ельцина»
Нижнетагильский технологический институт (филиал)
Кафедра общей физики
ОТЧЕТ
по лабораторной работе № 7
«Определение отношения теплоемкости газа
при постоянном давлении к теплоемкости
при постоянном объеме»
Студент(ка)_____________________
Группа_________________________
Дата___________________________
Проверил_______________________
Нижний Тагил
2011
53
Пример оформления отчета
1. Основные расчетные формулы:
1.1. Показатель адиабаты:
h1 .
h1  h2

1.2. Работа адиабатного расширения газа:
A
gh1V1 ,

где h1 и h2 – разности уровней жидкости в манометре;
 – плотность воды;
g – ускорение свободного падения;
V1 – объем баллона.
2. Эскиз установки.
3. Средства измерения и их характеристики:
Таблица 1
Наименование
средства измерений
и его номер
Предел
измерения
или номинальное значение
Цена
деления
шкалы
Баллон № .....
U–образный водяной
манометр
Секундомер № .....
Класс
точности
–
Предел
основной
погрешности осн
–
–
4. Результаты измерений:
№
опы
та
1
2
3
4
5
6
h1,
мм вод. ст.
 h1  = ..... мм
h1   h1i  ,
h1   h1i 2
мм вод. ст.
мм2 вод. ст.
 h1   h1i 2
5,0
9,0
13,0
17,0
21,0
25,0
= ..... мм2
5. Построение графика зависимости ln h2' от  :
b = ln h2 = .....
h2   e b = ..... мм вод. ст.
Δln h2 = .....
54
, с
Таблица 2
h2'
ln
мм
h2'
вод. ст.
6. Расчет искомых величин:
6.1. Вычисление показателя адиабаты:
  
 h1 
= .....
 h1    h2 
6.2. Вычисление работы адиабатного расширения воздуха:
~ g  h1 V1 = ..... Дж.
A
 
6.3. Вычисление неисключенных систематических погрешностей отдельных измерений.

 = .....
g
g 
g = .....
V
V 
V = .....
 
6.4. Среднеквадратичное отклонение в определении h1:
n
S h1  
  h1  h1i 
i 1
2
n(n  1)
= ..... мм.
6.5. Среднеквадратичное отклонение в определении h2:
S h2    ln h  h  = ..... мм.
2
2
6.6. Среднеквадратичное отклонение в определении  :
2
S  
2

  S  h2   = .....
 h2 

   
 S  h1    


  h1   h1    h2  
   h1    h2  
6.7. Граница случайной погрешности определения  :
     t ( P, n)S   = .....,
P = 0,95,
где t(P,n) – коэффициент Стьюдента.
6.8. Граница неисключенной систематической погрешности:
  h  h   h2
     1  1
h1  h2
 h1
55

 = …..


Неисключенные систематические погрешности в измерении разности высот
уровней жидкости в манометре  h и h считаются равными погрешности манометра
1
осн.
2
6.9. Граница полной погрешности определения  :
Δγ =
 2   2 = …..
6.10. Вычисление доверительной границы неисключенной систематической погрешности результата определения A:
 A  1,1
m
 i2 1,1
i 1
2   2g   2h1   2   2 = …..
V
1

