Задача 627

http://www.zachet.ru/
Задача 627
Для приближенной оценки минимальной энергии электрона в атоме водорода
можно предположить, что неопределенность r радиуса r электронной орбиты и
неопределенность p импульса р электрона на такой орбите соответственно связаны
следующим образом: r ≈ r и p ≈ р. Используя эти связи, а также соотношение
неопределенностей,
найти
значение
радиуса
электронной
орбиты,
соответствующего минимальной энергии электрона в атоме водорода.
Решение:
Запишем соотношение неопределенностей в виде:
(1)
r  p  h.
где r – радиус электрона в атоме водорода, p его импульс. Для оценки примем:
h
.
(2)
r p
2
Энергия электрона в атоме водорода равна:
E
p2
e2

2m 4   0  r
(3)
Выразим импульс из (2) и подставим в (3):
E
h2
e2

8 2 mr 2 4   0  r
(4)
Найдем r при котором энергия минимальна. Продифференцируем по r и
приравняем нулю производную:

h2
e2

 0.
4 2 mr 3 4   0  r 2
(5)
Отсюда для радиуса найдем:
r
Подставим в (4):
E min 
 0  h2
.
  m  e2
m  e4
m  e4
m  e4



.
2
2
2
8   0  h2 4   0  h2
8   0  h2
Ответ: минимальная энергия электрона в атоме водорода приближенно равна:
E min
m  e4
m  e4


.
2
2
8   0  h2
2  4   0    2
(6)