6.11. Вычисление границы погрешности результата определения A:
~
A   A  A = ….. Дж.
7. Запись окончательного результата:
P = 0,95.
      = ….. ± …..,
~
A  A  A = (….. ± …..) Дж.
8. Выводы.
56
Лабораторная работа № 8
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОЛЯРНОЙ МАССЫ И ПЛОТНОСТИ ГАЗА
1. Основные теоретические сведения
Целью настоящей работы является ознакомление с одним из методов
определения молярной массы и плотности газа. Обе эти величины широко
используются при целом ряде физических, химических и технических расчетов.
Молярной массой называется масса одного моля вещества. В системе
СИ эта величина измеряется в кг/моль. Моль равен количеству вещества
системы, содержащей столько же структурных элементов (молекул,
атомов и т. д.), сколько атомов содержится в углероде 126 C массой 0,012 кг.
Молярную массу газа можно определить способом, основанным на использовании уравнения состояния идеального газа.
При не слишком высоких давлениях, но достаточно высоких температурах, газ можно считать идеальным. Состояние такого газа описывается
уравнением Клапейрона–Менделеева:
pV 
m
RT ,
M
(1)
где p – давление газа;
V – объем газа;
m – масса газа;
M – молярная масса газа;
R = 8,31 Дж/(моль·К) – молярная газовая постоянная;
T – абсолютная температура газа.
Из формулы (1) получаем выражение для молярной массы газа:
M
mRT
,
pV
(2)
Следовательно, для вычисления M необходимо знать массу m, температуру Т, давление газа p и занимаемый им объем V.
Если погрешности измерения p, V и T в данном эксперименте не превышают 1 %, то определение массы газа, находящейся в сосуде, с такой же
точностью представляет сложную задачу, т. к. для этого необходимо было
бы взвесить сосуд, наполненный газом, и сосуд совершенно пустой. Но
полное удаление газа из сосуда практически невозможно: даже лучшие современные насосы не позволяют откачивать газ до давления, меньшего,
57
чем 10 11 мм рт. ст. При этом в каждом кубическом сантиметре объема газа
остается еще около 1011 молекул.
Существует иной способ определения M, при котором не нужно добиваться полного удаления газа из сосуда, а достаточно лишь несколько
изменить его массу. Пусть в сосуде объемом V находится газ массой m1
под давлением p1 и при температуре Т. Уравнение состояния (1) для этого
газа примет вид
p1V 
m1
RT ,
M
(3)
Откачаем часть газа из сосуда, не изменяя его температуры (изотермически). После откачки масса газа в сосуде и его давление уменьшатся.
Обозначим их соответственно m2 и p2 и вновь запишем уравнение состояния
m2
RT .
M
(4)
m1  m2  RT .
 p1  p2  V
(5)
p2V2 
Из уравнений (3) и (4) получаем
M
Это выражение позволяет определить M, если известно изменение
массы газа (но не сама масса) и изменение давления, а также температура
и объем газа.
В данной работе исследуемым газом является воздух, представляющий собой, как известно, смесь азота, кислорода, аргона и других газов.
Формула (5) пригодна и для определения M смеси газов. В этом случае
найденное значение M представляет собой некоторую среднюю, или эффективную молярную массу смеси газов.
Молярная масса смеси газов может быть рассчитана и теоретически,
если известно процентное содержание и молярная масса каждого из газов,
входящих в смесь, по формуле
M
где
1
,
mn 1
m1 1
m2 1

 ...
m M1 m M 2
m Mn
m1 m2 mn
, ,...
– процентные содержания каждого газа;
m m
m
M1, M2, …, Mn – молярные массы газов.
58
(6)
Если известна молярная масса газа, то легко определить еще одну
важную характеристику газа – его плотность. Плотность газа – это масса
единицы объема газа

m
.
V
Выразив из уравнения Клапейрона–Менделеева

(7)
m
, получим
V
pM
.
RT
(8)
Формула (8) пригодна и для определения  смеси газов, если под
M понимать эффективную молярную массу смеси.
2. Порядок выполнения работы
Сосуд с исследуемым газом (воздухом) представляет собой стеклянную колбу C с краном К.
Рис. 1. Схема установки для откачки воздуха из колбы:
C – стеклянная колба, К – кран,
У – резиновая трубка, М – ртутный манометр
Масса газа в данной работе определяется взвешиванием на технических весах. Правила работы с весами и методика взвешивания описаны
в лабораторной работе № 1 (см. с. 21). Для определения изменения массы
газа (m1 – m2) колбу с воздухом сначала взвешивают на весах. Перед взвешиванием кран K следует открыть, чтобы воздух в колбе находился при
атмосферном давлении p1, которое отсчитывается по барометру-анероиду,
имеющемуся в лаборатории. После взвешивания колбу присоединяют
к форвакуумному насосу. Включив насос и открыв кран K, откачивают
59
воздух из колбы до минимально возможного давления, которое может дать
этот насос. С помощью ртутного манометра M, методом непосредственной
оценки, определяется разность давлений (p1 – p2) между атмосферным p1
и остаточным давлением p2 в колбе.
После откачки и отсчета разности давлений в колбе (p1 – p2) закрывают кран K и выключают насос. Колбу вновь взвешивают на весах, определяя ее массу вместе с оставшимся воздухом. Разность масс колбы до
и после откачки дает то изменение массы газа в колбе (m1 – m2), которое
входит в расчетное уравнение (5). Температуру газа T принимают равной
комнатной температуре, которую определяют по термометру методом
непосредственной оценки.
Молярную массу воздуха вычисляют по уравнению (5).
Доверительную границу неисключенной систематической погрешности результата измерения  можно оценить по формуле
 M  1,1
n
 i2 
i 1
(2m1m2 )  (2p1 p2 )  T2  V2   2R %
(9)
(при доверительной вероятности Р = 0,95),
где ( m1  m2 ) , ( p1  p2 ) , T , V , R – границы неисключенных систематических погрешностей отдельных измерений, выраженные в относительной
форме (в процентах).
Можно полагать, что систематические погрешности отдельных измерений в данной работе определяются, главным образом, пределами допускаемой основной погрешности средств измерения и погрешности отсчитывания. Поскольку R существенно меньше остальных слагаемых в формуле
(9), ею можно пренебречь.
Плотность воздуха при данных условиях (p1,T) рассчитывается по
уравнению (8). При этом атмосферное давление отсчитывается по барометру, методом непосредственной оценки.
Доверительную границу неисключенной систематической погрешности результата измерения  можно оценить по формуле
  1,1
n
 i2 1,1
i 1
 2M  T2   2p1
(10)
при доверительной вероятности P = 0,95. При этом T ,  p определяется по
1
приборам, а M определяется по формуле (9).
60
Контрольные вопросы
1.Что называется молем и молярной массой?
2. Выведите расчетную формулу для определения M.
3. В каком случае молярная масса будет больше: при опыте с чистым
кислородом или со смесью газов (воздухом)?
4. Как можно оценить массу воздуха, удаленного из колбы?
5. Как определить остаточное давление воздуха в колбе, если с помощью
ртутного манометра определена разность давлений (p1 – p2)?
6. Как определяется плотность воздуха в данной работе?
7. Как определяются границы неисключенных систематических погрешностей результатов измерений молярной массы и плотности воздуха?
8. Как находятся систематические погрешности при определении массы
и температуры воздуха?
9. В каком случае молярная масса будет больше: при опыте с чистым
кислородом или с воздухом?
10. Значительно ли будут отличаться полученные результаты для молярной массы M, если откачку воздуха из колбы произвести, например до 266 Па
или до 1,3·10–4 Па?
61
ПРИЛОЖЕНИЕ
Пример оформления титульного листа
Министерство образования и науки РФ
ФГАОУ ВПО «Уральский федеральный университет»
имени первого президента России Б.Н. Ельцина»
Нижнетагильский технологический институт (филиал)
Кафедра общей физики
ОТЧЕТ
по лабораторной работе № 8
«Определение молярной массы и плотности газа»
Студент(ка)_____________________
Группа_________________________
Дата___________________________
Проверил_______________________
Нижний Тагил
2011
62
Пример оформления отчета
1. Основные расчетные формулы:
1.1. Молярная масса газа:
M
m1  m2  RT ,
 p1  p2  V
где V – объем газа;
m1 – масса колбы с газом до откачки;
m2 – масса колбы с газом после откачки;
p1 – давление газа в колбе до откачки;
p2 – давление газа в колбе после откачки;
R = 8,31 Дж/(моль·К) – молярная газовая постоянная;
T – абсолютная температура газа.
1.2. Плотность газа:
p1M ,
RT

где p – давление газа.
2. Эскиз установки.
3. Средства измерения и их характеристики:
Таблица 1
Наименование средства
измерения и его номер
Предел
измерений
или
номинальное
значение
Цена
деления
шкалы
Предел основной
Класс
точности погрешности осн
Весы технические № …..
Барометр-анероид № …..
Ртутный манометр № …..
Термометр № …..
Колба № …..
4. Результаты измерений:
4.1. Определение нулевой точки и цены деления весов:
Отклонение
стрелки весов
Таблица 2
Отклонение стрелки в делениях шкалы при определении
нулевой точки весов
после
ненагруженных
нагруженных
с перегрузкой
откачки
воздуха
влево n1
вправо n2
влево n3
Нулевая точка ненагруженных весов:
63
n1  n3
 n2
2
= ….. дел.
n0 
2
Нулевая точка нагруженных весов (колба с воздухом):
n1  n3
 n2
2
= ….. дел.
n0 
2
4.2. Определение массы колбы с воздухом:
Измеренная масса колбы с воздухом:
m1,0 = ….. г.
Нулевая точка весов с перегрузкой m0 = 20 мг:
 n1  n3
 n2
2
n0 
 ….. дел.
2
Цена деления нагруженных весов:
a
m0
= ….. мг/дел.
n0  n0
Основная погрешность в определении массы:
осн = a (n0' – n0) = ….. мг.
Абсолютная погрешность в определении массы:
Δm1 = m =
2
2
отсч
 осн
= ….. г,
где θотсч – погрешность отсчитывания, равная половине цены деления весов.
Масса колбы с воздухом:
m1 = m1,0 ± Δm1 = ….. ± ….. г.
4.3. Определение массы колбы после откачки:
Измеренная масса колбы после откачки:
m2,0 = ….. г.
Нулевая точка весов после откачки воздуха из колбы:
n1  n3
 n2
2
n0 
 ….. дел.
2
Основная погрешность в определении массы:
64
осн = a (n0 – n0) = ….. мг.
Абсолютная погрешность в определении массы:
Δm2 = m =
2
2
= ….. г.
отсч
 осн
Масса колбы после откачки:
m2 = m2,0 ± Δm2 = ….. ± ….. г.
4.4. Определение давления:
Атмосферное давление:
p1 = ….. мм рт. ст.
Абсолютная погрешность в определении давления:
Δp1 = ….. мм рт. ст.
Давление в колбе после откачки:
p2 = ….. мм рт. ст.
Абсолютная погрешность в определении давления:
Δp2 = ….. мм рт. ст.
Разность давлений:
Температура воздуха:
(p1 – p2) = ….. мм рт. ст.
T = ….. К.
Абсолютная систематическая погрешность определении температуры воздуха:
ΔT = ….. К.
5. Расчет искомых величин в СИ:
5.1. Вычисление молярной массы воздуха M:
~ m  m2  RT = ….. кг/моль.
M 1
 p1  p2  V
5.2. Вычисление плотности воздуха  :
~
pM = ….. кг/м3.
~

RT
5.3. Вычисление неисключённых систематических погрешностей отдельных измерений:
m1  m2
( m1  m2 ) 
m1  m2 = …..
65
p1  p2
p1  p2 = …..
T
T 
T = …..
V
V 
= …..
V
p
 p1  1 = …..
p1
R = …..
R 
R
( p1  p2 ) 
5.4. Вычисление доверительной границы неисключенной систематической погрешности результата измерения M:
 M  1,1
n
 i2 
i 1
(2m1m2 )  (2p1 p2 )  T2  V2   2R = …..
5.5. Вычисление границы погрешности результата измерения M:
~
M   M  M  ….. кг/моль.
5.6. Запись окончательного результата измерения  в виде
~
M  M  M = ….. кг/моль, P = 0,95.
5.7. Вычисление доверительной границы неисключенной систематической погрешности результата измерения  :
   1,1
n
 i2 1,1
i 1
 2M  T2   2p1 = …..
5.8. Вычисление границы погрешности результата измерения  :
3
    ~
 = ….. кг/м .

5.9. Запись окончательного результата измерения  в виде
3
~
   = ….. кг/м ,
6. Выводы.
66
Р = 0,95.
Лабораторная работа № 9
ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
НА МАЯТНИКЕ ОБЕРБЕКА
1. Основные теоретические сведения
Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси имеет вид:

 M
,
(1)

I

где – угловое ускорение тела;
M – суммарный момент всех внешних сил относительно этой же оси
вращения;
I – момент инерции
тела относительно этой же оси.

Момент силы F , действующей на тело, относительно оси вращения
определяется по формуле
M  F l ,
(2)

где F – проекция силы F на плоскость, перпендикулярную к оси вращения;

l – плечо силы F – кратчайшее расстояние от оси вращения до линии
действия силы.
Момент инерции материальной точки относительно оси вращения
равен произведению массы m точки на квадрат расстояния r до этой оси:
I  mr 2 .
(3)
Вычисление момента инерции твердого тела относительно оси проводится по формуле
I   r 2dm   r 2dV ,
где dm и dV – масса и объем элемента тела, находящегося на расстоянии r
от оси вращения;  – плотность тела в произвольной точке элемента dV.
Если тело однородно, т. е. его плотность  одинакова по всему объему, то
(4)
I   r 2 dV .
67
Момент инерции твердого тела зависит от распределения массы относительно оси вращения и является величиной аддитивной. Он определяет инертность твердого тела при вращении.
Вычисление момента инерции твердого тела произвольной формы
относительно некоторой оси вращения представляет собой довольно громоздкую в математическом отношении задачу. Экспериментально его
можно определить различными методами. Один из таких методов рассматривается в настоящей лабораторной работе.
2. Описание установки
На рис. 1 схематически изображен так называемый маятник Обербека, с помощью которого
можно изучать законы вращательного движения.
Маятник состоит из вертикальной стойки C
со шкалой Д, в верхней части которой крепятся
крестовина К и шкив Ш, жестко насаженные на
горизонтальную ось О, закрепленную в двух
подшипниках. На шкив намотана тонкая нить,
один конец которой укреплен на шкиве, а к другому привязан груз известной массы m. Шкив
с крестовиной могут свободно вращаться вокруг
оси О. На крестовине надеты 2 груза массами m1.
Момент инерции установки можно изменять, перемещая одинаковые цилиндрические грузы m1
вдоль стержней крестовины. Груз m перед началом опытов помещается в крайнее верхнее положение и закрепляется там специальным тормозящим устройством (на рис. 1 не показано). Внизу
на стойке укреплена горизонтальная площадка Б,
служащая для фиксирования момента полного
разматывания нити с грузом m.
Рис. 1. Эскиз установки
68
3. Вывод расчетных формул
Уравнение вращательного движения маятника в проекциях на ось Oz
(рис. 2) имеет вид
M – Mтр = I  ,
(5)

где М – момент силы натяжения T1 нити;
Мтр – момент сил трения, действующих на ось маятника со стороны подшипников;
I – момент инерции маятника относительно оси вращения;
 – угловое ускорение маятника.
Рис. 2. Схема распределения сил
Так как масса нити мала и нить практически нерастяжима, натяжение нити одинаково во всех точках (Т1 = Т2 = Т) и ускорение
всех элемен
тов нити также одинаково. Момент силы натяжения T нити равен
M = rT
(6)

В этой формуле r – плечо силы T , равное радиусу шкива (строго го
воря, плечо силы T равно сумме радиусов шкива и нити).
Силу натяжения T нити найдем из второго закона Ньютона для
опускающегося груза, записанного в проекциях на ось Oy:
mg – T = ma,
откуда
T = m (g – a),
69
(7)
где a – ускорение груза;
g – ускорение свободного падения;
m – масса опускающегося груза.
Так как действующие на тела системы силы можно считать постоянными, вращение шкива маятника и поступательное движение опускающегося груза можно считать равноускоренным и, следовательно, ускорение
a опускающегося груза можно найти из уравнения равноускоренного двиat 2
жения h1 
, если измерено время t опускания груза с высоты h1 (рис. 1):
2
a
2h1
.
t2
(8)
Подставив (8) и (7) в (6), получим
2h 

M  rm g  21  .
t 

d

Выражая радиус r шкива через его диаметр d  r   , имеем
2

M
md 
2h 
 g  21  .
2 
t 
(9)
Модуль  углового ускорения вращающейся системы связан с модулем a тангенциального ускорения внешних точек шкива соотношением
a 2a
. Следовательно,
 
r d

4h1
.
dt 2
(10)
Момент Mтр сил трения, действующих на систему, найдем следующим образом. Когда опускающийся груз находится в крайнем верхнем положении 1 (рис. 1), энергия системы «шкив – крестовина – опускающийся
груз» определяется лишь потенциальной энергией этого груза:
W1  mgh1 .
(11)
В крайнем нижнем положении 2 потенциальная энергия груза равна
нулю, и энергия системы определяется ее кинетической энергией:
70
m 2 I2
,
W2 

2
2
(12)
где I – момент инерции маятника;
ω – угловая скорость шкива в момент времени t;
 – линейная скорость груза в положении 2.
Пройдя путь h1, груз не останавливается, т. к. шкив и крестовина
продолжают вращаться по инерции, а поднимается на некоторую высоту h2
(положение 3, рис.1). Энергия W3 системы в этом положении определяется
потенциальной энергией груза на высоте h2:
W3  mgh2
(13)
Механическая энергия системы не сохраняется в силу того, что в ней
действуют неконсервативные силы трения: W3 < W2 < W1. Приращение механической энергии системы равно работе сил трения (параметры установки таковы, что потери механической энергии за время удара опустившегося груза о нижнюю площадку Б пренебрежимо малы). Полагая, что
Mтр = const (на самом деле Mтр  const, особенно в начале движения – из-за
застоя), имеем
W2  W1  M тр 1 ,
(14)
W3  W2  M тр 2 ,
(15)
где 1 и 2 – угловые пути, пройденные вращающейся частью маятника
соответственно за время опускания и подъема груза и связанные с соответствующими числами оборотов N1 и N2 шкива и высотами h1 и h2 соотношениями:
1  2N1  2
h1 2h1

d
d
и
2  2N 2  2
h2 2h2
.

d
d
(16)
Сложив уравнения (14) и (15), получим
 W1  W3  M тр 1  2  .
Подставив выражения (11), (13) и (16) в уравнение (17), имеем
 mgh1  mgh2  
откуда
71
2M тр
d
h1  h2  ,
(17)
M тр 
mgd (h1  h2 )
.

2 (h1  h2 )
(18)
С учетом уравнений (11), (12) и (14), получим
m 2 I2

 mgh1   M тр1
2
2
(19)
Движение груза между положениями 1 и 2, как уже отмечалось, равноускоренное, следовательно,  = at; и h1 = at2 /2.
Откуда следует

2h1
t
и

4h1
.
td
Заменяя в формуле (19) Mтр, , ω и 1 соответствующими выражениями, находим момент инерции вращающейся системы:
md 2
I
4
 gh2t 2


1

.
 h1 (h1  h2 ) 
Во всех практических случаях единицей можно пренебречь по сравнению с первым слагаемым в квадратных скобках, тогда
md 2
gh2t 2
.
I

4 h1 (h1  h2 )
(20)
Таким образом, для определения М,  , Mтр и I необходимо экспериментально определить m, d, t, h1 и h2.
Если пренебречь трением в подшипниках (Mтр = 0), то уравнение (5)
принимает вид
M = I·  .
(21)
Подставив формулы (9) и (10) в уравнение (21), получим выражение для
момента инерции I маятника относительно оси вращения (без учета трения)
I
md 2 ( gt 2  2h1 )
.
8h1
72
(22)
4. Порядок выполнения работы
Задача 1. Определение момента инерции вала и крестовины без грузов.
1. Измерьте 5 раз штангенциркулем диаметр шкива. Результаты измерений занесите в табл. 2.
2. С помощью линейки Д (рис. 1), укрепленной на стойке прибора,
измерьте высоту h1 падения груза.
3. Намотайте нить плотно виток к витку на шкив, вращая при этом
крестовину против часовой стрелки так, чтобы груз m (рис. 1) находился
в наивысшей точке, а нить была натянута вертикально.
4. Нажатием на рычаг тормозного устройства освободите груз. При
этом одновременно включите секундомер.
5. Остановите секундомер в момент удара груза m о площадку Б. После остановки секундомера запишите его показания в табл. 3.
6. Повторите операции 3–5 еще 4 раза.
7. На основании полученных данных по формуле (22) рассчитайте
момент инерции шкива и крестовины I0, подставляя при этом все данные
в системе СИ.
Задача 2. Определение момента инерции системы двух цилиндров, симметрично расположенных относительно оси вращения.
1. На крестовине укрепите два одинаковых цилиндра массой m1 каждый на равных расстояниях от оси вращения. Рекомендуется следующая
последовательность установок цилиндров: одну пару стержней располагают горизонтально, надевают на них два
цилиндра на некотором расстоянии от
оси вращения, добиваются равновесия
системы и закрепляют цилиндры. Линейкой измеряют расстояние 2R (рис. 3).
2. Намотайте нить на шкив и измерьте время t движения платформы до
ее удара о нижний столик Б.
Рис. 3. Схема расположения
грузов на крестовине
3. Не останавливая вращения крестовины, определите по линейке Д,
укрепленной на стойке C, высоту h2, до
которой поднимется груз (отсчет h2 ве-
сти по нижнему основанию груза).
4. Повторите опыт 4 раза. Результаты измерений занесите в табл. 4.
5. По формуле (20) рассчитайте момент инерции I вращающейся системы и, используя найденное в предыдущей задаче значение момента
73
инерции I0 шкива и крестовины, определите момент инерции I1 двух цилиндров относительно оси вращения, т. е.
I1  I  I 0
5.
Рассчитайте теоретическое значение момента инерции I2 системы двух цилиндров относительно оси вращения, считая их материальными точками, по формуле
I 2  2m1R 2 ,
где m1 – масса цилиндра;
R – расстояние от оси вращения до центра тяжести цилиндра, расположенного на крестовине (рис. 3).
Сравните теоретическое значение момента инерции I2 с экспериментальным I1.
Контрольные вопросы
1. Запишите и поясните основное уравнение динамики вращательного
движения.
2. Что такое момент силы, действующей на тело, относительно оси вращения? В каких единицах он измеряется?
3. Как определяется момент инерции материальной точки относительно
оси вращения? Единица его измерения.
4. Запишите в общем виде формулу для вычисления момента инерции
твердого тела относительно оси вращения.
5. Что собой представляет маятник Обербека?
6. Выведите формулы для расчета момента М силы натяжения нити, углового ускорения  , момента Mтр сил трения и момента инерции I вращающейся системы.
7. Как, пользуясь маятником Обербека, можно определить момент инерции системы двух цилиндров, симметрично расположенных относительно оси
вращения?
74
ПРИЛОЖЕНИЕ
Пример оформления титульного листа
Министерство образования и науки РФ
ФГАОУ ВПО «Уральский федеральный университет»
имени первого президента России Б.Н. Ельцина»
Нижнетагильский технологический институт (филиал)
Кафедра общей физики
ОТЧЕТ
по лабораторной работе № 9
«Изучение законов вращательного движения
на маятнике Обербека»
Студент(ка)_____________________
Группа_________________________
Дата___________________________
Проверил_______________________
Нижний Тагил
2011
75
Пример оформления отчета
1. Расчетные формулы:
1.1. Момент инерции шкива и крестовины без учета трения:
I0 
m d  2 ( g t  2  2h1 ) ,
8h1
(1)
Момент инерции маятника:
I
m d  2 g t  2  h2  ,
4h1 (h1   h2  )
(2)
где m – масса опускающегося груза;
d  – средний диаметр шкива;
g – ускорение свободного падения;
t  – среднее время опускания груза;
h1 – высота опускания груза;
 h2  – средняя высота поднятия груза.
2. Эскиз установки.
3. Средства измерения и их характеристики:
Установка № .....
Наименование средства
измерения и его номер
Предел измерения
или номинальное
значение
Цена
деления
шкалы
Класс
точности
Таблица 1
Предел основной погрешности,
осн.
Секундомер № .....
Штангенциркуль № .....
Линейка
4. Результаты измерений:
Задача 1. Определение момента инерции I0 вала и крестовины без грузов.
4.1. Масса груза m и погрешность Δm в ее определении приводятся в карточке,
прилагаемой к лабораторной установке.
m = ..... г;
Δm = ..... г.
4.2. Измерение высоты опускания груза:
Δh1 = ..... см.
h1 = .....см;
4.3. Измерение диаметра шкива:
76
(di – d  ), мм
d, мм
Таблица 2
(di – d  ) , мм2
2
 d
d  = ..... мм
i
2
2
  d   = ..... мм
Среднее квадратичное отклонение:
n
 (di   d  ) 2
i 1
S d  
n(n  1)
= ….. мм.
Доверительная граница случайной погрешности:
d  t ( P, n)S d  = ….. мм,
где t(P,n) – коэффициент Стьюдента.
Граница систематической погрешности:
 d = осн = ….. мм.
Граница полной погрешности измерения диаметра вала:
2
= ….. мм.
d   2d  осн
4.4. Измерение времени опускания груза с высоты h1:
(t i  t  ) , с
ti , с
Таблица 3
(t i  t  ) , с2
2
 (ti  t)
t  = ….. с
Среднее квадратичное отклонение:
n
S t  
 (ti  t  )2
i 1
n(n  1)
= ….. с.
Доверительная граница случайной погрешности:
t  t ( P, n)St  = ….. c.
77
2
= ….. с2
Граница неисключенной систематической погрешности:
 t = осн = ….. c.
Граница полной погрешности времени опускания груза:
t  t2  î2ñí = ….. с.
4.5. Вычисление момента инерции  I 0  шкива и крестовины:
 I0  
m d  2 ( g t  2  2h1 ) = ….. кг·м2.
8h1
4.6. Вычисление границы относительной погрешности определения I0:
2
2
2
2
I 0
 m   d   2 gtt  2h1   h1  = …..


 
 
  2
 
2
I0 
 m   d   gt  2h1   h1 
4.7. Граница абсолютной погрешности I0 равна
2
I 0   I 0  = ….. кг·м .
4.8. Окончательный результат:
I 0   I 0   I 0  = …..кг·м2; P = 0,95.
Задача 2. Определение момента инерции системы двух цилиндров, симметрично расположенных относительно оси вращения.
4.9. Измерение массы цилиндра m1 и массы m опускающегося груза (приводится
в карточке, прилагаемой к установке):
m1 = ..... г;
m = ..... г;
Δm1 = ..... г.
Δm = ..... г.
4.10. Измерение расстояния R от оси вращения до центра тяжести цилиндра на
крестовине:
R = ..... см;
2
2
= ..... см.
R  1,1 осн
 отсч
4.11. Измерение времени t опускания груза и высоты h2 его подъема:
78
ti , с
t  = ... с
(t i  t ) ,
с
2
(t i  t ) 2 , с
h2i, см
 (ti  t) 2 =
 h2  =
= ..... см
= .... с2
(h2i  h2 ) ,
см
Таблица 4
(h2i  h2 ) 2 ,
см2
 (h2i  h2 )2 =
= ..... см2
Средние квадратичные отклонения St  и S
:
h 
2
n
S t  
(t i  t  ) 2

i 1
n(n 1)
= ..... с;
n
S h  
2
(h2i   h2  ) 2

i 1
n(n 1)
= ..... см.
Доверительные границы случайных погрешностей:
t  t ( P, n)St  = ..... с;
h  t ( P, n)S h  = ..... см.
2
2
Границы систематических погрешностей:
 t = осн = ..... c;
осн h = … см.
Границы полных погрешностей:
t  t2  t2 = ..... с;
h2  h 2  2h = ..... см.
2
2
4.12. Вычисление момента инерции I  крестовины с двумя цилиндрами:
I 
m d  2 g t  2  h2  = … кг∙м2.
4h1 (h1   h2  )
4.13. Расчет момента инерции  I 1  двух цилиндров:
 I 1    I    I 0  = ..... кг∙м2.
79
4.14. Вычисление границы относительной погрешности определения I :
2
2
2
 h2 
I
(2h1  h2 ) 2  h1 
h1
 t 
 d   m 

 

  4   4
I 

 
 = …..
2 
2 
I 
(h1  h2 )  h1  (h1  h2 )  h2 
 t 
 d   m 
2
2
2
4.15. Граница абсолютной погрешности определения I равна
2
I   I  I  = ..... кг·м .
4.16. Граница относительной погрешности результата измерения момента инерции I1 двух цилиндров вычисляется по формуле
2
 I   I 
I
 I  1   0     = …..
1
 I1 
 I0    I  
2
4.17. Граница абсолютной погрешности результата измерения I1 равна
2
 I   I  I1 = ..... кг·м .
1
1
4.18. Окончательный результат:
2
I 1   I1    I = (….. ± …..) кг·м , P = 0,95.
1
4.19. Вычисление теоретического значения момента инерции I2 двух цилиндров
относительно оси вращения в предположении, что они являются материальными точками:
2
I 2  2m1 R 2 = … кг·м ,
где m1 — масса цилиндра;
R — расстояние от оси вращения до центра тяжести цилиндра, расположенного на
крестовине.
4.20. Сравнение результата I2, с полученным из опыта I1, и оценка относительной погрешности, возникающей при допущении, что цилиндры являются материальными точками:

 I1   I 2
 100 % = … %.
 I1 
5. Выводы.
80
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Трофимова, Т. И. Курс физики : учеб. пособие для вузов
/ Т. И. Трофимова. – М. : Высш. шк., 1998. – 542 с.
2. Детлаф, А. А. Курс физики : учеб. пособие для втузов / А. А. Детлаф,
Б. М. Яворский. – М. : Высш. шк., 1999. – 718 с.
3. Матвеев, А. Н. Механика и теория относительности : учебн. для студентов вузов / А. Н. Матвеев. – М. : ООО «Издательский дом «ОНИКС
21 век»: ООО «Издательство «Мир и образование», 2003. – 432 с.
4. Матвеев, А. Н. Молекулярная физика : учеб. пособие для студентов вузов / А. Н. Матвеев. – М. : ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2006. – 360 с.
5. Савельев, И. В. Курс общей физики : учеб. пособие для втузов : В 5 кн.
Кн. 1. Механика / И. В. Савельев. – М. : Наука. Физматлит, 1998. – 336 с.
6. Савельев, И. В. Курс общей физики : учеб. пособие для втузов : В 5 кн.
Кн. 3. Молекулярная физика и термодинамика / И. В. Савельев. – М. :
Наука. Физматлит, 1998. – 208 с.
7. Сивухин, Д. В. Общий курс физики : в 5 т. / Д. В. Сивухин. – М. :
Наука. Физматлит, 2002. – Т. 1. Механика. – 560 с.
8. Валишев, М. Г., Повзнер, А. А. Курс общей физики : учеб. пособие
/ М. Г. Валишев, А. А. Повзнер. – СПб. : Лань, 2009. – 576 с.
9. Кортнев, А. В. Практикум по физике : / А. В. Кортнев, Ю. В. Рублев,
А. Н. Куценко. – М. : Высшая школа, 1965. – 568 с.
10. Руководство к лабораторным занятиям по физике : / под ред.
Л. Л. Гольдина. – М. : Наука, 1983. – 704 с.
11. Евграфова, Н. Н. Руководство к лабораторным работам по физике :
учеб. пособие для радиотехнических и электроприборостроительных
специальностей вузов / Н. Н. Евграфова, В. Л. Каган. – М. : «Высшая
школа», 1970. – 384 с.
12. Физический практикум по механике: учеб. пособие / В. Б. Демин,
Ю. Г. Карпов, В. П. Левченко [и др.] ; науч. ред. Ф. А. Сидоренко. –
Екатеринбург : УГТУ-УПИ, 2007. – 133 с.
13. Зайдель, А. Н. Ошибки измерений физических величин : учеб. пособие
/ А. Н. Зайдель. – СПб. : Лань, 2005. – 112 с.
14. Сидоров, А. А. Вычисление погрешностей в физическом лабораторном
практикуме / А. А. Сидоров. – Екатеринбург : УГТУ – УПИ, 1993. – 15 с.
81
ФИЗИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ
В трех частях
Часть 1
МЕХАНИКА.
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
Авторы-составители:
ХОДЫРЕВ Александр Анатольевич
КОРНИСИК Константин Илларионович
Редактор Н. А.Чудина
Формат 60×90 1/16
Подписано в печать 00.00.2011
Бумага офсетная
Усл. печ. л.
Гарнитура «Таймс»
Уч.-изд. л.
Тираж 200 экз.
Ризография
Заказ №0000
Редакционно-издательский отдел
Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б.Н.Ельцина»
Нижнетагильский технологический институт (филиал)
622031, Нижний Тагил, ул. Красногвардейская, 59
Отпечатано в РИО НТИ (ф) УрФУ
82